算法分析与设计实验报告 (2)

算法分析与设计上机实验报告

课程名称：算法分析与设计班级：实验日期:

姓名：学号：指导教师：许晓华实验名称：最优二叉搜索树实验地点：主楼1114实验成绩：一、实验目的及要求

1．进一步掌握最优二叉树的含义。

2．掌握最优二叉树的结构特征。

3．认真阅读和掌握动态规划法秋最有搜索二叉树实验的程序。

4．上机运行本程序。

5．保存和打印出程序的运行结果，并结合程序进行分析。

6．按照你二叉树的操作需要，可重新改写主程序并运行，请上交文件清单和运行结果

二、实验环境及设备

微机一台：Intel 酷睿2双核

操作系统：Microsoft Windows XP Professional

工具软件：Microsoft Visual C++ 6.0

三、实验内容及实验步骤

动态规划——最优二叉查找树

1，问题描述：给定一个有序序列K={k1

2，问题分析：

在二叉树中T内搜索一次的期望代价为：

E[T]=

(depth(ki)+1)*pi //对每个i=1~n，搜索成功情况

+(depth(di)+1)*qi //对每个i=0~n，搜索失败情况

3，问题求解：动态规划

步骤一：寻找最优子结构。

一个最优二叉树的子树必定包含连续范围的关键字ki~kj，1<=i<=j<=n，同时也必须含有连续的虚叶子节点di-1~dj。

如果一棵最优二叉查找树T有一棵含有关键字ki~kj的子树T'，那么，T'也是一棵最优查找树，这通过剪贴思想可以证明。

现在开始构造最优子结构：在ki~kj中，选定一个r,i<=r<=j，使以kr为根，ki~k(r-1)和k(r+1)~kj为左右孩子的最优二叉树。注意r=i或者r=j的情况，表示左子树或右子树只有虚叶子节点。

步骤二：一个递归解。

定义e[i,j]为一棵包含关键字ki~kj的最优二叉树的期望代价。当j=i-1时没有真实的关键在，只有虚叶子节点d(i-1)。

于是：

当j=i-1时，e[i,i-1]=q(i-1)。

当j>=i时，需要选择合适的kr作为根节点，然后其余节点ki~K(r-1)和k(r+1)~kj构造左右孩子。这时要考虑左右孩子这些节点成为一个节点的子树后，它的搜索代价的变化：根据E[T]的计算，得知它们的期望代价增加了“子树中所有概率的总和”w。

w[i,j]=

pl // 对每个l=i~j

+ql //对每个l=i-1~j

于是当j>=i时，e[i,j]=pr + (e[i,r-1]+w[i,r-1])+(e[r+1,j]+w[r+1,j]) = e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j];

步骤三：计算最优二叉树的期望代价

e[i,j]=

q(i-1) //如果j=i-1

min(e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j]),如果i<=j，其中i<=r<=j

w[i,j] =

q(i-1) 如果j=i-1

w[i,j]=w[i,j-1]+pj+qj 如果i<=j

实现代码如下：

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1 #include

2 using namespace std;

3

4 #define MAXNUM 100

5 #define MAX 65536

6 //p中为有序关键字k1到k5的搜索概率，k1

7 double p[MAXNUM] = {0.00,0.15,0.10,0.05,0.10,0.20};

8 double q[MAXNUM] = {0.05,0.10,0.05,0.05,0.05,0.10};

9 void optimal_bst(double e[][MAXNUM],int root[][MAXNUM],double w[][MAXNUM],int n)

10 {

11 int i =0,j=0;

12 //针对左或右孩子为空树情况初始化

13 for(i = 1;i<=n+1;i++)

14 {

15 e[i][i-1] = q[i-1];

16 w[i][i-1] = q[i-1];

17 }

18 int l = 0;

19 //计算顺序如下：根据计算式：e[i,j] = e[i,r-1]+e[r+1,j

首先计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,1],e[2,2]……

接着计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,2],e[2,3]……

……

最后计算结点个数为n的最优二叉树的代价e[1,n]，利用之前保存的较少结点最优二叉树的结果。

20 for(l = 1;l<=n;l++)

21 {

22 for(i = 1;i<=n-l+1;i++)

23 {

24 j = i+l-1;

25 e[i][j] = MAX;

26 w[i][j] = w[i][j-1] + p[j]+q[j];

27 for(int r = i;r<=j;r++)