坐标系及直角坐标与极坐标间的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化一、引言极坐标和直角坐标是两种常用的描述平面上点位置的方式。
在数学和物理学中，这两种坐标系都有广泛的应用。
本文将介绍极坐标方程与直角坐标方程之间的互化关系。
二、极坐标系和直角坐标系的定义1. 极坐标系极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它使用极径和极角来表示点在平面上的位置。
其中，极径表示点到原点的距离，而极角表示该点与正半轴之间的夹角。
通常用符号(r,θ)表示一个点在极坐标系中的位置。
2. 直角坐标系直角坐标系是一种描述平面上点位置的方式，它使用x轴和y轴上的数值来表示点在平面上的位置。
通常用符号(x,y)表示一个点在直角坐标系中的位置。
三、从直角坐标系到极坐标系1. 由(x,y)求(r,θ)要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
其中，r可以通过勾股定理求得：r = √(x² + y²)而θ可以通过反三角函数求得：θ = arctan(y/x) (当x>0时)θ = arctan(y/x) + π (当x<0,y≥0时)θ = arctan(y/x) - π (当x<0,y<0时)θ = π/2 (当x=0,y>0时)θ = -π/2 (当x=0,y<0时)θ = 未定义 (当x=0,y=0时)2. 由(r,θ)求(x,y)要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，需要求出该点在x轴和y 轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)四、从极坐标系到直角坐标系1. 由(r,θ)求(x,y)同样地，要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，也需要求出该点在x轴和y轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)2. 由(x,y)求(r,θ)同样地，要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，也需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
极坐标与直角坐标的互化dxdydz
极坐标与直角坐标的互化dxdydz背景介绍在数学和物理学中，坐标系是描述空间中点位置的系统。
常见的坐标系包括直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系使用(x, y, z)形式表示点的位置，其中x、y、z分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影。
而极坐标系则使用(r, θ, z)形式表示点的位置，其中r是点到原点的距离，θ是点到正x轴的极角，z表示点在z轴上的投影。
两种坐标系有不同的表示方式，但它们之间存在一种互化的关系。
极坐标转直角坐标将一个点的极坐标(r, θ, z)转换为直角坐标(x, y, z)的过程可以通过以下公式实现：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数。
这两个公式分别表示通过点的极角和极径计算其在x轴和y轴上的投影。
举例来说，如果有一个点的极坐标为(3, π/4, 2)，那么我们可以使用上述公式得到该点的直角坐标为：x = 3 * cos(π/4) ≈ 2.121y = 3 * sin(π/4) ≈ 2.121z = 2因此，该点的直角坐标为(2.121, 2.121, 2)。
直角坐标转极坐标将一个点的直角坐标(x, y, z)转换为极坐标(r, θ, z)的过程可以通过以下公式实现：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)其中，sqrt表示平方根函数，atan2表示反正切函数。
这两个公式分别表示通过点的直角坐标计算其极径和极角。
举例来说，如果有一个点的直角坐标为(1, 1, 1)，那么我们可以使用上述公式得到该点的极坐标为：r = sqrt(1^2 + 1^2) ≈ 1.414θ = atan2(1, 1) ≈ 0.785z = 1因此，该点的极坐标为(1.414, 0.785, 1)。
极坐标和直角坐标的应用极坐标和直角坐标可以在不同领域中发挥重要作用。
在物理学中，直角坐标常用于描述力、速度和加速度等物理量的分量。
极坐标方程和直角坐标方程怎么互化三维
极坐标方程和直角坐标方程怎么互化三维在三维几何学中，我们常用的坐标系统是直角坐标系，也称为笛卡尔坐标系。
这种坐标系使用三个坐标轴（x、y、z轴）来表示空间中任意一点的位置。
然而，在某些情况下，使用极坐标系来描述三维空间中的点更加方便和直观。
极坐标系使用极径（r）、极角（θ）和高度（h）来表示一个点的位置。
互换的必要性在一些领域，如天体物理学、工程设计和计算机图形学中，常常需要在直角坐标系和极坐标系之间进行互换。
通过这种互换，我们可以更方便地描述和处理某些特定几何形状和问题。
极坐标方程转直角坐标方程下面我们来介绍如何将给定的极坐标方程转换为直角坐标方程。
假设我们有一个极坐标方程，形如：r = f(θ)其中f(θ)是一个关于极角θ的函数。
要将其转换为直角坐标方程，我们可以使用以下关系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)通过这些关系，我们可以将极坐标方程中的r和θ转换为直角坐标系中的x和y。
这样，我们就得到了一个用直角坐标表示的方程。
这个方程描述了一个曲线、平面或曲面，并可以在直角坐标系中方便地进行分析和计算。
直角坐标方程转极坐标方程与极坐标方程转换为直角坐标方程相反，我们也可以将给定的直角坐标方程转换为极坐标方程。
假设我们有一个直角坐标方程，形如：F(x, y) = 0其中F(x, y)是一个关于x和y的函数。
要将其转换为极坐标方程，我们可以使用以下关系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)将上述方程代入直角坐标方程，我们可以得到：F(r * cos(θ), r * sin(θ)) = 0这样，我们就得到了一个用极坐标表示的方程。
这个方程描述了一个极坐标系中的曲线、极面或极体，并可以在极坐标系中方便地进行分析和计算。
示例让我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个极坐标方程：r = 2sin(θ)。
根据之前的转换关系，我们可以将其转换为直角坐标方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)代入r = 2sin(θ)：x = 2sin(θ) * cos(θ)y = 2sin(θ) * sin(θ)化简得：x = 2sin(θ) * cos(θ) = sin(2θ)y = 2sin^2(θ) = 1 - cos(2θ)通过这个转换，我们将极坐标方程r = 2sin(θ)转换为了直角坐标方程x = sin(2θ)和y = 1 - cos(2θ)。
极坐标与直角坐标的互化范围怎么确定
极坐标与直角坐标的互化范围怎么确定导言在数学和物理学中，坐标系统是一种描述和定位空间中点位置的方法。
极坐标和直角坐标是两种常见的坐标系统，它们各自有着特定的使用场景和优势。
在某些情况下，我们需要在两种坐标系统之间进行转换，因此确定极坐标与直角坐标的互化范围非常重要。
直角坐标与极坐标的基本概念直角坐标系统是我们最为熟悉的坐标系统，它由笛卡尔坐标系发展而来，通过两个相互垂直的坐标轴来描述一个点的位置。
这两个坐标轴一般被称为x轴和y轴。
直角坐标系中的任意点可以表示为(x, y)，其中x是点在x轴上的投影，y是点在y轴上的投影。
相比之下，极坐标系统则通过极径和极角来描述一个点的位置。
极径表示点到极点（原点）的距离，而极角表示从极点出发的射线与极径间的夹角。
极坐标系统中的任意点可以表示为(r,θ)，其中r是极径，θ是极角。
极坐标与直角坐标的转换为了确定极坐标与直角坐标的互化范围，我们需要了解坐标之间的转换关系。
直角坐标转换为极坐标已知一个点的直角坐标(x, y)，我们可以通过以下公式将其转换为极坐标(r,θ)：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，sqrt表示开平方运算，arctan表示反正切运算。
需要注意的是，在直角坐标系中，角度的取值范围是 [-π, π]，而在极坐标系中，角度的取值范围是[0, 2π) 或者 [0, 360°)。
极坐标转换为直角坐标已知一个点的极坐标(r,θ)，我们可以通过以下公式将其转换为直角坐标(x, y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos表示余弦运算，sin表示正弦运算。
确定互化范围的依据互化范围的确定通常取决于具体的应用场景和问题要求。
对于直角坐标转换为极坐标，互化范围可以由坐标轴分界线确定，即当x轴或y轴上的坐标为0时，对应的极径和极角都应为0。
此外，由于极角的周期性，我们还可以根据题意或问题要求在极角上进行限制，如取[0, 2π] 或 [0, 360°]。
直角坐标与极坐标的互化
解：根据极坐标的定义
tan y tan 3 y
x
4x
即y x( y 0)
试一试
（1） 3 的直角坐标方程是
4
解：根据极坐标的定义
tan y tan 3 y
x
4x
即y x( y 0)
（2）极坐标方程 sin 2 cos所表示的
4
3
6
试一试
1.将下列各点的极坐标化为直角坐标:
( 2, ), (6, ), (2,11 ), (5, ).
4
3
6
2.将下列各点的直角坐标化为极坐标:
(1,1), (0,5), ( 3,1).
试一试
（1） 3 的直角坐标方程是
4
试一试
（1） 3 的直角坐标方程是
24
2
半径为 5 的圆。 2
（2）极坐标方程 sin 2 cos所表示的
曲线是
解：将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定的不恒等于零，用同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为x2 y2 y 2x
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点(1, 1 )为圆心，
思考
平面内的一个点既可以用直角坐标 表示，也可以用极坐标表示，那么，这 两种坐标之间有什么关系呢？
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位.
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
应力极坐标与直角坐标的互化公式推导
应力极坐标与直角坐标的互化公式推导
首先，我们知道直角坐标系和极坐标系之间存在一定的转换关系。
假设一个点在直角坐标系中的坐标为(x, y)，在极坐标系中的坐标为(r, θ)，则它们之间的关系可以表示为：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
而相应地，极坐标系中的坐标可以通过直角坐标系中的坐标表示为：
r = sqrt(x^2 + y^2)
θ = arctan(y/x)
其中，arctan表示反正切函数。
接下来，我们可以通过三角函数的定义和勾股定理来推导这些公式。
假设有一个点P在直角坐标系中的坐标为(x, y)，则点P在极坐
标系中的坐标可以表示为(r, θ)。
我们可以通过直角三角形的定义，
假设点P到x轴的距离为x，到y轴的距离为y，到原点O的距离为r，则有：
r = sqrt(x^2 + y^2)
而根据三角函数的定义，我们知道cos(θ) = x / r，sin(θ) =
y / r。
因此，可以得出：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
同时，我们知道tan(θ) = y / x，即θ = arctan(y/x)。
由上述推导可知，直角坐标系与极坐标系之间存在一定的转换关系，并且通过一些简单的三角函数关系可以相互转化。
这对于一些特
定问题或者坐标系下的运算提供了便利，可以更加灵活地运用不同的
坐标系来解决问题。
讲坐标系第极坐标和直角坐标的互化
04
极坐标与直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的转换公式
极坐标系中的位置由两个角度和半径确定，其中角度以极轴为0度，顺时针增加角度，而半径从极轴的 长度开始。
直角坐标系中，点的位置由x和y坐标确定，其中x轴沿水平方向，y轴沿垂直方向。
极坐标与直角坐标之间的转换公式为：x = rcos(θ)，y = rsin(θ)，其中(r, θ)为极坐标系中的坐标，(x, y) 为直角坐标系中的坐标。
03
直角坐标系
直角坐标系的基本概念
定义
01
直角坐标系是一个二维坐标系统，其中点被定义为一对数值，
称为坐标。
坐标轴
02
在直角坐标系中，垂直相交的两条数轴称为坐标轴。
象限
03
在直角坐标系中，将平面分为四个象限，每个象限都包括一个
坐标轴和原点。
直角坐标系中的点和弧长
点
在直角坐标系中，每个点都有一个唯一 的坐标值，可以通过水平和垂直轴上的 刻度来测量。
在极坐标系中，一条曲线可以由其上面的一系列点来定义，这些点满足某个极坐标方程。弧长可以由这些点的极 径和极角计算出来。
极坐标系中的曲线方程
极坐标系中的曲线方程
在极坐标系中，曲线的形状由极径和极角的函数关系来定义，这种函数关系就是曲线在该坐标系下的 方程。
常见的极坐标系中的曲线方程
例如，圆形、椭圆形、心形等曲线的极坐标方程都有各自的形式。
03
极坐标系和直角坐标系之间的 转换是一个非常重要的数学技 能，也是解决许多实际问题的 基础。
课程知识点概述
极坐标系与直角坐标系之间的转换公式 极坐标系与直角坐标系在实际问题中的应用
极坐标系与直角坐标系的定义和性质
如何使用转换公式进行极坐标系与直角坐标系之间的转 换
坐标系及直角坐标与极坐标间的互化
O(0,0),可以看出△AOB 是以∠OBA 为直角的等腰直
角三角形,故选 D.
7
极坐标与直角坐标间的互化
在极坐标系中,点 P(2, )和点 Q(4, )之间的距
离为 2 .
= ,
【解析】(法一)用公式
把点
= ,
当堂达标
1.在极坐标系中,若点 A,B 的坐标分别是(2, )和(3,- ),则△AOB 为( B ).
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
【解析】由题意知∠AOB= -(- )= ,故选 B.
2.将极坐标(6, )化为直角坐标为( C ).
A.(-3 ,3)
创设情境
为了得到函数y=2sin2x的图象,需把函数
y=sinx的图象进行怎样的变换?
课前预习导学
问题1 对上述函数图象进行伸缩变换,即先把函数 y=sinx 的图象上
所有的点沿着 x 轴缩短到原来的一半 ,再沿着y 轴伸长到原来的 2 倍 ,
即可得到函数 y=2sin2x 的图象.
问题2
平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义,设点 P(x,y)是
M(ρ,θ)
.
问题4
直角坐标与极坐标如何互化?
将点 M 的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的
= ,
=
关系式为
;
将点 M 的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的
= + ,
关系式为 = ( ≠ ) .
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课题：坐标系及直角坐标与极坐标间的互化
【学习目标】
1.通过实例了解平面直角坐标系的建立与应用,掌握直角坐标系中的伸缩变换,并灵活地进行变换.
2.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用.
3.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.
【重点难点预测】
重点：极坐标的定义
难点：直角坐标与极坐标间的互化
【学法指导】
小组合作、讨论交流
【导学流程】
一、创设情境
为了得到函数y=2sin2x的图象,需把函数y=sinx的图象进行怎样的变换?
二、课前预习导学
问题1:对上述函数图象进行伸缩变换,即先把函数y=sinx的图象上所有的点沿着,再沿着,即可得到函数y=2sin2x的图象.
问题2:平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义,设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换ϕ:的作用下,点P(x,y)对应到点(x,y)
P''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
问题3:极坐标系是如何建立的?点M的极坐标是如何定义的?
在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其(通常取方向),这样就建立了一个.
对于平面内任意一点M,用表示点M到极点O的距离,用表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M 的,记为.
问题4:直角坐标与极坐标如何互化?
将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为;
将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为.
三、基础学法交流1.直角坐标P(10,5)按照伸缩变换公式
1
2
1
2
x x
y y
⎧'
=
⎪⎪
⎨
⎪'=
⎪⎩
变换后的坐标是( ).
A.P'(10,10)
B.P'(5,10)
C.P'(10,-5)
D.P'(5,5)
2.将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为( ).
A.
1
3
2
x x
y y
⎧'
=
⎪
⎨
⎪'=
⎩
B.
1
2
3
x x
y y
⎧'
=
⎪
⎨
⎪'=
⎩
C.
3
1
2
x x
y y
'=
⎧
⎪
⎨
'=
⎪⎩
D.
3
2
x x
y y
'=
⎧
⎨'
=
⎩
3.点P
的直角坐标为(,那么它的极坐标可表示为.
4.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换
1
2
1
3
x x
y y
⎧'
=
⎪⎪
⎨
⎪'=
⎪⎩
后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,其曲线方程是什么?
四、展示提升：
图形的伸缩变换
例一、求满足由曲线2x2-3y2=12变成曲线x2-y2=1的图形变换的伸缩变换.
极坐标
例二、已知极坐标系中点(2,)
2
A
π
,3)
4
B
π,O(0,0),则△AOB为( ).
A.等边三角形
B.顶角为钝角的等腰三角形
C.顶角为锐角的等腰三角形
D.等腰直角三角形
极坐标与直角坐标间的互化
例三、在极坐标系中,点(2,)3P π和点5(4,)6
Q π
之间的距离为
.
【当堂检测】
1.在极坐标系中,若点A,B 的坐标分别是(2,)3
π和(3,)6π
,则△AOB 为( ).
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
2.将极坐标4(6,)3
π
化为直角坐标为( ).
3.在极坐标系中,已知两点A,B 的极坐标分别为(3,)3π,(4,)6π
,则△AOB(其中O 为极点)的面积
为 .
4.在极坐标系中,已知三点M 5(2,)3π,N (2,0)
,P )6
π
.
(1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标; (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上.
【达标测评】
1、求把椭圆22
1416
x y +
=变换成圆2264x y +=的伸缩变换.
2、极坐标平面内两点3(4,
),Q(,)24
P ππ
ρ-
则ρ= .
3、在极坐标系中,已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (2,)3
π,B (2,)π,C 5(2,)3π
.
(1)判断△ABC 的形状; (2)求△ABC 的面积.
4、求将椭圆22
143
x y +
=变成长轴为12,离心率为12的椭圆的伸缩变换.
【知识清单】
【自主反思】。