空间直线间的夹角
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3、议一议：说一说直线间的夹角的具体步骤。
l2 A l1
s1 s2
B
l2
s2
A
s1
B
C
l1
C
已知直线 l1与l2的方向向量分别为 s1, s2
当0 s1 , s2 时, 直线l1与l2的夹角等于 s1 , s2 2
当
2
s1 , s2 时, 直线 l1与l2的夹角等于 s1 , s2
北师大版选修 2-1
§5.1 直线间的夹角
知识回顾
空间中直线与直线之间的位置关系
（1）当直线l1与l2共面时，两条直线的夹 角的范围。
（2）异面直线所成的角。
当两条直线l1与l2共面时,我们把两条 直线交角中，范围在 两直线的夹角
l1 l2 A C B
0， 2
内的角叫作
当两条直线l1与l2是异面直线时, 在直线l1上任取一点A作AB//l2 我们把直线l1与直线AB的夹角叫作 异面直线l1与l2的夹角.
l2 B A
l1
C
创设情境
如何利用向量法解决空间中两条直线间的夹角 问题呢？ 空间直线由一点和一个方向确定,所以空间 两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角 确定.
x
(A)
y O D
B
C
因为A(0,0,0),C1(2,1,3),A1(0,0,3),D(0,1,0) 所以AC1 (2,1,3), A1D (0,1, 3). z
因此 cos s1 , s2
8 0 140
s1 s2 | s1 || s2 |
4
z
D1F1＝ A1B1 ，求BE1与DF1所成的角的余弦值。
D1
A1 D A x
F1
E1 O B
C1
B1
解：以D为原点，DA,DC,DD1 分别为x轴，y轴，z轴建立直 角坐标系.
cos BE1 DF1
C y
15 | BE1 || DF1 | 17
BE1 DF1
课堂练习
5、已知在正方体ABCD A1 B1C1 D1中，E , F 分别是棱BB1 , DC的中点，则异面直线AE与 D1 F的夹角为（D ）
典例精讲
例1、如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A1B1C1D1，AB=2，BC=1，AA1=3，求对角线 AC1和侧面对角线A1D的夹角 的余弦值。
B1 z A1 C1 D1
解：设对角线AC1和侧面对角线 A1D的方向向量分别是 s , s
1 2
则s1 AC1, s2 A1D.
6 ＝ ( － 1, 0, 1) 。 b 3
1
课堂练习
3、如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，
AB=2，BC=1，AA1=3，求对角线AC1和侧面对角线A1D的夹角
的余弦值。
B1
z
A1
D1
4 35 cos 35
C1
(A)
y O D
B
x
C
课堂练习 4、 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1＝
A.
6
B.
3
C.
4
D.
2
课堂小结
本节课我们学会了那些知识？有什么收获？
B1
A1
D1
Leabharlann BaiduC1
AC1和A1D的夹角 =- s1 , s2
8 140 故 cos 140
x
(A) B
y
O C D
课堂练习
1、求下列两个向量的夹角的余弦：
（ 1） a ＝( 2, －3,
3 ),
b＝(1, 0, 0 );
1 2
（2）a＝(－1, －1 ，1), 2、课本45页 练习
自主探究
活动:请同学们阅读P43例1之前的内容，回答下列问题:
1、画一画：两条直线l1和l2的夹角 与方向向量 s1 和 s2 的夹角 s1 , s2 有什么关系？ 2、想一想：请说出两条直线l1和l2的夹角 与方向
向量 s1 和 s2 的夹角 s1 , s2 的具体关系？
l2 A l1
s1 s2
B
l2
s2
A
s1
B
C
l1
C
已知直线 l1与l2的方向向量分别为 s1, s2
当0 s1 , s2 时, 直线l1与l2的夹角等于 s1 , s2 2
当
2
s1 , s2 时, 直线 l1与l2的夹角等于 s1 , s2
北师大版选修 2-1
§5.1 直线间的夹角
知识回顾
空间中直线与直线之间的位置关系
（1）当直线l1与l2共面时，两条直线的夹 角的范围。
（2）异面直线所成的角。
当两条直线l1与l2共面时,我们把两条 直线交角中，范围在 两直线的夹角
l1 l2 A C B
0， 2
内的角叫作
当两条直线l1与l2是异面直线时, 在直线l1上任取一点A作AB//l2 我们把直线l1与直线AB的夹角叫作 异面直线l1与l2的夹角.
l2 B A
l1
C
创设情境
如何利用向量法解决空间中两条直线间的夹角 问题呢？ 空间直线由一点和一个方向确定,所以空间 两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角 确定.
x
(A)
y O D
B
C
因为A(0,0,0),C1(2,1,3),A1(0,0,3),D(0,1,0) 所以AC1 (2,1,3), A1D (0,1, 3). z
因此 cos s1 , s2
8 0 140
s1 s2 | s1 || s2 |
4
z
D1F1＝ A1B1 ，求BE1与DF1所成的角的余弦值。
D1
A1 D A x
F1
E1 O B
C1
B1
解：以D为原点，DA,DC,DD1 分别为x轴，y轴，z轴建立直 角坐标系.
cos BE1 DF1
C y
15 | BE1 || DF1 | 17
BE1 DF1
课堂练习
5、已知在正方体ABCD A1 B1C1 D1中，E , F 分别是棱BB1 , DC的中点，则异面直线AE与 D1 F的夹角为（D ）
典例精讲
例1、如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A1B1C1D1，AB=2，BC=1，AA1=3，求对角线 AC1和侧面对角线A1D的夹角 的余弦值。
B1 z A1 C1 D1
解：设对角线AC1和侧面对角线 A1D的方向向量分别是 s , s
1 2
则s1 AC1, s2 A1D.
6 ＝ ( － 1, 0, 1) 。 b 3
1
课堂练习
3、如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，
AB=2，BC=1，AA1=3，求对角线AC1和侧面对角线A1D的夹角
的余弦值。
B1
z
A1
D1
4 35 cos 35
C1
(A)
y O D
B
x
C
课堂练习 4、 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1＝
A.
6
B.
3
C.
4
D.
2
课堂小结
本节课我们学会了那些知识？有什么收获？
B1
A1
D1
Leabharlann BaiduC1
AC1和A1D的夹角 =- s1 , s2
8 140 故 cos 140
x
(A) B
y
O C D
课堂练习
1、求下列两个向量的夹角的余弦：
（ 1） a ＝( 2, －3,
3 ),
b＝(1, 0, 0 );
1 2
（2）a＝(－1, －1 ，1), 2、课本45页 练习
自主探究
活动:请同学们阅读P43例1之前的内容，回答下列问题:
1、画一画：两条直线l1和l2的夹角 与方向向量 s1 和 s2 的夹角 s1 , s2 有什么关系？ 2、想一想：请说出两条直线l1和l2的夹角 与方向
向量 s1 和 s2 的夹角 s1 , s2 的具体关系？