用列举法求概率

§25.2 用列举法求概率

教学目标

1、知识与技能

使学生在具体情境中了解概率的意义，分析事件发生的概率，能够运用列举法（包括列表、画树形图，本节课主要讲列表法）计算简单事件发生的概率，理解“包

含两步，并且每一步的结果为有限的情形”的意义。

2、过程与方法

通过用列表法求事件的概率，体会在实践中获得事件发生的概率，渗透转化的思想方法，培养学生分析、判断的能力，提高学生的解题能力。

3、情感态度价值观

通过分析探究事件的概率，培养学生良好的动脑习惯，提高运用数学知识解决实际问题的意识，激发学习兴趣，体会数学在实际生活中的应用。

教学重点：正确理解和区分一次试验中包含两步的试验，用列表法来求事件发生的概率。教学难点：分析事件发生概率，能够用列表法求出所有可能的结果。

教学过程：

一、新课导入

我们日常生活中，会做一些游戏，游戏规则的制定是否公平，对游戏者来说非常重要，那公平性就是一个游戏双方获胜概率大小的问题。

老师向空中抛掷两枚同样的硬币，如果落地后一正一反老师赢；如果落地后都是正面的话同学们赢，大家思考一下，这个游戏公平吗？

（要求学生思考掷两枚硬币所产生的所有可能的结果，老师观察学生的动手能力。）（学生可能会认为结果只有：两个都是正面、一个正面一个反面和两个都是反面这样3种情况，有的可能觉得这个游戏公平。老师要讲清楚这种想法错误的原因。）我这里就有一个简单的方法，大家看黑板，我们来列一个表，一枚硬币记做A，另一枚为B。（列出所有可能结果，学生的方法可能有多种，老师对每一种方法都加以肯定，在这里突出列表的方法的优越性。）（板书：）

总结：因此这种游戏是不公平的，大家看，一正一反的概率为1／2，而都是正面的概率只有1／4。

（提出问题：“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”这两种试验的所有可能一样吗？）同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的，比如在先后掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关，同时掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。

当一次试验设计两个因素，并且可能出现的结果数目比较少时，我们看到结果很容易全部列举出来，但如果出现的结果数目多时，要想不重不漏的列出所有的结果，我们用什么方法呢？这就是本节课我们要讲的内容。

二、讲授新课

小刚拿了两组牌，它们的牌面数字分别是1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字之和为奇数的牌概率是多少？（先让学生思考交流，提出解题的方法，可能有多种结果，对学生的不同的方法给予肯定，鼓励其思维的多样性。） 在黑板上展示分析步骤（板书）： 第一张牌的牌面数字

第二张牌的牌面数字

1 2 3 1 （1,1） （1,2） （1,3） 2

（2,1） （2,2） （2,3） 3 （3,1） （3,2） （3,3）

那大家算一算就可得知，牌面数字之和为奇数的概率是4／9。

（归纳总结：当一次试验设计到两个因素，并且可能出现的结果数目较多的时候，为了不重不漏的列举出所有可能结果通常采用列表法。）

问题：那通过我们所列出来的表格，还能获得那些事件发生的概率？

1、两张牌的牌面数字之和为4的概率是1／3.

2、两张牌的牌面数字中至少有一个2的概率是5／9.

那在这里呢，我给大家提供另一种计算方法的公式，这是高中的内容，大家了解一下：

m

n

C =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)

1()1(（从n 中选m 个的方法），我们这里有两组牌， 每组有3张，从这两组中各选一张出来，这里n=3，m=1，就有×=9种方式，数字之和为奇数，只有1和2、2和1、2和3、3和2这4种方式，其概率就为4／9。注意：直接等于n 。

（板书：略）

三、练习（目的是使得学生对列表法的理解与掌握。）

例1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率（骰子有六个面，相信有的同学对麻将是熟悉的哈）同学们可用两种方法都算一下：

1、两个骰子的点数相同；

2、两个骰子的点数的和是9；

3、至少有一个骰子的点数为2。

在这里，列表法大家都会了吧，我们对一下最终答案，第一题结果为1／6，第二题结果为1／9，第三题的答案为1／3。

我再给大家说一下用组合的公式算要注意的地方，不论是一个骰子还是一枚硬币抛出落在地上都只出现一面，所以公式中m 是等于1的，如果说在三张牌中选两张出来，或者说在完全相同但分别标有1、2、3、4、5的5个球中选三个出来有几种选法时，m 就等于2或者3，现在没这么复杂，你们到高中会具体学习，扯远了哈。那在这道题中，就有6×6=36种，在第二题中点数和为9，我们就要考虑到，两个骰子都可能出现4或5，若第一个出现4另一个出现5，还有一种就是第一个出现5另一个为4，这里就有两种情况，同样的在第三题中，至少有一个点数是2，我们假设第一个骰子只出现2，第二个骰子就有1、2、3、4、5、6六种情况，假设第二个骰子点数为2，那第一个也有六种情况，加起来就有十二种情况，

这一点是最重要的，大家容易忽略。

（对于此问题的设计目的，在于引导学生对所研究的问题所用的方法进行反思和拓展，逐步形成良好的反思习惯，从而培养了学生思维的多样性。）

那接下来就请同学们思考例2（用列表法）

例2：在一个不透明口袋中，有4个完全相同的小球，他们分别标有标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球，然后放回再随机摸另一个小球，求下列事件的概率：

（1）两次取得的小球的标号相同；

（2）两次取得的小球的标号的和等于4.

分析：因为第一次摸出的小球需放回，所以第二次摸时仍有4个球，我们用列表法来求：

结论：（1）两次取得的小球的标号相同的概率是4／16 =1／4；

（3）两次取得的小球的标号的和等于4的概率是3／16.

课下就请大家用组合公式做一下，多练练，看看结果是否和列举法一样。

四、总结

1、用列表的方法求概率时要注意些什么？

（用列表法求概率时，应注意各种出现的可能性务必相同）

2、什么时候用列表法？

（当试验包含两步时，列举法比较方便。）

五、作业布置

教材习题25.2 第5、7题

预习画树形图的方法求概率

评价与反思

1、《教学课程标准》对概率这部分知识在数学中的要求，应注意所学内容与日常生活、自然、社会相联系，使学生体会概率对制定决策的重要作用，所以引入新课时，通过掷硬币，提出是否游戏公平作为情景问题，掷硬币在生活中随手可得，这样使学生能对此感到熟悉亲切，这个游戏容易引起学生的兴趣，调动学生学习本节内容的积极性。

2、由于学生都玩过扑克，他们对扑克牌感兴趣，所以在讲述新课时，采取了摸牌求概率，当把所能产生的结果全部列举出时，有些学生可能出现遗漏，此时教师要合理引导他们用列表法求概率。同时也给同学们提出了高中的一个排列组合公式，方便其计算。学生通过对摸牌求概率的探索与交流得出列表法，同时了解高中的一些知识。对于学生在回答问题时，所利用的不同方法要给予肯定，并鼓励学生思维的多样性，发展学生的创新意识。

3、对于练习题，主要是提高同学们对新知识的熟悉度，同时鼓励大家用多种方法进行分析，从而解决问题。