控制系统根轨迹的绘制

(,1],[0.5,1] ⑵实轴上根轨迹区间：
⑶分离点和会合点： 例4-4中已求得，分别为分离点=
-0.33,会合点=-1.67，分离角 d
⑷绘制根轨迹。
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2
1
0 .5
A 0.1
8

[例4-8]设系统开环传递函数为：Gk ( s) 2 s ( s 3 )( s 2s 2) 试绘制系统的根轨迹。 [解]：开环零，极点分别为： z1 2 , p1 0, p2 3, ⑴根轨迹有四支。 p3, 4 1 j (2k 1) 5 , , ⑵渐近线倾角 4 1 3 3
(2k 1) 3 , ,与实轴的交点为： ③渐进线倾角： nm 4 4
p z
j
i
nm
026 2 4
4
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④-3+4j处的出射角 1 ： 1 ( 1 2 3 )
5
30.75 s Thursday,kOctober g
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⑥会合点与分离点（重根点）：分离角为 d 2 3 2 4s 24s 74s 50 0 由 N ' (s) D(s) N (s) D' (s) 0 得：
由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用 下述近似方法：
n 利用前几步得到的信息绘制根轨迹。
注意：
后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。
分离角 d

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一、 单回路负反馈系统的根轨迹 前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反 馈系统的。 kg Gk ( s) [例]开环传递函数为： ，画根 2 s( s 2)[(s 3) 16] 轨迹。 3 j 4。有四条根轨迹。 [解] ：①标出四个开环极点：0，-2， ②实轴上根轨迹区间是：[-2，0]；
（从其他零点到该极点的 矢量幅角 ） 入射角 （从各个极点到该零点的 矢量幅角 ） （从其他零点到该零点的 矢量幅角 ）
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计算根轨迹和虚轴的交点； 由N'(s)D(s)- N(s)D' (s) 0求解 计算会合点和分离点：
k gd
可见分离点在-0.8~-1.0之间，近似取-0.9。
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⑦绘制根轨迹，如下图所示。
5 4 3 2
141.9 j 2.5
1
Imag Axis 0 -1 -2
0.9
j 2.5
-3
-4 -5 -4
-3
-2
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0 i 1 j 1
n 1
m
1800 (tg 1 0.5 900 1350） （450） 26.60
对 1 j1点， 2c 26.60 ⑹与虚轴的交点：
s 4 5s3 8s 2 (6 kg )s 2kg 0 闭环系统的特征方程为： 劳斯阵列： 1 8 2k g 劳斯阵有一行全为0，表示 4 s 有共轭虚根。令： 5 6 kg 0 3 50k g s 34 k g 6 kg 0, k g 7 2k g 0 2 s 34 k g 5
( tg 1 tg 1 4 90 ) 141.9
1
2
j4
根据对称性，可知-3-j4处的出射 角 2 为： 2 141.9 ⑤与虚轴的交点：闭环特征方程为： s 4 8s3 37s 2 50s kg 0 劳斯阵为：
第四节 控制系统根轨迹的绘 制
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前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点○ “ ”； 确定实轴上的根迹区间； 画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分 别为： p j zi (2k 1) ; , k 0,1,2,3... nm nm 计算极点处的出射角和零点处入射角： 出射角 （从其他极点到该极点的 矢量幅角 ）
kg (s 4 8s3 37s 2 50s)
我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实 数范围内变化时， k g 最大时为分离点。
s
-0.2 8.58 -0.4 14.57 -0.6 18.28 -0.8 20.01 -1.0 20.0 -1.2 18.47 -1.4 15.59 -1.6 11.49 -1.8 6.28 -2.0
k g ( s 2)
p z 重心：
i
i
4 1
03 2 2 1 3
⑶实轴上根轨迹区间 (,3],[2,0]
⑷实轴上无分离点和会合点。
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⑸出射角： 1 j1点：1c 180 pi z j
s4 s3 s2 s1
0
4 3
3
2
0
1

3
j4
1 8 30.75 1537 .5 8k g
37 k g 50 0 kg 0 0 0 0 0
当劳斯阵某一行全为零时，有共 轭虚根。这时，k g 192.2 。 辅助方程为来自百度文库30.75s 2 192.2 0 ， 解得共轭虚根为：s1, 2 j 2.5 即为根轨迹与虚轴的交点。
-1 Real Axis
0
1
2
7
[例4-7]设开环系统传递函数为：Gk ( s) 试绘制根轨迹。
k g ( s 1) ( s 0.1)(s 0.5)
[解]：⑴开环零点 z1 1 ，开环极点 p1 0.1, p2 0.5, 根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。 一支在无穷远处。