微分定义

若 f 在区间I 的每一点可微，则称 f 在 I 上可微.
讲解方法三 引进实际问题，由研究函数的改变量 y=f（x0+x）f（x0）与自变量改变量 x
之间的关系，计算函数改变量的大小，引发
出微分的根本思想是在局部范围内用线性函 数来近似函数的本质.
例如：
计算正方形面积增量
计算圆面积增量 计算球体积增量
一般依赖关系复杂、多样. 但是在局部范围 内，当|x|很小时，则可用一个线性变化来近似.
即:
定义
y=Ax+o(x).
设函数y=f（x），a<x<b，固定一点 x0 (a , b), 若： y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x )()
2.与其它知识点的关联
1）导数与微分都是讨论y与x的关系，它们 的内在联系，表现于下面的定理.
定理：（可微即可导） 函数y =f（x）在 x0 点可微它在 x0 点可导； 且有 dy f ( x )dx
0
2）由于 dy f ( x0 )dx ，所以微分有与导数计 算完全一致的微分运算法则. 由复合函数的 微分法，一阶微分又具有形式不变性.
微分定义
1.本知识点的多种讲解方法
讲解方法一
从纯分析的角度来研究函数的改变量y与 自变量的增量x的依赖关系，而引出微分定义. 设y=f（x），a<x<b， 取 x0 (a , b) 及 x在x0处获得增量x，
则函数有改变量 y=f（x0+x） f（x0）， y 依赖于三个要素：函数 f，点 x0 及 x. 当取定函数f ，固定x0 ，则y 仅依赖于x.
定义 x 设y=f（x）在区间I 有定义， 0 I ，若存在关于 x的线性函数A x (A是与x无关的常数)，使
y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x )
则称 f 在 x0 处可微，称 A x 为 f 在 x0 处的微
分，记 作
dy | x x0 或df ( x0 ) A x .
S=2xx + (x)2
S=2 rr + (r)2
4 V=4 + 4 r + (r )3 3 g 计算自由落体路程增量 S=g t t + (t)2 2
r2r
(r) 2
定义 设y=f（x）在某区向内有定义，x0及x0+x 在这区间内. 如果函数的增量 y = f（x0+x）f（x） 可表示为 y = A x+ o (x)， 其中A是不依赖于x的常数， 则称函数y=f（x） 在点x0是可微的 , 而 A x 叫做函数 y = f（x） 在点x0相应于自变量x的微分， 记作dy， 即 dy=A x.
y f ( x0 )x xa( x )
记
o( x ) xa ( x )
则 y f ( x0 )x o( x )
当f（x）在 x0 处可导时，y 是 f ( x0 ) x 与 ，则 y dy与x o( x ) 之和，记 dy f ( x0 )x 相比为高阶无穷小（x→0）. 这里把 dy f ( x0 )x 叫做微分.
成立（其中A与 x无关）.Biblioteka Baidu则称函数y=f（x）
在点x0可微，称Ax为函数在点x0的微分,记为 dy = Ax； 自变量的微分，就是它的增量. 规定： 即： 则 dx = x dy = Adx.
讲解方法二 由函数y=f（x）在点x0处的导数 y ( x0 ) lim f x 0 x y f ( x 0 ) ( x ) lim 得到 其中x0 a( x ) 0 x 于是
3）由微分的几何意义而衍生的微分三角形. 微分三角形包含了微分学 dy ds 的全部要素： dx , dy , dy a y tan α ，其中 斜边 dx dx ds称为弧微分. 4) 高阶微分可以归纳地定义. 设 y f ( x ) ， 例如 d2 y d(dy ) f ( x )dx 2 一般地： d( n1) y d(d ( n) y ) f ( n1) ( x )dx n1 注意 高阶微分不再具有形式不变性.