[汇总]蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题
回溯法解决0-1背包问题
回溯法解决0-1背包问题问题描述： 有n件物品和⼀个容量为c的背包。
第i件物品的价值是v[i]，重量是w[i]。
求解将哪些物品装⼊背包可使价值总和最⼤。
所谓01背包，表⽰每⼀个物品只有⼀个，要么装⼊，要么不装⼊。
回溯法： 01背包属于找最优解问题，⽤回溯法需要构造解的⼦集树。
在搜索状态空间树时，只要左⼦节点是可⼀个可⾏结点，搜索就进⼊其左⼦树。
对于右⼦树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去，剪枝啦啦！上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最⼤价值<=当前最优价值bestp。
为了更好地计算和运⽤上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从⼤到⼩排序，此后就按照顺序考虑各个物品。
#include <stdio.h>#include <conio.h>int n;//物品数量double c;//背包容量double v[100];//各个物品的价值double w[100];//各个物品的重量double cw = 0.0;//当前背包重量double cp = 0.0;//当前背包中物品价值double bestp = 0.0;//当前最优价值double perp[100];//单位物品价值排序后int order[100];//物品编号int put[100];//设置是否装⼊//按单位价值排序void knapsack(){int i,j;int temporder = 0;double temp = 0.0;for(i=1;i<=n;i++)perp[i]=v[i]/w[i];for(i=1;i<=n-1;i++){for(j=i+1;j<=n;j++)if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]{temp = perp[i];perp[i]=perp[i];perp[j]=temp;temporder=order[i];order[i]=order[j];order[j]=temporder;temp = v[i];v[i]=v[j];v[j]=temp;temp=w[i];w[i]=w[j];w[j]=temp;}}}//回溯函数void backtrack(int i){double bound(int i);if(i>n){bestp = cp;return;}if(cw+w[i]<=c){cw+=w[i];cp+=v[i];put[i]=1;backtrack(i+1);cw-=w[i];cp-=v[i];}if(bound(i+1)>bestp)//符合条件搜索右⼦数backtrack(i+1);}//计算上界函数double bound(int i){double leftw= c-cw;double b = cp;while(i<=n&&w[i]<=leftw){leftw-=w[i];b+=v[i];i++;}if(i<=n)b+=v[i]/w[i]*leftw;return b;}int main(){int i;printf("请输⼊物品的数量和容量：");scanf("%d %lf",&n,&c);printf("请输⼊物品的重量和价值：");for(i=1;i<=n;i++){printf("第%d个物品的重量：",i);scanf("%lf",&w[i]);printf("价值是：");scanf("%lf",&v[i]);order[i]=i;}knapsack();backtrack(1);printf("最有价值为：%lf\n",bestp);printf("需要装⼊的物品编号是：");for(i=1;i<=n;i++){if(put[i]==1)printf("%d ",order[i]);}return 0;}时间复杂度分析： 上界函数bound()需要O(n)时间，在最坏的情况下有O(2^n)个右⼦结点需要计算上界，回溯算法backtrack需要的计算时间为O(n2^n)。
用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0-1背包问题
实验项目三 用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1背包问题实验目的1、学会背包的数据结构的设计，针对不同的问题涉及到的对象的数据结构的设计也不同；2、对0-1背包问题的算法设计策略对比与分析。
实验内容：0/1背包问题是给定n 个重量为{w 1, w 2, … ,wn }、价值为{v 1, v 2, … ,vn }的物品和一个容量为C 的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。
在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi 表示物品i 装入背包的情况，则当xi =0时，表示物品i 没有被装入背包，xi =1时，表示物品i 被装入背包。
根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X =(x 1, x 2, …, xn )。
背包的数据结构的设计：typedef struct object{int n;//物品的编号⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=)1(}1,0{1n i x C x w i n i i i （式1）∑=n i iix v 1m ax （式2）int w;//物品的重量int v;//物品的价值}wup;wup wp[N];//物品的数组，N为物品的个数int c;//背包的总重量1、蛮力法蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。
蛮力法的关键是依次处理所有的元素。
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。
所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n个物品集合的所有子集，n个物品的子集有2的n次方个，用一个2的n次方行n列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法：void force(int a[][4])//蛮力法产生4个物品的子集{int i,j;int n=16;int m,t;for(i=0;i<16;i++){ t=i;for(j=3;j>=0;j--){m=t%2;a[i][j]=m;t=t/2;}}for(i=0;i<16;i++)//输出保存子集的二维数组{for(j=0;j<4;j++){printf("%d ",a[i][j]);}printf("\n");}｝以下要依次判断每个子集的可行性，找出可行解:void panduan(int a[][4],int cw[])////判断每个子集的可行性，如果可行则计算其价值存入数组cw,不可行则存入0{int i,j;int sw,sv;for(i=0;i<16;i++){sw=0;sv=0;for(j=0;j<4;j++){sw=sw+wp[j].w*a[i][j];sv=sv+wp[j].v*a[i][j];}if(sw<=c)cw[i]=sv;elsecw[i]=0;}在可行解中找出最优解，即找出可行解中满足目标函数的最优解。
分支界限方法01背包问题解题步骤
分支界限方法是一种用于解决优化问题的算法。
在动态规划算法中，分支界限方法被广泛应用于解决01背包问题。
01背包问题是一个经典的动态规划问题，其解题步骤如下：1. 确定问题：首先需要明确01背包问题的具体描述，即给定一组物品和一个背包，每个物品有自己的价值和重量，要求在不超过背包容量的情况下，选取尽可能多的物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
2. 列出状态转移方程：对于01背包问题，可以通过列出状态转移方程来描述问题的求解过程。
假设dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时能够获得的最大价值，则状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])3. 初始化边界条件：在动态规划中，需要对状态转移方程进行初始化，一般情况下，dp数组的第一行和第一列需要单独处理。
对于01背包问题，可以初始化dp数组的第一行和第一列为0。
4. 利用分支界限方法优化：针对01背包问题，可以使用分支界限方法来优化动态规划算法的效率。
分支界限方法采用广度优先搜索的思想，在每一步选择最有希望的分支，从而减少搜索空间，提高算法的效率。
5. 实际解题步骤：根据上述步骤，实际解决01背包问题的步骤可以概括为：确定问题，列出状态转移方程，初始化边界条件，利用分支界限方法优化，最终得到问题的最优解。
分支界限方法在解决01背包问题时起到了重要的作用，通过合理的剪枝策略，可以有效地减少动态规划算法的时间复杂度，提高问题的求解效率。
分支界限方法也可以应用于其他优化问题的求解过程中，在算法设计和实现中具有重要的理论和实际意义。
在实际应用中，分支界限方法需要根据具体问题进行灵活选择和调整，结合动态规划和剪枝策略，以便更好地解决各类优化问题。
掌握分支界限方法对于解决复杂问题具有重要的意义，也是算法设计和优化的关键技术之一。
分支界限方法在解决01背包问题的过程中，具有重要的作用。
01背包各种算法代码实现总结（穷举，贪心，动态，递归，回溯，分支限界）
01背包各种算法代码实现总结（穷举，贪⼼，动态，递归，回溯，分⽀限界）2020-05-22所有背包问题实现的例⼦都是下⾯这张图01背包实现之——穷举法：1.我的难点：（1）在⽤穷举法实现代码的时候，我⾃⼰做的时候认为最难的就是怎么将那么多种情况表⽰出来，⼀开开始想⽤for循环进⾏多次嵌套，但是太⿇烦，⽽且还需要不断的进⾏各种标记。
我现在的⽔平实在太菜，然后就在⼀篇中看到⼀个特别巧妙的枚举算法,如下所⽰：int fun(int x[n]){int i;for(i=0;i<n;i++)if(x[i]!=1) {x[i]=1; return;}//从遇到的第⼀位开始，若是0，将其变成1，然后结束for循环，得到⼀种解法else x[i]=0;return;//从第⼀位开始，若是1，将其变成0，然后继续循环，若再循环的时候遇到0，则将其变为1，结束循环。
得到另⼀种解法。
} 虽然我现在也不知道为什么会这样，但是确实是个很好的规律，找到这个规律后，就可以很轻松的⾃⼰写出各种排列情况，以后遇到排列的问题，就⽤这个⽅法。
语⾔不好描述，上图⽚演⽰（是歪的，凑活看吧。
）：（2）算法思想：x[i]的值为0/1，即选或者不选w[i]的值表⽰商品i的重量v[i]的值表⽰商品的价值所以这个算法最核⼼的公式就是tw=x[1]*w[1]+x[2]*w[2]+.......+x[n]*w[n]tv=x[1]*w[1]+x[2]*v[2]+......+x[n]*v[n]tv1:⽤于存储当前最优解limit:背包容量如果 tw<limit&&tv>tv1 则可以找到最优解2.代码实现（借鉴）#include<stdio.h>#include<iostream>using namespace std;#define n 4void possible_solution(int x[n]){int i;for(i=0;i<4;i++) //n=4,有2^4-1种解法if(x[i]!=1){x[i]=1;return; //从遇到的第⼀位开始，若是0，将其变成1，然后结束循环，得到⼀种解法}elsex[i]=0;return;//从第⼀位开始，若是1，将其变成0，然后继续循环，若再循环的时候遇到0，则将其变为1，结束循环。
分支限界法解决01背包问题
分⽀限界法解决01背包问题1. 问题描述设有n个物体和⼀个背包,物体i的重量为wi价值为pi ,背包的载荷为M, 若将物体i（1<= i <=n）装⼊背包,则有价值为pi . ⽬标是找到⼀个⽅案, 使得能放⼊背包的物体总价值最⾼.设N=3, W=(16,15,15), P=(45,25,25), C=30（背包容量）2. 队列式分⽀限界法可以通过画分⽀限界法状态空间树的搜索图来理解具体思想和流程每⼀层按顺序对应⼀个物品放⼊背包（1）还是不放⼊背包（0）步骤：①⽤⼀个队列存储活结点表，初始为空② A为当前扩展结点，其⼉⼦结点B和C均为可⾏结点，将其按从左到右顺序加⼊活结点队列，并舍弃A。
③按FIFO原则，下⼀扩展结点为B，其⼉⼦结点D不可⾏，舍弃；E可⾏，加⼊。
舍弃B④ C为当前扩展结点，⼉⼦结点F、G均为可⾏结点，加⼊活结点表，舍弃C⑤扩展结点E的⼉⼦结点J不可⾏⽽舍弃；K为可⾏的叶结点，是问题的⼀个可⾏解，价值为45⑥当前活结点队列的队⾸为F, ⼉⼦结点L、M为可⾏叶结点，价值为50、25⑦ G为最后⼀个扩展结点，⼉⼦结点N、O均为可⾏叶结点，其价值为25和0⑧活结点队列为空，算法结束，其最优值为50注：活结点就是不可再进⾏扩展的节点，也就是两个⼉⼦还没有全部⽣成的节点3. 优先队列式分⽀限界法3.1 以活结点价值为优先级准则步骤：①⽤⼀个极⼤堆表⽰活结点表的优先队列，其优先级定义为活结点所获得的价值。
初始为空。
②由A开始搜索解空间树，其⼉⼦结点B、C为可⾏结点，加⼊堆中，舍弃A。
③B获得价值45，C为0. B为堆中价值最⼤元素，并成为下⼀扩展结点。
④ B的⼉⼦结点D是不可⾏结点，舍弃。
E是可⾏结点，加⼊到堆中。
舍弃B。
⑤ E的价值为45，是堆中最⼤元素，为当前扩展结点。
⑥ E的⼉⼦J是不可⾏叶结点，舍弃。
K是可⾏叶结点，为问题的⼀个可⾏解价值为45。
⑦继续扩展堆中唯⼀活结点C，直⾄存储活结点的堆为空，算法结束。
蛮力法、动态规划法 求解01背包问题
else
v[i][j]=v[i-1][j];
}
else v[i][j]=v[i-1][j];
}
return v[n][m];
}
int main()
{
int m,n;int i,j;
cout<<"请输入背包的承重量:"<<endl;
2)复杂度分析:2n
2、动态规划法
1)基本思想:Dynamic programming is a technique for solving problems with overlapping subproblems.The function:
V(i,0)=V(0,j)=0;(1)
V(i-1,j)j<w
if (cur_weight <= capacity && cur_value > max_value) {
max_value = cur_value;
}
return;
}
c[d] = 0;
MFKnapsack(capacity, values, weights, c,
d + 1, max_value);
cout << MFKnapsack(capacity, values, weights, n) << endl;
return 0;
}
(2)Dynamic Programming
#include<iostream.h>
#include<string.h>
int v[10][100];//对应每种情况的最大价值
用动态规划法与回溯法实现0-1背包问题的比较
用动态规划法与回溯法实现0-1背包问题的比较用动态规划法与回溯法实现0-1背包问题的比较1背包问题0-1背包问题：给定n种物品和一背包。
物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。
问应如何选择装入背包中物品，使得装入背包中物品的总价值最大？对于一个实例：物品种类N=4，背包容量C=10，物品重量数组W={3，5，2，1}，相应价值数组V={9，10，7，4}。
找一个n 元0-1向量（x1，x2，x3….xn）xi∈{0,1},1≤i≤n.使得，达到最大。
下面分别以动态规划法和回溯法来解决这个实例。
2动态规划法动态规划法的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
用一个表来保存记录所有已解决的子问题的答案，在需要的时候再找出已求得的答案，避免重复的计算。
动态规划法适用于解最优化问题。
通常可按以下4个步骤：(1)找出最优解的性质并刻画其结构特征。
(2)递归的定义最优解。
(3)以自底向上的方式计算出最优值。
(4)根据计算最优值时到得的信息，构造最优解。
对于所给0-1背包问题的子问题：，的最优值为m（i，j），即m（i，j）是背包容量为j，可悬着物品为i,i+1,….,n时0-1背包问题的最优值。
由于0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m（i，j）的如下递归式：（1.1）（1.2）从上面算法的执行过程中可以看出假设有Q（n）个子问题,每一个子问题最多需要m次决策,则计算的频率为nm,回溯的频率为n，那么整个过程的算法的时间复杂度为T（n）=nm+n，即为Q （nm）。
3回溯法。
回溯法在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先的策略,从根结点出发搜索解空间树。
回溯算法搜索至解空间树的任一结点时,总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含,则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索,逐层向其祖先结点回溯。
否则,进入该子树,继续按深度优先的策略进行搜索。
实验项目三 用蛮力法、动态规划法和贪心法求解背包问题
实验项目三 用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1背包问题实验目的1、学会背包的数据结构的设计，针对不同的问题涉及到的对象的数据结构的设计也不同；2、对0-1背包问题的算法设计策略对比与分析。
实验内容：0/1背包问题是给定n 个重量为{w 1, w 2, … ,wn }、价值为{v 1, v 2, … ,vn }的物品和一个容量为C 的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。
在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi 表示物品i 装入背包的情况，则当xi =0时，表示物品i 没有被装入背包，xi =1时，表示物品i 被装入背包。
根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X =(x 1, x 2, …, xn )。
背包的数据结构的设计：typedef struct object{int n;//物品的编号int w;//物品的重量int v;//物品的价值}wup;wup wp[N];//物品的数组，N 为物品的个数int c;//背包的总重量1、蛮力法蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。
蛮力法的关键是依次处理所有的元素。
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。
所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n 个物品集合的所有子集，n 个物品的子集有2的n 次方个，用一个2的n 次方行n 列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=)1(}1,0{1n i x C x w i n i i i （式1）∑=ni i i x v 1max （式2）void force(int a[16][4])//蛮力法产生4个物品的子集{int i,j;int n=16;int m,t;for(i=0;i<16;i++){ t=i;for(j=3;j>=0;j--){m=t%2;a[i][j]=m;t=t/2;}}for(i=0;i<16;i++)//输出保存子集的二维数组{for(j=0;j<4;j++){printf("%d ",a[i][j]);}printf("\n");}｝以下要依次判断每个子集的可行性，找出可行解:void panduan(int a[][4],int cw[])////判断每个子集的可行性，如果可行则计算其价值存入数组cw,不可行则存入0{int i,j;int n=16;int sw,sv;for(i=0;i<16;i++){sw=0;sv=0;for(j=0;j<4;j++){sw=sw+wp[j].w*a[i][j];sv=sv+wp[j].v*a[i][j];}if(sw<=c)cw[i]=sv;elsecw[i]=0;}在可行解中找出最优解，即找出可行解中满足目标函数的最优解。
回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点教学内容
回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。
对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有0-1赋值。
例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。
0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。
否则，将右子树剪去。
设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。
当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。
计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。
例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。
这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。
以物品单位重量价值的递减序装入物品。
先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。
算法背包问题的五种方法
算法背包问题的五种方法1. 动态规划背包问题是一种经典的组合优化问题，动态规划是解决背包问题的常用方法之一。
动态规划将问题分解为子问题，并利用已解决子问题的结果来求解更大规模的问题。
对于背包问题，动态规划算法的基本思想是创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
通过填表格的方式，从子问题逐步求解到原问题，最终得到最优解。
2. 贪心算法贪心算法是另一种解决背包问题的方法。
它的基本思想是每一步都选择当前看起来最好的选择，而不考虑之前的选择对后续步骤的影响。
在背包问题中，贪心算法通常是按照物品的价值密度（价值与重量的比值）进行排序，然后依次选择价值密度最高的物品放入背包，直到背包容量不足为止。
贪心算法的优势在于其简单性和高效性，但它并不一定能得到最优解。
3. 分支定界法分支定界法是一种通过搜索方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是通过搜索可能的解空间，并根据当前搜索路径的特性进行剪枝操作，从而减少搜索的时间和空间复杂度。
在背包问题中，分支定界法通常根据当前节点的上界（通过松弛问题得到）与当前最优解进行比较，如果上界小于当前最优解，则该节点不再继续拓展，从而减少搜索空间的大小，提高求解效率。
4. 回溯算法回溯算法是一种通过不断试探和回退的方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是从问题的初始状态开始，不断地尝试不同的决策，并根据约束条件判断该决策是否可行。
如果决策可行，则继续尝试下一步决策；如果不可行，则回退到上一步并尝试其他决策。
在背包问题中，回溯算法通过递归的方式依次尝试每个物品的放入与不放入两种选择，直到找到满足约束条件的解或者穷尽所有可能。
5. 近似算法近似算法是一种通过快速求解背包问题的“近似”解来减小计算复杂度的方法。
它的基本思想是用一种简单而快速的策略求解背包问题，并且能够保证求解结果的近似程度。
在背包问题中，常见的近似算法有贪心算法和启发式算法。
分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题
华北水利水电学院数据结构与算法分析实验报告2009 ～2010 学年第 1 学期2009 级计算机专业班级：200915326 学号：200915326 姓名：郜莉洁一、实验题目：分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题二、实验内容：0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。
物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。
应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。
不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。
三、程序源代码：A:回溯法：// bag1.cpp : Defines the entry point for the console application.//#include "stdafx.h"#include <iostream.h>#define MaxSize 100 //最多物品数int limitw; //限制的总重量int maxwv=0; //存放最优解的总价值int maxw;int n; //实际物品数int option[MaxSize]; // 存放最终解int op[MaxSize]; //存放临时解struct {int weight;int value;}a[MaxSize]; //存放物品数组void Knap( int i, int tw, int tv) //考虑第i个物品{int j;if(i>=n) //找到一个叶子结点{if (tw<=limitw && tv>maxwv) //找到一个满足条件地更优解，保存它{maxwv=tv; maxw=tw;for(j=0;j<n;j++) option[j]=op[j];}}else{op[i]=1; //选取第I个物品Knap(i+1,tw+a[i].weight, tv+a[i].value);op[i]=0; //不选取第I个物品，回溯Knap(i+1,tw,tv);}}int main(int argc, char* argv[]){int j;n=3; //3物品a[0].weight=16;a[0].value=45;a[1].weight=15;a[1].value=25;a[2].weight=15;a[2].value=25;//a[3].weight=1;a[3].value=1;limitw=30; //限制重量不超过30 Knap(0,0,0);cout<<"最佳装填方案是："<<endl;for(j=0;j<n;j++)if(option[j]==1)cout<<"第"<<j+1<<"种物品"<<endl;cout<<"总重量＝"<<maxw<<",总价值＝"<<maxwv<<endl;return 0;}回溯法测试结果：测试数据：物品一：重量：16，价格：45；物品二：重量：15，价格：25；物品三：重量：15，价格：25；B：分支限界法：#include <stdio.h>#include<malloc.h>#define MaxSize 100 //最多结点数typedef struct QNode{float weight;float value;int ceng;struct QNode *parent;bool leftChild;}QNode,*qnode; //存放每个结点typedef struct{qnode Q[MaxSize];int front,rear;}SqQueue; //存放结点的队列SqQueue sq;float bestv=0; //最优解int n=0; //实际物品数float w[MaxSize]; //物品的重量float v[MaxSize]; //物品的价值int bestx[MaxSize]; // 存放最优解qnode bestE;void InitQueue(SqQueue &sq ) //队列初始化{sq.front=1;sq.rear=1;}bool QueueEmpty(SqQueue sq) //队列是否为空if(sq.front==sq.rear)return true;elsereturn false;}void EnQueue(SqQueue &sq,qnode b)//入队{if(sq.front==(sq.rear+1)%MaxSize){printf("队列已满!");return ;}sq.Q[sq.rear]=b;sq.rear=(sq.rear+1)%MaxSize;}qnode DeQueue(SqQueue &sq)//出队{qnode e;if(sq.front==sq.rear){printf("队列已空!");return 0;}e=sq.Q[sq.front];sq.front=(sq.front+1)%MaxSize;return e;}void EnQueue1(float wt,float vt, int i ,QNode *parent, bool leftchild)qnode b;if (i==n) //可行叶子结点{if (vt==bestv){bestE=parent;bestx[n]=(leftchild)?1:0;}return;}b=(qnode)malloc(sizeof(QNode)); //非叶子结点b->weight=wt;b->value=vt;b->ceng=i;b->parent=parent;b->leftChild=leftchild;EnQueue(sq,b);}void maxLoading(float w[],float v[],int c){float wt=0;float vt=0;int i=1; //当前的扩展结点所在的层float ew=0; //扩展节点所相应的当前载重量float ev=0; //扩展结点所相应的价值qnode e=NULL;qnode t=NULL;InitQueue(sq);EnQueue(sq,t); //空标志进队列while (!QueueEmpty(sq)){wt=ew+w[i];vt=ev+v[i];if (wt <= c){if(vt>bestv)bestv=vt;EnQueue1(wt,vt,i,e,true); // 左儿子结点进队列}EnQueue1(ew,ev,i,e,false); //右儿子总是可行；e=DeQueue(sq); // 取下一扩展结点if (e == NULL){if (QueueEmpty(sq)) break;EnQueue(sq,NULL); // 同层结点尾部标志e=DeQueue(sq); // 取下一扩展结点i++;}ew=e->weight; //更新当前扩展结点的值ev=e->value;}printf("最优取法为：\n");for( int j=n-1;j>0;j--) //构造最优解{bestx[j]=(bestE->leftChild?1:0);bestE=bestE->parent;}for(int k=1;k<=n;k++){if(bestx[k]==1)printf("\n物品%d:重量：%.1f，价值：%.1f\n",k,w[k],v[k]);}printf("\n");printf("最优价值为：%.1f\n\n",bestv);}void main(){int c;float ewv[MaxSize];printf(" //////////////////// 0-1背包问题分枝限界法/////////////////////\n\n");printf("请输入物品的数量：\n");scanf("%d",&n);printf("请输入背包的最大承重量：\n");scanf("%d",&c);printf("\n请输入物品的重量和单位重量价值:\n\n");for(int i=1;i<=n;i++){printf("物品%d:",i);scanf("%f%f",&w[i],&ewv[i]);v[i]=w[i]*ewv[i];printf("\n");}maxLoading(w, v, c);}分支限界法测试结果：五、小结（包括收获、心得体会、存在的问题及解决问题的方法、建议等）注：内容一律使用宋体五号字，单倍行间距，不得少于100字。
蛮力法等求解背包问题报告剖析
算法综合实验报告学号：姓名：一、实验内容：分别用蛮力、动态规划、贪心及分支限界法实现对TSP问题或者0-1背包问题的求解，并至少用两个测试用例对所完成的代码进行正确性及效率关系上的验证。
二、程序设计的基本思想、原理和算法描述：1、蛮力法(1)数据结构:使用一维数组存储物品的价值和重量还有下标。
(2)函数组成除主函数外还有一个subset（）函数，在此函数中列出所有的子集列出子集的同时求解最大价值，并且物品总重量要小于背包总容量。
(3)输入/输出设计首先通过键盘输入物品的总重量，再输入背包总容量，依次输入每个物品的重量，对应输入相应重量的价值，循环直至输入所有物品的重量和价值。
最后输出物品的最大价值。
本程序通过键盘进行输入、屏幕进行输出。
（根据实际程序情况，还可以选择随机产生输入数据、将输出数据输出到文件等其它方式）(4)符号名说明w[1001]为物品重量的集合，v[1001]为物品价值的集合，n为物品数量，m为背包总容量,x[1001]用来存储物品是否装入背包，0为不装入，1为装入。
用a[1001]来存储下标，用下标找出所有子集。
(5)算法描述采用增量构造的方法来构造出物品的所有子集，对物品的下标应用此方法进行构造，下标与物品相对应，选出子集时物品的重量加之前重量小于背包总重量时将价值加上去，最后选出能装入背包的物品的最大值。
2、 动态规划法(1)数据结构：使用一维数组存储各个物品价值，重量，使用一个二维数组存储动态规划的整体求解的表，并以背包容量为最大列号，物品个数为最大行号。
(2)函数组成：除主函数外由两个函数组成，一个是求解两个数中的大的一个的函数，另一个则是进行动态规划求解的函数，在使用动态规划方法具体求解时调用求最大值函数，在主程序之中调用动态规划函数。
(3)输入/输出设计：首先通过键盘输入物品的总重量，再输入背包总容量，依次输入每个物品的重量，对应输入相应重量的价值，循环直至输入所有物品的重量和价值。
回溯法、分支限界法解0-1背包问题(计算机算法设计与分析实验报告)
q[i] =newElement(i + 1, pp[i] / ww[i]);
}
Arrays.sort(q,newElemComparator());
p=newdouble[n+ 1];
w=newdouble[n+ 1];
for(inti = 1; i <=n; i++) {
BufferedReader in =newBufferedReader(newInputStreamReader(System.in));
do{
try{
do{
System.out.println("请选择数字功能键：1--输入数据，2--退出系统");
flag = in.readLine().trim();
doubleb =cp;
//以物品单位重量价值递减装填剩余容量
while(i <=n&&w[i] <= cleft) {
cleft -=w[i];
b +=p[i];
i++;
}
//装填剩余容量装满背包
if(i <=n) {
b +=p[i] /w[i] * cleft;
}
returnb;
}
//添加新的活节点到子集树和优先队列中
return1;
}else{
return0;
}
}
}
publicstaticvoidmain(String[] args) {
String input;
String flaguble[] pp;
背包问题的各种求解方法
背包问题的各种求解⽅法⼀、“0-1背包”问题描述： 给定n中物品，物品i的重量是w i，其价值为v i，背包的容量为c.问应如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？形式化描述：给定c>0,w i>0,v i>0,1≤i≤n，要求找⼀个n元0-1向量（x1,x2,...,x n)，x i∈{0,1}，1≤i≤n，使得∑w i x i≤c，⽽且∑v i x i达到最⼤。
因此0-1背包问题是⼀个特殊的整形规划问题：max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n⼆、动态规划求解（两种⽅法，顺序或逆序法求解） 1.最优⼦结构性质 1.1 简要描述 顺序：将背包物品依次从1,2,...n编号，令i是容量为c共有n个物品的0-1背包问题最优解S的最⾼编号。
则S'=S-{i}⼀定是容量为c-w i且有1,...,i-1项物品的最优解。
如若不是，领S''为⼦问题最优解，则V(S''+{i})>V(S'+{i})，⽭盾。
这⾥V(S)=V(S')+v i.逆序：令i是相应问题最优解的最低编号，类似可得。
1.2 数学形式化语⾔形式化的最优⼦结构 顺序（从前往后）：设(y1,y2,...,y n)是所给问题的⼀个最优解。
则(y1,...,y n-1)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解： max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n-1如若不然，设(z1,...,z n-1)是上述⼦问题的⼀个最优解，⽽(y1,...,y n-1)不是它的最优解。
由此可知，∑v i z i>∑v i y i,且∑v i z i+w n y n≤c。
因此∑v i y i+v n y n>∑v i y i(前⼀个范围是1~n-1，后⼀个是1~n) ∑v i z i+w n y n≤c这说明(z1,z2,...,y n)是⼀个所给问题的更优解，从⽽(y1,y2,...,y n)不是问题的所给问题的最优解，⽭盾。
蛮力法、动归、贪心、分支限界法解01背包问题
算法综合实验报告一、实验内容：分别用蛮力、动态规划、贪心及分支限界法实现对0-1背包问题的求解，并至少用两个测试用例对所完成的代码进行正确性及效率关系上的验证。
二、程序设计的基本思想、原理和算法描述：1、蛮力法1.1数据结构注：结构体obj用来存放单个物品的价值和重量typedef struct obj{int w;//物品的重量int v;//物品的价值};1.2 函数组成void subset(int s[][10],int n)：用来生成子集的函数void judge(int s[][10], obj obj[],int mark[],int n,int c)：判断子集的可行性int getmax(int mark[],int n,int &flag)：求解问题的最优解void outputObj(int flag,int s[][10],int n):输出选择物品的情况 1.3 输入/输出设计本程序通过键盘进行输入、屏幕进行输出。
1.4 符号名说明1.5 算法描述算法的伪代码描述如下：输入：背包的容量c,物品的个数n,n个物品的重量 w[n],价值v[n]输出：装入背包的物品编号以及产生的最大价值1.初始化最大价值 max=0,结果子集 s=φ;2.对集合{1,2,......n}的每一个子集T，执行下述操作：2.1初始化背包的价值 v=0，背包的重量 w=0;2.2对子集t的每一个元素j2.2.1 如果w+wj<c,则 w=w+wj,v=v+vj;2.2.2 否则，转步骤2考察下一个子集；2.3如果max<v,则 max=v;s=t;3.输出子集S中的各元素2、动态规划法2.1 数据结构该程序不涉及任何数据结构2.2 函数组成int max(int i,int j);比较并返回两个数中的较大值int KnapSack (int w[],int v[],int x[],int n,int c);求解背包取得的最大值2.3 输入/输出设计本程序通过键盘进行输入、屏幕进行输出。
综合练习 0-1背包动态规划回溯法分支限界法求解过程
设有0/1背包实例，有4件物品，其重量分别为4,2,6,5，价值分别为8,5,18,9，且背包最大容量为16。
问：背包内装入哪些物品可以不超重并且达到最大价值。
解：一、动态规划法求解过程如下：设物品序号为1,2,3,4，向量W={w 1,w 2,w 3,w 4}={4,2,6,5}表示4件物品的重量，向量V={v 1,v 2,v 3,v 4}={8,5,18,9}表示4件物品的价值, C=16表示背包的最大容量。
即在满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=41},1,0{41i x C x w i i i i 的条件下，求∑=41max i i i x v 及对应的向量X, 向量中分量x i 取0或1分别表示物品不放入背包或放入背包。
用二维数组m 记录中间结果，其中m[i][j]表示物品i,i+1,...,n 在容量为j 的背包中产生的最大价值。
根据动态规划法得递归式为：ii i i w j w j j i m v w j i m j i m j i m <≤≥⎩⎨⎧++-++=0]][1[}]][1[],][1[max{]][[nn nw j w j v j n m <≤≥⎩⎨⎧=00]][[n=3, i=1,2,3 j=1,2,.....,10C=16m[1][16]!=m[2][16] x[1]=1 C=16-w1=12m[2][12]==m[3][12] x[2]=0m[3][12]!=m[4][12] x[3]=1 C=12-w3=6m[4][6]>0 x[4]=1 最优值为35，最优解为(1,0,1,1)，对应物品1,3,4。
二、回溯法求解过程如下：按照单位重量价值降序对物品排序，w’={6,2,4,5}, v’={18,5,8,9}，物品编号顺序为s={3,2,1,4}。
判断左儿子是否可行使用约束函数cw+wi<=C，判断右儿子是否有最优解使用限界函数bound(i+1)>bestp。
回溯法01背包问题例题
回溯法是一种解决0-1背包问题的有效方法。
以下是使用回溯法解决0-1背包问题的具体步骤和例题：1.定义问题：假设有N件物品，每件物品有一定的重量Wi和价值Vi，背包能够承受的最大重量为W。
目标是选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，同时不超过背包的最大承重。
2.使用回溯法求解：回溯法的核心是深度优先搜索，通过尝试每一种可能性来找到最优解。
o初始化：将所有物品按照价值从大到小排序。
o递归函数：▪如果当前选择的物品重量超过了背包的承重，则返回（因为无法放入背包）。
▪如果当前选择的物品价值大于之前所有选择物品的总价值，则更新当前最大价值。
▪标记当前选择的物品为已选（例如，使用一个布尔数组表示）。
▪递归地尝试下一个物品。
o回溯：如果递归到最后一个物品，并且没有超过背包的承重，则将最后一个物品加入背包，并更新最大价值。
然后回溯到上一个物品，尝试不放入背包中。
3.求解步骤：o初始状态：未选择任何物品，总价值为0。
o递归函数：对于每个物品i，如果未选择（即第i个物品的布尔数组标记为false），则执行递归函数。
如果选择了第i个物品，并且总价值大于当前最大价值，则更新最大价值。
标记第i个物品为已选。
然后递归地尝试下一个物品。
o回溯：如果尝试了所有物品都没有超过背包的承重，并且总价值大于当前最大价值，则将最后一个选择的物品加入背包，并更新最大价值。
然后回溯到上一个物品，尝试不放入背包中。
4.例题：假设有3件物品，重量分别为20、15、10，价值分别为20、30、25，背包的承重为25。
根据回溯法求解的步骤如下：o首先尝试第一个物品（重量20，价值20）。
由于20>25，所以无法放入背包。
o接下来尝试第二个物品（重量15，价值30）。
由于15+20=35>25，所以也无法放入背包。
o然后尝试第三个物品（重量10，价值25）。
由于10+20=30<25，所以可以放入背包中。
此时的最大价值为25+25=50。
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[汇总]蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题一、实验内容:分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。
C注:0/1背包问题:给定种物品和一个容量为的背包，物品的重量ni是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背wvii 包中的物品的总价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析:1.蛮力法求解0/1背包问题:1)基本思想:对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。
2)代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100 //最多可能物体数 struct goods //物品结构体{int sign; //物品序号int w; //物品重量int p; //物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w); }int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++) X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1; //装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0; //不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]) { Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n); //输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C); //输入背包容量for (int i=0;i<n;i++) //输入物品i的重量w及其价值v {printf("物品%d的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("] 装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3)复杂度分析:n蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为:。
T(n),O(2)2.动态规划法求解0/1背包问题:1)基本思想:令表示在前个物品中能够装入容量为的V(i,j)i(1,i,n)j(1,j,C)背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态函数:V(i,0),V(0,j),0V(i,1,j)(j,w),i V(i,j),,,,VijVijwvjwmax(,1,),(,1,,)，(,)iii, 按照下述方法来划分阶段:第一阶段，只装入前1个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值;第二阶段，只装入前2个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值;以此类推，直到第个n C阶段。
最后，便是在容量为的背包中装入个物品时取得的最nV(n,C) 大价值。
2)代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100 //最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign; //物品序号int w; //物品重量int p; //物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];int KnapSack2(int n,goods a[],int C,int x[]) {int V[N][10*N];for(int i=0;i<=n;i++) //初始化第0列V[i][0]=0;for(int j=0;j<=C;j++) //初始化第0行V[0][j]=0;for(i=1;i<=n;i++) //计算第i行，进行第i次迭代for(j=1;j<=C;j++)if(j<a[i-1].w)V[i][j]=V[i-1][j];elseV[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-a[i-1].w]+a[i-1].p); j=C; //求装入背包的物品for (i=n;i>0;i--){if (V[i][j]>V[i-1][j]){x[i-1]=1;j=j-a[i-1].w;}else x[i-1]=0;}return V[n][C]; //返回背包取得的最大价值}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n); //输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C); //输入背包容量for (int i=0;i<n;i++) //输入物品i的重量w及其价值v{printf("物品%d的重量w[%d]及其价值v[%d]: ",i+1,i+1,i+1); scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum2=KnapSack2(n,a,C,X);//调用动态规划法求0/1背包问题printf("动态规划法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("] 装入总价值%d\n",sum2);for (i=0;i<n;i++){a[i]=b[i];}//恢复a[N]顺序}3)复杂度分析:动态规划法求解0/1背包问题的时间复杂度为:。
T(n),O(n，C)3.回溯法求解0/1背包问题:1)基本思想:回溯法:为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。
这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。
对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1可用子集数表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一向量组成, 个可行结点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能包含最优解时就进入右子树搜索。
2)代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100 //最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign; //物品序号int w; //物品重量int p; //物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];int BackTrack(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp){for (int k=0;k<n;k++) X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}if(cw+a[i].w<=C){ //进入左子树cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[a[i].sign]=1; //装入背包BackTrack(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p; //回溯，进入右子树}cx[a[i].sign]=0; //不装入背包BackTrack(i+1);return bestP;}int KnapSack3(int n,goods a[],int C,int x[]) {for(int i=0;i<n;i++){x[i]=0;a[i].sign=i;}sort(a,a+n,m);//将各物品按单位重量价值降序排列BackTrack(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n); //输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C); //输入背包容量for (int i=0;i<n;i++) //输入物品i的重量w及其价值v{printf("物品%d的重量w[%d]及其价值v[%d]: ",i+1,i+1,i+1); scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum3=KnapSack3(n,a,C,X);//调用回溯法求0/1背包问题printf("回溯法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("] 装入总价值%d\n",sum3);for (i=0;i<n;i++){a[i]=b[i];}//恢复a[N]顺序3)复杂度分析:最不理想的情况下，回溯法求解0/1背包问题的时间复杂度为:n。