高三数学数列综合(理)人教版知识精讲

高三数学数列综合（理）人教版

【同步教育信息】 本周教学内容： 数列综合

重点、难点:

1. 等比、等差数列综合应用。

2. 利用等比等差数列，研究非等差等比数列。

3. 求｛a n ｝的最大项。

【典型例题】

［例1］ 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上

4所得三个数成等差数列，如果再把这

个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解:等差数列为a d ， a ， a d

2 ... (a d) (a d) (a 4)

2

(a d)(a d 32) a a 2 d 2

a 2 8a 16(1)

① d 8 a 10

② d - a 26

3

9

•••此三数为 2、6、18 或-、10、50

9 9

9 ［例2］等差数列｛a n ｝中, a 1

393, a 2 a 3

768 , {b n }是等比数列，q (0,1),

b 1 2 , ｛b n ｝所有项和

为

20,求

(1)求 a n 、b n

（2）解不等式归

a 2m

160b 2

m 1

解：

(1)： 2a 1 3d

768 • d 6

a n 6n

399

b 1

“

9 9 n 1

20

q

b n

2 () 1 q

10

10

-m(a m 1

a 2m

)

9

不等式

2

9

160 2 —

m 1

10

2 2

(a d ) 32(a

2

.a 8a 16 32a

2

1 d 8

(4d 2)

3

2

3d 32d 64 0

2

d) a (2)

2

32d a 2 3a 4d

16

(3d 8)( d 8) 0 0代入（1）

1

m(6m 39 2 3 12m 399)

16 1 8 (m 1)

9m 2 396m 1 6 18 (m 1) 0 2 m

12m

i 32 0

(m 4)(m 8) 0 m {4,5 6

7,8}

[例 3] { a n ｝

等差，｛b n ｝

等比，a 1

b

, a 2 b 2 0 , a 1 a 2,求证：a n b n ( n 3) 解: a 2 b 2 a 1 d

a.

.q

• d a,q 1)

b n

n 1

a n ae

a 1 (n

1)d

ad(q n 1 1)

(n 1)(q 1)]

a/q 1)(q n 2 n 3

q

1) (n 1)(q 1)]

a,q

1)[(q n 2

1) (n 1)]

a,q

1)[(q n 2

1)

(q n 3

1)

(

q 1) (1

1)]*

q (0,1) q 1 0 q n

1 0

* 0

q (1,

) q

1 0 n

q 1 0 *

nN

n 3 时，b n a n

［例4］等差数列｛a *｝所有项依次排，并分组，(aj(a 2a 3)(a 4a 5a 6a 7)(a 8 ) ，第m 组 中有2m 1个数，和记为T n ，并且T 3 48 , T 4 0，求：

("求 T n ； (2) S n

T 1

T 2

T n

，求 S n 。

解：

a 4 a 5

a 6 a 7

48 a

21 a 8

a 9

a 15

d 2

T n 中共2n 1个数，依次成等差数列 T i ~ T n 1 共有数 1 2 2n 2 2n 1 1 项

•- T n 的第一个为 a 2n 1

21 (2n1 1) 2

[例 5] an a 12 a 13 a 14

a 1n

2

数表由n 个正数组成 a 21 a 22 a 23 a 24

a 2n 每一行成等差数列 a 31

a 32

a 33

a 34

a 3n

每一列成等比数列 a 41 a 42 a 43 a 44 a 4n

并且公比相等

?2n 1 23 2门1 ?2n 2 ?n 1

3 22n 2 3 2n 2

S n T 1

T 2

T n

3[( 20

22

2

：

2n 2

) (23

3 [

1(1 4n ) 23(1 2n ) ]4n

[

1 4 1 2

4n 24 2n 23 (2n 23)(2n

2n 2)]

1 3 2n 3 24

1) a 1 a 2

a 2n 1

••• T n 2n 1 (2n 23) -!(2n 1) (2n 1 1) 2

2