高中数学必修5常考题型：基本不等式 .doc
高中数学必修5基本不等式
三相等
应用举例 利用基本不等式判断大小关系
例1：设0<a<1，给出下列不等式
(1)a(1 a) 1 4
(2)a2 1a2112
其中恒成立的是 ____(_1_)___
解:
一正
二定
（ 2 ） 显 然 a 2 1 0 ,a 2 1 12 (a 2 1 ) 1 2
高中数学必修5基本不等式
2002年第24届国际数学家大会 在北京举行
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会标的设计源中国 古代数学家赵爽为了证 明发明于中国周代的勾 股定理而绘制的弦图。 它既标志着中国古代的 数学成就，又像一只转 动的风车，欢迎来自世 界各地的数学精英们。
不你
D证 ab_2__a_ b _0 ③
要证③，只要证 (__a ___b _)2 0 ④
显然④是成立的，当且仅当_a____b_时，等号成立
几何解释 abab(a0,b0)
2
∵ Rt△ACD ∽ Rt△DCB
D
∴ CD2 = AC ·BC
∴ CD= ab
A
?
a CbB
由“半径不小于半弦”得：
理可以叙述为：两个正数的等差中项不小
于它们的等比中项.
2.在数数，a学b 中称，为a a2 、b 我b的们几称何为平a、均b数的.本算节术定平理均
还可叙述为：两个正数的算术平均数不小
于它们的几何平均数.
常用的不等式：
①重要不等式： a2b22ab
②基本不等式： abab(a0,b0) 2
③基本不等式的变形：
（当且仅当a=b时，等号成立）
特别地，如果a>0、b>0,用 a、 b 分别 代替a、b得：
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
必修5基本不等式(含答案)
基本不等式及其应用[考点梳理]1．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥________ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则________，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有________，即a ＋b ≥________，a 2＋b 2≥________.简记为：积定和最小．6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即________，亦即________；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即_____.简记为：和定积最大．7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b≤________≤a ＋b 2≤________，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠： 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2 ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 22[基础自测]设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取等号，故选B.已知向量m ＝(2，1)，n ＝(2－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 解：依题意得2a ＝2－b ，即2a ＋b ＝2(a ＞0，b ＞0)，∴2＝2a ＋b ≥22ab ，∴ab ≤12，当且仅当2a ＝b ＝1时取等号，∴ab 的最大值是12.故选A.设f (x )＝lnx ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 解：p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，∵a ＋b 2＞ab ，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )．∴q ＞p ＝r.故选C. 若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立．故填22.已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则实数a ＝________. 解：f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x ＞0，a ＞0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，∴a2＝3，∴a ＝36.故填36. [典例解析]类型一 利用基本不等式求最值(1)函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1(x ＞－1)的值域为________．解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝（m ＋4）（m ＋1）m ＝m ＋4m ＋5≥2m ·4m ＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞)．故填[9，＋∞)．(2)若a >b >0，则代数式a 2＋1b （a －b ）的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解：∵b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋（a －b ）22＝a 24，∴a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋1a 24＝a 2＋4a 2≥4，当且仅当b＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时等号成立．故选C.小结：基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”，使之为定值．(1)已知t ＞0，则函数f (t )＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解：∵t ＞0，∴f (t )＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥－2，当且仅当t ＝1时，f (t )min ＝－2，故填－2.(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (Ⅰ)xy 的最小值； (Ⅱ)x ＋y 的最小值．解：(Ⅰ)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．(Ⅱ)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，∵x ＞0，∴y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．类型二 利用基本不等式求参数范围已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b－3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3解：∵a >0，b >0，∴由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．∵3b a ＋3ab ≥23b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，故10＋3b a ＋3a b ≥16，∴m ≤16，即m 的最大值为16.故选B.小结：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；(3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；(4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．若关于x 的不等式mf (x )≤e－x＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为________．解：由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令t ＝e x (x ＞0)，则t ＞1，且m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t ＞1成立．∵t －1＋1t －1＋1≥2（t －1）·1t －1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立．故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.类型三 利用基本不等式解决实际问题某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．解：(1)作GH ⊥EF ，垂足为H. ∵DN ＝x ，∴NH ＝40－x ，NA ＝60－x ，∵NH HG ＝NAAM ，∴40－x 10＝60－x AM ，∴AM ＝600－10x 40－x.S 五边形MBCDN ＝S 矩形ABCD －S △AMN ＝40×60－12·AM ·AN ＝2 400－5（60－x ）240－x .∵N 与F 重合时，AM ＝AF ＝30适合条件，∴x∈(0，30]．(2)y ＝2 400－5（60－x ）240－x ＝2 400－5[(40－x )＋40040－x ＋40]，当且仅当40－x ＝40040－x ，即x ＝20∈(0，30]时，y 取得最大值2 000, ∴当DN ＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 2 000 m 2.小结：建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m 2，问a ，b 各为多少m 时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔面积忽略不计)．解法一：设y 为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝kab ，其中k 是比例系数且k ＞0.依题意要使y 最小，只需ab 最大．由题设得：4b ＋2ab ＋2a ≤60(a ＞0，b ＞0)，即a ＋2b ≤30－ab (a ＞0，b ＞0)．∵a ＋2b ≥22ab ， ∴22·ab ＋ab ≤30，得0＜ab ≤32.当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 最大值为18，此时得a ＝6，b ＝3. 故当a ＝6 m ，b ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少． 解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2，代入y ＝kab 求解．[归纳小结]1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22；③ab ≤ 14(a ＋b )2；④⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c 3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b 型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点． [课后作业]1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．aC ．3 D.2aa －1解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．故选C.2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( ) A.14 B ．4 C.12D ．2 解：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，∴1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．故选C.3．函数f (x )＝5－4x ＋x 22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x ＋(2－x )≥2·12－x·（2－x ）＝2，当且仅当12－x ＝2－x 时上式取等号．而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b＜2ab2ab ＝ab.又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A.5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5解：依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ]≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.6．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab 时取等号．故选D.7．点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，∴mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2.故填－2.8．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解：易知定点A (0，0)，B (1，3)．且无论m 取何值，两直线垂直．所以无论P 与A ，B 重合与否，均有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上)．所以|PA |·|PB |≤12(|PA |2＋|PB |2)＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立．故填5.9．(1)已知0＜x ＜43，求x (4－3x )的最大值；(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值．解：(1)已知0＜x ＜43，∴0＜3x ＜4.∴x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时“＝”成立．∴当x ＝23时，x (4－3x )取最大值为43.(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝223＝42. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4y ，x ＋2y ＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时“＝”成立．∴当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时，2x ＋4y 取最小值为42.10．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b 2的最大值．解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤24，ab≤18，∴S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2ab＋4ab－1≤2－12.当且仅当a＝14，b＝12时，等号成立．11．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥22x×3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272.当且仅当2x＝3y时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，2x＋3y＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝⎝⎛⎭⎪⎫9－32y y＝32(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y）＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，xy＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝6，y＝4.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝6⎝⎛⎭⎪⎫16y＋y≥6×216y×y＝48，当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．如图所示，已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面112米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．解：问题转化为求△ABC中∠BCA的取值范围．过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.设该人距离此树的距离CD＝x米，看A，B的视角最大，即∠BCA最大．不妨设∠BCD＝α，∠ACD＝β，则∠BCA＝β－α，且tanα＝4x ，tanβ＝9x，所以tan(β－α)＝9x－4x1＋9x×4x＝5xx2＋36＝5 x＋36x≤52x×36x＝512，当且仅当x＝36x，即x＝6时取等号，此时∠BCA最大．故填6.不等式检测1．已知集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋2x －2≤0，则A ∩B ＝( )A ．[－1，1]B ．[－1，2)C ．[1，2)D ．[－2，－1]解：依题意，集合A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |－2≤x <2}，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．故选D.2．不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1)⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3．若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则不等式f (x 2－1)<0的解集为( ) A ．(－1，0) B ．(－2，0)∪(0，2) C ．(0，2) D ．(1，2)解：∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)＝|x |－1.∴f (x 2－1)＝|x 2－1|－1.解不等式|x 2－1|－1<0，得0<x 2<2，∴x ∈(－2，0)∪(0，2)．故选B.4．若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A ．a 2 B.12a 2 C ．a D.12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形．故选B.5．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23 B .223 C.33 D.233解：∵x 2＋3xy －1＝0，∴y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B.6．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由程序框图知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，目标函数S ＝2x ＋y ∈[0，2]，否则，S ＝1.因此，输出的S的最大值为2.故选C.7．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 解法一：∵x ∈[1，5]，∴不等式变形为a >－x ＋2x ，∵x ∈[1，5]时，y ＝－x ＋2x 单调递减，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1，∴要使不等式在[1，5]上有解，应有a >－235.解法二：一元二次方程x 2＋ax －2＝0的两根之积为－2，两根一正一负．对于二次函数y ＝f (x )＝x 2＋ax －2，开口向上．与x 轴交点一正一负，y ＞0，在区间[1，5]上有解，只需y ＝f (5)＞0即可.52＋5a －2＞0，∴a ＞－235.故选A.8．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝()A ．2B ．3C ．4D ．5解：显然m ＞2，作出⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m 的可行域，当⎩⎨⎧x ＝m ＋13，y ＝2m －13 时z ＝x －y 的最小值为－1，解得m ＝5.故选D.9．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2解：圆的直径是4，说明直线过圆心(－1，2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a2b ≥32＋2(当且仅当a ＝22－2，b ＝2－2时等号成立)，故选C. 10．设函数f (x )＝3sin πx m ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解：函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＋3<m 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＜m 2－3m 2，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122的最小值为14，∴只要m 2－3m 2＞14即可，得m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C.11．已知O 是坐标原点，点A (－1，0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OA→＋OM →|的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[2，5] C ．[1，2] D ．[0，5]解：OA →＋OM →＝(－1，0)＋(x ，y )＝(x －1，y )，设z ＝|OA →＋OM →|＝（x －1）2＋y 2，则z 2的几何意义为M 到定点E (1，0)的距离，由约束条件作出平面区域如图，由图象可知当M 位于点D (0，2)时，z 取得最大值z max ＝1＋4＝5，易知最小值z min ＝1，∴1≤z ≤5，即|OA→＋OM →|的取值范围是[1，5]．故选A. 12．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( )A ．－5B ．－4C ．－3D ．－2解：∵AB→·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝32|AB →||AC →|＝23，∴|AB →||AC →|＝4，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×4×12＝1，∵f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，∴12＋x ＋y ＝1，∴x ＋y ＝12，∵x >0，y >0，∴log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－4.故选B.13．已知集合A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝__________．解：∵A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}＝{x |－5<x <1}，又∵A ∩B ＝(－1，n )，画数轴可知m ＝－1，n ＝1.故填－1；1.14．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为4，则实数m ＝________.解：画出可行域如图所示，设z ′＝x ＋3y ，当平行直线系z ′＝x ＋3y 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时取最小值，有z ′min ＝12＋3×12＝2，此时，目标函数z ＝x ＋3y ＋m 取最小值，有z min ＝z ′min ＋m ＝2＋m ＝4，m ＝2.故填2.15．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．解：设两个正方形边长分别为a ，b (a ≤b )， 则由题可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，S ＝a 2＋b 2≥2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．故填12. 16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解：(1)F ＝76 000v ＋20×6.05v＋18≤76 00022＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立．(2)F ＝76 000v ＋20×5v ＋18≤76 00020＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.故填(1)1 900；(2)100.17．已知不等式kx 2－x ＋4k ＜0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，求实数k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围．解：(1)因为不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，所以－1和－4是方程kx 2－x ＋4k ＝0的两个实根，由韦达定理得x 1＋x 2＝1k ，解得k ＝－15.(2)不等式的解集为∅，则kx 2－x ＋4k ≥0恒成立，所以k ＞0且Δ＝1－16k 2≤0，解得k ≥14.18．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p >q >0，则提价多的方案是哪一种？解：设原价为a ，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)a ，方案乙：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∵1＋p %·1＋q %≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%(当且仅当p ＝q 时取等号)，∵p ＞q ＞0，∴1＋p %·1＋q %＜1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∴提价多的方案是方案乙．答：提价多的方案是方案乙．19．(1)解不等式4x －1≤x －1；(2)求函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值． 解：(1)4x －1≤x －1⇔4－（x －1）2x －1≤0⇔（x －3）（x ＋1）x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －1）（x －3）≥0，x ≠1⇔ x ≥3或－1≤x ＜1. ∴此不等式的解集为{x |x ≥3或－1≤x ＜1}．(2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴2x ＞0，1－2x ＞0，∴y ＝42x ＋91－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋91－2x [2x ＋(1－2x )]＝13＋9×2x 1－2x ＋4×（1－2x ）2x ≥25，当且仅当x ＝15时，等号成立，即函数的最小值为25.20．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，求a 2＋b 2的最小值．解法一：不等式组表示的平面区域如图所示，由于－ab ＜0，所以目标函数在点A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝45，b ＝25时等号成立．解法二：同解法一得2a ＋b ＝25.把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4. 21．某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ．每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t ，B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t ．甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t )，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，利润总额为z 元，那么⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ≤300，5x ＋4y ≤200，4x ＋9y ≤360，x ≥0，y ≥0；z ＝600x ＋1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域． 作直线l ：600x ＋1 000y ＝0，即直线l ：3x ＋5y ＝0， 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大．此时z ＝600x ＋1 000y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝200，4x ＋9y ＝360，得M 的坐标为x ＝36029≈12.4，y ＝1 00029≈34.4.故应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大．22．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1的两个极值点为x 1和x 2，x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，求f (－1)的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ， 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－2）＝12－8b ＋c ≥0，f ′（－1）＝3－4b ＋c ≤0，f ′（1）＝3＋4b ＋c ≤0，f ′（2）＝12＋8b ＋c ≥0.在平面直角坐标系bOc 中作图，图中阴影部分所示为可行域，易知f (－1)＝2b －c 在点(0，－3)取得最小值3，在点(0，－12)取得最大值12.∴3≤f (－1)≤12.故f (－1)的取值范围为[3，12]．。
高中必修5：基本不等式整理
xy xy
yx
当且仅当 x = 2 y ，即x=2- 2, y 2 1时等号成立. yx
(2) x 2 y 1 (x 2 y)(1 1 ) 1 (3 2 y x ) 3 2
2
xy 2 x y 2
当且仅当 2 y x ，即x= 1 2 , y 1 2 时等号成立.
3.4 基本不等式(2)
ab a b 2
一.知识梳理
1.基本不等式：ab a b (a，b R ) 2
当且仅当a b时，等号成立. 2.重要不等式：
a2 b2 2ab(a，b R),当且仅当a b时取等号.
3.基本不等式的变形：
(1) a b 2 ab(a，b R ),当且仅当a b时取等号. (2) a b 2(a, b同号)，当且仅当a b时取等号.
1 3
(
3x
43x 2
)
2
4 3
当且仅当3x 4 3x即x 2 时，等号成立.
3
所以f (x)的最大值是 4，此时x 2 .
3
3
例1（. 1）已知0 x 1, 求f (x) x(4 3x)的最大值；
（2）已知x 5 , 求f (x) 4x 2 1 的最大值.
4
4x 5
解：（2）因为x 5 ,所以4x 5 0, 4
f (x) (5 4x 1 ) 3 5 4x
2 (5 4x) 1 3 5 4x
=1 当且仅当5-4x 1 即x 1时，等号成立.
5 4x
所以f (x)的最大值是1，此时x 1.
例
2: 已 知
高中数学基本不等式
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
2 (1)已知0＜x＜ ，则y＝2x－5x2的最大值为______． 5 (2)(2012· 浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋ 4y的最小值是( ) 24 28 A. B. C．5 D．6 5 5
【审题视点】 (1)凑和为定值，添配系数；(2)将条件 3 1 变形 ＋ ＝1，然后注意“1”的代换． 5x 5y
高 考 体 验 · 明 考 情
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
1 ．当利用基本不等式求最大 ( 小 ) 值时，若等号取不
到，如何处理？ 【提示】 当等号取不到时，利用函数的单调性求解．
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号成立条件．
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2 ． 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二 定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为 拆、凑、代换、平方．
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单
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3 4 (1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，且 ＋ 的最小值是 x y ________． (2)(2013· 金华调研)设x，y为实数，若x2＋y2＋xy＝1， 则x＋y的最大值是________． 【解析】 (1)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1， 3 4 3 4 3y 4x ∴ ＋ ＝(x＋y)( ＋ )＝ ＋ ＋7 x y x y x y ≥2 3y 4x · ＋7＝7＋4 3， x y
高中数学：基本不等式(含答案)
高中数学：必修5 基本不等式一、基础知识1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )一般地，对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当______________时，等号成立．2．基本不等式如果a ＞0，b ＞0，那么2a bab +≤，当且仅当______________时，等号成立． 其中，2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．基本不等式的证明（1）代数法：方法一 因为a ＞0，b ＞0，所以我们可以用a ，b 分别代替重要不等式中的a ，b ，得22()()2a b a b +≥⋅，当且仅当a b =时，等号成立．即2a bab +≥( a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 方法二 因为2222()()2()0a b ab a b ab a b +-=+-=-≥， 所以20a b ab +-≥，即2a b ab +≥，所以2a bab +≤． 方法三 要证2a bab +≥，只要证2a b ab +≥，即证20a b ab +-≥，即证2()0a b -≥，显然2()0a b -≥总是成立的，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（2）几何法：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．易证Rt Rt ACD DCB △∽△，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝______________．这个圆的半径为2a b +，显然它大于或等于CD ，即2a bab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．2a bab +≤的几何意义：半径不小于半弦．4．重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式（1）2b a a b +≥(a ，b 同号)；2b aa b +≤-(a ，b 异号)． （2）12a a +≥(a ＞0)；12a a+≤-(a ＜0)． （3）114a b a b +≥+(a ＞0，b ＞0)；22a a b b≥-(a ＞0，b ＞0)．（4）222a b ab +≤，2()2a b ab +≤，4ab ≤a 2＋b 2＋2ab ，2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(,)a b ∈R ． （5）12212(,,,,2)nn n a a a a a a a n n n+++≥∈≥∈R N ,．（6）2121212111()()(,,,n n na a a n a a a a a a ++++++≥为正实数，且2)n n ≥∈N ,．5．均值不等式链若a ＞0，b ＞0，则2112a b a b+≤≤≤+，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中211a b +分别叫做a ，b 的调和平均数和平方平均数．6．最值定理已知x ＞0，y ＞0，则若x＋y 为定值s ，则当且仅当x ＝y 时，积xy 有最大值24s (简记：和定积最大)； 若xy 为定值t ，则当且仅当x ＝y 时，和x ＋y有最小值简记：积定和最小)．参考答案：重难易错点：一、利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件．例1.（1）设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f )，q ＝()2a b f +，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是 A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q（2）给出下列不等式：①12x x +≥；②1||2x x+≥；③21(0)4x x x +>>；④1sin 2sin x x +≥；⑤若0＜a ＜1＜b ，则log a b ＋log b a ≤－2．其中正确的是______________． 【答案】（1）B ；（2）②⑤．【点析】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等．一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换（利用基本不等式可将整式和根式相互转化），使其中的不等关系明晰即可解决问题．二、利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．例2.（1）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ＞b ，ab ＝2，求证：224a b a b+≥-．观察a－b，a2＋b2，可联想到通过加减2ab的方法配凑出(a－b)2，从而化为可使用基本不等式的形式，结合ab ＝2可使问题得到解决．三、利用基本不等式求最值（1例3.（1）已知f(x)＝x＋1x＋2(x＜0)，则f(x)有A．最大值为4B．最小值为4 C．最小值为0 D．最大值为0（2）已知0＜x＜4，则x(4－x)取得最大值时x的值为A．0 B．2 C．4 D．16（3）已知函数f(x)＝2x(x＞0)，若f(a＋b)＝16，则f(ab)的最大值为_______________；（4）已知a，b∈R，且ab＝8，则|a＋2b|的最小值是_______________．【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8．【点析】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．（2使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等．例4.（1）已知x＞0，则函数y＝231x xx++的最小值为_______________；（2）若x＞1，则函数y＝11xx+-的最小值为_______________；（3）若0＜x＜125，则函数y＝x(12－5x)的最大值为_______________．（31”的替换，或构造不等式求解．例5.（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则11a b+的最小值为_______________；（2）已知a＞0，b＞0，11a b+＝2，则a＋b的最小值为_______________；（3）若正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，则xy的最小值是_______________；（4）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值是_______________． 【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2．【点析】在构造不等式求最值时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用．例如，当a ＞0，b ＞0时，a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤222a b +；2a b+≥ab 逆用就是ab ≤2()2a b +等．还要注意“添项、拆项、凑系数”的技巧和等号成立的条件等．四、基本不等式在实际中的应用利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型2bax ab x+≥(a ＞0，b ＞0，x ＞0)上靠拢． 例6.如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18 000 m 2，四周道路的宽度为10 m ，两个草坪之间的道路的宽度为5 m ．试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m ），能使矩形休闲广场所占面积最小？【答案】当矩形休闲广场的长为140 m ，宽为175 m 时，可使休闲广场的面积最小．【点析】本题容易出现的思维误区：①未能理清草坪边长与休闲广场边长之间的关系；②求出目标函数后不会运用基本不等式求最值，缺乏必要的配凑、转化变形能力，从而无法利用基本不等式求最值，或者不会利用基本不等式等号成立的条件求变量的取值．五、忽略等号成立的条件导致错误例7、函数22()2f x x =+的最小值为_______________．【错解】2222223211()22222x x f x x x x x +++===++≥+++，所以函数()f x 的最小值为2．【错因分析】错解中使用基本不等式时，等号成立的条件为22122x x +=+，即22x +＝1，显然x 2≠－1，即等号无法取到，函数()f x 的最小值为2是不正确的． 【正解】()21222+++=x x x f ，令()()t t t g t x t 1,2,22+=≥+=.易知函数()tt t g 1+=在[)∞+，2上六、忽略等号成立的一致性导致错误例8、若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为_______________．基本不等式：基础习题强化1．已知01x <<，则(1)x x -取最大值时x 的值为A B C D 2．若实数,a b 满足323a b +=，则84a b +的最小值是A ．B ．4C ．D ．3．若0,0,x y >>且22x y +=，则21x y+的最小值是A ．3BC ．3D ．924．若1a >，则211a a a -+-的最小值是A ．2B ．4C ．1D ．35．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不能确定6．己知,a b 均为正实数，且直线60ax by +-=与直线()3250b x y --+=互相垂直，则23a b +的最小值为 A ．12B ．13C ．24D ．257．已知0a >，0b >，11a b a b +=+，则12a b+的最小值为A ．4B ．C ．8D ．168．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围为________________． 9．已知,,a b c +∈R ，且3a b c ++=，则111a b c++的最小值是________________．10．若实数a ，b 满足12a b+=ab 的最小值为________________． 11．设230<<x ，则函数4(32)y x x =-的最大值为________________． 12．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________________时，22log log (2)a b ⋅取得最大值．能力提升13．已知a ，b 都是正实数，且满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为A ．12B ．10C ．8D ．614．已知1,1a b >>，且11111a b +=--，则4a b +的最小值为 A ．13B ．14C ．15D ．1615．已知不等式1)()9ax y x y++≥（对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A ．8B ．6C ．4D ．216．若正实数,a b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C ．a b +有最大值2D ．22a b +有最小值2217．已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为 A ．4B ．16C ．9D ．318．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为A ．252B ．492C ．12D ．1419．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则111a b c++的最小值为_________________． 20．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________．21．若a ，b ，c ＞0且(a ＋c )(a ＋b )＝423-，则2a ＋b ＋c 的最小值为________________． 22．已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是________________．其他23．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图所示）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米． （1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？24．（1）求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值；（2）已知正数a ，b 和正数x ，y ，若a ＋b ＝10，1a bx y+=，且x ＋y 的最小值是18，求a ，b 的值．25．已知函数2()21,f x x ax a a =--+∈R ．（1）若2a =，试求函数()(0)f x y x x=>的最小值； （2）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围．26．（天津文理）已知a ，b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_______________． 27．（江苏）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_______________．28．（山东理）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2aba ab b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a b a a b b +<+<D ．()21log 2a ba b a b +<+< 29．（天津文理）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为________________．30．（江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________________． 31．（山东文）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点（1，2），则2a b +的最小值为________________．【参考答案】1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B8．【答案】[)+∞,9 9．【答案】3 10．【答案】 11．【答案】9212．【答案】4 13．【答案】C 14．【答案】B 15．【答案】C 16．【答案】C 17．【答案】B 18．【答案】A19．【答案】9 20．【答案】6 4 21．【答案】2 22．23．【答案】（1）9003(0150)y x x x=+-<<；（2）长为30米，宽为15米时，所用的钢筋网的总长度最小． 24．【答案】（1）9；（2）28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩． 25．【答案】（1）2-；（2）3[,)4+∞．26．【答案】0.25 27．【答案】9 28．【答案】B 29．【答案】4 30．【答案】30 31．【答案】8。
高中数学必修五同步练习题库：基本不等式(选择题：较难)
基本不等式（选择题：较难）1、若正数满足，且的最小值为18，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．92、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点(异于点)，则的最大值为A． B． C． D．3、若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4、若，，，则的最小值是A． B． C． D．5、如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（）A．2 B． C． D．6、若，，，则的最小值是A． B． C． D．7、已知实数满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48、如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（）A． B． C． D．9、已知，则的最小值为（）A． B． C． D．10、已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．11、半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（）A．2 B．0 C． D．12、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．1 B． C．2 D．13、抛物线的焦点为F，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A． B． C． D．14、已知，且满足，那么的最小值为（）A．3﹣ B．3+2 C．3+ D．415、曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．16、函数的值域为（）A． B． C． D．17、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点 (异于点)，则的最大值为A． B． C． D．18、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．19、已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．20、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．21、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．22、设且，则的最小值是A． B． C． D．23、已知，则的最小值是A．6 B．5 C． D．24、设正实数满足.则当取得最大值时，的最大值为() A．0 B． C．1 D．325、已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是()A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)26、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．27、已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为.当时，恒成立.设，记，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．28、已知函数，则不等式成立的概率是（）A． B． C． D．29、在中,角所对的边分别为，若，则当角取得最大值时，的周长为（）A． B． C． D．30、锐角三角形ABC的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（6，7]31、若，，，则的最小值为（）A． B． C． D．32、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是抛物线上位于第一象限内的任意一点，是线段上的点，且满足，则直线的斜率的最大值为（）A． B． C． D．33、已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．34、正项等比数列｛a n｝中，存在两项a m，a n（m，n）使得a m a n=16a12，且a7=a6+2a5，则+的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．835、已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（）A．2 B．1 C． D．36、长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( )A． B． C．8 D．37、若直线过点，则的最小值等于（）A．6 B．3 C．7 D．438、若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，，其中分别是的斜率，已知双曲线：的右焦点为，是右顶点，是直线上的一点，是双曲线的离心率，，则的最大值为（）A． B． C． D．39、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A． B． C． D．40、若正数满足则的最小值是（）A． B． C． D．41、已知函数，对任意的，恒成立，则的最小值为（）A．3 B．2 C．1 D．042、已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（）A．8 B．4 C．2 D．143、中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）A． B． C．6 D．844、圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．545、在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（）A． B． C． D．46、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．47、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．48、设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．49、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．50、已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．3 B．C．4 D．851、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．52、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．53、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．54、设均为正实数，且，则的最小值为（）A．4 B． C．9 D．1655、已知是内的一点，且，若的面积分别为，则的最小值为（）A． B． C． D．56、已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数），与圆x+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．4 B．2 C．5 D．857、设，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58、设，对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．59、已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）.A．2n B．3n C．n2 D．n n60、已知关于的不等式的解集是，且，则的最小值是（）A． B．2 C． D．161、下列推理正确的是()A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a>0，b>0，则＋≥D．若a>0，b<0，则62、对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1 B．2 C．3 D．463、已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值64、对于函数y=f(x)(x∈I),y=g(x)(x∈I),若对任意x∈I,存在x0使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x2+px+q,g(x)=是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间上的最大值为()A． B．2 C．4 D．65、已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为()A．5 B．7 C．8 D．966、设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（）A． B． C．1 D．467、定义域为的函数的图象的两个端点为,是图象上任意一点，其中，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”. 若函数上“阶线性近似”，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D．68、不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)69、已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC外接的球表面积等于()．A．8π B．16π C．48π D．不确定的实数70、在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③ B．①④ C．①② D．①②④参考答案1、B2、B3、D4、B5、C6、B7、B8、B9、C10、B11、D12、D13、D14、B15、B16、C17、B18、D19、B20、B21、D22、A23、C24、C25、A26、B27、B28、B29、C30、C31、A32、D33、D34、B35、B36、B37、A38、C39、B40、D41、A42、B43、D44、A45、A46、D47、D48、C49、D50、D51、B52、D53、D54、D55、B56、A57、C58、D59、D.60、A61、D62、A63、C64、B65、B66、B67、C68、C69、B70、C【解析】1、由题意，应用基本不等式可得令则方程，所以是方程的根，所以选B.点睛：（1）应用基本不等式构造关于的不等式.(2)换元法将不等式转化为一元二次不等式.(3)结合二次函数图像知是一元二次方程的根.2、由题意可得：A（1，0），B（2，3），且两直线斜率之积等于﹣1，∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥．即.故选B.点睛：含参的动直线一般都隐含着过定点的条件，动直线，动直线l2分别过A（1，0），B（2，3），同时两条动直线保持垂直，从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，然后借助重要不等式，得到结果.3、函数的定义域为，，由已知有，所以对于恒成立，恒成立，所以，而，当且仅当时等号成立，所以，选D.点睛：本题主要考查用导数研究函数的单调性，基本不等式等，属于中档题。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
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基本不等式【知识梳理】1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式（1）有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．（2）不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2 ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．【常考题型】题型一、利用基本不等式证明不等式【例1】 已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.[证明] 由基本不等式可得：a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理：b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2，从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.【类题通法】1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．【对点训练】1．已知a ，b 是正数，求证21a ＋1b ≤ab .证明：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ≥21ab ＞0， ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ， 即21a ＋1b≤ab (当a ＝b 时取“＝”).题型二、利用基本不等式求最值【例2】 (1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值．(2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值； (3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．[解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16，所以由基本不等式可得mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64， 当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64.∴12mn 的最大值为32.(2)∵x ＞3，∴x －3＞0，4x －3＞0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2 (x －3)·4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取到最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y ，即y ＝2x 时，等号成立，解得x ＝1－22，y ＝2－1，∴当x＝1－22，y＝2－1时，1x＋1y有最小值3＋2 2.法二：1x＋1y＝⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1y·1＝⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1y(2x＋y)＝3＋2xy＋yx≥3＋2yx·2xy＝3＋22，以下同解法一．【类题通法】1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a＋b2≥ab成立的前提条件，a>0，b>0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【对点训练】2．(1)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值；(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．(3)已知x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．解：(1)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，即ab＝100，且a＞0，b＞0，因此由基本不等式可得a＋b≥2 ab＝2 100 ＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，∴xy＝16(2x·3y)≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x＋3y22＝16·⎝⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x＝3y，即x＝32，y＝1时，xy取到最大值32.(3)∵1x＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9x y ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9x y ＋10≥2y x ×9xy ＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，1x ＋9y＝1， 得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 题型三、利用基本不等式解应用题【例3】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ，∴2 6xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立，由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．(2)法一：由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m 时，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×2 16y ·y ＝48，当且仅当16y ＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．【类题通法】在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．【对点训练】3．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)．∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)．(2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2 x ·25x ＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．【练习反馈】1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( )A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞abB ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b 2＞b ＞abD ．a ＞ab ＞a ＋b 2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b 2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2 4xy ＝4 xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立．答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y 的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x＋5y≥210xy＝2，故⎝⎛⎭⎪⎫2x＋5y最小值＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．答案：25．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：bca＋acb＋abc＞a＋b＋c.证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bca＋acb≥2abc2ab＝2c，ac b＋abc≥2a2bcbc＝2a，bc a＋abc≥2bca·abc＝2b.又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立．∴bca＋acb＋abc＞a＋b＋c.。