关于数学隐含条件专题
高中数学解题中隐含条件的挖掘方法和技巧
高中数学解题中隐含条件的挖掘方法和技巧隐含条件，是指在数学问题中没有直接给出的条件，这些条件需要解题的学生自己去挖掘。
在解题时，学生需要具备挖掘隐含条件的意识，即在审题时，就要意识到“题目中是不是包含了隐含条件？”接下来，就要能够从题目的特征中分析出题目可能存在哪些隐含条件，然后应用挖掘隐含条件的技巧来挖掘出隐含条件。
1结合习题中的概念和性质挖掘隐含条件有些题目没有直接给出隐含条件，然而这些条件包含在概念或性质中，只有挖掘出这些隐含条件，才能够正确的确定一些数值的取值范围。
在审题时，学生就需要关注概念和性质中有没有隐含条件。
例1：无穷数列中，时，则此数列的各项和为，请完成命题的证明。
解：分析数列通项，可将数列视为分段函数，这是一个隐含条件。
数列是一种特殊的函数，它的自变量是自然数构成的集合，它的值域为自然数组成的分数。
并且当n=3k-1时，即n被3除不足1时，该项将以的形式呈现，否则，当时，该项将以的形式呈现，那么将数列呈现的形式表达出来，它将以的方式呈现。
从数列的概念和性质中挖掘出题目包含的隐含条件，可以缩小无穷数列的范围，得到三个首项不同，而公比相同的三个“无穷递缩等比数列”（1）（2）（3）结合隐含条件完成证明：在解题时，需要分析数学问题的定义与性质，找出题目中可能存在的隐含条件，比如较为常见的数学问题定义和性质中包含的隐含条件为：一元二次方程的二次项系数不为零，指数函数的底数是非1正数等。
只有正确分析隐含条件，才能够正确界定变量的取值范围。
2挖掘出数学图形中呈现的隐含条件在解题时，有些隐含条件在文字中难以呈现出来，而如果忽略这些隐含条件，则解题会出现条件不足的问题。
然而如果抽象化的文化转化为直观化的图形，便会发现图形中包含着隐含条件能够呈现出。
当发现习题的条件不充分时，可以思考把文字转化为图形，挖掘图形中的隐含条件。
图1例2：已知正方形，边长为4，，F分别是AB，AD的中点，平面ABCD且GC=2，求B点到平面EFG的距离。
谈谈小学数学中的“多余条件”和“隐含条件”-最新教育资料
谈谈小学数学中的“多余条件”和“隐含条件”小学数学教学中，解决问题的关键是找准题目中的条件。
由于小学生的智力和理解能力还处于发生和发展阶段，要准确找到题目中的条件还有一定的困难，特别是题目中有些条件是多余的，有些条件是隐含的，更增加了学生的审题难度。
下面就小学数学中的“多余条件”和“隐含条件”作一下浅析。
一、多余条件1.纯多余条件纯多余条件是指题目中的某个多余的、解题时根本用不到、完全可以没有的条件。
【例1】一个等腰三角形，底边长8厘米，底边上的高3厘米，腰长5厘米，求这个三角形的面积。
（五年级试题）【分析】本题的问题是求三角形的面积，知道三角形的底和相对应的高就可以求出面积，算法是8×3÷2=12（平方厘米）。
题目中的一个条件腰长5厘米没有用到，是一个纯多余条件。
【例2】明信片每套12张，售价14元，今天卖出56套风光明信片。
一共卖了多少钱？（人教版六年制小学数学第六册67页第8题）【分析】求一共卖多少钱，可以用每套风光明信片的售价乘套数。
题目中的每套12张是一个纯多余条件，这一纯多余条件给很多同学设置一道障碍，至使问题显得复杂化。
正确的算法是：14×56=784（元）。
纯多余条件题目的训练，可以提高学生的抗干扰性，培养学生对条件的辨析和选择能力。
2.可选择条件可选择条件是指题目中的一些具有可选择性，解题时可以用，也可以不用，对题目的结果不具有决定性影响的条件。
【例1】维修一段长60千米的高速公路，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。
两队合作，多少天完成？（六年级试题）【分析】这类题目可以看成归一问题，也可以看作工程问题。
如看作归一问题，算法是60÷（60÷20＋60÷30）=12（千米）；如看成工程问题，可把这段60千米的高速公路看作单位“1”，算法是1÷（1/20＋1/30）＝12（千米）。
采用第一种算法，60千米是有用的条件；采用第二种算法，60千米是多余的条件。
初中数学解题中的隐含条件
初中数学解题中的隐含条件孙丹青在数学解题过程中，学生往往因为没能挖掘题目中的“隐含条件”而使解题陷入困境或者得到错误的答案。
所以在平时的教学中，教师要引导学生认真读题，仔细推敲，充分挖掘题中的“隐含条件”从而找到解题的突破口。
数学题目中的“隐含条件”是指数学问题中那些隐蔽的已知条件，或者从题设中不断挖掘并利用已知条件进行推理和变形而重新发现的条件。
解题时，常因未能挖掘题中的“隐含条件”而使解题陷入困境或是得到错误的结论，解题过程中应充分挖掘这些隐含条件，化未知为已知，引导学生找到解题的突破口。
“隐含条件”存在的形式多样，需要学生有扎实的基础知识、熟练的基本技能、灵活的思想方法和严谨的思维能力，通过一定的方法逐步探索和转化。
下面就教学实践对“隐含条件”常见的表现形式进行探讨。
1 字母中的隐含条件对于这类题目，题中的字母代表着任意实数，所以在解题的过程中往往需要分类讨论，避免出现漏解。
例1、比较a与-a的大小分析：题中的字母a可以是正数、负数、零，学生应根据三种情况进行分类讨论。
例2、若a a=-，则a＿＿0分析：此题把“零的相反数是它本身”作为“隐含条件”。
往往被遗漏，故出现a＜0的错解。
2 二次根式中的隐含条件0)a≥表示算术平方根，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
≥例=则()2013x y+的值为＿＿分析：题目中隐含着0≥≥，又因为=成立，所以0=得到x=-，3，则答案就迎刃而解了。
（2）被开方数大于等于0例4、()2,x y=+则x-y的值为（ ）A、 -1B、1C、2D、3分析：由“隐含条件”被开方数大于或等于0可得10,10x x-≥-≥，所以1,1x y==-；答案应选择C。
3 分式中的隐含条件分式的值为0的条件是分子为0而分母不为0，学生在解题时容易忽视分母不为0的这一条件例5、如果分式23273xx--的值为0，则x的值为＿＿ 分析：由23270x-=得3x=±，但是当3x=时分母为0，所以3x=-。
初中数学解题教学中隐含条件的发掘研究
初中数学解题教学中隐含条件的发掘研究汪㊀虹(福建省将乐县第四中学ꎬ福建三明３５３３００)摘㊀要:文章阐述了隐含条件在初中数学解题中的重要性ꎬ并结合例题对隐含条件发掘的途径进行了详细的研究.关键词:隐含条件ꎻ解题教学ꎻ发掘路径中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１７－００１７－０３收稿日期:２０２３－０３－１５作者简介:汪虹(１９７６.５－)ꎬ女ꎬ福建省将乐县人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀在引导学生解决数学问题时ꎬ需要与已知条件相结合ꎬ但在多数题目中ꎬ已知条件并非全部明确给出ꎬ甚至一部分已知条件隐含在题目中.在这种情况下ꎬ如果学生在解题的时候ꎬ忽视了已知条件ꎬ无法将其全部挖掘出来ꎬ就会导致学生在解题时面临种种困难ꎬ甚至导致解题出现错误.鉴于此ꎬ唯有肯定隐含条件在解题中的价值ꎬ指导学生在日常解题中掌握隐含条件的发掘方法ꎬ才能真正提升学生的数学解题能力.１初中数学解题教学中隐含条件的挖掘价值分析㊀㊀在数学题目中ꎬ隐含条件与明显条件相对ꎬ属于一种比较特殊的条件ꎬ往往没有在题目中明确给出ꎬ但学生可从题中的条件推理出来ꎬ具备极强的隐蔽性.在初中数学解题中ꎬ隐含条件虽然没有明确给出ꎬ但却是解题的关键.具体来说ꎬ在初中数学解题教学中ꎬ充分发掘隐含条件具备十分重要的价值.１.１有助于学生建立系统化的认知结构教师在带领学生对隐含条件进行挖掘的时候ꎬ常常从多个角度出发ꎬ围绕题目进行横向㊁纵向思考.这拓展了学生的知识面ꎬ逐渐形成了一套完整㊁系统化的认知结构ꎬ为学生更好地学习数学奠定了坚实的基础.１.２有助于提升学生的解题效率和创新思维能力初中数学教师在优化解题教学时ꎬ通过对隐含条件的发掘ꎬ可将初中数学知识点直观㊁准确地展示在学生的面前ꎬ提升了学生的思维品质ꎬ有效避免了学生解题中出现的生搬硬套现象ꎬ使学生快速㊁准确解答数学题目ꎬ有效提升了学生的解题效率.另一方面ꎬ学生在挖掘题目隐含条件的过程中ꎬ培养了发散思维能力ꎬ提高了学生的创新思维能力.１.３有助于锻炼学生的思维能力初中生正处于思维能力发展的关键时期.基于数学学科的特点ꎬ学生在挖掘题目隐含条件的过程中ꎬ逐渐学会了在题目分析中独立思考ꎬ逐渐养成了 多看㊁多思㊁多分析 的习惯ꎬ在思考和分析的过程中ꎬ逐渐形成了严谨的数学思维能力[１].２初中数学解题教学中隐含条件的发掘路径分析２.１基于数学概念挖掘隐含条件ꎬ明确解题思路在初中数学解题中ꎬ部分隐含条件常常存在于数学概念当中.这些隐含条件是数学概念成立的根７１本条件ꎬ也是学生顺利解决问题的关键.但在题目中ꎬ这些条件并未明确给出.鉴于此ꎬ教师在引导学生挖掘隐含条件时ꎬ就应以数学概念作为切入点ꎬ对其展开深入㊁全面地分析ꎬ依据数学概念的特定条件ꎬ对题目中的信息进行综合ꎬ以此作为解决数学题目的关键点.例如ꎬ在 应用一元二次方程解题 的教学中ꎬ给出题目:关于ｘ的方程ｋ－１()ｘ２－１－ｋｘ＋１４＝０存在两个实数根ꎬ求ｋ的取值范围.学生在分析中ꎬ根据题目中给出的 方程存在两个实数根 ꎬ可判断方程是一元二次方程.因此可得ｋ－１ʂ０ꎬ这是基于一元二次方程概念给出的条件.同时ꎬ在这一数学概念中还有一个容易被学生忽视的隐含条件ꎬ即:１－ｋ应有意义ꎬ据此可判定出１－ｋȡ０.如此ꎬ通过概念找出隐含条件ꎬ可使学生借助不等式进行求解.再比如ꎬ已知函数ｙ＝ｍｘ２－６ｘ＋２的图像和ｘ轴只有一个公共点ꎬ求ｍ值.学生解答的过程中ꎬ如果不认真审题ꎬ对函数概念㊁性质不够了解ꎬ就会将其误认为是二次函数ꎻ但函数中的二次项系数是含参数的ꎬ如果ｍ＝０ꎬ此时函数是一次函数.在这种情况下ꎬ学生解题时ꎬ唯有对 一元二次函数 的概念形成深刻地认知ꎬ才能充分挖掘题中的隐含条件ꎬ围绕ｍ是否为零展开分类讨论ꎬ最终完成对题目的完整解答[２].２.２基于题设挖掘隐含条件在初中解题教学中ꎬ题设信息是学生解题的关键.但在解题中ꎬ学生常常忽视题设中的部分内容ꎬ忽视对题设内容的全面深刻分析.在这种情况下ꎬ学生的解题难度随之增加ꎬ甚至出现了不理解数学题目的现象ꎬ严重制约了学生的解题效果.鉴于此ꎬ在带领学生挖掘题目隐含条件时ꎬ应带领学生分析题设内涵ꎬ找出其中蕴含的隐藏条件ꎬ并以此作为切入点进行解题训练.例如ꎬ在 等腰三角形 的教学中ꎬ为了培养学生的解题能力ꎬ教师给出题目:等腰三角形ＤＥＦ中ꎬＤＥ的长度是３ꎬＤＦ和ＥＦ的长度分别是方程ｘ２－１０ｘ＋ａ＝０的两个根ꎬ求ａ的值.学生在面对这一问题时ꎬ常常出现无从下手的现象.其实在题设中ꎬ就包含一定的隐含条件ꎬ这是学生解题的关键.鉴于此ꎬ教师在引导学生解题时ꎬ就要对题设进行仔细阅读和分析ꎬ从题设中找出相应的关系:在题目中给出了等腰三角形ＤＥＦꎬ从中便可得出两种情况ꎬ即:假设ＤＥ是三角形的腰ꎬ根据题设中的含义即可得知ＤＦ＋ＥＦ＝１０ꎬＤＥ＝ＤＦ＝３ꎬ则ＥＦ＝７.同时ꎬ还应指导学生结合三角形进行分析ꎬ利用两边之和大于第三边的性质ꎬ对假设进行推断ꎬ明确三角形不成立ꎻ由此可推断出ＤＥ是等腰三角形的底ꎬ则ＤＦ＋ＥＦ＝１０ꎬ因此ꎬＤＦ＝ＥＦ＝５ꎬ并由此推断出ａ＝２５.如此ꎬ通过分析题设中的隐含条件ꎬ便于学生掌握解题的关键点ꎬ提升学生的解题效率[３].２.３基于数学关系发掘隐含条件在初中数学解题中ꎬ数学题目中常常蕴含着大量的数学关系ꎬ而这些数学关系中也存在隐含条件.因此ꎬ教师在引导学生挖掘隐含条件时ꎬ就应聚焦这些数学关系ꎬ从中分析出隐含条件ꎬ并据此对知识内容进行系统化的整理ꎬ最终形成完整的知识结构ꎬ并用其解题.例如ꎬ在 二次根式 教学中ꎬ根式化简问题尤为重要ꎬ并且学生在解题时ꎬ常常忽视偶次根式的被开方数是非负数的条件ꎬ使学生解决这类问题时走进误区.在(ａ－ｂ)１ｂ－ａ＋１２４ａ２－２ａｂ＋ｂ２æèçöø÷的化简中ꎬ学生解题时ꎬ常常出现下面情况(ａ－ｂ)１ｂ－ａ＋１２４ａ２－２ａｂ＋ｂ２＝(ａ－ｂ)１ｂ－ａ＋１２４(ａ－ｂ)２＝ａ－ｂｂ－ａｂ－ａ＋１２ａ－ｂ＝－ｂ－ａ＋１２ａ－ｂ学生解题时ꎬ之所以会出现错误ꎬ主要是忽略了 偶次根式被开方数是非负数的条件 ꎬ唯有保证１ｂ－ａ有意义才能进行.而学生在上述化简中ꎬ正是忽略了这一点ꎬ导致其解题时出现错误.因此ꎬ教师在引导学生挖掘隐含条件时ꎬ应从数学关系出发ꎬ从中找到全新的解题思路ꎬ并以此完善学生的知识体系ꎬ最终完成对题目的高效解答.２.４基于数学公式和定理发掘隐含条件在初中数学学习中ꎬ公式和定理不仅是学习的 ８１关键ꎬ也是学生解题的突破口.但公式和定理都有一定的使用范围㊁适用条件ꎬ同时其中也包含了大量的关键信息ꎬ是学生解决相关数学问题的关键.通常ꎬ学生在解题的过程中ꎬ一旦忽视了公式和定理中的隐含条件ꎬ就无法在解题时找到突破口ꎬ甚至出现解题错误.因此ꎬ在优化解题教学时ꎬ应以此出发ꎬ引导学生围绕公式和定理进行分析ꎬ挖掘其中隐含的条件ꎬ以便于学生快速找到解题的突破口.例如ꎬ解方程:ｘ２－４ｘ２－ｘ－２＝０.学生面对这一题目ꎬ首先想到ｘ２－４＝０ꎬ最终解出ｘ＝ʃ２.如此一来ꎬ看似对这一题目进行了完美的解答ꎬ但是对其检验就会发现ꎬ当ｘ＝２的时候ꎬ分母等于０ꎬ与题意不相符.因此ꎬｘ＝２不符合题意.要想避免这样错误发生ꎬ在引导学生解题时ꎬ必须要基于公式和定理ꎬ挖掘其中的隐含条件ꎬ即:在分式中分母不等于０ꎬ最终在隐含条件的辅助下ꎬ对题目进行正确解答.再比如ꎬ已知ｙ＝ｘ－２＋２－ｘꎬ求ｘ㊁ｙ值.学生解答时ꎬ常常会出现无从下手的现象ꎬ导致其没有解题的思路.鉴于此ꎬ教师就引导学生聚焦题目中的隐含条件ꎬ从ｘ－２与２－ｘ互为相反数出发ꎬ基于 二次根式的被开方数为非负数 的隐含条件出发ꎬ推断出ｘ－２与２－ｘ均ȡ０ꎬ最终得出本题的结果[４].２.５基于图形挖掘隐含条件在初中数学学习中ꎬ几何知识不仅是初中数学学习的重点ꎬ也是初中数学学习的难点ꎬ几何图形中还蕴含着大量的隐含条件.鉴于此ꎬ教师引导学生挖掘题中的隐含条件时ꎬ必须要借助数形结合的思想ꎬ引导学生围绕几何图形进行分析ꎬ从中挖掘出隐含条件ꎬ以便于学生的解题过程更加简单ꎬ进而高效率解决数学问题.例如ꎬ已知点Ａ㊁Ｃ是半径为３的圆周上的两点ꎬ点Ｂ是弧ＡＣ的中点ꎬ以线段ＢＡ㊁ＢＣ为邻边做菱形ＡＢＣＤꎬ顶点Ｄ恰恰在圆直径的三等分点上ꎬ则菱形的边长为多少?题目存在一定的陷阱ꎬ其中存在隐含条件.因此ꎬ在对其进行解决的时候ꎬ用数形结合思想ꎬ画出图形.但题目存在一个隐含条件ꎬ即:Ｄ点位于直径三等分点上ꎬ但并未说明是三分之一处ꎬ还是三分之二处ꎬ应以此作为切入点ꎬ对其进行分类讨论[５].在解题的时候ꎬ围绕点Ｄ在直径的三分之一处㊁直径的三分之二处分别作图(如下图１㊁２所示)ꎬ并展开讨论.当Ｄ位于直径三分之一处时ꎬ设Ｅ为ＢＤ中点ꎬ根据题目中的条件可得出ＢＤ＝１３ˑ６＝２ꎬＤＥ＝ＢＥ＝１ꎬ同时ꎬ结合题目条件ꎬ可得出ＯＥ＝２ꎬ最终得出ＢＣ的长度ꎻ当Ｄ位于直径三分之二处ꎬ可依据题目条件ꎬ得出ＢＤ＝４ꎬ且ＤＥ＝ＢＥ＝２ꎬ最终得出答案.图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２综上所述ꎬ解题教学是初中数学教学的重中之重ꎬ鉴于数学学科的特点ꎬ题目中常常存在大量的隐含条件ꎬ不仅制约了学生的解题效率ꎬ甚至导致学生频频出现解题错误.鉴于此ꎬ在日常的解题教学中ꎬ必须要带领学生多角度㊁多层次㊁多方面挖掘其中的隐含条件ꎬ使得学生在隐含条件的辅助下ꎬ快速找到解题的突破口ꎬ最终完成对题目的高效解答.参考文献:[１]陈海平.化 隐 为明巧解题:谈隐含条件在初中数学解题中的价值[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(１７):５９－６１.[２]张翔.浅析初中数学解题中隐含条件的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(１１):１４－１６. [３]濮维.谈隐含条件在初中数学解题中的重要作用[Ｊ].数学之友ꎬ２０２２(０４):７６－７８. [４]王志军.发掘隐含条件㊀助力数学解题:初中数学解题教学中隐含条件的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(３２):６－７.[５]王从利.初中数学解题教学中隐含条件的应用思考[Ｊ].数学大世界(上旬)ꎬ２０２１(１１):２１－２３.[责任编辑:李㊀璟]９１。
高中数学解题中隐含条件的挖掘
高中数学解题中隐含条件的挖掘【关键词】高中数学;解题;隐含条件;挖掘数学问题的完整性通常包括条件与目标两个方面.问题条件主要具有显性条件与隐含条件以及干扰项.显性条件在解答方面能够提供非常直接的帮助;隐含条件普遍都受忽视，因此需要学生独立挖掘;干扰项使题目难度增加，对学生的思考设置产生影响.在解题的过程中，学生只要对显性条件进行确认，对隐含条件进行挖掘，对干扰项进行排除，才可以使解题的效率得到提升.一、意义有些数学问题即使表面上看比较有难度，但是若是能够把数学题内存在的隐含条件挖掘出来，就可以使解题步骤得到快速简化，将题中具有的数量关系理清，使解决数学问题的效率提高.二、方法（一）已知条件方面解决高中数学问题的过程，本质就是对学生逻辑思维的考查过程.分析题中存在的隐含条件就是通过逻辑思维进行的.在学习高中数学知识的过程中，虽然教师的讲解十分重要，但是学生进行练习也是十分关键的.学生进行数学的日常练习时，基本上都会把教师在课堂上传授的知识进行变形或者拓展，属于将知识进行延伸.所以，学生在练习时，题目难度就会变大.学生在进行具体题目的解决时，若是想得到其中存在的隐含条件，就需要全面分析与研究已知条件，对已知定理或者设定进行透彻理解与分析，准确找到题目条件所包含的定义与公式，再利用公式变形将题中存在的隐含条件找出.例如：已知函数f（x）=loga（x+1）（a0，且a≠1），g（x）=loga （4-2x）.求使函数f（x）-g（x）的值为正数的x的取值范围.题目自身较为复杂，学生在表象认识方面存在困难.學生第一眼看到此题目时，会认为此题所给的条件不够，无法解答.有些学生还会被禁锢于题目呈现的简单条件之中，这时若是想在其中发现隐含的条件就非常困难了.因此，学生在做题时，必须将题面上所给的全部已知内容都找到，且在其中找到需要解决的问题与高中数学内一些定理的相似之处.解析：令f（x）-g（x）0，得f（x）g（x），即loga（x+1）loga（4-2x）.当a1时，可得x+14-2x，解得x1.因为-1x2，所以1x当0a1时，可得x+14-2x，解得x1，因为-1x2，所以-1x1.综上所述，当a1时，x的取值范围是（1，2）;当0a1时，x的取值范围是（-1，1）.由解析所表达的内容可以清晰地看到，本题的解题关键在于通过已知条件进行转化，从而找到该题目的解题核心即“令f（x）-g（x）0，得f （x）g（x）”.在找到解题关键后，该题由已知条件不完整，变成了一道简单的不等式问题，这在极大程度上降低了解题难度.同时，在上述的题目解析中可以发现，高中数学问题的条件通常不会直接呈现给解题者，而是需要解题者在利用平时课堂上所学内容的基础上，合理运用逻辑思维在题干中找到解题关键.因此我们可以说，高中阶段的数学题目正是为了有效考察学生的逻辑思维，并以此锻炼学生的思维能力.（二）推理方面学生在进行高中数学的学习时，只需对方法有一定的掌握就能够使题目难度得到明显降低.题目内具有的隐含条件是将数学问题彻底解决的重要内容.学生只有不断推理和探究题目，才能发现解决问题的方法，发现解题时需要的实质内容.但是一部分题目非常复杂，很难挖掘其中存在的隐含条件，只有利用具有严密性的逻辑推理与求证，才能够将隐含条件推导出来，最终将问题解决.例如：已知A+B+C=π，求证：tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.学生在看到此题时，第一反应就是题目中条件不够，没有办法解题.但是若是经过较为严密的推理就可以将此题中存在的隐含条件找到.解析：利用基本不等式a2+b2≥2ab，同向不等式相加，可以得到tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2;然后只需证明tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=1即可.由两角和的正切公式的变形可得tan α+tan β=tan（α+β）（1-tan αtan β），结合三角形内角的关系可得tanC2=cot（A+B）2，至此即可求出结果.证明：因为tan2A2+tan2B2≥2tanA2tanB2，tan2C2+tan2B2≥2tanC2tan B2，tan2A2+tan2C2≥2tanA2tanC2，所以将三个不等式相加可得：tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=tanA2ta nB2+tanC2tanA2+tanB2=tanA2·tanB2+cotA+B2tanA+B21-tanA2tanB2=1，即tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.由上述题目解析可知，仅凭题干的已知条件进行证明是无法直接解开此题的，需要学生进一步利用自身的知识积累来找到题中的隐含条件.类似于上述形式的数学题目，在高中阶段的“出镜率”较高，并且具有一定的难度.但是通过上述解题过程不难发现，该类题目的出题意图在于考察学生的知识储备，学生只有掌握固定的不等式关系，才能满足上述题目的解题要求.同时，学生在解题过程中，依旧需要将自身积累的数学知识运用于解题过程中，从而为题目“凑齐”解题条件.而这种思维在学生未来进行科学或学术研究时，能够为其起到一定的支撑作用.在学术研究过程中必须通过已知的知识来求证未知知识，在条件不满足的情况下，科研人员一定要具有上述的“拼凑”思维，巧妙且合理地将所有知识及条件汇聚在一起，才能解开未知的谜题.因此，学习与练习数学题目能够在一定程度上培养学生的思考能力，为其日后的工作及学习奠定良好的基础.（三）定义方面定义和性质是数学解题过程中的着手处，属于浅显的隐含条件，但若是不够重视就会成为非常隐蔽的隐含条件.例如，一元二次方程中的二次项系数不能是0，指数函数中底数必须是不是1的正数，等等.例如：已知数列{an}中，a1=3，前n项和Sn=12（n+1）·（an+1）-1.求证：数列{an}是等差数列.解析：由Sn=12（n+1）（an+1）-1，得Sn+1=12（n+2）·（an+1+1）-1，两式相减后整理可得nan+1=（n+1）an-1，则（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，两式相减整理后利用等差中项公式可判断.证明：因为Sn=12（n+1）（an+1）-1，所以Sn+1=12（n+2）（an+1+1）-1，所以an+1=Sn+1-Sn=12[（n+2）（an+1+1）-（n+1）（an+1）]，整理可得，nan+1=（n+1）an-1，①所以（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，②②-①可得，（n+1）an+2-nan+1=（n+2）an+1-（n+1）an，所以2（n+1）an+1=（n+1）（an+2+an），所以2an+1=an+2+an，所以数列{an}为等差数列.通过上述题目解析可知，在进行数学题目解答时，学生需要准确掌握使数学概念成立的充分与必要条件.在高中阶段的数学学习过程中，很多定理的存在与成立都需要一定的固有基础，同时根据定理又能得到相应的固有结论.因此，在一般的数学题目中，既定的充要条件通常不会直接呈现，学生需要通过自身对于定理的熟练掌握在解题过程中自行进行补充，从而满足题目的解题需求.因此，教师在日常的数学教学中，需要对学生在该方面进行强调，并在讲解新定理的过程中要求学生对定理的结论及条件进行记忆.但需要注意的是，教师在课程中对学生提出定理记忆要求时，需要直接配合上述类型的题目要求学生进行练习，从而使学生直观感受到记忆定理的作用.（四）联系方面在单独地、孤立无援地对已知条件进行审视时，能够在已知条件的联系中发现新的隐含条件.例如：锐角α，β满足条件sin4αcos2β+cos4αsin2β=1，求证：α+β=π2.证明：由已知可设sin2αcos β=cos θ，cos2αsinβ=sin θ，则sin2α=cos θcos β，① cos2α=sin θsin β，②①+②得：cos（θ-β）=1θ-β=2kπ，所以θ=2kπ+β（k∈Z），所以sin2α=cos θcos β=cos2β，cos2α=sin θsin β=sin2β，因为α，β为锐角，所以sin α=cos β=sinπ2-β，所以α=π2-β，即有α+β=π2.由上述类型的题目及对应解析可知，学生在进行数学习题解答的过程中，需要充分认识到题干中所存在的固有关系，而该类固有关系正是题目的隐含条件，学生只有及时发现该类隐含关系才能有效解开该类题目.此类题目在发现隐含条件后的整体运算并难，故需要教师在日常练习过程中帮助学生进行解答，并指导学生进行相应的积累.其中在要求学生进行积累时，教师要有所侧重的为学生指出解题重点，意在培养学生发现隐含条件的思维能力，切忌放任学生死记硬背.（五）认知动因方面在数学教学活动中，不但具备将认知动因进行激活的策略，也具备将认知内容和方法进行激活的策略，前面的内容依据联想，后面的内容依据类比.解题的过程不仅是联想的过程也是类比的过程.例如：在等比数列中，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20等于多少？分析：这是一道关于等比数列的题目，要回忆等比数列的前n项和的公式.首先，由已知条件可得q≠1，S10=10，S30=130，接下来就可以利用等比数列的前n项和公式将其进行变形，进而得到关于q的方程，即可求出q10的值，然后利用等比數列的前n项和公式进行解答就可以了.解：因为S30=13S10，且数列为等比数列，所以q≠1.因为S30=13S10，S10+S30=140，所以S10=10，S30=130，所以a1（1-q10）1-q=10，且a1（1-q30）1-q=130，所以q20+q10-12=0，所以q10=3，所以S20=a11-q201-q=S10（1+q10）=10×（1+3）=40.从该类题目的解题过程中可以看出，此类题目能够很好地检验学生对题干的拆解能力，教师在为学生讲解过题目后，一定要重点对其隐含条件“q≠1”及等比数到的特征进行总结，其目的在于吸引学生对题干的注意力，从而在后续解题过程中能够发现题干中的隐藏条件.（六）图形方面一位法国数学家曾经说过，代数和几何一旦分道扬镳，那么它们的发展范围就会变得十分缓慢，它们在应用方面就十分狭窄，但是把它们相互结合、相互联系，它们就能相辅相成、互相影响，就能够加快发展的步伐，变得更加完善.例如：已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A，B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标.分析：从题中能够看出，若不通过数形结合，则很难算出P到A，B 的距离之差的绝对值最大时P点的坐标，因此，可以利用数形结合的方式进行解题，如下图所示.易得当B′，A，P三点共线时，|PA-PB|最大，设直线AB′的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AB′的解析式，点P即是此函数与x轴的交点坐标.解：设B关于x轴的对称点为B′，连接PB′，AB′，则B′（3，5），PB′=PB，所以|PA-PB|=|PA-PB′|≤AB′，则B′，A，P三点共线时，|PA-PB|最大.设直线AB′的解析式为y=kx+b，则有2=k+b，5=3k+b，可得k=32，b=12，所以直线AB′的解析式为y=32x+12.令y=0，可得x=-13，所以符合题意的点P的坐标为-13，0.数形结合不仅是数学发展历史中的重要发现，也是当下高中数学题目中隐藏条件的最好手段.因此，教师需要充分培养学生将图形与函数进行联系的能力，往往题干中的隐藏条件就存在于图形与函数之间.此外，高中数学的教学内容中包含了多种函数形式，并进一步提升了学生对于函数的理解要求.故教师要重视在日常教学中加强学生于函数的理解，并在适当时间要求学生自行进行函数图像的描绘，或通过建立函数图像来要求学生写出对应的函数表达式.三、结语学生在学习高中数学知识时，需要把所学的知识不断运用，这样才可以实现学习的目的.学生在解题时挖掘题中蕴含的隐含条件，并采取与之相关的定义将问题解决，对解题效率的提高有很大的帮助.。
关于初中数学解题教学中隐含条件的应用
2021年第02期总第495期数理化解题研究关于初中数学解题教学中隐含条件的应用李文彬(江苏省宿迁市钟吾国际学校223800)摘要：社会和时代的不断发展与变化，对人才的需求量也在逐渐的增加.在初中的基础性教学过程当中，初中数学作为一门抽象性的学科，对学生的全面性发展将起着重要性的影响.而从对初中数学目前的教学现状分析来看，由于数学这一门学科的知识点比较复杂且抽象，很多学生逐渐的失去了学习兴趣,教学效果比较差.所以，作为新时代下的一名初中数学教师，在初中数学解题的教学过程中，要注意隐含条件应用的教学，帮助学生在解题的过程中找出题目中隐含条件的方法和技巧,提高学生的数学解题能力,激发学生的学习兴趣，让学生逐渐体会到成功的乐趣，从而促进学生学习成绩的提高，以及培养他们的核心素养.关键词：初中数学；解题教学；隐含条件中图分类号:G632文献标识码:A在初中的数学教学过程中，虽然有的学生知识点是掌握的不错，但是其数学知识运用能力、解题能力都比较差,因此，影响了学生的数学成绩.此外，学生由于受到这个年纪心理发展特点和认知水平的影响,大部分学生都觉得数学知识点难以掌握,并且逐渐的失去了学习的自信心.数学问题通常是由条件和结论这两个部分构成的，但是，在初中数学问题中，许多数学题目并没有给出具体的条件，这增加了解题的难度•所以，为了更好的提高教学质量和效果，教师需要耐心的指导学生将数学题目中的隐含条件找出来,并且做到合理的应用,从而提高学生的解题效率，帮助学生系统地掌握理论性知识点，把学生逐渐培养成为高素质的人才.一、重视学生理论性基础知识点的学习,合理分析隐含条件初中数学知识点是比较复杂的并且是成体系的,很多学生在解初中数学题目的时候,由于其理论知识点没有学透彻，难以发现数学题目中的隐含条件,所以，导致学生的解题效率比较差，并且还经常出现解题错误的现象.由于，学生做数学题目的正确率经常比较低，这让学文章编号：1008-0333(2021)02-0027-02生未体会到成功的快乐感,导致很多学生逐渐产生了厌学的心理情绪，严重的降低了教学效果•所以，为了更好的让学生发现初中数学题目中的隐含条件，一方面，教师要重视学生数学理论性知识点的学习，让学生及时的复习巩固所学习过的知识点,从而帮助学生在大脑中逐渐构成系统性的知识体系，为数学解题打好基础.另一方面，在初中数学解题教学实践过程中,在解决有关数学定义的数学题目时，教师需要引导学生学会结合数学定义中的理论知识点挖掘题目中的隐含条件,从而找到解题的思路，提高解题的正确率,减少不必要失分现象的出现•总而言之，在解答有关数学定义的数学题目时候,教师要指导学生学会考虑定义中所存在的隐含条件,从而得到正确的答案，提高学生的初中数学学习成绩,培养学生的核心素养.例如，教师在给学生讲述如何解一元二次方程的时候,教师要先给学生讲清楚关于一元二次方程的定义,让学生明白定义中所包含的隐性条件•然后,教师再给学生布置相关的题目,让学生逐渐学会用一元二次方程中的定义去解答相关的数学题目,不断引导学生结合数学定义分析隐含条件,从而发展学生的数学思维,收稿日期：2020-10-15作者简介：李文彬(1989.3-)，男，江苏省泰州人,研究生，中小学一级教师，从事初中数学教学研究.27数理化解题研究2021年第02期总第495期把学生培养成为高素质的人才.通过这样的教学方式,不仅可以让学生学习到理论性知识点,还可以让学生懂得如何找到数学题目中的隐含条件,拓展学生的数学思维,提高学生解题的速度,促进学生初中数学学习成绩的不断提升.二、利用代数式让学生逐渐挖掘隐含条件,激发学习兴趣目前初中数学的教学过程中,很多学生对初中数学这一门课程不感兴趣,导致教学效果不断下降.俗话说“兴趣是最好的教师”，学生只有真正的喜欢上数学这一门课程,才会投入精力去学习,他们的学习成绩才可以飞跃的提升.针对一些存在隐含条件的数学题目，学生经常是没有解题的思路,并且考试时在这类题型中耗费了很多的时间，导致学生的数学成绩非常不理想.所以，目前,在初中数学题目的教学实践过程中,如何提高学生解题正确率和速度,已经逐渐成为了许多教师教学中的重点内容.首先，教师要让学生逐渐学会对初中数学题目进行一定的分类,让学生逐渐明白哪些题目是存在隐含条件的，而哪些数学题目是没有存在隐含条件的.其次,教师要给学生讲述具体的数学案例，要让每一位学生都参与到教学过程中，多让学生进行思考.和代数相关的数学题目中,经常会存在着隐含条件,教师在课堂中可以列举相关的数学题目，要求学生关注题目中所涉及的代数公式，让学生逐渐学会深入挖掘代数公式中的隐含条件,最终计算出完整的结果.最后,教师要多鼓励每一位学生积极的思考,激发学生的学习兴趣,让学生体会到成功的愉悦感，增强学生对初中数学这一门课程的认可感.总而言之，在解数学题目的过程中,教师要注意创造良好的教学环境,帮助学生提高自信心,让学生以良好的心态去挖掘数学题目中的隐含条件,提高学生的解题效率,同时，提升教师的教学效率.例如，教师在给学生讲述因式分解和一元二次方程相互结合的相关数学题目时,教师要给学生进行演示,让学生明白如何使用代数公式解决这道题目,并且逐渐懂得这道题目中所包含的隐含条件,最终得出正确的答案.此外,教师在讲述完这个例题后,要给学生设置类似的例题，多让学生自己思考，发挥学生的主观能动性,提高学生的数学核心素养.28三、利用几何图形找出隐含条件，培养学生数形结合的思想在初中的数学课程中，几何是数学重要的一部分，且占据着一定的比重，学好几何这部分的知识点，将有利于提升学生的数学成绩.在初中数学的解题过程中,有很大一部分的题目是关于解答与证明类的几何问题,很多学生都普遍觉得这部分题目比较难.因此，为了扫除学生的解题障碍，教师要让学生逐渐学会运用几何图形找出题目中的隐含条件,培养学生数形结合的意识.此外,教师要指导学生认真的观察几何图形,标注出题目中的已知条件从而逐渐找出题目中的隐含条件，提高学生的知识运用能力.例如:教师在给学生讲述如何解答几何类的数学题目时,教师要让学生仔细的审题并且观察图形，让学生利用现有的知识储备,逐渐的补充题目中的已知条件,这样解题条件才齐全.通过这样的教学方式，不仅可以有效的锻炼学生对数学思想的应用，还利于学生高效率的解题,让学生体验到学习数学的乐趣，从而把学生逐渐培养成为综合性素质的人才.总而言之，在初中数学解题的教学过程中，很多学生由于不能够发现题目中的隐含条件，从而影响了解题的效率.所以，教师不仅要传授学生数学理论性知识点,还要让学生学会如何发现并且运用数学题目中的隐含条件.教师要引导学生使用代数式、几何图形、数学定义等方式深入挖掘题目中的隐含条件,培养学生的数学思维,多让学生进行自主性的学习,巩固学生的理论性知识点,加强学生课后习题的练习,增强学生的学习兴趣，培养学生的核心素养，提高学生的数学解题能力和数学学习成绩.参考文献：[1]马传友.探究初中数学解题中隐含条件及应用[J].课程教育研究，2019(22)：251.[2]任捷.试论初中数学解题教学中隐含条件的应用[J].学周刊，2017(14)：190-191.[3]张光强.初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用[J].中学数学教学参考，2016(21)：44-45.[4]任捷.试论初中数学解题教学中隐含条件的应用[J].学周刊，2017(14)：190-191.[责任编辑:李璟]。
初中数学解题过程中隐含条件的解读
【摘要】在数学解题中隐含条件是解题的关键。
隐含条件是在题目中若隐若现但是又不会直接告诉你的解题条件。
本文说的是在解题过程中怎样找到隐含条件，并且对隐含条件进行解读然后利用合适的解题方式进行解题。
【关键词】隐含条件；逻辑思维；分析讨论在初中数学的解题过程中对于隐含条件的解读是非常重要的，而怎样最好的利用隐含条件也是现在数学教学过程中注重的教学内容。
隐含条件不会直接在题目中出现，但又是真实存在的条件，或者是题目中隐晦的提到也可能需要不断的推理得出的条件。
如果没有找到隐含条件，学生解题的效率会慢上很多，这很难适应现在的应试制度。
1.从题目中挖掘隐含条件的方法在开始解题中仔细的对题目进行分析，然后根据已知条件进行对比分析找到隐含条件，分析隐含条件的价值然后把隐含条件带入到解题过程中提高解题效率。
1.1找到关键词句，进行分析在给出的整段题目中，并不是所有的文字都是有用信息，要学会进行寻找关键有用的信息，把无用信息摒除，提高解题效率。
在题目中经常会出现关键的词句，而这类词句往往是解题的关键。
关键词句总是隐藏着一些信息或者思考方式，所以在解题的时候要仔细理解关键词，这也就是在解题过程中常说的审题。
例如，在学习人教版初中数学八年级下册第二十二章《一元二次方程》这一节课时，有这样一道题：一元二次方程：（m2-1）x2-（2m+1=0）有两个不相等的实数根，求m范围？那么在这道题里尤其要注意的是已知条件说的是一元二次方程，“一元二次方程”就是一个关键词，由此可以推出二次项不能为零，所以找出隐含的条件就是m不等于正负1，接下来的解题过程就容易得多了。
1.2 分析结构特征，找到解题方向。
很多数学题会给各种已知条件，有些是有用信息可以帮助解题，有些是无用信息用来混淆解题路线，所以学生需要在这种罗列的结构信息中，进行抽丝剥茧的分析来得到被隐含的条件。
例如，在讲解这样一道例题时，已知p、q都是质数，3p+5q=31求p除以3q+1等于多少？那么通过分析结构和特点，已知等式的结果是31，那么3p、5q中一定有一个奇数、一个是偶数，从而得出两种讨论：分别假设3p和5q为奇数和偶数，然后下面的解题就迎刃而解了，关键是把题的结构分析好，不遗漏任何情况进行分析，从而保证学生解题的准确性。
一元二次方程复习---挖掘隐含条件,打开解题突破口
∴m，n是方程x2－x－1＝0的两个根.
∴m+n=1
mn= -1
法1：m2+n2=m+n+2=3
法2：m2+n2=(m+n)2-2mn=1-2× (−1) = 3
隐含条件：m，n是方程x2－x－1＝0的两个根.Fra bibliotek当堂检测：
7. 如果关于 x 的方程(m－2)x2－2x＋1＝0 有实数解，求 m 的取值范围。
（1）隐含一元一次方程-------忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小
（2）隐含二次项系数a≠0------忽视二次项系数a≠0，导致字母系数取值范围扩大
1、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0
(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?
(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?
解:(1)
a2-4=0
(2) a2-4≠0
a+2≠0
∴a=2
∴当a=2时，原方程是一元一次方程
隐含条件--------- 隐在其中，含而不露
∴a≠±2
∴当a≠±2时，原方程是一元二次方程
推论：如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1,x2
那么
x1+x2=－p ,x1x2= q
.
温故知新：
6. 隐含条件:
是指已经包含于题目的文字叙述、图示表示或符号表示中，
但又未明确指出的条件.
也指在题目已知信息中没有明显呈现，
但却与题目涉及的数学概念、知识或方法等密切联系的数学信息。
当堂检测：
x
当堂检测：
思维拓展，更上一层
谈初中数学解题中隐含条件的分析及应用
谈初中数学解题中隐含条件的分析及应用1. 引言1.1 初中数学解题的重要性初中数学解题是学生学习数学知识的重要环节，通过解题，学生可以巩固所学的知识，提高自己的思维能力和解决问题的能力。
数学解题不仅是考察学生对知识的掌握程度，更是考察学生对数学的理解和运用能力。
初中数学解题的重要性不可忽视。
在解题过程中，隐含条件起着至关重要的作用。
隐含条件可以帮助我们更准确地理解问题的本质，找到解题的关键点，从而更有效地解决问题。
只有深入理解隐含条件，才能做到对问题的把握更加准确，从而提高解题的效率和准确性。
1.2 隐含条件在解题中的作用初中数学解题中，隐含条件起着至关重要的作用。
隐含条件是指在题目中没有直接明确说明，却对问题的解答有着重要影响的条件。
在数学解题中，很多时候题目给出的信息并不是完整的，需要我们通过分析隐含条件来得出正确的答案。
隐含条件可以帮助我们更准确地理解问题，找到解题的关键点。
有时候题目中给出的信息比较模糊或繁杂，如果能够发现其中的隐含条件，就能够将复杂的问题简化为易解的小问题，提高解题的效率。
隐含条件也可以帮助我们排除一些错误的答案，避免在解题过程中走弯路。
通过识别隐藏在题目中的条件，我们可以更有针对性地解题，避免盲目猜测或计算错误。
隐含条件在解题中起着承上启下的作用，它是解题过程中的重要线索，可以帮助我们更快更准确地找到解题的方法和答案。
在日常的解题练习中，我们要善于发现隐含条件，加强对其理解和运用，以提升数学解题的能力和水平。
2. 正文2.1 隐含条件的定义隐含条件指的是在解题中没有明确提到，但是可以从题目中的信息推断出来的条件。
在数学解题中，隐含条件起到了连接各个条件之间的桥梁作用，帮助我们更好地理解问题并找到正确的解题方法。
隐含条件通常隐藏在问题的背景信息中，需要我们从题目中的描述和逻辑推理中去发现。
有些隐含条件可能需要我们进行推断和假设，这就需要我们具备一定的逻辑推理能力。
在解题过程中，我们不仅要关注题目中明确给出的条件，还要善于发现并利用隐含条件，这样才能更好地解决问题。
例谈数学题中隐含条件的挖掘
例谈数学题中隐含条件的挖掘标签：数学教学；隐含条件；挖掘从某种意义上讲，解数学题是一个从题目所列条件中不断地挖掘并利用其中的隐含条件，进行推理和运算的过程.本文结合教学中的几个典型例子，剖析解题时导致错误产生的原因以及如何注意挖掘题目中的隐含条件。
一、挖掘隐含集合元素的条件例1 已知集合A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A∩B={3，7}，求实数a的值.正解：∵A={2，3，a2+4a+2}，A∩B={3，7}.∴a2+4a+2=7，解得a=1或a=-5.当a=1时，A={2，3，7}，B={0，7，3，1}，符合条件.当a=-5时，A={2，3，7}，B={0，7，3，7}，不符合集合元素互异性这一条件，应舍去.∴实数a的值为1.分析：这道题容易出错的原因是学生忽视挖掘集合元素的条件，即互异性和无序性，所以在解得a=1或a=-5后，不去检验集合B是否成立.二、挖掘隐含某一变量的条件例2 已知x≥0，y≥0，且x+2y=1，试求x2+y2的取值范围.错解：由x+2y=1，得x=1-2y.则x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+.∵y≥0，∴5（y-）2+≥.即x2+y2≥，∴x2+y2的取值范围为[，+∞].分析：导致错误的原因是已知条件中给出了两个变量的范围，又给出了两个变量的等量关系，要运用此等量关系将所求式子转化为某个变量的二次函数式，还隐含了要利用此等量关系求得某个变量的范围.正解：∵x≥0，∴x=1-2y≥0 ，解得y≤，又∵y≥0 ，∴0≤y≤.x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+，当0≤y≤时，≤5（y-）2+≤1 .∴≤x2+y2≤1. ∴x2+y2的取值范围为[，1].三、挖掘隐含函数奇偶性的条件例3 已知函数f（x）=ax5+bsin3x+10，且f（3）=5，求f（-3）的值.正解：设g（x）=ax5+bsin3x，则g（x）为奇函数，f（x）=g（x）+10.所以f （-3）=g（-3）+10=-g（3）+10=-[f （3）-10]+10=15 .分析：这道题容易出错的原因是忽视挖掘函数奇偶性这一条件.通常求函数值应有确切的函数解析式，本题是涉及两个参数a，b的解析式，只给出f （3）=5这一条件，无法求得参数a，b的值.仔细观察由f （3）=5，求f （-3）的值，启发我们联想函数的奇偶性，不难发现解析式中隐含着g（x）=ax5+bsin3x是奇函数这一条件，于是问题迎刃而解.四、挖掘隐含向量夹角是锐角的充要条件例4 已知向量=（1，2），=（1，m），试确定实数m的取值范围，使得与的夹角为锐角.错解：∵·=1+2m>0，与的夹角为锐角.∴·>0，即1+2m>0，解得m>-.∴实数m的取值范围是（-，+∞）.分析：导致错误的原因是忽视隐含向量夹角是锐角的充要条件.对两个非零向量与，如与的夹角θ为锐角，则·>0，反之，则不一定成立.这是因为当·=cosθ>0时，与的夹角θ也可能为0.因此与的夹角θ为锐角的充要条件是·>0且与不同向，这样在上述m的取值范围（-，+∞）中应除去与的夹角为0的情况.∵与的横坐标都是1，∴当m=2时，与同向.∴实数m的取值范围是（-，2）∪（-2，+∞）.。
谈初中数学解题中隐含条件的分析及应用
谈初中数学解题中隐含条件的分析及应用初中数学解题中的隐含条件是指在题目中没有直接给出的条件，但却是解题过程中必须考虑和运用的条件。
这些隐含条件往往需要通过对问题的分析和理解来找到，并在解题过程中巧妙地运用和应用。
本文将对初中数学解题中的隐含条件进行分析，并探讨其在解题过程中的应用。
一、隐含条件的分析1. 对问题进行仔细分析在解题过程中，首先要对问题进行仔细的分析，理解清楚题目所给出的条件和要求。
有些条件可能并不是直接给出的，而是需要通过对问题的理解和分析来找到。
在一个几何问题中，题目中可能并没有直接给出所有的角度关系，但我们可以通过分析图形，利用几何知识找到这些隐含的角度关系。
2. 推理和假设在找到隐含条件之后，需要进行推理和假设，确定这些条件的正确性和适用范围。
有些隐含条件可能是基于题目所给出的条件得出的，需要通过逻辑推理来验证其正确性。
有些隐含条件可能只在特定情况下成立，需要通过假设来确定其适用范围。
3. 确定隐含条件的重要性有些隐含条件在解题过程中可能并不是必须考虑和运用的，但有些隐含条件却是解题的关键所在。
在分析隐含条件时，需要确定这些条件的重要性，看其是否对问题的解法和答案产生影响。
1. 利用隐含条件解决问题在解题过程中，经常需要利用隐含条件来解决问题。
有一道题目给出了一个等边三角形，要求计算其面积。
虽然题目中并没有直接给出三角形的高，但我们可以通过对问题的分析和利用隐含条件（等边三角形的高是边长的一半乘以根号3）来计算得出正确的结果。
3. 运用隐含条件解决复杂问题在解决一些复杂的数学问题时，隐含条件经常发挥着重要的作用。
在解决一些几何问题时，题目中给出的条件可能并不充分，需要通过对问题的分析和利用隐含条件来得出正确的结论。
在这种情况下，需要灵活地运用隐含条件，结合数学知识和逻辑推理来解决问题。
数学解题教学中隐含条件的有效发掘探究
数学解题教学中隐含条件的有效发掘探究丘荣华摘要：善于分析和解答数学问题是学生有效掌握数学知识的主要体现。
但在实际解题中，有的学生不认真读题，忽略题目中的隐含条件，找不到题目中的关键解题信息。
文章以数学解题教学为研究对象，探讨、分析隐含条件的含义、价值以及如何在数学解题中有效挖掘隐含条件，以引导学生正确解答数学题目。
关键词：初中数学;解题;隐含条件;信息;含义;价值;策略有效挖掘数学题目中的隐含条件有利于学生正确、高效解题。
但是，隐藏在数学题目背后的条件不易被学生发现、利用。
尤其是比较粗心、不爱审题的学生更容易忽略题目中的隐含条件，从而影响到解题效果。
因此，在数学解题教学中，教师有必要指导学生掌握挖掘题目中隐含条件的方法，让学生从题目中挖掘到有用的隐含条件，从而正确、高效解题。
一、隐含条件的含义隐含条件是指隐藏在题目背后的条件。
题目不会直接给出隐含条件，需要学生从题干或已知信息中分析、推理、转换，让其变得清晰、可用，从而为解题提供有效帮助。
二、隐含条件的价值解答数学问题单靠题目中的显性条件是不够的，尤其是一些复杂的数学题目，不仅需要学生分析题目中的显性条件，还需要学生对题目中存在的关键词、涉及的公式进行重点分析。
这样才能将题目中的各种信息挖掘出来，并运用于问题的解答中。
另外，挖掘题目中隐含条件的过程也是锻炼学生思维能力的过程，可以让学生积累分析、理解、构建关系的方法和经验。
这有利于提升学生的学习能力，促使学生多角度思考问题。
三、数学解题教学中隐含条件的有效挖掘策略1.从数学题目涉及的概念中挖掘隐含条件不同的数学题目涉及的数学概念不同，而这些数学概念经常隐藏可用的解题条件。
因此，在数学解题教学中，教师可以从数学题目涉及的概念着手，引导学生利用其中的概念信息挖掘隐含条件。
当学生得到隐含条件之后，就可以综合运用各种显性和隐性的条件，解答数学问题。
以下面這道数学三角形证明题为例。
在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，求证：AB+BD=AC。
综述初中数学题隐含条件的挖掘
综述初中数学题隐含条件的挖掘1 分式中分母不为零的隐含条件在分式方程的这类数学题目的求解过程中学生可能经常会忘记分母不等于0这一隐含条件，最终导致求得的结果是错误的。
例如：问当X为什么值时，分式的值为零？对于这个问题可能学生的第一印象就是分式中分母不为0 ，要想整个分式为0必有分子解得：，最终就高兴的将这个作为正确的答案了，可是我们反过来验证可以得到当时，分母的值为0。
这个题目之所以求解错误的原因，就是学生在求解题目，没有对最终答案进行验证，一个答案并不符合题目的隐含条件。
该题的正确求解方式应该是在求出之后，对答案进行验证有时，分母不符合条件，所以正确的答案为时，原分式的值为0。
通过上面的例子我们可以看到，如果学生忽略的分式的分母不等于0的条件，会使题目的解不止一个，并且在通常情况下会存在一个错误的解，这往往会导致学生在实际的考试过程中感觉题目自己都会做，并且也感觉自己已经都作对了，可是最终考试成绩确实出乎意料的差。
2 偶数次根式的被开方数应该是非负的隐含条件在初中数学题中经常会有这么一类题目就是根式的化简问题，对于这类问题经常会遇到的一个问题就是，学生会忽略掉偶数次根式中被开放数应该非负的这一隐含条件，最终导致求解结果出现错误。
例如这样一道题目：将进行化简。
目前普遍存在的一种错误的解法就是：解：原式= = 分析可以发现在求解这个题目时，学生忘记了偶数次根式下被开方数不为负的隐含条件，如果有意义，那么毕竟有，因此上面的求解方法中的错误就是没有意义。
对于这个题目的正确求解方法应该是：解原式=3图形中的隐含条件对于数学中的一些几何问题，通过我们平时做题发现，给出的题目中的条件往往对这道题不能够进行解答，但是，题目中会有一些隐含条件，这些条件是不明显地存在题目中的。
有的隐含条件对于解答一些数学几何题目时有着很关键的作用，只有我们深入观察和分析几何图形中的特点，只有这样有可能为解答这道题时提供明确的方向。
初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用
初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用1. 引言初中数学作为学生学习的基础学科之一，是培养学生逻辑思维的重要途径。
在数学解题过程中，常常会涉及到一些隐含条件，而挖掘并应用这些隐含条件往往是解题的关键之一。
本文将就初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用进行探讨，希望能够帮助学生更好地理解数学知识，并提高解题能力。
2. 隐含条件的概念及意义隐含条件指的是在问题描述中并未直接提及，但对问题的解答却至关重要的条件。
在数学解题中，很多问题都存在隐含条件，如果能够正确地挖掘和应用这些隐含条件，往往可以事半功倍。
培养学生发现并应用隐含条件的能力，对于他们的数学学习至关重要。
3. 如何发现隐含条件在解决数学问题的过程中，如何发现隐含条件成为了关键。
一般来说，通过对问题进行分析和归纳，可以帮助我们找到隐含条件。
多做一些题目，在实践中培养对隐含条件的敏感度也是很重要的。
4. 隐含条件的应用一旦发现了隐含条件，正确地应用它也是至关重要的。
在实际解题中，有时候隐含条件可以帮助我们缩小解题范围，找到更加有效的解题方法。
培养学生灵活运用隐含条件的能力也是十分必要的。
5. 个人观点及总结在初中数学解题中，隐含条件的挖掘及应用是一个需要强调和重视的能力。
通过不断练习和思考，相信学生可以逐渐提高对隐含条件的发现和应用能力，从而在数学学习中取得更大的进步。
结语通过本文的探讨，希望读者能够对初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用有所了解，并在实际学习中加以运用。
隐含条件的发现和应用不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，也可以提高解题的效率和准确性。
希望学生们能够在今后的学习生活中不断提高这一能力，取得更好的成绩。
隐含条件在数学解题中起着重要的作用，它有时能够帮助我们找到解题的关键，缩小解题范围，甚至直接导致解题的成功。
培养学生发现和应用隐含条件的能力是十分必要的。
对于发现隐含条件，学生可以通过分析题目、归纳问题的特点来发现隐含条件。
在解决代数问题时，有时候方程中的未知数之间存在着某种关系，这种关系在题目中可能并未直接给出，但是如果能够发现并应用这种关系，往往会事半功倍。
浅谈数学中的隐含条件
浅谈数学中的隐含条件数学在自然界中无论是宏观,还是微观,无论是上其天文,还是下其地理,无处不用到数学,数学的应用非常广泛。
又特别是全世界都在向高科技领域发展的今天,又尤其是中国在各方面的建设正在突飞猛进,步入世界前列的今天,更需要数学知识。
数学是其它知识的铺路石,尤其是数学思想是数学的灵魂,是打开数学学习与研究的金钥匙。
我们在学习数学时,在平时的作业,练习,测验,中考试题中都会遇到这样那样的问题,出现预测不到的错误。
特别是数学中的隐含条件,它使同学们感到伤脑筋、头痛、做题时又是出现错误特别多的地方,同时它也是同学们学习好知识的一个障碍物、拦路虎、它将会给同学们学习带来很大的困难,因此我们一定要重视数学中的隐含条件,千万不要忽视这一点。
在学习数学时,只要同学们发扬勤奋努力学习,刻苦钻研,发扬钉子的精神,发扬猛虎拦路敢拼斗的精神,有战胜克服困难的信心和勇气,没有克服不了的困难,一定能学好数学,一定能牢固掌握数学的基本知识,基本技能,同时能灵活运用数学思想的各种方法去挖掘数学中隐含的条件,巧妙的解数学题,使同学们计算解题速度快简捷。
下面举例说明数学中的隐含条件。
1隐含在三角形中的条件例1已知等腰三角形中ABC周长是20cm,设腰长AB长xcm为cm,底BC长ycm为cm,求y与x之间的函数表达式,并写出自变量取值范围。
错解:由题意得y=20-2x()分折:由题意得y=(20-2x)是对的,但是由三角形的三边关系定理,知第三边大于另外两边之差,而小于另外两边之和,所以可得0〈y〈2x,即0〈20-2x〈2x,解得5〈x〈10。
正确解:由题意得y=20-2x(5〈x〈10)。
2隐含在图形与数中的条件例:如图1所示正方形oABC和正方形ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上,点F在AB上,点B、E在函数y=1x(x〉0)的图象上,则点E的坐标是()。
(A)(5+12,5-12)(B)(3-12,3-12)(C)(5-12,5+12)(D)(3-32,3+32)解析:观察图象,由题意可知点E的横、纵坐标之积为1,所以选项B、D不正确;又从图可知点E的横坐标大于纵坐标,所以选项C不正确。
数学题目中的隐含条件
• 44 •表学占切里2019年8月1日E-mail : jxyglcn@ 163 .com数学题目中的隐含条件**该文为教育部人文社会科学研究项目"数学质疑式教学模式创新与实效研究"(17YJA880020)、山东省2018年度教学改革研究项目"专业认证理念下数学教师教育课程改革"(M2018X254).山东师范大学关于第四批实验教学改革殳项“基于师范生教学能力提升的数学实验教学课程体系改革与实践研究”餉成果之一贾炳麟I 傅海伦2王悦2(1.山东曹县第一中学，山东曹县,274400;2.山东师范大学数学与统计学院，济南,250014)摘 要 通过挖掘隐含条件解题是一种极具创造性的思维活■动，运用自己餉联想能力和充足的知识储备，拓宽问题解决的思路，冲破数学的边界，打通学生的解题道路,提高学生发现、处理、解决问题的能力，增强学生的联想与 想象能力，从而增强学生的数学学习兴趣，使学生体会到数学学习的美妙。
关键词隐含条件数学解题挖掘所谓隐含条件，是指在数学问题中，除了直接 给出的已知条件外，还没直接给出需要人们去挖掘 的条件。
这种条件一般隐含在定义、定理、公式、法则、图形之中，含而不露，容易被忽视，因而造成解 题错误叭也就是说，隐含条件在解题时并未在数学 题目本身直接表示，但是通过利用已知条件、有关 条件或者已有的知识储备可以得出的解题条件。
隐含条件的内容十分丰富,没有特别一成不变的模式 可循，它是以抽象广泛的普遍性与实际问题的特殊 性为基础，针对具体问题的特点而采取的相应的解决办法叫在解题过程中，如果按照习惯的思维定势探求解题途径比较困难的话，可以根据题目的特点，展开丰富的联想,找到最佳的解题途径,这对培 养学生的创新意识和提高解题能力有很大的帮助。
一、数学题目中隐含条件的基本类型1.制约型制约型的隐含条件是指其仅仅对于数学解题 中的结果或者结论有一定的限制作用，而对于解题 过程而言并没有过多影响。
例谈数学解题中隐含条件的挖掘
例谈数学解题中隐含条件的挖掘每道数学都可以分为“条件”和“结论”两部分，条件是命题中的已知事项，而结论是从命题中提出条件经过推理而得到的事项，多数命题的条件和结论是明确的，但有的简单命题就不明确点明，它的条件是隐蔽的。
隐蔽在题设中的已知条件我们称之为“隐含条件”。
它们常常巧妙隐蔽在题设的背后，不易被人们发现。
这些隐含条件对解题影响很大，一道数学题是否解得迅速、合理、正确，关键在于要引导学生充分挖掘和利用好隐含条件，部分学生解决某些数学问题，常因疏漏隐含条件，要么使解题无法进行，要么就得出错误的结论。
究其原因，主要是对那些问题中所隐含的条件不清楚，没能充分应用到位。
那么怎样才能引导学生充分挖掘和利用隐含条件？笔者多年从事数学教学实践，认为教师应从以下4方面入手：1. 从数学概念、定义中挖掘隐含条件数学概念、定义中的某些部分较为隐蔽，如不注意，就容易错误或被疏漏，造成解题的失误。
应从仔细审题入手，积极探明题目思路，注意分析概念、定义的实质，挖掘出隐含条件，使解题做到快而准。
例1：在实数范围内解方程：|（x+y）（x-y）-15|+4-xy=0。
分析：注意在此方程中含有绝对值和平方根，可从概念入手，挖掘隐含条件。
在实数范围内求解时，此方程的第一部分表示实数的绝对值，第二部分表示实数的算术平方根，它们在数量上的共同特征是表示非负数。
即（x+y）（x-y）-15=04-xy=0x1=4y1=1，x2=-4y2=-1例2：求C25-n2n+C2n9+n（n∈N）的值。
分析：若采用组合的计算公式Cmn=n！m！（n-m）！来求值很繁琐，但从组合数特定的概念中挖掘隐含条件nm0，m、n ∈N，问题显然易解。
解：由组合的定义知：2n25-n0（n∈N）9+n2n0得：813n9且n∈N，所以n = 9故原式= C1618+C1818=C218+1=1542. 从基本初等函数的定义域、值域中去挖掘隐含条件函数的定义域、值域是函数的主要组成部分，有些重要的条件往往隐含在定义域、值域中，这不但需要教师注重培养学生的观察能力，还要求学生熟练地掌握基本技能，仔细分析、勤于联想，这样才能提高挖掘隐含条件的能力。
数学常见的隐含条件
数学常见的隐含条件
在数学中，常见的隐含条件是指在问题中没有明确提及，但是可以从问题的背景或者逻辑推理中得出的条件。
以下是一些常见的隐含条件：
1. 集合的元素：当讨论集合时，默认情况下，集合的元素是互异的，即一个元素不能同时属于同一个集合两次。
2. 实数范围：当问题中涉及到实数时，默认情况下，实数的范围是整个实数轴。
3. 函数的定义域和值域：当讨论函数时，默认情况下，函数的定义域和值域是使函数有意义的最大范围。
4. 等差数列和等比数列的公差/比例：当讨论等差数列或等比数列时，默认情况下，公差/比例是恒定的。
5. 几何图形的性质：当涉及到几何图形时，默认情况下，图形是平面图形，而不是立体图形。
这些是一些常见的隐含条件，但在具体问题中，隐含条件可能会有所不同，需要根据具体情况进行分析和判断。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于数学隐含条件专题
一、 数值（或代数式）中的隐含条件 1、 已
知
2222()()60
a b a b +-+-=
，设22a b x +=，则原方程化为________，由此求得22
a b
+的值_____________。
2、 已知11x x
-=，则1x x +=___________。
二、 方程中的隐含条件 1、已知关于x 的方程(1)20m
m x -+=是一元一次方程，
求m 的值。
2、已知22
(2)50m m x x --+-=为关于x 的一元二次方程，
求m 的值。
3、已知关于x 的方程22
(21)10k
x k x -++=有两个不相
等的实数根，求m 的取值范围。
4、关于x 的一元二次方程2
(1)210a x
x --+=有两个不相
等的实数根，则整数a 的最大值为（ ） A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
5、当m 为何值时，方程2
2210x mx m +-+=的两实根的
平方和为29
4
？
三、 分式中的隐含条件
1、
232
x m
x +=-的解是正数，求m 的取值范围。
2、2323
x x x ---的值为0，则x 的值是___________。
3、先化简，再选一个合适的x 的值，代入求值： 四、 根式中的隐含条件
0)
a ≥ 1
、已知2
2
n m =-
2、已知4x y +
=-，2xy =
五、 函数中的隐含条件
1
有意义的条件是_______； 2、
2
22(3)m m y m x --=-是正比例函数，求m 的值。
3、若函数
21y ax x =++（a 为常数）图象与x 轴恰好有一
个交点，求a 的值。
4、已知一次函数
8y x =-+与反比例函数k y x
=
的图象有
两个交点，求k 的取值范围。
六、 图象中隐含条件
1、如下图，正方形是由k 个相同的矩形组成，上下各有2个水
平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= .
2、抛物线
2231y ax x a =-+-的一部分如上图，则a 的值
是__________．
七、 边（角、位置）不确定的隐含条件
如：△ABC 是Rt △，是等腰三角形；两个三角形相似；三条线段构成三角形等
1、 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，求它的周长。
2、等腰△ABC 中，AB=3，BC 、AC 的长是关于x 的方程
2100x x m -+=的两根，则m 的值是_______。
3、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
4、如图，在Rt △ABC 中，BC=2cm ，∠ABC=60º．∠C=90°，
若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 课后练习： 1
、
若
关
于
x
的
一
元
二
次
方
程
22(1)5320m x x m m -++-+=的一个根为0，则m 的
值为( ) A ．0 B ．1或2 C ．1 D ．2 2、一元二次方程2
310x
x --=与230x x -+=的所有实
数根的和等于（ ）A 、2
B 、-4
C 、4
D 、3
E （第3题图） A
B ′
C F
B 4题图
3
_______。
4、直角三角形两边长为3和4，则斜边上的高为_______。
5、若a b c k
b c a c b a
=
==+++，则k =______。
6、当x ___时，分式
2
2
310
x x x ---的值为0. 7、关于x 的方程
51
22
m m x x ++=--无解，则m 的值为
_____。
8是同类二次根式，则
m 的值为___________。
9、已知12x x ，是方程2
2430x kx k ++-=的两实数根，
且满足12
12x x x x =⋅+，则k 的值为___________。
10、利用换元思想解方程：4
260x x --=
11、已知关于
x
的一元二次方程
22(1)(21)10m x m x --++=有两个不相等的实数根，求
m 的取值范围。
12、已知1
25
y =+，求()()
x y x y +-的值。
13、若y 关于x 的函数
2(2)(21)y a x a x a =---+的图
象与x 轴有两个交点，求a 的取值范围。
14、已知：如图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，AC ＝6，AD ＝2，
试求AB 的长，使得这两个直角三角形相似。
A
B
C
D。