伯努利方程%26粘滞流体运动
第三章 流体的运动
x x
P1
s1
t+t
v1
y
v1 S 1 t = v2 S 2 t = V
y 得：
h1
t
s2
h2
v2 P2
A = （ P 1 - P 2） V
对于稳定流动来 说，由于在 x y 之间的 P1 流体的动能和重力势能 保持不变，所以机械能
x x
v1
s1
t+t
y
y
的增量仅由 x x 和 两段流体决定。
x x
P1
s1
t+t
v1
y
y
h1
t
s2
A = E 2 - E1
h2
v2 P2
1 2 1 2 （P1 P2 ） V V ( v 2 gh2 ) ( v1 gh1 ) 2 2
即：
1 1 2 2 P v1 gh1 P2 v 2 gh2 1 2 2
三
S2
连续性方程
1 v 1 S 1 t = 2 v 2 S 2 t
V2
S1
V1
2
1
1 v 1 S 1 = 2 v 2 S 2 即： v S = 常量 流体作稳定流动时，单位时间内流过同
一流管中任一截面的流体质量相等。
对于不可压缩的流体，由于它的密度不变 1v1S1= 2v2S2 即 : 1= 2 v 1S 1 = v 2S 2 说 明： (1)定义: 流量 Q = Sv (2)S与v 成反比。 (3)v 取截面S上流速的平均值。 (4)连续性方程的实质：流体在流动中质量守恒。 不可压缩流体的连续性方程
层与层之间的阻 力称为内摩擦力或粘 滞力。 ƒ = dv S dx
第三章 流体力学
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
动力工程—18-2粘性流体的伯努利方程及流动损失
粘性流体的伯努利方程及流动损失Ø总流的伯努利方程Ø流动损失1z 2z 212gυ222gυ1gp ρ2gp ρp 粘性流体的伯努利方程（微元流束）wh '粘性总水头线理想流体总水头线Ø理想流体2211221222p p z z g g g gυυρρ++=++Ø粘性流体2211221222wp p z g h z g g gυυρρ+++'++=w h '：单位重力流体的能量损失222g υ粘性流体伯努利方程缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流急变流p 缓变流与急变流Ø流线的切线之间夹角很小，即流线近乎平行；Ø流线的曲率很小，即流线近乎为直线。
Ø缓变流特点Ø压强分布规律符合静压强分布规律；gp z ρ+=常数Ø同一有效截面，可忽略惯性力和离心力；•微元流束伯努利方程•粘性流体总流伯努利方程2211221212g 2g 2wp p z z g gh υυρραα++=+++p 粘性流体伯努利方程（总流）：动能修正系数，通常取1α能量损失wh 不可压缩粘性流体在重力作用下，作定常流动的任意两缓变流截面。
Ø适用条件p 粘性流体的伯努利方程（几何意义）1z 2z 212gυ1gp ρ2gp ρ222gυwh 沿程损失局部损失f w jh h h =∑+∑总损失p 沿程损失Ø发生在缓变流区域的一种能量损失22f l h d gυλ=λ：沿程损失系数，无量纲量d ：管道直径，ml ：流道长度或管长，m沿程损失缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流沿程能量损失（沿程阻力）i i i il d υλ3333l d υλ2222l d υλ1111l d υλp 局部损失Ø发生在急变流区域的一种能量损失22j h gυζ=ζ：局部损失系数υ：流速局部损失损失急变流急变流急变流急变流1ζ2ζ3ζiζ22i j ih gυζ=∑局部能量损失（局部阻力）4层流和紊流p 层流和紊流Ø雷诺实验层流紊流（湍流）p 雷诺数雷诺数Re d υγ=Re 2000≤ü层 流Re 2000>ü紊流（湍流）Ø圆管管内流动物理意义：惯性力和粘性力的比值。
§1-2伯努利方程及其应用
§1-2伯努利方程及其应用
例1.3 如图1—5所示,液槽内离开液面h处开一小孔。液体密度为ρ, 液面上方是空气,它被液槽盖封闭住,其绝对压强为p,在液槽侧面小 孔处的压强为大气压强p0。当p>>p0时,试证明小孔处的液流速度 为： v2 = 2( p − p0 ) / ρ
解:将整个流体当作一个流管,用 v1和v分别表示水面处和 2 孔口处的流速。由连续性方程知 v 2 且因为S1>>S2,故 v 2 >> v1 可以近似地取 v1 = 0
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
大 学 物 理
主讲教师：杨宏伟
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
一 、 伯努利方程 伯努利方程是由瑞士物理学家伯努利 （D.Bernoulli）提出来的，是理想流体 作稳定流动时的基本方程，对于确定流 体内部各处的压力和流速都有很大的实 际意义,在水利、造船、航空航天等部门 有着广泛的应用。
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
例1.2水管里的水在压强P=4×105Pa的作用下流入房 间，水管内直径为2.0cm,管内水的流速为4m/s。引入 到5m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm，试求浴 室内水的流速和压强（已知水的密度ρ=1000kg/m3）。 解：由连续性原理知
2
S1v1 = S 2 v2
A
B
将整个管子作流管，由连续性方 程 S1v1 = S 2 v2 以及伯努利方程 (1-5) 2
C
D E
p + 0.5 ρv = 恒量
图1—6 空吸作用 图1—6 空吸作用
第一章 流体的运动 由于 S1 >> S 2
伯努利方程的应用实际液体的流动 (1)
8.3 8.8 13
影响液体和气体流动性的因素是不同的。
在国际单位制中黏度的单位是Pas (帕秒)。黏度也 常用P (泊)作单位
1 P = 0.1 Pa s
17
二、 黏性流体的运动规律
p1
1 2
2 v1
gh1 p2
1 2
2 v2
gh2 w
黏性流体作稳定流动时所遵从的规律。 如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作定常流动
vr Re
21
由层流过渡到湍流的雷诺数，称为临界雷诺数 Rec 。圆形管道的临界雷诺数Rec在1000 ~ 1500的 范围内。 当流速的值使雷诺数Re处于临界值Rec时，此时 的流速就是临界流速，大小为
Rec vc r
如果流速从低于vc增大到高于vc，那么流动将 会从层流转变为湍流。
黏性流体在水平放置的圆形截面的管道中作层流时, 算得流量 为
p1 p2 4 QV ( )r 8 l
l 和 r 分别是管道的长度和半径。上式称为泊肃叶定律。
流阻 如果令 R f 8l ,那么上式可写成: 4
R
P P 1P 2 Q Rf Rf
20
*四、湍流和雷诺数 (Turbulent flow ) 湍流 流体中沿垂直于管轴方向的速度分量的 不规则流动。 实验表明，发生湍流的临界流速与雷诺数 Re 相对应。 雷诺数
若流体密度为，小球密度为，半径为r，速率为 v，则小球所受的三个力平衡，即 23
4 3 4 3 r g 6 r v r g 3 3
由此可得小球下落的速率
2r v ( ) g 9
假如测出速率v，可求出液体的黏度 ; 若流体的 黏度已知, v已测出，可求得小球(或液滴)的半径。
粘性流体的伯努利方程
• 泊肃叶定律
粘性流体在水平细管内作稳定层流时的流量
Q R4P 8L
I V R
R 细管半径 流体粘度 L 细管长度
２、流阻:
R f 8L R4
Q P Rf
三、斯托克司定律（ Stokes’s law ）
在粘性流体中运动时，物体表面附着有一层流体，因而与 周围流体存在粘性力。
流体运动
物理教研组
流体的运动
1、掌握理想流体、稳定流动的概念及其物理意义； 2、掌握连续性方程及其应用； 3、掌握伯努利方程及其应用； 4、了解粘性流体的流动 5、了解粘性流体的运动规律
§3-1 理想流体 稳定流动
一、理想流体 1、实际流体 水、油……可压缩，具有粘滞性。
2、理想流体 绝对不可压缩、完全没有粘滞性（内摩擦）。
ghghgh121012201010002010001210001024二伯努利方程的应用1汾丘里venturimeter流量计gh2流速计皮托管pitottubeghghgh工作液体密度待测流体密度3体位对血压的影响若流体在等截面的流管中流动且流速不变则由若流体在等截面的流管中流动且流速不变则由伯努利方程可得
12(m
s)
vB
Q SB
0.12 6 103
20(m
s)
PA
1 2
v
2 A
PB
1 2
vB2
ghB
PB
PA
1 2
vA2
1 2
vB2
ghB
2 105 1 1000122 1 1000 202 1000 9.8 2
2
2
水力学4.3伯努利方程的意义和应用
由4.2伯努利方程的推导可知伯努利方程实 质上是一能量方程
4.3.1 伯努利方程的物理意义
4.3.2 伯努利方程的几何意义
4.3.3 毕托管原理
4.3.1 伯努利方程的物理意义
z: 单位位能, 元流过流断面上单位重力流体相对 于某一基准面算起所具有的位置能
p/r: 单位压能, 元流过流断面上单位重力流体所 具有的压能
4.3.2 伯努利方程的几何意义
4.3.3 毕托管原理
毕托管: 利用液体能量转化的原理测定点流速的仪器
毕托管原理: 应用伯努利方程,通过测量点压强的方法来间 接地测出点速度的大小. 最简单的毕托管就是一根弯成90度的开口细管. 如图4.5
4.3.3 毕托管原理
设为恒定流,观察水流经过
此弯管的流动,在通过M点
4.3.2 伯努利方程的几何意义
z: 位置高度(位置水头) 元流过流断面上单位重力流体相对于某
一基准面算起所具有的高度 p/r: 压强高度(压强水头)
元流过流断面上单位重力流体所具有的压强高度 z+p/r: 测管高度(测压管水头)
元流过流断面上单位重力流体所具有的测管高度 u 2 : 流速高度(流速水头) 2g 元流过流断面上单位重力流体所具有的动能
u c 2gh
(4.10)
c:毕托管校正系数,其值通过率定确定,一般在 1.0~1.04之间,
通常在精度要求不高时, 取c=1.0
4.3.3 毕托管原理
常用的毕托管的构造如下图.
4.3.3 毕托管原理
例4.1 物体绕流如图示,上游无穷远处流速为
u 1.2m / s ,压强为 p 0 的水流受到
的同一条流线上,有一与M
流体力学【关于伯努利方程的应用】
工程流体力学综合报告学院：机械工程学院专业：机械工程班级：学号：学生姓名：任课老师：提交日期：2017年12月27 日关于伯努利方程的应用摘要“伯努利原理“是著名的瑞士科学家丹尼尔·伯努利在1726年提出的。
这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。
理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。
即：动能+重力势能+压力势能=常数。
其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。
伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
关键词：伯努利方程 公式及原理 应用 流体力学1 伯努利方程伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C ，这个式子被称为伯努利方程。
式中p 为流体中某点的压强，v 为流体该点的流速，ρ为流体密度，g 为重力加速度，h 为该点所在高度，C 是一个常量。
它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。
需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体1.1 流线上的伯努利方程流线上的伯努利方程：g V g p z g V g p z C gv g p z 222222221112++=++=++ρρρ适于理想流体（不存在摩擦阻力）。
式中各项分别表示单位流体的动能、位能、静压能之差。
如果流动速度为0，则由伯努利方程可得平衡流体的流体静力学基本公式（C g p z =+ρ）。
1.2 总流的伯努利方程总流是无数元流的总和，将元流伯努利方程沿总流过流断面积分，即可推导出总流的伯努利方程，也即总流能量方程。
动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。
由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，g V g p z g V g p z 222222221111αραρ++=++实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。
医学物理学-课件--流体的运动
Rf
8L R 4
泊肃叶定律另一表式: Q P Rf
返前后 回页页
例３-３（Ｐ38）
成年人主动脉的半径约为1.3×10－2m，问在
一段0.2m 距离内的流阻和压强降落ΔＰ为多少？ 设血流量为1.00×10－４m3·s－１ ，η＝
3.0×10－3pa·s.
解:
8L 83.01030.2 Rf R4 3.14(1.3102)4
即在水平管中流动的流体，
流速小的地方压强较大，
流速大的地方压强较小.
A B
喷雾器
水流抽气机
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2.汾丘里流量计
∵ P11 212P21 222
S11S22
h
P1P2 gh
∴
2gh 1 S2 S12 S22
P2 S2
P1 υ1
S1
流体的流量：
QS11 S1S2
圆柱 机翼
返前后 回页页
三、稳定流动：
流场
vB B
C vC
A
vA
稳定流动（steady flow）：流体中各 点的速度都不随时 间而变化.
（1）流线形状不变； （2）流线不相交.
返前后 回页页
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流管（tube of flow）：流体中通过一小截面 积周边各点的流线所围成的管状区域.
１
２
特例：P1P2 E
结论：粘性流体在均匀水平管中 流动需要一定的压强差来维持.
返前后 回页页
二、泊肃叶定律 (Poiseuille,s law)
稳定流动时： P1 F f
rR
f
压力差： F(P 1P 2)r2
内摩擦力：f 2rLd
流体的运动规律
1 2 v p 恒量 2
（1）空吸现象
Sv 恒量
截面积小，流速大，压强小；
截面积大，流速小，压强大。
（2）汾丘里流量计
汾丘里流量计所用的原理：应用水平管中流速和压强 的关系可以测量流体的流速或流量。
1 2 1 2 v1 p1 v 2 p2 2 2
理想流体在流管中作稳定流动时单位体积的动能 和重力势能以及该点的压强之和为一常量，称为伯 努利方程 (Bernoulli equation)。 伯努利方程的成立条件是： (1) 理想流体； (2) 稳定流动； (3) 沿同一流线； (4) 重力场(或类似的其它保守力场)的作用。
二、伯努利方程的应用
解：
vr 1.05 103 0.25 1102 Re 750 3 3.5 10
层流
三、粘性流体的伯努利方程
1 2 1 2 P v1 P2 gh2 v2 E12 1 gh1 2 2
在粗细均匀的水平流管中运动时， h1=h2，v1=v2
v r
Re < 1000时，流体在管内作层流； Re > 2000时，流体在管内作湍流；
1000 < Re < 2000，流动状态不稳定，为过渡流。
例：设主动脉半径为1cm,血液的粘度为3.5×10-3 Pa.s ， 若以0.25m/s的平均流速通过主动脉 .试求雷诺数Re并判
定运动状态（血液密度为1.05×103 Kg/m3 ）。
计示压强:p p0
3．两端等压的管中流速与高度的关系 伯努利方程式简化为 1 2 v gh 恒量 2 小孔流速：
vB 2g (hA hB ) 2gh
2.4 粘滞流体的运动规律
1 1 2 2 1 gh1 P 2 gh2 P2 E 1 2 2
2
如果流体在均匀水平管中稳
定流动，则：
P P E 1 2
可见：P1>P2，因此，水平 均匀细管中，必须保持一定 的压强差，才能使粘性流体
做稳定流动。
若是均匀的开放的管中维 持稳定流动，由 1
3
P＝R f Q 5.97 104 1.0 104 5.97Pa
可见：在主动脉中，血压的下降是微不足道的。
10
第四节 粘滞流体的运动规律
一、粘滞性流体的伯努利方程 二、泊肃叶定律 三、斯托克斯定律
11
三、斯托克斯定律
物体在流体中作匀速运动时，表面附着一层流体，
是流体在半径r处的速度梯度。 由于流体做稳定流动，流体受力平衡，即：
d （P1－P2）r 2rL dr
2
6
P1 P2 所以：d rdr 2L
P P2 2 积分得： 1 r C 4 L
P1 P2 2 R 因为r =R时，v＝0的条件，求得： C 4L P P2 2 2 所以： 1 (R r ) 4 L
与物体一起运动，因此受到粘性力的作用。若物体时
球形的，球体所受阻力大小为（R为球的半径，v为
球体相对于流体的速度 ） ：
f 6R
此式即为斯托克斯定律
4 G R 3 g 3
球在流体中受到的重力为： 球受到的浮力为（流 体的密度为σ）：
4 3 F浮 R g 3
球受到的流体的阻力：
2.4 粘滞流体的运动规律
14
4
R为管子半径，ŋ为流体粘度系数， L为管子的长度。此式即为泊肃叶定律。
伯努利方程%26粘滞流体运动
本节课主要内容•伯努利方程及其应用•粘滞定律（粘度系数）•泊肃叶公式•雷诺数•斯托克斯公式伯努利(Bernoulli )方程伯努利方程是理想流体定常流动的基本动力学方程，它是在理想流体中应用机械能定理推导出来的结果。
伯努利方程是1738 年首先由丹尼耳·伯努利（Daniel Bernoulli1700～1782）提出。
丹·伯努利(Daniel Bernoull, 1700−1782) 瑞士科学家.科学世家伯努利家族老尼古拉·伯努利（公元1623-1708年）雅各布（Jocob，公元1654-1705年）小尼古拉（Nicolaus I，公元1662-1716年）约翰（Johann，公元1667-1748年）•1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17岁时获艺术硕士学位。
这里的艺术指“自由艺术”，包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类。
遵照父亲的愿望，他于1676年22岁时又取得了神学硕士学位。
然而，他也违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。
1676年，他到日内瓦做家庭教师。
从1677年起，他开始在那里写内容丰富的《沉思录》。
•1678年和1681年，雅各布·伯努利两次外出旅行学习，到过法国、荷兰、英国和德国，接触和交往了许德、玻意耳、胡克、惠更斯等科学家，写有关于彗星理论（1682年）、重力理论（1683年）方面的科技文章。
1687年，雅各布在《教师学报》上发表数学论文《用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法》，同年成为巴塞尔大学的数学教授，直至1705年8月16日逝世。
•1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。
•许多数学成果与雅各布的名字相联系。
例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年）等。
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
关键词：伯努利方程发展和原理应用1.伯努利方程的发展及其原理：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。
无黏性流体的运动微分方程：无黏性元流的伯努利方程：实际恒定总流的伯努利方程：z1++=z2+++h w总流伯努利方程的物理意义和几何意义：Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头；----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头；----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头；hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。
总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。
（5）总流的流量沿程不变。
（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。
（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。
2.伯努利方程的应用:伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。
新一代差压式流量测量仪表，其基本测量原理是以能量守恒定律——伯努力方程和流动连续性方程为基础的流量测量方法。
北航水力学 第五章粘性流体的动力学讲解
2
2 x2
2 y2
2 z 2
因粘性而产生的应力
X
1
p x
2ux
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
2u y
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
但是，由于理想流体运动方程与N-S相比，
1
多了单位质量流体上的切应力分量，它
们对流程的积分就是切应力所做的功。
对于质量力只有重力的情况，当所取坐标系z轴为铅直朝上时，势
函数 U gz ，得到
d(z p
u2 2g
)
g
(2uxdx
2u
y dy
2uz
dz)
0
式中，
g
(2ux
注意：两断面间的某些流动可以是急变流。
l
总水头线
hw
H1
v2
测压管水头线
2g
p
位置水头线
hw12
H2
z
水平基准线
H2 H1 hw12 J 水力坡度
l
l
表示单位重量液体在单位长度流程上水头损失
伯努利方程
z1
p1
112
2g
z2
p2
2
22
2g
hw
hw 为1、2 断面之间平均单位力能量损失。 总能量损失等于沿程水头损失和局部水头损失之和，
流体力学第四章-黏性流体的运动和阻力计算
6、层流起始段长度——见课本74页
*4.4 圆管中的湍流流动
30
一、脉动现象与时均值
1、这种在定点上的瞬时运动参数随时间而发生波动的现象称为
脉动。
2、时均法分析湍流运动
u u u'
如取时间间隔T，瞬时速度在T时间内的平均值称为时间平均 速度，简称时均速度，即
二局部阻力某段管道上流体产生的总的能量损失应该是这段管路上各种能量损失的迭加即等于所有沿程能量损失与所有局部能量损失的和用公式表示为三总能量损失能量损失的量纲为长度工程中也称其为水头损失221圆管层流时的运动微分方程牛顿力学分析法可参考课本71页的ns方程分析法取长为dx半径为r的圆柱体不计质量力和惯性力仅考虑压力和剪应力则有pdpdxdprdxdpdrdudxdpdrdu根据牛顿粘性定律再考虑到则有dr图41圆管层流的速度和剪应力分布25在过流断面的任一半径r处取一宽度为dr的圆环如图42所示
u1
Tudt1
T(uu')dt1
Tudt1
T
u'dt
T0
T0
T0
T0
u1
T
u'dt
T0
时均压强
p
1
T
pdt
T0
.
二、湍流的速度结构、水力光滑管和水力粗糙管
31
1．湍流的速度结构 管中湍流的速度结构可以划分为以下三个区域：
（1）粘性底层区（层流底层）：在靠近管壁的薄层区域内，流 体的粘性力起主要作用，速度分布呈线性，速度梯度很大，这 一薄层叫粘性底层。如图所示。
湍流 层流的临界速度 ——下临界流速
v c ——上临界速度
v c ——下临界速度
流体流动的伯努利方程
5
得欧拉方程的特殊形式，即伯努利方程：
1 2 p u 常数 2
对于质量力场： FM g
0 x g y
1 2 p 可得伯努利方程： 2 u gy 常数
可得沿流线流动的伯努利方程：
1 2 p1 1 2 p2 u1 gy1 u 2 gy2 2 2
由于流体粘性做功，出现机械能损失，则伯努利方程为：
p1 单位质量流体压强势能 p2 1 2 单位质量流体动能 1 2 单位质量流体位置势能 u1 gy1 u2 gy2 ghl'12 2 2
层流 管道内流动 湍流
≈2.0 ≈1.0
7
U A
3
渐变流：指流道中流线之间夹角很小，流线接近平行；流 当流体为不可压缩、定常流动、只受重力时，微元流束中单位重量流 线的曲率很小，流线近似为直线。反之为急变流
体在1-1和2-2断面之间的伯努利方程为：
p c 渐变流中截面上的压强分布规律符合 1 2 p1 1 2 p2 y ' u1 gy1 u2 gy2 gh g l12
流体压缩做功
11
1.7.4 伯努利方程的应用
常将伯努利方程和连续性方程联立，全面解决一维流动 的断面平均流速和压强的常用计算。
求解一般步骤：分析流动，划分截面，选择基面，写出方程 例 用直径 d＝ 100mm的管道从水箱中引水。如水箱中的水面恒定 , 水面高出管道出口中心的高度 H＝ 4m, 管道的损失假设沿管长均匀
U2 h 2g
沿程阻力系数是雷诺数Re及相对粗糙度e/d的函数 局部阻力系数由管件的几何形状和尺寸决定，查表可得
理想流体、稳定流动、粘性流体
两边同除以 ΔV 得
1 2 1 2 P v1 gh1 P2 v2 gh2 1 2 2
或
1 2 P v gh 常量 2
-------理想流体的伯努利方程
1 2 v ——单位体积流体动能 2
gh
——单位体积流体势能
理想流体作稳定流动时，同一流管的不同截面处，单位体积 流体的动能、势能、与该处压强之和都相等。
h — —水头
4、特例
A、流体在水平管中流动或者可以忽略高度差（h1 = h2 ）， 则流体的势能在流动过程中不变，故
P v 常量
1 2 2
V小→P大 ； V大→P小
B、对于等粗管（v1 = v2 ），又有
P gh 常量
h小→P大 ； h大→P小
思考1：为何乒乓球掉不下来？ 思考2：为何纸向中间靠拢？
s1
v1
说明： 流体作稳定流动时，流管内外流体都不会 穿越管壁。
三、连续性方程
稳定流动的 不可压缩液体
如图，在稳定流动的流场中任取一段细流管，任一横 截面上各点物理量可看作是均匀的。
1
2
Δt 时间内通过 S1 进入流管段的流体质量为
m1 1S1v1t
同一 时间内通过 S2 流出流管段的流体质量为
由上两式可得
S1
h
汾丘里流量计
v1 S 2
2 P 2 gh 1P 2 2 2 S2 2 2 S1 S 2 S1 S 2
S2
水平放置
压强差
P 1P 2 gh
2 gh 2 2 S1 S 2
流量 Q S1v1 S1S 2
2、流速计
皮托管是用来测量液体或气体 流速的装置。 直管下端c处流速不变，弯管 下端d处流体受阻，形成速度 为零的“滞止区”，于是
粘滞流体的伯努利方程及应用
gh
1 2
v12
1 2
v22
dh
S22 S12
2
gh S22
dt
v1s1 v2 s2
v2
2 gh
1
S
2 2
S
2 1
t
H
t 0 d t 0
S12 S22 2
S
2 2
g
h
1
2 dh
H
S2 1
S
2 2
1
2h 2
(
S2 1
1)
2H
S2 1
2
g
0
S2 2
g
对于小孔S1
S2 ,
t
S1 S2
2H g
第一章 流体力学
气体和液体
第一节 理想流体的定常流动
一、理想流体模型 流体主要力学性质： 流动性；质量力（F=ma）； 体积可压缩性和膨胀性；粘滞性
二、理想流体的定常流动
1.定义：流体流经空间各点的速度不随时间而变化。 注意:流体流经空间各点的速度随空间的不同而变化，但空 间各点的速度分布不变,并非等同于匀速运动。
m
A ( p1 p2 )V ( p1 p2 )
s1 , υ1
b
Ⅰ
P1h1Biblioteka S2 ,υ2 d P2Ⅱ h2
由功能原理，外力做功等于系统机械能的增量。
A
( p1
p2 )V
1 2
mv 2 2
1 2
mv12
mgh2
mgh1
1 2
v22
gh2
p2
1 2
v12
gh1
p1
说明：理想流体在流管中定常流动时，任一截面处单位 体积流体的动能、势能和压强能的和为一恒量。
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本节课主要内容•伯努利方程及其应用•粘滞定律（粘度系数）•泊肃叶公式•雷诺数•斯托克斯公式伯努利(Bernoulli )方程伯努利方程是理想流体定常流动的基本动力学方程，它是在理想流体中应用机械能定理推导出来的结果。
伯努利方程是1738 年首先由丹尼耳·伯努利（Daniel Bernoulli1700～1782）提出。
丹·伯努利(Daniel Bernoull, 1700−1782) 瑞士科学家.科学世家伯努利家族老尼古拉·伯努利（公元1623-1708年）雅各布（Jocob，公元1654-1705年）小尼古拉（Nicolaus I，公元1662-1716年）约翰（Johann，公元1667-1748年）•1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17岁时获艺术硕士学位。
这里的艺术指“自由艺术”，包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类。
遵照父亲的愿望，他于1676年22岁时又取得了神学硕士学位。
然而，他也违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。
1676年，他到日内瓦做家庭教师。
从1677年起，他开始在那里写内容丰富的《沉思录》。
•1678年和1681年，雅各布·伯努利两次外出旅行学习，到过法国、荷兰、英国和德国，接触和交往了许德、玻意耳、胡克、惠更斯等科学家，写有关于彗星理论（1682年）、重力理论（1683年）方面的科技文章。
1687年，雅各布在《教师学报》上发表数学论文《用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法》，同年成为巴塞尔大学的数学教授，直至1705年8月16日逝世。
•1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。
•许多数学成果与雅各布的名字相联系。
例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年）等。
•雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。
他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著《猜度术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。
•最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉心于研究对数螺线，这项研究从1691年就开始了。
他发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对数螺线。
他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以象征死后永生不朽。
•雅各布·伯努利的弟弟约翰·伯努利比哥哥小13岁，1667年8月6日生于巴塞尔，1748年1月1日卒于巴塞尔，享年81岁，而哥哥只活了51 岁。
•约翰于1685年18岁时获巴塞尔大学艺术硕士学位，这点同他的哥哥雅各布一样。
他们的父亲老尼古拉要大儿子雅各布学法律，要小儿子约翰从事家庭管理事务。
但约翰在雅各布的带领下进行反抗，去学习医学和古典文学。
约翰于1690年获医学硕士学位，1694年又获得博士学位。
但他发现他骨子里的兴趣是数学。
他一直向雅各布学习数学，并颇有造诣。
1695年，28岁的约翰取得了他的第一个学术职位——荷兰格罗宁根大学数学教授。
10年后的1705年，约翰接替去世的雅各布任巴塞尔大学数学教授。
同他的哥哥一样，他也当选为巴黎科学院外籍院士和柏林科学协会会员。
1712、1724和1725年，他还分别当选为英国皇家学会、意大利波伦亚科学院和彼得堡科学院的外籍院士。
•约翰的数学成果比雅各布还要多。
例如解决悬链线问题（1691年），提出洛必达法则（1694年）、最速降线（1696年）和测地线问题（1697年），给出求积分的变量替换法（1699年），研究弦振动问题（1727年），出版《积分学教程》（1742年）等。
•约翰与他同时代的110位学者有通信联系，进行学术讨论的信件约有2500封，其中许多已成为珍贵的科学史文献，例如同他的哥哥雅各布以及莱布尼茨、惠更斯等人关于悬链线、最速降线（即旋轮线）和等周问题的通信讨论，虽然相互争论不断，特别是约翰和雅各布互相指责过于尖刻，使兄弟之间时常造成不快，但争论无疑会促进科学的发展，最速降线问题就导致了变分法的诞生。
•约翰的另一大功绩是培养了一大批出色的数学家，其中包括18世纪最著名的数学家欧拉、瑞士数学家克莱姆、法国数学家洛必达，以及他自己的儿子丹尼尔和侄子尼古拉二世等。
•雅各布·伯努利的弟弟约翰·伯努利比哥哥小13岁，1667年8月6日生于巴塞尔，1748年1月1日卒于巴塞尔，享年81岁，而哥哥只活了51 岁。
•约翰于1685年18岁时获巴塞尔大学艺术硕士学位，这点同他的哥哥雅各布一样。
他们的父亲老尼古拉要大儿子雅各布学法律，要小儿子约翰从事家庭管理事务。
但约翰在雅各布的带领下进行反抗，去学习医学和古典文学。
约翰于1690年获医学硕士学位，1694年又获得博士学位。
但他发现他骨子里的兴趣是数学。
他一直向雅各布学习数学，并颇有造诣。
1695年，28岁的约翰取得了他的第一个学术职位——荷兰格罗宁根大学数学教授。
10年后的1705年，约翰接替去世的雅各布任巴塞尔大学数学教授。
同他的哥哥一样，他也当选为巴黎科学院外籍院士和柏林科学协会会员。
1712、1724和1725年，他还分别当选为英国皇家学会、意大利波伦亚科学院和彼得堡科学院的外籍院士。
•约翰的数学成果比雅各布还要多。
例如解决悬链线问题（1691年），提出洛必达法则（1694年）、最速降线（1696年）和测地线问题（1697年），给出求积分的变量替换法（1699年），研究弦振动问题（1727年），出版《积分学教程》（1742年）等。
•约翰与他同时代的110位学者有通信联系，进行学术讨论的信件约有2500封，其中许多已成为珍贵的科学史文献，例如同他的哥哥雅各布以及莱布尼茨、惠更斯等人关于悬链线、最速降线（即旋轮线）和等周问题的通信讨论，虽然相互争论不断，特别是约翰和雅各布互相指责过于尖刻，使兄弟之间时常造成不快，但争论无疑会促进科学的发展，最速降线问题就导致了变分法的诞生。
•约翰的另一大功绩是培养了一大批出色的数学家，其中包括18世纪最著名的数学家欧拉、瑞士数学家克莱姆、法国数学家洛必达，以及他自己的儿子丹尼尔和侄子尼古拉二世等。
约翰·伯努利想迫使他的第二个儿子丹尼尔去经商，但丹尼尔在不由自主地陷进数学之前，曾宁可选择医学成为医生。
丹尼尔(Daniel，公元1700-1782年)出生于荷兰的格罗宁根，1716年16岁时获艺术硕士学位；1721年又获医学博士学位。
他曾申请解剖学和植物学教授职位，但未成功。
丹尼尔受父兄影响，一直很喜欢数学。
1724年，他在威尼斯旅途中发表《数学练习》，引起学术界关注，并被邀请到圣彼得堡科学院工作。
同年，他还用变量分离法解决了微分方程中的里卡提方程。
1725年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授。
1727年，20岁的欧拉(后来人们将他同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”)，到圣彼得堡成为丹尼尔的助手。
然而，丹尼尔认为圣彼得堡那地方的生活比较粗鄙，以至于8年以后的1733年，他找到机会返回巴塞尔，终于在那儿成为解剖学和植物学教授，最后又成为物理学教授。
1734年，丹尼尔荣获巴黎科学院奖金，以后又10次获得该奖金。
能与丹尼尔媲美的只有大数学家欧拉。
丹尼尔和欧拉保持了近40年的学术通信，在科学史上留下一段佳话。
在伯努利家族中，丹尼尔是涉及科学领域较多的人。
他出版了经典著作《流体动力学》(1738年)；研究弹性弦的横向振动问题(1741-1743年)，提出声音在空气中的传播规律(1762年)。
他的论著还涉及天文学(1734年)、地球引力(1728年)、湖汐(1740 年)、磁学(1743、1746年)，振动理论(1747年)、船体航行的稳定(1753、1757年)和生理学(1721、1728年)等。
凡尼尔的博学成为伯努利家族的代表。
丹尼尔于1747年当选为柏林科学院院士，1748年当选巴黎科学院院士，1750年当选英国皇家学会会员。
他一生获得过多项荣誉称号。
在重力场中作定常流动的理想流体内任取一细流管, S 1和S 2表示两个横截面的面积,用截面S 1和S 2截出一段流体。
在时间间隔Δt 内，左端的S 1从位置a 1移到b 1，右端的S 从位置a 移到b ，h 1 和h 2是它们相对同一个水平参考面的高度。
由于理想流体是不可压缩的, ΔV 1=S 1Δl 1和ΔV 2=S 2Δl 2分别是在同一时间间隔内流入和流出的流体体积，两者相等，即ΔV 1=ΔV 2≡ΔV 。
伯努利(Bernoulli )方程动能的改变：重力势能的改变：外力对这段流管内流体所作的功：根据机械能守恒：重写为：得到：单位体积流体动能单位体积流体势能单位体积流体压强能去掉角标, 对于同一条细流管中的任一截面, 下面的关系总是成立的上面两式都称为伯努利方程, 它们描述了理想流体作定常流动时的基本规律。
伯努利方程式表示单位重力流体所具有的位能、压强能、动能之和即总机械能为一常数。
同一条流线上各点的单位重力流体的总机械能相同，因此伯努利方程式是能量守衡定律在流体动力学中的应用，又称为能量方程。
ABC均匀的虹吸管,从水库里取水,如图所示.已知虹吸管的最高点C比水库水面高2.50 m,管口出水处D比水库水面低4.50m,设水在虹吸管内作定常流(1) 若虹吸管的内径为3.00×10^-2m,求从虹吸管流出水的体积流量.(2) 求虹吸管内B、C两处的压强.、8.−Pa (5.4)5.2×−层流黏性流体的运动甘油缓慢流动管内甘油的流动是分层的,这种流动称为层流(laminar flow).层流示意图流体层流时,流动稳定,相邻各层以不同的速度作相对运动,彼此不相混合.这对作用力为流体的内摩擦力,也称为黏性力.流体的黏性力内摩擦力：流体运动时内部相邻两流体层间的相互作用力，称为内摩擦力，是流体粘性的表现，又称粘滞力或粘性摩擦力。
内摩擦力是流体运动时造成能量损失的根本缘由。
黏性流体的流动方向(与流速方向垂直)的速率梯度.一般说来,液体的内摩擦力小于固体之间的摩擦力,古人开凿运河,用于运输;用机油润滑机械,减少磨损,延长使用寿命,都是这一原理的应用.气体的黏滞性则更小,气垫船的使用就是利用了气体的这一特性.遵从牛顿黏滞定律的流体称为牛顿流体(如水、酒精、血浆等),不遵从牛顿黏滞定律的流体称为非牛顿流体(如血液、胶体溶液和燃料水溶液等).p gh ++=+22212121ρρρv v 均匀水平管中黏性流体的压强分布均匀水平管中黏性流体的压强分布h 粘滞计烟缕由层流转变为湍流。