第四章 §1 对数的概念
对数的概念-说课及讲
对数的连续对数
连续对数是指数与对数的复合运算，表示为log_a(b) * log_b(c) * ... * log_z(y)，其中a、b、c...z是底数，y是指数。连续对数的性质包括 可以化简为单一的对数形式，如log_a(b) * log_b(c) = log_a(c)。
在地理学和气象学中，对数被广泛应用于测量和表 示地震、台风等自然灾害的等级和规模。
对数在金融领域的应用
02
01
03
在金融领域中，对数被广泛应用于计算复利、折现和 风险评估等方面。
在股票、债券和期货等金融产品的价格计算中，对数 也起着重要的作用。
对数在金融领域的应用还涉及到保险、投资和财务分 析等方面。
对数在信息科技领域的应用
在信息科技领域中，对数被广 泛应用于数据压缩、信号处理 和图像处理等方面。
在网络通信中，对数被用于计 算网络流量和带宽等参数。
在计算机科学中，对数被用于 计算算法复杂度和数据结构的 大小等方面。
04
对数的历史和发展
对数的发展历程
对数概念的产生
对数概念最初由苏格兰数学家纳皮尔和英国数学家 布里格斯在研究天文学时共同提出，以解决大数计 算问题。
总结词
对数的除法法则是指数相除对应的对数也相除。
详细描述
对于任意正数a、b和自然数n、m，如果an=1/bm，则log(a)n=-log(b)m。这个法则在对数运算中也非常重要， 因为它允许我们通过将复杂的对数问题转化为更简单的对数问题进行解决。
对数的概念课件
在社会科学中的应用
统计学
在统计学中，对数被广泛应用于 概率和统计模型的构建，例如泊
松分布、二项分布等。
经济学
在经济学中，对数被用于描述货 币的交换和增长，例如复利计算
和汇率换算。
计算机科学
在计算机科学中，对数的概念被 用于数据压缩、加密解密等领域 ，例如哈夫曼编码和RSA算法。
04
对数的运算技巧
应用场景
在解决与对数相关的问题时，如比较大小、求解未知数等，可以利用对数的运 算法则简化计算过程。
对数函数的图像和性质
01
对数函数的图像是单调递增的，随着自变量x的增大，函数值y也相应增大。此外 ，对数函数具有一些基本性质，如定义域为正实数集，值域为全体实数等。这些 性质在对数函数的图像和性质中都有所体现。
注意事项
在进行负数对数运算时，需要注意负数的绝对值不能为零，且负数的值必须在合理的范围内（通常为 正数）。同时，对于一些特殊的负数形式，如自然对数的底数e的负次幂，需要特别注意运算的技巧 和准确性。
乘除法运算
乘除法运算
在对数的乘除法运算中，需要注意运算法则和运算顺序。例 如，在进行乘法运算时，需要将底数相乘后再取对数值；在 进行除法运算时，需要将底数取倒数后再取对数值。同时， 需要注意运算的优先级和括号的使用。
注意事项
在进行分数对数运算时，需要注意分母不能为零，且分数的值必须在合理的范围内（通常为正数）。同时，对于 一些特殊的分数形式，如自然对数的底数e的分数次幂，需要特别注意运算的技巧和准确性。
负数对数运算
负数对数运算
在处理负数的对数时，需要注意负数的对数值是复数。因此，在进行负数对数运算时，需要特别注意 运算的规则和技巧。例如，计算以负数为底数的对数时，可以将负数取绝对值后再进行对数运算；计 算以负数为真数的对数时，可以先将负数转换为正数，再取该正数的对数值。
北师版高中数学必修第一册精品课件 第4章 对数运算与对数函数 1 对数的概念
(2)自然对数:在科学技术领域,常常使用以无理数e=2.718 281
…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为ln N .
2.lg 10=
ln 1=
答e=
-2 0 1
,lg 0.01=
.
,
三、对数的性质
【问题思考】
1.在对数的定义中为什么规定a>0,且a≠1?
答案:(1)100 (2)35
;
求解形如“ ±(a>0,且 a≠1,N>0)”的值的一般步骤
±
±m
(1)借助指数幂的运算,使其变形为
=
·
a .
(2)借助恒等式 =N 及指数幂的运算求值.
探究二 利用对数的概念求参数的取值范围
【例2】 求下列各式中x的取值范围.
(1)log2(x-10);(2)log(x-1)(x+2).
分析:对数有意义→底数大于零且不等于1,真数大于零→列
不等式组→求解.
解:(1)由题意,有 x-10>0,
即 x>10,故 x 的取值范围是{x|x>10}.
+ > ,
(2)由题意,有
- > ,且- ≠ ,
> -,
数式不能互化.
3.对数基本性质
(1)负数和零没有对数;
(2)若a>0,且a≠1,则loga1= 0 ,logaa= 1 ;
(3)若 a>0,且 a≠1,N>0,则= N .
4.log1 0201 020+log1 0211+ =
.
解析:log1 0201 020+log1 0211+ =1+0+1 022=1 023.
第四章-§1-对数的概念-§2-对数的概念高中数学必修第一册北师大版
例1-4 ［教材改编P106 A组T2］［多选题］(2024·湖南省长沙市期末)下列说法中正
确的是(
AB
)
A.lg lg 10 = 0
B.lg ln e = 0
C.若10 = lg ,则 = 10
【解析】∵ lg 10 = 1,
∴ lg lg 10 = lg 1 = 0,A正确；
∵ ln e = 1,∴ lg ln e = lg 1 = 0,B正确；
∴
4
4
3
4
= 81,即3 = 34 ,
= 4,即 = 16,故log 4 3 81 = 16.
（3）log
2+ 3
2− 3 .
【解析】设 = log
故log
2+ 3
2+ 3
2 − 3 = log
2 − 3 = −1.
2+ 3
2+ 3
−1
,∴ = −1,
例1-3 (2024·山东省聊城一中月考)对数式log
1
⋅
1
log + log −
=
方法2 当 = 1时，左边=右边= 0.
当 ≠ 1时，左边
=
lg
lg +
+
综上，log
lg
lg −
+
=
lg ⋅lg[ + − ]
lg + ⋅lg −
+ log
−
= 2log
=2
lg
⋅
lg +
例15 设,,是直角三角形的三边长，其中为斜边，且 + ≠ 1, − ≠ 1，求证:
2025年高考数学一轮复习-4.3.1-对数的概念【课件】
指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不 变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不 变，写出指数式．
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)12m＝n；(4)lg 1 000＝3. 解：(1)因为 43＝64，所以 log4 64＝3. (2)因为 ln a＝b，所以 eb＝a.
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数 4.3.1 对数的概念
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导
核心素养
1.数学抽象：理解对数的概念，掌握对数的基 1.会用对数的定义进行对
本性质，理解常用对数和自然对数的定义形式 数式与指数式的互化．
以及在科学实践中的应用． 2.理解和掌握对数的性质，
1
假设 log－42 存在，设 log－42＝x，则(－4)x＝2，我们知道 42＝ 4＝2，但是 －4 的任何次幂都不可能等于 2，所以这样的 x 是不存在的．
(2)若a＝0，且N≠0，则logaN不存在；若a＝0，N＝0，log00有无数个，不 能确定．为此，规定a≠0，N≠0. (3)若a＝1，且N≠1，则logaN不存在；若a＝1，N＝1，logaN有无数个值, 不能确定．为此，规定a≠1.因此，为了避免对数logaN不存在或不唯一确 定的情况，规定a>0，且a≠1. 2．任何一个指数式都可以化为对数式吗？ 提示：不是，如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.
(2)对数恒等式 alogaN＝N 的应用 ①能直接应用对数恒等式的直接应用即可． ②对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
对数的概念课件
实际应用题
题目5
例子1
例子2
例子3
在实际生活中，对数有许多 应用。请举出三个例子，并 解释它们是如何应用对数的 。
在物理学中，声速与频率的 对数之间的关系可以用对数 来描述。例如，在声音传播 的实验中，我们可以通过测 量声速和频率来计算对数值 ，进而研究声音在不同介质 中的传播特性。
在化学中，对数可以用来描 述化学反应速率与反应物浓 度的关系。例如，当我们研 究一种化学反应的速率时， 可以通过测量反应物浓度的 变化来计算对数值，进而分 析反应速率与浓度的关系。
三角函数和对数都可以用来表示复数的 幂次，例如：log(z)表示z的实部和虚 部都大于0的对数，而ln(z)表示z的实
部大于0，虚部等于0的对数。
在解决一些数学问题时，需要将三角函 数和对数结合起来使用。
对数与微积分的关系
对数在微积分中有着广泛的应用，例如在求解微分方程时，常常需要用到对数的性 质和运算规则。
对数在现代科技中的应用
01
在物理学中，对数被广 泛应用于测量和计算声 音、光、电等物理量。
02
在工程学中，对数被用 于信号处理、图像处理 、频谱分析等领域。
03
在经济学中，对数被用 于分析复利、人口增长 、股票价格等数据。
04
在天文学和气象学中， 对数被用于计算天体轨 道、预测天气等。
05
练习和思考题
在生物学中，对数可以用来 描述生物种群的增长。例如 ，当我们研究一个种群的增 长时，可以通过观察种群数 量的变化来计算对数值，进 而分析种群的增长趋势和规 律。
THANKS
感谢观看
基础练习题
题目1： 计算下列各题的对数值 $log_2(4)$
$log_3(9)$
新教材高中数学第四章对数运算与对数函数1对数的概念课件北师大版必修第一册
【对点练习】❶ 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；(2)102＝100；
1
(3)42＝2；(4)log132＝－5．
2
[解析] (1)log416＝2 ． (2)lg 100＝2．
(3)log42＝12．
(4)21－5＝32．
题型二
对数基本性质的应用
例 2求下列各式中的x： (1)log3(log2x)＝0； (2)log3(log7x)＝1； (3)lg(ln x)＝1； (4)lg(ln x)＝0． [分析] 利用指数式与对数式的互化进行解答．
【对点练习】❷ 求下列各式中 x 的值：
(1)x＝log116； 2
(2)log8x＝－13；
(3)log( 2 －1)
1 3＋2
2＝x．
[解析] (1)∵x＝log2116，∴12x＝16， 即 2－x＝24．∴－x＝4，即 x＝－4．
(2)∵log8x＝－13，∴x＝8－13＝318＝12．
5．若ln e－2＝－x,则x＝____2_． [解析] 由题意可知e－2＝e－x,故x＝2．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
对数的定义
例 1 (1)在对数式 y＝log(x－2)(4－x)中，实数 x 的取值范围是 ___2_＜__x_＜__4_且__x_≠__3____．
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log 5125＝6．
第四章 对数运算与对数函数
§1 指数幂的拓展
【素养目标】 1．能结合指数幂解对数的相关概念,常用对数、自然对数．(数 学抽象) 3．能结合教材中的例题掌握指数与对数的互化、简单的求值．(数 学运算)
高中数学必修一课件：第四章对数的概念
2
B．log18＝3
2
D．log38＝－12
4．若f(ex)＝x，则f(e)＝( A )
A．1
B．ee
C．2e
D．0
解析 方法一：设ex＝t(t>0)．则x＝ln t.
∴f(t)＝ln t．∴f(e)＝ln e＝1.
方法二：令ex＝e，则x＝1.
5．(1)若log31－92x＝1，则x＝__－__13____； (2)若log2 021(x2－1)＝0，则x＝__±__2____．
题型四 利用对数的基本性质求值
例4 求下列各式中x的值． (1)ln(log2x)＝0； (2)log2(lg x)＝1； (3)3log3 x＝9. 【分析】 利用logaa＝1，loga1＝0(a>0，且a≠1)及对数恒等式求值． 【解析】 (1)∵ln(log2x)＝0，∴log2x＝1，∴x＝21＝2. (2)∵log2(lg x)＝1，∴lg x＝2， ∴x＝102＝100. (3)由3log3 x＝9得 x＝9，解得x＝81.
2 3
，即log64x＝－
2 3
，所以x＝64－
2 3
，所以x
＝116.
课时学案
题型一 对数的概念
例1 在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，则x的取值范围为( B )
A．(－∞，3]
B．(3，4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．(3，4)
【解析】 由对数的概念可得xx＋ －13>>00， ， 解得3<x<4或x>4. x－3≠1，
探究1 关于对数式中字母的范围： b>0，
利用式子logab⇒a>0， 求出字母的范围． a≠1，
必修一第四章课件对数的概念
(4)-lne2=x.
指对互化
PART
4 对数的基本性质
例题探究
① 负数和0没有对数
② 1的对数为0 : loga1=0 (a＞0,且a≠1)
③ 底数的对数为1 : logaa=1 (a＞0Байду номын сангаас且a≠1)
④ 对数恒等式： logaax=x (a＞0,且a≠1)
a
log a N
N (a＞0,且a≠1)
是_________
题型一 对数的概念判断与求值
例2 求下列各式中的x值：
(1)log5x=3;
(2)log2(2x+1)=3;
1
(3)logx =3;
8
(4)log28x=-3.
题型一 对数的概念判断与求值
例2 求下列各式中的x值：
(1)log5x=3;
(2)log2(2x+1)=3;
1
(3)logx =3;
D.ln(lg1)=0
B )
解析：因为 ln10=lne=1，lg1=0，所以A错误，B正确；
若e=lnx，则x=ee，故C错误；
lg1=0，而ln0没有意义，故D错误.
故选：B
题型二 指数对数的互化
巩固练习2 (多选)下列指数式与对数式互化正确的一组
是( ACD)
A.100=1与lg1=0
1
−
3
8
(4)log28x=-3.
题型一 对数的概念判断与求值
巩固练习2 求下列各式中x的值：
1
(1)logx3= ;
2
2
(2)log32x=- ;
5
2
(3)log ( 2 −2) (2 − 4 + 1) = 1;
4.2.1 对数的概念(教学课件)-高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列(苏教版2019必修一)
分层练习-巩固
11.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有( ACD )
A.e0＝1 与 ln 1＝0
1
B.log39＝2 与 92＝3
C.8－13＝12与 log812＝－31 D.log77＝1 与 71＝7 解析 log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误；A，C，D正确.
苏教版2019高一数学（必修一）第四章 指数与对数
4.2 对 数4.2.1 对数的概念目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
错因分析
分层练习
课堂小结
学习目标
1.理解对数的概念. 2.知道自然对数和常用对数. 3.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化. 4.通过理解和掌握对数的性质，求简单的对数值，发展数学抽象及数学 运算素养.
(1) 定义： 一般地，如果 ab＝N (a＞0，a≠1)，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对
数，记作_l_o_g_a_N_＝__b__，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.
(2) 特殊对数： 常用对数：以10为底，记作___lg__N___； 自然对数：以e为底，记作____ln__N___.
C.logba＝2
D.logb2＝a
解析 指数式b2＝a化为对数式2＝logba.
2.ln e等于( B )
A.0 解析
B.21
C.1
D.2
1
e＝e2，所以
ln
e12＝12.
3.设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为( A )
10
7
A. 7
B.10
4(1).3.1对数的概念 课件(40张)
NO.3 当堂达标·夯基础
1．(多选)下列说法正确的有( ) A．只有正数有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以 5 为底 25 的对数等于 2 D．3log3a＝a(a>0)成立 ACD [ACD均正确．(－2)3＝－8不能化成对数式．]
12345
2．2－3＝81化为对数式为( A．log1 2＝－3
对数运算是指数运算的逆运算
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)logaN 是 loga 与 N 的乘积．( ) (2)(－2)3＝－8 可化为 log(－2)(－8)＝3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( ) (4)在 b＝log3(m－1)中，实数 m 的取值范围是(1，＋∞)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
1234 5
回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．指数式与对数式存在怎样的关系？ [提示] (1)若ab＝N⇔logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)． (2)在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果 已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同， 互为逆运算．
9 592
8 686
9.45%
500 000
41 538
38 103
8.27%
1 000 000
78 498
72 382
7.79%
5 000 000
348 513
324 150
6.99%
注：如果A的近似值为a，那么相对误差指的是|A－A a|×100%.
谢谢观看 THANK YOU!
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 指数式与对数式的互化 类型2 利用指数式与对数式的关系求值 类型3 应用对数的基本性质求值
高中数学必修一 第4章 4.3 4.3.1 对数的概念
4.3对数4.3.1对数的概念学习目标核心素养1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)3．理解常用对数、自然对数的概念及记法.借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养.1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？提示：由对数的定义：a x ＝N (a >0且a ≠1)，则总有N >0，所以转化为对数式x ＝log a N 时，不存在N ≤0的情况．1．若a 2＝M (a >0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2M ＝a B ．log a M ＝2 C ．log 22＝MD ．log 2a ＝MB [∵a 2＝M ，∴l o g a M ＝2，故选B.] 2．若log 3x ＝3，则x ＝( ) A ．1 B ．3C ．9D ．27D [∵l o g 3x ＝3，∴x ＝33＝27.]3．在b ＝log a (5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <0 B ．0<a <1或1<a <5 C ．0<a <1 D ．1<a <5B [由对数的定义可知⎩⎨⎧5－a >0，a >0，a ≠1，解得0<a <5且a ≠1，故选B.] 4．ln 1＝________，lg 10＝________.0 1 [∵l o g a 1＝0，∴l n 1＝0，又l o g a a ＝1，∴lg 10＝1.]指数式与对数式的互化【例1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝1128；(2)log 1232＝－5；(3)lg 1 000＝3；(4)ln x ＝2.[解] (1)由2－7＝1128，可得log 21128＝－7.(2)由log 12 32＝－5，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32.(3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. (4)由ln x ＝2，可得e 2＝x .指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3－2＝19； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16；(3)log 1327＝－3; (4)logx 64＝－6.[解] (1)log 319＝－2；(2)log 14 16＝－2； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27；(4)(x )－6＝64. 利用指数式与对数式的关系求值【例2】 求下列各式中的x 的值： (1)log 64x ＝－23； (2)log x 8＝6； (3)lg 100＝x; (4)－ln e 2＝x . [解] (1)x ＝(64)－23＝(43)－23＝4－2＝116.(2)x6＝8，所以x＝(x 6)16＝816＝(23)16＝212＝ 2.(3)10x＝100＝102，于是x＝2.(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，所以x＝－2.求对数式log a N(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤(1)设log a N＝m；(2)将log a N＝m写成指数式a m＝N；(3)将N写成以a为底的指数幂N＝a b，则m＝b，即log a N＝b.2．计算：(1)log9 27；(2)log 43 81；(3)log354625.[解](1)设x＝log9 27，则9x＝27,32x＝33，∴x＝32.(2)设x＝log 4381，则(43)x＝81,3x4＝34，∴x＝16.(3)令x＝log 354625，∴(354)x＝625,543x＝54，∴x＝3.应用对数的基本性质求值[探究问题]1．你能推出对数恒等式a log a N＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？提示：因为a x＝N，所以x＝log a N，代入a x＝N可得a log a N＝N.2．若方程log a f(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程log a f(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)提示：若log a f(x)＝0，则f(x)＝1；若log a f(x)＝1，则f(x)＝a.【例3】设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于()A．10B．13 C．100 D．±100(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．[思路点拨](1)利用对数恒等式a log a N＝N求解；(2)利用log a a＝1，log a1＝0求解．(1)B(2)10[(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．3e[由l n(l o g3x)＝1得l o g3x＝e，∴x＝3e.]2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－12的值．[解]∵x＝10，∴x－12＝10－12＝1010.1．利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．性质a log a N＝N与log a a b＝b的作用(1)a log a N＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．(2)log a a b＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．1．对数的概念：a b＝N⇔b＝log a N(a>0且a≠1)是解决指数、对数问题的有利工具．2．指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．3．对数恒等式a log a N＝N，其成立的条件是a>0，a≠1，N>0.1．思考辨析(1)log a N 是log a 与N 的乘积．( ) (2)(－2)3＝－8可化为log (－2)(－8)＝3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( )(4)在b ＝log 3(m －1)中，实数m 的取值范围是(1，＋∞)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg 1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 55＝1与51＝5C [C 不正确，由l o g 39＝2可得32＝9.] 3．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.3 [由l o g 2(l o g x 9)＝1可知l o g x 9＝2，即x 2＝9，∴x ＝3(x ＝－3舍去)．] 4．求下列各式中的x 值： (1)log x 27＝32； (2)log 2 x ＝－23； (3)x ＝log 2719； (4)x ＝log 1216.[解] (1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9. (2)由log 2x ＝－23，可得x ＝2－23，∴x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝314＝322.(3)由x ＝log 2719，可得27x ＝19，∴33x＝3－2，∴x＝－2 3.(4)由x＝log 1216，可得⎝⎛⎭⎪⎫12x＝16，∴2－x＝24，∴x＝－4.。
4.3.1 对数的概念(课件)
log64x
＝－2得 3
x
＝64
－
2 3
＝4 ＝4 ＝ 1 . 3
－
2 3
－2
16
②由 logx8＝6，得 x6＝8，又 x>0，
即
x＝8
1 6
＝
3 1
26
＝
2.
③由 lg 100＝x，得 10x＝100＝102，即 x＝2.
[方法技巧] 求对数式 logaN 的值的步骤
(1)设 logaN＝m； (2)将 logaN＝m 写成指数式 am＝N； (3)将 N 写成以 a 为底的指数幂 N＝ab，则 m＝b，即 logaN＝b.
[解析] (1)①设 log981＝x，所以 9x＝81＝92， 故 x＝2，即 log981＝2. ②设 log0.41＝x，所以 0.4x＝1＝0.40， 故 x＝0，即 log0.41＝0. ③设 ln e2＝x，所以 ex＝e2， 故 x＝2，即 ln e2＝2. 答案：①2 ②0 ③2
(2)①由
4.3.1 对数的概念
4．3 对 数 4．3.1 对数的概念 1．理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算． 2．理解指数式与对数式的等价关系，能够熟练地进行对数式与指 数式的互化． 3．通过对数式与指数式的互化的理解和简单的对数值的求解，发 展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
(一)教材梳理填空
1．对数的概念 一般地，如果 ax＝N(a＞0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对 数，记作 x＝l_o_g_a_N_，其中 a 叫做对数的_底__数__，N 叫做_真__数__． 2．常用对数与自然对数
名称
定义
记法
常用对数 以1_0__为底的对数叫做常用对数
对数的概念知识点总结
对数的概念知识点总结一、对数的概念1.1 对数的定义对数是指数的倒数。
设a和b是正实数，且a≠1，a的x次幂等于b，那么x叫做以a为底数的对数，记作loga b=x。
其中，a称为底数，b称为真数，x称为对数。
1.2 对数的性质（1）对数的基本性质：①对数的法则：loga (MN) = loga M + loga N。
②对数的乘积法则：loga(M/N) = loga M − loga N。
③对数的幂法则：loga (M^x) = x loga M。
④对数的换底公式：loga b = logc b / logc a。
（2）对数的特殊性：loga 1 = 0。
1.3 对数函数对数函数是以对数为自变量的函数，一般记作y = loga x。
对数函数是单调递增的，其图像是一个不断向上增长的曲线。
1.4 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用，比如在科学和工程领域，对数可以用来简化和解决复杂的计算问题。
在财务和经济领域，对数可以用来描述复利和增长速度。
此外，在信息论和统计学中，对数也有着重要的应用。
二、对数的运算2.1 对数的运算规则（1）对数方程的求解：利用对数的性质和公式，可以将对数方程转化为指数方程，从而求解未知数的值。
（2）对数的应用：利用对数的特性和公式，可以将复杂的计算问题简化为更容易处理的形式，从而提高计算的效率和精度。
2.2 对数的反运算对数的反运算是指数运算，即将以a为底数的对数转化为以a为底数的指数形式，从而得到真数的值。
2.3 对数的实际应用对数在实际中有广泛的应用，比如在科学和工程领域中，对数可以用来描述复杂的物理现象和工程问题。
在金融和经济领域中，对数可以用来描述复利和增长速度。
在信息论和统计学中，对数可以用来处理大量数据和计算概率。
三、对数的性质3.1 对数的底数对数的底数一般取为10，自然对数的底数为e。
对数的底数不同，其计算和性质都有所不同。
3.2 对数的长度对数的长度是指对数所具有的位数，一般取整数部分。
北师大版高中数学课件第四章 §1 对数的概念
(3)x=32×3log 3 5 =9×5=45.
当堂检测
1.将log5b=2化为指数式是(
A.5b=2 B.b5=2
答案C
)
C.52=bD.b2=5
2.(2020全国1,文8)设alog34=2,则4-a=(
1
A.
16
1
B.
9
1
C.
1
x=4.
3
3
3
logx27=4,得 4 =27,即 4 =33,
4
x=(33)3 =34=81.
(3)由log3(lg x)=1,得lg x=3,故x=103=1 000.
本 课 结 束
4
4-5 > 0,
答案C
)
4.已知a=log23,则2a=
.
解析由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.
答案3
5.求下列各式中x的值:
2
(1)log8x=- ;
3
3
(2)logx27=4;
(3
(2)由
故
2
log8x=-3,得
x=8
-
2
2
3
3 =(2 ) 3 =2-2,故
1 -3
解(1) 3 =27.
1
(3)ln =-1.
e
(2)log464=3.
(4)lg 0.001=-3.
反思感悟 1.logaN=b(a>0,且a≠1)与ab=N(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N三
者之间的同一种关系.如下表:
式子
a
指数式ab=N 底数
对数式
对数的概念和性质PPT课件
ln e 1
（5）从（4）中你发现有什么规律？
1的对数等于0， 底的.对数等于1
5
(5)如果把式子 ab N 中的b用 bloga N 代换，
把式子 loga N b 中的N用 N a b 代换，
会得到什么样的式子？
从而得到： aloga N N, loga ab b
这两个式子，我们叫对数恒等式
对数恒等式
aloga N N,
loga ab b
.
11
2 （3） log64 x 3
解：因为
log 64
x
2 3
所以
2
x643
(43)23
421
16
（4） logx 8 6
解: 因为 logx 8 6 所以
x6 8
1
1
1
又因 x 0 所以 x86 (23)622 2
.
12
例3计算： （5） lg100 x
引例:
2004年我国的国民生产总值为a亿元，
如果按平均每年增长8%估算，那么经过多
少年国民经济生产总值是2004年的2倍？
假设经过x年国民经济生产总值是2004
年的2倍，依题意得，1.08xa=2a
即1.08x=2
指数x取何值时满足这个等式呢？
这就是本节课要学习的对数问题：
已知底数和幂的值，求指数的问题。
.
6
对数的基本性质：
（1） 零和负数没有对数
（2） 1的对数等于0，即
loga 1 0.
（3） 底的对数等于1，即 （4） 对数恒等式
loga a 1.
aloga N N, loga ab b
说明：（1）在对数式 lo g a N 中，要注意各量的取值范围
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念1．对数的概念：一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作log a N＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．思考log a N中N满足什么条件？答案N>0.因为a b＝N>0，所以N>0.2．两种特殊对数名称定义记法常用对数以10为底的对数lg N自然对数以无理数e＝2.718 281…为底的对数ln N知识点二对数与指数的关系1．对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则a b＝N⇔log a N＝b.a＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．2．对数恒等式：log a N思考任何一个指数式都可以化为对数式吗？答案不是，如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.知识点三对数的性质1．log a1＝0；2．log a a＝1；3．零和负数没有对数．1．log a N是log a与N的乘积．(×)2．(－2)3＝－8可化为log (－2)(－8)＝3.( × ) 3．若3x ＝2，则x ＝log 32.( √ ) 4．对数lg N 没有底数．( × )一、指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝14；(2)102＝100；(3)e a＝16；131(4)64;4- (5)log 39＝2；(6)log x y ＝z (x >0且x ≠1，y >0)． 解 (1)log 214＝－2.(2)log 10100＝2，即lg 100＝2. (3)log e 16＝a ，即ln 16＝a . (4)log 6414＝－13.(5)32＝9. (6)x z ＝y .(学生)反思感悟 指数式与对数式互化的思路跟踪训练 1 (多选)下列指数式与对数式互化正确的有( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．138-＝12与log 812＝－13C ．log 416＝2与1216＝4 D ．log 77＝1与71＝7 答案 ABD解析 C 选项中，由log 416＝2，得42＝16，故C 错误，ABD 均正确． 二、利用对数式与指数式的关系求值 例2 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 1 000＝x ；(4)log 5125＝x .解 (1)()2232331644=4=16x ==.--- (2)因为x 6＝8，且x >0，()()1111636266=82=2x x===所以(3)10x ＝1 000＝103，所以x ＝3. (4)5x ＝125＝5－2，所以x ＝－2.反思感悟 求对数式log a N 的值的步骤 (1)设元：设log a N ＝m ；(2)互化：将log a N ＝m 写成指数式a m ＝N ；(3)求值：将N 写成以a 为底的指数幂N ＝a b ，则m ＝b ，即log a N ＝b . 跟踪训练2 求下列各式的值． (1)log 981＝ ； (2)log 0.41＝ ； (3)ln e 2＝ . 答案 (1)2 (2)0 (3)2解析 (1)设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2； (2)设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0， 即log 0.41＝0；(3)设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2. 三、利用对数性质及对数恒等式求值 例3 求下列各式中x 的值： (1)ln (log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1；71log 5()37.x －＝解 (1)∵ln (log 5x )＝0， ∴log 5x ＝1，∴x ＝51＝5. (2)∵log 3(lg x )＝1， ∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000.771log 5log 57(3)7=77=75=5x ÷÷=.-反思感悟 利用对数性质及对数恒等式求值(1)对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质：log a 1＝0和log a a ＝1(a >0且a ≠1)，进行变形求解．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式：log a NaN ＝的应用．跟踪训练3 (1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0， ∴log 3x ＝1，∴x ＝3，同理y ＝4，z ＝2， ∴x ＋y ＋z ＝9.31log 42(2)9＝ .答案 4 解析 ()33311log 4log 4log 42229=3=3=4.51log 2(5)3＋＝ .答案 10 解析 551log 2log 25555210.⨯⨯＋＝＝＝1．log a b ＝1成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝b 且b >0 C ．a >0，a ≠1D ．a >0，a ＝b ≠1答案 D解析 由log a b ＝1得a >0，且a ＝b ≠1. 2．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2B ．13log 9=2-C ．()13log 2=9-D ．log 9(－2)＝13答案 B解析 根据对数的定义，得13log 9= 2.-3．若log 3x ＝3，则x 等于( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．27 答案 D解析 ∵log 3x ＝3，∴x ＝33＝27. 4．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝ . 答案 3解析 由log 2(log x 9)＝1可知log x 9＝2，即x 2＝9， ∴x ＝3(x ＝－3舍去)． 5．求值：51log 42(1)25＝ ；31log 2(2)3＋＝ .答案 (1)4 (2)6 解析 (1)()5511log 4log 422225=5=4.(2)331log 2log 233332 6.⨯⨯＋＝＝＝1．知识清单： (1)对数的概念．(2)两种特殊对数：自然对数、常用对数． (3)指数式与对数式的互化．(4)对数恒等式及对数的性质． 2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．1．(多选)下列选项中，可以求对数的是( ) A ．0 B ．－5 C ．π D ．x 2＋1 答案 CD解析 根据对数的定义，得0和负数没有对数，所以选项A ，B 没有对数，π>0，选项C 有对数．又x 2＋1≥1，所以选项D 有对数． 2．已知ln x ＝2，则x 等于( ) A ．±2 B ．e 2 C ．2e D ．2e答案 B解析 由ln x ＝2得，e 2＝x ，所以x ＝e 2.3．使对数log a (5－a )有意义的a 的取值范围为( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,5) C ．(0,1)∪(1,5) D ．(－∞，5)答案 C解析 由对数的概念可知a 需满足a >0且a ≠1且5－a >0，解得0<a <5且a ≠1. 4．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，所以log 2x ＝3，所以x ＝8. 5．设()5log 21525x －＝，则x 的值等于( )A ．10B ．13C ．100D ．±100 答案 B 解析 由()5log 21525x －＝得2x －1＝25，所以x ＝13.6．若log 3181＝x ，则x ＝ .答案 －4解析 ∵log 3181＝log 33－4，∴3x ＝3－4，∴x ＝－4.7．计算：2log 32－3ln e ＋2lg 1＝ .答案 0解析 原式＝3－3×1＋2×0＝0.8．若a ＝log 92，则9a ＝ ，3a ＋3－a ＝ . 答案 2322解析 a ＝log 92，则9a ＝2， 所以3a ＝2，3a ＋3－a ＝2＋12＝322.9．将下列指数式与对数式进行互化．12(1)55=.-2(2)log 4=4.(3)lg 0.001＝－3. 解 (1)由125-＝15，可得log 515＝－12.(2)由2log4=4,可得(2)4＝4. (3)由lg 0.001＝－3，可得10－3＝0.001. 10．求下列各式的值：5log 4(1)5； 3log 4(2)32－； 24log 5(3)2.＋解 (1)5log 45 4.＝(2)3log 434＝，∵33log 42log 42333⨯－－＝∴＝4×19＝49.222log 54log 5log 54(3)2522216580.⨯⨯＋＝，＝＝＝∵∴11．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则log x(y x)的值是() A．1 B．0 C．x D．y答案 B解析由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴log x(y x)＝log2(12)＝0.12．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为()A．－3 B．3C．－1或3 D．1或－3答案 B解析由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.13.0.51log412⎛⎫⎪⎝⎭＋-的值为()A．6 B.72C．8 D.37答案 C解析0.12511log4log411·2122248.⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⨯⎝＋＝＝--14．若a>0，a2＝49，则23log a＝ .答案 1解析由a>0，a2＝49＝⎝⎛⎭⎫232，可知a＝23，22332log=log=1.3a∴15．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值是3，则a的值为．答案1410-解析 因为二次函数f (x )有最大值，所以lg a <0. 又[f (x )]max ＝16lg 2a －44lg a ＝4lg 2a －1lg a ＝3，所以4lg 2a －3lg a －1＝0. 所以lg a ＝1或lg a ＝－14.因为lg a <0， 所以lg a ＝－14，14=10a .-所以16．若()()21231323log log log =log log log x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()5155=log log log =0,z ⎡⎤⎢⎥⎣⎦试比较x ，y ，z 的大小关系．解 由5155log log log =0,z ⎡⎤()⎢⎥⎣⎦得()5551log log 115log z z ＝，＝，()116530=5=5z ，()3133log log log =0,y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由得()133log log =1y ，log 3y ＝13，()001113333.y ＝＝()2122log log log =0x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又由得()122log log =1x ，()111523021log ==2=22x x .，因为310>215>56，所以y>x>z.。