对心碰撞

对心碰撞问题的描述

对心碰撞问题的描述

摘要：本文从能量角度出发，分析了质心坐标系下两体对心碰撞前后系统能量变化。讨论了恢复系数的物理意义，通过对恢复系数的分析和动能图示法分析了各种碰撞过程，得出恢复系数为系统碰撞之后和之前质心系中相对动能之比的平方根，从中总结出了处理对心碰撞问题的通用方法。

关键字：两体碰撞恢复系数质心系相对动能动量守恒

The central impact hits the question the description Abstract: Around this article embarked from the energy angle, analyzes the center of mass coordinate。Discussed restored the coefficient the physics significance, through to restored the coefficient the analysis and the kinetic energy graphic interpretation has analyzed each kind of collision process, obtains restored the coefficient after the system collision and before in center of mass ratio of relative kinetic energy square root, summarized the processing central impact to hit the question the general method.

Key words:Two body collisions. Restores the coefficient. Center of mass. Relative kinetic energy. Conservation of momentum

1.引言

碰撞问题是物理学研究的对象，在所有自然界中的碰撞有两个特点，首先，碰撞在短暂时间类相互作用很强，在一般研究中通常不考虑外界影响；其次碰撞前后状态变化突然且明显，适合于用守恒律研究运动状态的变化，而在研究碰撞的理想模型中有两种碰撞——若有两球碰撞前的速度矢量连线与沿着两球球心的连心线平行，这样的碰撞在力学上我们通常将其称为对心碰撞或正碰。相反则称之为非对心碰撞或斜碰。我们在通常研究碰撞时可以将非对心碰撞进行处理，从而可以使用对心碰撞的研究方式进行处理，本文在此针对对心碰撞进行分析。

2.对心碰撞的理想模型

在光滑水平面上，两球体和分别以初速度和发生正碰，碰撞之后各自速度为和。由于外力矢量和为零，故动量守恒，有

（2-1）

在气垫轨道上或在气桌上做对心碰撞试验，可测出。以各种不同初速度实验，牛顿总结了各种碰撞实验结果表明，对于材料一定的球，碰撞后分开的相对速度

与碰前接近的相对速度成正比。碰前靠近的相对速度为，碰后的分离的相对速度为，于是有

（2-2）

比例常数牛顿将其定义为恢复系数，由两球材料的弹性而决定。

由于初始速度为已知，在此将（2-1）和（2-2）联立求解，碰撞后的速度为

（2-3）

（2-4）

针对对心碰撞我们在此引入质心系。由柯尼希定理可知质点组的动能为质心的动能和各质点对质心的动能之和，则质心系的相对动能，质心整体的平动动能。将柯尼希定理应用于对心碰撞问题，则在对心碰撞问题中碰前相对速度为，碰后的分离的相对速度为。

则两球体碰撞前后的动能为

（2-5）

其中为折合质量 ,为质心的速度

（2-6）

对于此系统碰撞前后系统动量守恒，则由（2-1）和（2-6）可得，故整个碰撞过程中质心平动动能不变。

在此我们将（2-2）与（2-5）式结合可得：

（2-7）

由上式可以说明恢复系数等于碰撞后与之前质心系中相对动能之比的平方。

3.碰撞的描述及其分类

3.1以恢复系数对碰撞的描述

3.1.1

，即碰撞前后两球的相对速度大小不发生变化

（ 3-1-1）

将上式可以写作

（3-1-2)

将（3-1-1）与（3-1-2）相乘可得

（3-1-3）

由3-1-3式我们可以发现碰撞前后系统总动能不变，即机械能无损失。

将（2-1）与（3-1-3）式联立可得碰撞后速度为：

（3-1-4）

现就上进行讨论：

（1）.

此时可得，即两球碰撞之后只是进行了速度交换。如果碰撞前静止，即，则和发生碰撞之后，以的初速度继续前行，而又保持静止。由此可以发现的初动能完全转化为的末动能。

（2）.时，相当于用一个很小的球去碰一个很大的球，因，故

因为，因此，此时即用质量很小的球去碰一个质量相对庞大的球，大球丝毫未动，而小球却被碰得按原路返回。

（3）.时，相当于用质量很大的球去碰一个质量很小的球，因，则，表明大球在发生碰撞前后运动状态几乎没有发生变化，而小球则以2倍于大球的速度被撞出去。

结合以上我们通常将这类的碰撞称之为完全弹性碰撞。

3.1.2.

，则，即两球碰撞之后并未分开，而且以同一速度运动。由此可得

（3-2-1）

由上式解

（3-2-2）

碰撞后动能损失为：

（3-2-3）

在，在此种特殊情况下，其中为初始动能。若，则动能完全损失；，则动能几乎没有损失。

对于这类碰撞我们称之为完全非弹性碰撞。

3.1.3 .

对于此类碰撞通过2-7式可以得出系统在碰撞之后两球分开，且有一部分动能损失，与3-1-2相比，此类碰撞机械能损失较小，由于自然界当中一切形式的过程均满足能量守恒定律，因此对于此类碰撞其损失的动能最终转化为其他形式能量，例如内能，声音等。