受迫振动研究实验报告

受迫振动研究报告

曹正庭

（东南大学吴健雄学院，南京，211189）

摘要：本实验借助共振仪，测量观察电磁阻尼对摆轮的振幅与振动频率之间的影响。在此基础上，研究了受迫振动，测定摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并以此求出阻尼系数δ。

关键词：受迫振动幅频特性曲线相频特性曲线

引言：振动是自然界最常见的运动形式之一。由受迫振动而引起的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如，众多电声器件需要利用共振原理设计制作；为研究物质的微观结构，常采用磁共振的方法。但是共振现象也有极大的破坏性，减震和防震是工程技术和科学研究的一项重要的任务。

1. 实验原理

1.1受迫振动

本实验中采用的是伯尔共振仪，其外形如图1所示：

图1

铜质圆形摆轮系统作受迫振动时它受到三种力的作用：蜗卷弹簧B提供的弹性力矩−kθ,轴承、空气和电磁阻尼力矩−b dθ

,电动机偏心系统经卷簧的外夹持端提供的驱动力矩

dt

M =M 0cos ωt 。

根据转动定理，有

J d 2θdt 2=−kθ−b dθdt

+M 0cos ωt （1） 式中，J 为摆轮的转动惯量，M 0为驱动力矩的幅值，ω为驱动力矩的角频率，令

ω02=k J ，2δ=b J ，m =M 0J

则式（1）可写为

d 2θdt 2+2δdθdt

+ω02

θ=m cos ωt (2) 式中δ为阻尼系数，ω0为摆轮系统的固有频率。在小阻尼(δ2−ω2)条件下，方程（2）的通解为：

θ=θa e −δt cos (ω0t +a )+θb cos(ωt +φ)

此解为两项之和，由于前一项会随着时间的推移而消失，这反映的是一种暂态行为，与驱动力无关。第二项表示与驱动力同频率且振幅为θb 的振动。可见，虽然刚开始振动比较复杂，但是在不长的时间之后，受迫振动会到达一种稳定的状态，称为一种简谐振动。公式为：

θ=θb cos (ωt +φ) (3)

振幅θb 和初相位φ（φ为受迫振动的角位移与驱动力矩之间的相位差）既与振动系统的性质与阻尼情况有关，也与驱动力的频率ω和力矩的幅度M 0有关，而与振动的初始条件无关（初始条件只是影响达到稳定状态所用的时间）。θb 与φ由下述两项决定：

θb =m

√(ω02−ω2)2+4δ2ω

2（4）

φ=arctan −2δω

ω02−ω2

（5）

1.2共振

由极值条件ðθ

b ðω=0可以得出，当驱动力的角频率为ω=√ω02

−2δ2时，受迫振动的

振幅达到最大值，产生共振：

共振的角频率ωr =√ω02

−2δ2

振幅：θr =2δ√ω0

−δ2（6）

相位差φr =arctan (

−√ω0

2−2δ2δ

)

由上式可以看出，阻尼系数越小，共振的角频率ωr 越接近于系统的固有频率ω0，共振振幅θr 也越大，振动的角位移的相位滞后于驱动力矩的相位越接近于π/2.

下面两幅图给出了不同阻尼系数δ的条件下受迫振动系统的振幅的频率相应（幅频特性）曲线和相位差的频率响应（相频特性）曲线。

受迫振动的幅频特性 受迫振动的相频特性

1.3阻尼系数δ的测量

(1)由振动系统作阻尼振动时的振幅比值求阻尼系数δ

摆轮如果只受到蜗卷弹簧提供的弹性力矩−kθ,轴承、空气和电磁阻尼力矩−b dθ

dt ，

阻尼较小（δ2<ω02

）时，振动系统作阻尼振动，对应的振动方程和方程的解为：

d 2θdt 2+2δdθdt

+ω02

θ=0 θ=θa e −δt cos (ωa t +a )

ωa =√ω02

−δ2

可见，阻尼振动的振幅随时间按指数律衰减，对相隔n 个周期的两振幅之比取对数，

则有：

ln θ0θn =ln θa e −δt θa e −δ(t+nT)

=nδT 实际的测量之中，可以以此来算出δ值。其中，n 为阻尼振动的周期数，θ0为计时开始时振动振幅，θn 为的n 次振动时振幅，T 为阻尼振动时周期。

（2）由受迫振动系统的幅频特性曲线求阻尼系数δ（只适合于δ2≪ω02

时的情况）

由幅频特性可以看出，弱阻尼δ2≪ω02

情况下，共振峰附近ωω0⁄≈1，ω+ω0≈2ω0，由（4）和（6）可得：

θb θr =2δ√ω02

−δ2√(ω02−ω2)2+4δ2ω

2≈δ√(ω−ω0)2+δ2

当θb =θ

r √2

⁄时，由上式可得：ω−ω0≈±δ。

在幅频特性曲线上可以直接读出θb =θr √2

⁄处对应的两个横坐标ω+ω0⁄和ω

−ω0⁄，从

而可得：

ω+−ω−=2δ （8）

2. 实验仪器

伯尔共振仪，如图：

3. 实验数据及其处理

3.1

由拟合直线可以看出周期T与振幅θ的关系式为：

T=−6.6801∗10−5∗θ+1.5800

说明：

（1）由于材料的性质和制造工艺等原因，使得弹簧系数k在扭转角度θ的改变而略有变化（3%左右）。为此测出周期与振幅之间的关系曲线，供作幅频特性曲线和相频特性曲线是查用，有效减小实验的系统误差。

（2）由于实验测量精度的原因，测量值无法表现出一种连续性的变化。所以在图上的描点会出现这样的情况。采用直线拟合效果也是比较好的。

3.2观察研究摆轮的阻尼振动

由公式：

ln θ0

θn

=ln

θa e−δt

θa e−δ(t+nT)

=nδT

可以得出：

ln 150

71

=15.735∗δ

所以：

δ=0.04753