坐标系及直角坐标与极坐标间的互化

课题：坐标系及直角坐标与极坐标间的互化

【学习目标】

1.通过实例了解平面直角坐标系的建立与应用,掌握直角坐标系中的伸缩变换,并灵活地进行变换.

2.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用.

3.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.

【重点难点预测】

重点：极坐标的定义

难点：直角坐标与极坐标间的互化

【学法指导】

小组合作、讨论交流

【导学流程】

一、创设情境

为了得到函数y=2sin2x的图象,需把函数y=sinx的图象进行怎样的变换?

二、课前预习导学

问题1:对上述函数图象进行伸缩变换,即先把函数y=sinx的图象上所有的点沿着,再沿着,即可得到函数y=2sin2x的图象.

问题2:平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义,设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换ϕ:的作用下,点P(x,y)对应到点(x,y)

P''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

问题3:极坐标系是如何建立的?点M的极坐标是如何定义的?

在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其(通常取方向),这样就建立了一个.

对于平面内任意一点M,用表示点M到极点O的距离,用表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M 的,记为.

问题4:直角坐标与极坐标如何互化?

将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为;

将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为.

三、基础学法交流1.直角坐标P(10,5)按照伸缩变换公式

1

2

1

2

x x

y y

⎧'

=

⎪⎪

⎨

⎪'=

⎪⎩

变换后的坐标是( ).

A.P'(10,10)

B.P'(5,10)

C.P'(10,-5)

D.P'(5,5)

2.将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为( ).

A.

1

3

2

x x

y y

⎧'

=

⎪

⎨

⎪'=

⎩

B.

1

2

3

x x

y y

⎧'

=

⎪

⎨

⎪'=

⎩

C.

3

1

2

x x

y y

'=

⎧

⎪

⎨

'=

⎪⎩

D.

3

2

x x

y y

'=

⎧

⎨'

=

⎩

3.点P

的直角坐标为(,那么它的极坐标可表示为.

4.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换

1

2

1

3

x x

y y

⎧'

=

⎪⎪

⎨

⎪'=

⎪⎩

后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,其曲线方程是什么?

四、展示提升：

图形的伸缩变换

例一、求满足由曲线2x2-3y2=12变成曲线x2-y2=1的图形变换的伸缩变换.

极坐标

例二、已知极坐标系中点(2,)

2

A

π

,3)

4

B

π,O(0,0),则△AOB为( ).

A.等边三角形

B.顶角为钝角的等腰三角形

C.顶角为锐角的等腰三角形

D.等腰直角三角形

极坐标与直角坐标间的互化

例三、在极坐标系中,点(2,)3P π和点5(4,)6

Q π

之间的距离为

.

【当堂检测】

1.在极坐标系中,若点A,B 的坐标分别是(2,)3

π和(3,)6π

,则△AOB 为( ).

A.钝角三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.等边三角形

2.将极坐标4(6,)3

π

化为直角坐标为( ).

3.在极坐标系中,已知两点A,B 的极坐标分别为(3,)3π,(4,)6π

,则△AOB(其中O 为极点)的面积

为 .

4.在极坐标系中,已知三点M 5(2,)3π,N (2,0)

,P )6

π

.

(1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标; (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上.

【达标测评】

1、求把椭圆22

1416

x y +

=变换成圆2264x y +=的伸缩变换.

2、极坐标平面内两点3(4,

),Q(,)24

P ππ

ρ-

则ρ= .

3、在极坐标系中,已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (2,)3

π,B (2,)π,C 5(2,)3π

.

(1)判断△ABC 的形状; (2)求△ABC 的面积.

4、求将椭圆22

143

x y +

=变成长轴为12,离心率为12的椭圆的伸缩变换.

【知识清单】

【自主反思】