福师《初等数论》在线作业二答卷
20春华师《初等数论》在线作业2
C: 1,2,3,4,5
D: 0,1,2,3,4
正确答案: D
(单选题)14: 30！的标准分解式中，3的最高幂指数为（ ）
A: 12
B: 13
C: 14
D: 15
正确答案: C
(单选题)15: 设n，m为整数，如果3|n,3|m，则9（ ）nm
A: 整除
B: 不整除
D: 12
正确答案: C
(单选题)8: 如果b|a，a|b，则（ ）
A: a=b
B: a=-b
C: a < b
D: a=±b
正确答案: D
(单选题)9: (12345,678)=( ).
A: 3
B: 7
C: 9
D: 11
正确答案: A
(单选题)10: 120以内仅有10个正约数的自然数有（ ）个
C: 同余式5x≡13(mod43)有唯一解x=37
D: 同余式3x≡9(mod15)无解
正确答案: C
(单选题)19: 下列说法错误的是（ ）
A: 101是合数
B: 素数有无限多个
C: 奇数一定能表示为两平方数之差
D: 两个连续自然数互质
正确答案: A
(单选题)20: 不定方程525x+231y=210（ ）
A: n=5+7k,k是整数
B: n被7整除余5
C: n-5被7整除
D: n-7被5整除
正确答案: D
(单选题)5: 24871与3468的最大公因数是（ ）
A: 11
B: 13
C: 17
D: 19
正确答案: C
(单选题)6: 下列关于质数、合数的说法，正确的是（ ）
福师12秋《初等数论》练习题
福师12秋《初等数论》练习题注：本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。
一、填空1、 20132013的个位数为解析：本题考核的知识点为同余2、求所有正约数的和等于15的最小正数为解析：本题考核的知识点为约数3、模13的绝对值最小的完全剩余系为解析：本题考核的知识点为完全剩余系4、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则 1211315,315,,315b b b +++也是模11的剩余系。
解析：本题考核的知识点为完全剩余系5、 k 个整数12,,,k a a a 形成模m 的简化剩余系的充要条件是：解析：本题考核的知识点为简化剩余系6、求不定方程组: 1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ 的正整数解为解析：本题考核的知识点为不定方程组7.不定方程222x y z +=的满足0,0,0,(,)1,2|x y z x y x >>>=的一切整数解可表为 解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解8.2160的正约数的个数为解析：本题考核的知识点为约数9. 设m 是一个大于1的整数，(,)1a m = ,若 12(),,,m b b b ϕ是m 的一个简化剩余系，则 12(),,,m ab ab ab ϕ也是模m 的 剩余系。
解析：本题考核的知识点为简化剩余系 10.模7的非负最小完全剩余系为解析：本题考核的知识点为完全剩余系 11.自279到577的整数中是17倍数的整数个数为解析：本题考核的知识点为倍数12. 叙述欧拉定理：解析：本题考核的知识点为欧拉定理13.157! 的标准分解式中中素数7的指数为解析：本题考核的知识点为标准分解式14、不定方程的1510619x y z ++=的全部整数解为解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解15．模13的互素剩余系为解析：本题考核的知识点为互素剩余系二、229|,3|,3|a b ab a b ++设证明：解析：本题考核的知识点为整除.提示：且由知或 若由知 若由知 如果 那么 且三、（若(a,b)=1，则(a-b,a+b)=1或2解析：本题考核的知识点为最大公约数.提示：设 (a-b , a+b)= d ，则d | a-b, d | a+b ，根据条件得出d=1 或d=2四、试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。
奥鹏2020年6月福师《初等数论》在线作业一_3.doc
1.9x+11y=100的正整数解的个数是（）A.0B.1C.2D.无穷【参考答案】: B2.题见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B3.题见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C4.被3除余1，被5除余4，被11除余5的最小正整数一定处于（）的区间A.[10,20]B.[20,30]C.[30,40]D.[40,50]【参考答案】: D5.100!的末尾0的个数是（）A.20B.21C.24D.25【参考答案】: C6.p为素数是2^(2^p)+1为素数的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【参考答案】: B7.。
A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A8.整数202（）A.能够写成两数平方和B.能够写成两数平方差C.都可以D.都不能【参考答案】: A9.题见图片A.AB.BC.CD.D10.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B11.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B12.。
A.AB.BC.CD.D13.题见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B14.100!最高能被45的（）次幂整除A.20B.23C.24D.48【参考答案】: C15.题见下图A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A16.题见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B17.a,b大于1且互素，则不定方程ax-by=ab的正整数解的个数是（）A.0B.1C.2D.无穷【参考答案】: D18.。
A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A19.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B20.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B21.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B22.。
A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: D23.。
A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A24.。
A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A25.题见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B26.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A27.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: B28.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A29.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 30.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 31.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 32.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 33.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B34.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 35.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 36.题见下图A.错误B.正确【参考答案】: A37.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A 38.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 39.题见下图A.错误B.正确【参考答案】: A40.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 41.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B42.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 43.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: AA.错误B.正确【参考答案】: B 45.题见下图A.错误B.正确【参考答案】: A 46.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B 47.题见图片A.错误B.正确【参考答案】: B48.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: AA.错误B.正确【参考答案】: A 50.题见下图A.错误B.正确【参考答案】: A。
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案复习题及参考答案一一、填空(40%)1 、求所有正约数的与等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模11的 剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见P1-4 6、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 .考核知识点：最小公倍数，参见P11-13 7、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。
考核知识点：整除的性质，参见P9-12 提示：i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点：二次同余式，参见P88提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。
四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52 提示： 且是不小于5的素数．又且是不小于5的素数．只能是奇数且即即五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点：同余式，参见P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡3 (mod4) ∴ 6x ≡10(mod8)的解为 x ≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 分别解出两个解即可。
(完整版)初等数论第2版习题答案
第一章 §11 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rby ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立 )(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b qa bs a t q s 2,2-=-==，则有22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0<b 则令b qa bs a t q s 2,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=，则有 2021212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 0<b ，则令b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11 而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾 故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅ 2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1） 令S=n14131211+++++，取M=p k 75321⋅⋅⋅-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
福师《初等数论》在线作业一-0005.BB6CF311-
A:A B:B C:C D:D 答案：C 9x+11y=100的正整数解的个数是（） A:0 B:1 C:2 D:无穷 答案：B a,b大于1且互素，则不定方程ax-by=ab的正整数解的个数是（） A:0 B:1 C:2 D:无穷 答案：D题面见图片 A:错误 B:正确 答案：B
题见图片
A:错误 B:正确 答案：B
题见图片
A:错误 B:正确 答案：B
题见下图
A:错误 B:正确 答案：A题面见图片 A:错误 B:正确 答案：B
题见图片
A:错误 B:正确 答案：A题面见图片 A:错误 B:正确 答案：B题面见图片 A:错误 B:正确 答案：B
题见图片
A:错误 B:正确 答案：A
题见图片
A:错误 B:正确 答案：B
题见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：B
题见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：A
。
A:A B:B C:C D:D 答案：D
题见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：B 10^1000的缩剩余系与完全剩余系中元素个数之比是（） A:1/5 B:1/2 C:2/5 D:4/5 答案：C
福师《初等数论》在线作业一-0005
题见下图
A:A B:B C:C D:D 答案：A
。
A:A B:B C:C D:D 答案：B 不定方程a^2+b^2=c^2+d^2的互素正整数解组个数是（） A:0 B:1 C:有限 D:无穷 答案：D
。
A:A B:B C:C D:D 答案：B
题见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：B 同余方程x^7+3x^6+3x^5+x+2≡0(mod 5)的解的个数是（） A:1 B:2 C:3 D:4 答案：C
福师(2021-2022)《初等数论》在线作业二(2)-辅导资料(答案)
福师[2021-2022]《初等数论》在线作业二注：本科目作业有多套随机试卷，请核实是否与您的试卷顺序相一致！！！
一、单选题（共25题，50分）
1、整数p,q互素，则p+q一定与（）互素
[A]p-q
[B]p*q
[C]p^2+q^2
[D]p!+q!
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[B]
2、被3除余1，被5除余4，被11除余5的最小正整数一定处于（）的区间
[A][10,20]
[B][20,30]
[C][30,40]
[D][40,50]
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[D]
3、同余方程x^4-x^3+x^2-x≡0(mo[D] 5)的解的个数是（）
[A]0
[B]1
[C]2
[D]3
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[A]
4、。
[A][A]
[B][B]
[C][C]
[D][D]
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[B]
5、
题见下图
[A][A]
[B][B]
[C][C]
[D][D]。
初等数论作业答案
初等数论1：[单选题]已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）。
A：0B：2C：5D：9参考答案：C2：[单选题]下面的（）是模4的一个简化剩余系。
A：4,17B：1,15C：3,23D：13,6参考答案：B3：[单选题]小于20的正素数的个数是（）。
A：11B：10C：9D：8参考答案：D 4：[单选题]下面的数是3的倍数的数是（）。
A：19B：119C：1119D：11119参考答案：C5：[单选题]-4除-39的余数是（）。
A：3B：2C：1D：0参考答案：C6：[单选题]一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n 是（）。
A：1110B：1101C：1011D：1001参考答案：A7：[单选题][[4.5]+[3.7]]等于（）。
A：3B：4C：7D：8参考答案：C8：[单选题]{{1.8}+{2.9}}等于（）。
A：0.4B：0.5C：0.6D：0.7参考答案：D 9：[单选题]100与44的最小公倍数是（）。
A：4400B：2200C：1100D：440参考答案：C10：[单选题]使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。
A：6B：2C：3D：13参考答案：A11：[单选题]设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。
A：0B：1C：2D：3参考答案：A12：[单选题]下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。
A：x=0,y=3B：x=2,y=1C：x=4,y=2D：x=2,y=2参考答案：D13：[单选题]下面的（）是模4的一个完全剩余系。
A：9，17，-5，-1B：25，27，13，-1C：0，1，6，7D：1，-1，2，-2参考答案：C14：[单选题]下面的（）是模12的一个简化剩余系。
A：0，1，5，11B：25，27，13，-1C：1，5，7，11D：1，-1，2，-2参考答案：C15：[单选题]若a，b均为偶数，则a + b为（）。
福师15春《初等数论》在线作业一
福师15春《初等数论》在线作业一一、单选题：1.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D2.。
(满分:2)A. AB. BC. CD. D3.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D4.题见图片(满分:2)A. AB. BC. C5.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D6.。
(满分:2)A. AB. BC. CD. D7.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D8.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D9.。
(满分:2)B. BC. CD. D10.。
(满分:2)A. AB. BC. CD. D11.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D12.。
(满分:2)A. AB. BC. CD. D13.。
(满分:2)A. AB. BD. D14.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D15.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D16.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D17.题见下图(满分:2)A. AB. BC. CD. D18.。
(满分:2)A. AB. BC. CD. D19.题见下图(满分:2)A. AB. BC. CD. D20.。
(满分:2)A. AB. BC. CD. D21.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D22.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D23. 。
(满分:2)A. AB. BC. CD. D24.题见图片 (满分:2)A. AB. BC. CD. D25.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D三、判断题：1.题面见图片(满分:2)A. 错误B. 正确2.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确3.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确4.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确5.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确6.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确7.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确8.题面见图片(满分:2)A. 错误B. 正确9.题面见图片 (满分:2)A. 错误B. 正确10.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确11.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确12.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确13.题面见图片 (满分:2)A. 错误B. 正确14.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确15.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确16.题面见图片(满分:2)A. 错误B. 正确17.题面见图片 (满分:2)A. 错误B. 正确18.题面见图片(满分:2)A. 错误B. 正确19.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确20.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确21.题面见图片(满分:2)A. 错误B. 正确22.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确23.题面见图片 (满分:2)A. 错误B. 正确24.题见下图(满分:2)A. 错误B. 正确25.题见图片(满分:2)A. 错误B. 正确福师《初等数论》在线作业二一、单选题：1.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D2.题见图片(满分:2)A. AB. BC. CD. D3.。
19秋福师《初等数论》在线作业一[4]答案
![19秋福师《初等数论》在线作业一[4]答案](https://img.taocdn.com/s3/m/2b68e36e4a7302768f993907.png)
22、题面见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
23、
题见下图
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
24、
题见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
25、
题见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
14、
题见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
15、题面见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
16、题面见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
17、
题见图片
A错误
B正确
Ap-q
Bp*q
Cp^2+q^2
Dp!+q!
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
20、
题见图片
AA
BB
CC
DD
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：C
21、
题见图片
AA
BB
CC
DD
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
22、
题见图片
AA
BB
CC
DD
[仔细分析上述题目，并作出选择]
【奥鹏】19秋福师《初等数论》在线作业一
初等数论习题 v2
《初等数论》习题集1. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
2. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
3. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
4. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2+ p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
5. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
6. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
7. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
8. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2+ 2不可能成立。
9. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2+ 9是素数还是合数？10. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
11. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
12. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
13. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n nn n 的最大公约数。
14. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
15. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
16. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c cb b ac b a a c c b b a c b a =。
17. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k+ 2k+ + 9k。
(完整版)初等数论第2版习题答案
第一章 §11 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rby ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立 )(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b qa bs a t q s 2,2-=-==，则有22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0<b 则令b qa bs a t q s 2,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=，则有 2021212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 0<b ，则令b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11 而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾 故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅ 2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1） 令S=n14131211+++++，取M=p k 75321⋅⋅⋅-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
初等数论测试(带答案)
,其中
563
是素数.
（8 分）
四、证明题(第 1 小题 10 分，第 2 小题 11 分，第 3 小题 11 分，共 32 分)
n n2 n3 17、证明对于任意整数 n ,数 3 2 6 是整数.
18、证明相邻两个整数的立方之差不能被 5 整除. 19、证明形如 4n 1 的整数不能写成两个平方数的和.
A ac bc(mod m) B a b C ac T bc(mod m) D a b
5、如果( ),则不定方程 ax by c 有解.
A (a, b) c B c (a, b) C a c D (a, b) a
6、整数 5874192 能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9
证明 设 n 是正数,并且 n 1(mod 4) ,
----------（3 分）
如果
n x2 y2 , 则因为对于模 4, x, y 只与 0,1,2,-1 等同余, 所以 x2 , y 2 只能与 0,1 同余,
所以
x2 y 2 0,1,2(mod 4) ,
而这与 n 1(mod 4) 的假设不符,
C 7 不整除（12，15） D 7 不整除[12，15]
12、同余式
（ ）.
A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解
二、填空题 1、有理数 ，
，能写成循环小数的条件是（ ）.
2、同余式
有解，而且解的个数为( ).
3、不大于 545 而为 13 的倍数的正整数的个数为( ).
4、设 是一正整数，Euler 函数
429 67
27 67
(1)
27 1. 67 1 22
67 27
67 27
（完整版）初等数论练习题二（含答案）
（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一一、单项选择题1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果n 2，n 15，则30（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定8、大于10且小于30的素数有（）.A 4个B 5个C 6个D 7个9、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,410、整数637693能被( )整除.A 3B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求??563429,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=?6、求解不定方程18176=-y x .7、解同余式)321(mod 75111≡x .8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][ba ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（唯一解）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ),(m a ).9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] = 173911768? =104?391=40664.2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
奥鹏2020年6月福师《初等数论》在线作业二.doc
12.
。
A.A B.B C.C D.D
【参考答案】: A
13.
A.A B.B C.C D.D
【参考答案】: D
14.
。
A.A B.B C.C D.D
【参考答案】: D
15.
A.A B.B C.C D.D
【参考答案】: B
16.
A.能够写成两数平方和B.能够写成两数平方差C.都可以D.都不能
【参考答案】: A
17.
A.A B.B C.C D.D
【参考答案】:B
18.
A.A B.B C.C D.D
【参考答案】: C
19.
。
A.A B.B C.C D.D
【参考答案】: A
20.
A.A B.B C.C D.D
【参考答案】: B
21.
A.A B.B C.C D.D
【参考答案】: B
22.
A.A B.B C.C D.D
【参考答案】: B
23.100!
A.20 B.21 C.24 D.25
【参考答案】:C
24.
A.p-q B.p*q C.p^2q^2 D.p!q!
【参考答案】: B
25.
A.A B.B C.C D.D
【参考答案】: B
26.
A.错误B.正确
【参考答案】: B
27.
A.错误B.正确
【参考答案】: B
28.
A.错误B.正确
【参考答案】: A
29.
A.错误B.正确
【参考答案】: B
30.
A.错误B.正确
【参考答案】: B
31.
A.错误B.正确
最新福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案本复习题页码标注所用教材为：教材名称 单价 作者版本 出版社 初等数论14.20闵嗣鹤，严士健第三版高等教育出版社复习题及参考答案一一、填空(40%)1 、求所有正约数的和等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模11的 剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见P1-46、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 . 考核知识点：最小公倍数，参见P11-137、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。
考核知识点：整除的性质，参见P9-12提示：i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点：二次同余式，参见P88提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。
四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod 24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52提示： 且是不小于5的素数．又 且是不小于5的素数．只能是奇数且即即五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点：同余式，参见P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡3 (mod4) ∴ 6x ≡10(mod8)的解为 x ≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩分别解出两个解即可。
福师(2020-2021)《初等数论》在线作业二(4)答案
福师（2020-2021）《初等数论》在线作业二注：本科有多套试卷，请核实是否为您所需要资料，本资料只做参考学习使用！！！一、单选题（共25题，50分）1、题见图片AABBCCDD提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：C2、被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整数一定处于（）的区间A[10,20]B[20,30]C[30,40]D[40,50]提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B3、题见图片AABBCCDD提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B4、题见图片AABBCCDD提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B5、题见图片AABBCCDD提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B6、题见图片AABBCCDD提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B7、。
AABBCCDD提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A8、恰有10个正约数的最小正整数是（）A24B48C96D162提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B9、题见图片AABBCCDD提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A10、。
AA。
(完整版)初等数论第2版习题答案
第一章§11证明：都是的倍数。
n a a a ,,21 m 存在个整数使∴n n p p p ,,21nn n m p a m p a m p a ===,,,222111 又是任意个整数n q q q ,,,21 n mp q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即是的整数n n a q a q a q +++ 2211m 2证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知)12)(1(/6++n n n 3证： 不全为b a , 0在整数集合中存在正整数，因而∴{}Z y x by ax S ∈+=,|有形如的最小整数by ax +00by ax + ，由带余除法有Z y x ∈∀,00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则，由是中的最小整数知S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(0000by ax +S 0=r 下证第二题by ax by ax ++∴/008P （为任意整数） by ax by ax ++/00 y x ,b by ax a by ax /,/0000++∴ 又有).,/(00b a by ax +∴bb a a b a /),(,/),( 故00/),(by ax b a +∴),(00b a by ax =+4证：作序列则必在此序列的某两项之间,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---a即存在一个整数，使成立q b q a b q 212+<≤ 当为偶数时，若则令，则有)(i q .0>b b qa bs a t q s 2,2-=-==22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤ 若 则令，则同样有0<b b qa bs a t q s 2,2+=-=-=2b t <当为奇数时，若则令，则有)(ii q 0>b b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=2021212b t b q a b q a bs a t b≤∴<+-=+-=-=≤-若 ，则令0<b b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当为奇数时，设则b 11t bs t bs a +=+=bs s b t t >-=-)(11而 矛盾 故b t t t t bt bt ≤+≤-∴≤≤1112,211,t t s s ==当为偶数时，不唯一，举例如下：此时为整数b t s ,2b2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1）令S=，取M=这里k 是使最n14131211+++++p k 75321⋅⋅⋅-n k ≤2大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
(完整版)初等数论练习题二(含答案)
《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、 在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、 如果a b （modm ） ,c 是任意整数 贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、 如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、 整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、 如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、 模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、 整数637693能被（）整除. A 3 B 5 C 7 D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、 同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、 如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、 在176与545之间有（）是13的倍数.10、 如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（ ）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、 如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、 如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为 （）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（ ）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、 素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、 同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、 如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 r b.7、 设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、 如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、 在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、 如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、 如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分） 解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。
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。
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:D
23.{图}
。
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
24.整数202（）
A.能够写成两数平方和
B.能够写成两数平方差
C.都可以
D.都不能
答案:A
25.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
二、判断题(共25道试题,共50分)
26.题面见图片{图}
答案:错误
B.1
C.2
D.无穷
答案:B
5.a,b大于1且互素，则不定方程ax-by=ab的正整数解的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.无穷
答案:D
6.9x+11y=99的正整数解的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.无穷
答案:A
7.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
8.{图}
。
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
福师《初等数论》在线作业二-0002
试卷总分:100得分:100
一、单选题(共25道试题,共50分)
1.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:D
2.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
3.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
4.9x+11y=100的正整数解的个数是（）
A.0
A.一定是
B.一定不是
C.有可能是有可能不是
D.无法判断
答案:B
17.题见下图
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
18.{图}
。
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
19.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
20.{图}
。
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
21.{图}
。
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
9.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
10.100!的末尾0的个数是（）
A.20
B.21
C.24
D.25
答案:C
11.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
12.不定方程a^2+b^2=c^2+d^2的互素正整数解组个数是（）
A.0
B.1
C.有限
D.无穷
答案:D
13.{图}
。
A.A
47.题面见图Байду номын сангаас{图}
答案:正确
48.题见图片
{图}
答案:错误
49.题面见图片{图}
答案:正确
50.题面见图片{图}
答案:错误
27.题见图片
{图}
答案:正确
28.题见下图
{图}
答案:正确
29.题见下图
{图}
答案:正确
30.题见图片
{图}
答案:错误
31.题见图片
{图}
答案:错误
32.题见下图
{图}
答案:错误
33.题面见图片{图}
答案:正确
34.题见图片
{图}
答案:正确
35.题见下图
{图}
答案:错误
36.题见图片
{图}
答案:正确
B.B
C.C
D.D
答案:D
14.p为素数是2^(2^p)+1为素数的（）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
答案:B
15.同余方程x^7+3x^6+3x^5+x+2≡0(mod 5)的解的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:C
16.k是正整数，则k^2+k+1（）完全平方数
37.题见图片
{图}
答案:错误
38.题见图片
{图}
答案:正确
39.题见图片
{图}
答案:正确
40.题见图片
{图}
答案:正确
41.题面见图片{图}
答案:正确
42.题见图片
{图}
答案:正确
43.题面见图片{图}
答案:正确
44.题见图片
{图}
答案:正确
45.题见图片
{图}
答案:错误
46.题见图片
{图}
答案:正确