列举法求概率
用列举法求概率
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
用列举法求概率
用列举法求概率
列举法是一种基于所有可能性的方法，用于求解概率。
对于一个随机试验，可以通过列举出所有可能的结果，然后计算感兴趣事件发生的次数，再除以总的可能性数目来计算概率。
以下是使用列举法求解概率的步骤：
1.确定随机试验的所有可能结果。
这些结果应该是互不相同
且穷尽的。
2.计算感兴趣事件发生的次数。
根据实际情况，确定符合感
兴趣条件的结果个数。
3.计算总的可能性数目。
确定随机试验的总结果数目。
4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) 计算概率。
其中，P(A)表示感兴
趣事件发生的概率，n(A)表示感兴趣事件发生的次数，n(S)表示总的可能性数目。
例如，考虑一枚标准硬币的抛掷，求得正面向上的概率。
1.所有可能的结果是正面向上和反面向上。
2.感兴趣事件是正面向上。
3.总的可能性数目是2。
4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) ，其中 n(A) = 1（因为正面向上
只有一种可能），n(S) = 2。
P(正面向上) = 1 / 2 = 0.5
因此，得到正面向上的概率为0.5或50%。
使用列举法求解概率可以简单直观地计算概率，尤其适用于样
本空间较小且结果可列举的情况。
然而，对于复杂的问题或较大的样本空间，列举法可能不切实际，此时可以选择其他概率计算方法，如频率法或概率模型。
列举法求概率
①
②
“掷两枚硬币”所有结果如下：
①
②
①
②
①
②
①
②
正正
正反
反正
反反
解： （1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两面都是反面，共两种情形；所以学 生赢的概率是
2 1; 42
（2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共有反正，正反两种情形；所以老师 赢的概率是
2 1. 42
∵P(学生赢）=P(老师赢）.
(5,1)
(6,1)
注意有序数
对要统一顺
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
序
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
问题2 怎样列表格？
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
另一个因素所 包含的可能情 况
两个因素所组合的所有可能情况,即n
列表法
说明：如果第一个因素包含2 种情况；第二个因素包含3种 情况；那么所有情况 n=2×3=6.
典例精析
例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同；
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
解：由列表得，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.
用列举法求概率讲解
第第二一个个
A
B
C DE C DE
H IH IH I H IH IH I
A AA AA A B B B B B B C CD DE E C C D D E E H I H I H I HI H I HI
当一次试验涉及两个因素时，且可能
出现的结果较多时，为不重复不遗漏地
列出所有可能的结果，通常用列表法
当一次试验涉及3个因素或3个以上 的因素时，列表法就不方便了，为不
重复不遗漏地列出所有可能的结果，
通常用树形图
巩固练习：在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个 小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的 概率选用哪种方法更方便？
1、从盒子中取出一个小球，小球是红球
直接列举
2、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球
用列举法求概率
经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大 小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右
的颜色相同
列表法或树形图
3、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三
次，三个小球的颜色都相同
树形图
用列举法求概率
复习
求概率的方法有哪些种？
应怎样进行选择？ 1、当一次试验涉及两个因素时，且可能出
现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有 可能的结果，通常用列表法
用列举法求概率
4. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”(红与蓝) 游戏。请你计算配得紫色的概率.
白红 蓝 甲
黄绿 蓝红
乙
n
求概率的步骤：
(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)； (2)找出其中事件A发生的结果(m个)； (3)运用公式求事件A的概率： P( A) m
n
甲袋 20红，8黑
乙袋 20红,15黑,10白
球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。 蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出1只黑 球，你选哪个口袋成功的机会大呢？
1. 在6张卡片上分别写有1～6的整数，随机地抽取一 张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数 字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？
列出所有可能的结果：
一二 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
例2、同时掷两个质地同的骰子，计算下列事件的概率： (1)两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数和是9； (3)至少有个骰子的点数是2.
一二 1
2
3
4
5
6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
用列举法、列表法求概率
25.2.1 用列举法求概率例1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面向上；（2）两枚硬币全部反面向上；（3）一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上.练习：1.如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，求能让灯泡发光的概率.2.如图，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关.（1）请你列举出所有等可能的结果.（2）请你求出使电路形成通路的概率.3.一口袋中有四根长度分别为1cm，3cm，4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题:(1)求这三根细木棒能构成三角形的概率；(2)求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；(3)求这三根细木成等腰三角形的概率.25.2.2 用列表法求概率例2.同时掷两枚质地均匀的骰子，求下列事件的概率：（1）两枚骰子的点数相同；（2）两枚骰子点数的和是9；（3）至少有一枚骰子的点数为2.例题（放回问题）（2017年省卷19题）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，-2,7的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字.(1) 用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，写出所有可能出现的结果；(2) 求两次取出的小球上的数字相同的概率P.例题（不放回问题）（2018年省卷19题）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片(注:这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x；再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y.(1) 用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，写出所有可能出现的结果；(2) 求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P.练习：1.（2020年省卷19题）甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游。
列举法求概率
探究活动2
解：在表格里列举为
解：拔动两个转盘的可能结果在表格里列举 出来的可能性共有九个． 事件A盘胜的可能性有（6，4）、（6，5）、 （8，4）、（8，5）、（8，7），共五个； 事件B盘胜的可能性有（1，4）、（1，5）、 （1，7）、（6，7），共四个；
5 P（A盘胜）＝ 9
探究活动3
同时掷两个质地均匀的骰子活动，
1、两个骰子的点数相同的概率． 2、两个骰子点数的和是9的概率． 3、至少有一个骰子点数为2的概率．
解：由列表法列举得
事件掷两个骰子发生的可能性共有36个
1、两个骰子的点数相同发生的可能性共有6个
6 1 P（两个骰子的点数相同）＝ ＝ 6 36
2、两个骰子点数的和是9发生的可能性共有4个
１ 个
．
P（向上的面点数是2）＝ 6
1、在九（5）班计算概率中，有一道练习题有部分的 同学是这样做的： 掷两枚硬币，求两枚硬币全部正面向上的概率？ 解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正反，反反， 共3个；
事件两枚硬币全部正面向上发生的可能有1个；
1 P（两枚硬币全部正面向上）＝ 3
探究
这道题解题过程和结果对不对？如果不 对，错在哪里？并把其改正。
正确解题
解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正 反，反正，反反，共4个； 事件两枚硬币全部正面向上发生的可能 有1个； P（两枚硬币全部正面向上）＝ 1
4
有一个游戏活动，两名同学分别拔动A、 B两个转盘，使之转动，指针指数大的一方 为获胜者，。 由于两个转盘上的数字不同，如果你上 来，你会选哪一个转盘？说说你的理由
4 1 6 7
3
2
9
8
练习
人教版九年级上册25.2用列举法求概率(第1课时)教学设计
3.教师引导：根据学生的回答，引导学生认识到解决此类问题需要用到概率知识，进而引出本节课的主题——用列举法求概率。
（二）讲授新知
1.列举法概念：介绍列举法的定义，即通过列出所有可能的结果，计算每种结果出现的概率。
2.步骤与方法：讲解列举法求解概率问题的步骤：
2.培养勇于探索、积极思考的学习态度，提高解决问题的自信心；
3.学会与他人合作，尊重他人意见，培养良好的团队协作精神；
4.感受概率知识在实际生活中的应用，增强将所学知识应用于实际问题的意识。
本节课的教学设计以列举法求解概率问题为主线，结合生活实例，让学生在探索中学习，在学习中应用。通过小组合作、问题解决等教学活动，培养学生的数学素养、合作意识和解决问题的能力。同时，注重情感态度与价值观的培养，使学生在学习过程中感受到数学的魅力和价值。
（3）在一个装有10个白球、5个黑球的袋子中，先后两次随机抽取一个球，求第二次抽到黑球的概率。
3.拓展题：
（1）小华有3件上衣、2条裤子，他随机选择一件上衣和一条裤子穿上，求他穿上的衣服颜色搭配是“红配蓝”的概率；
（2）一个密码锁由4位数字组成，每位数字可以是0到9中的任意一个，求设置的密码是“回文数”（即1234、4321这类数字）的概率；
1.重点：掌握列举法求解概率问题的步骤和方法，并能应用于实际问题。
2.难点：
（1）理解并运用列举法求解复杂概率问题，如组合问题、排列问题等；
（2）将实际问题转化为数学模型，运用列举法求解；
（3）在合作学习中，提高沟通协作能力，充分发挥团队作用。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，以生活实例引入本节课的内容，激发学生兴趣；
用列举法求概率
用列举法求概率
用列举法求概率指的是通过对事件包含的所有可能情况进行数量计算，从而得出该事件发生的概率。
它可以用来计算单个或多个独立事件的概率。
一般步骤如下：
（1）首先确定所要求的概率事件；
（2）然后将该事件分解成一个或多个独立事件；
（3）根据独立事件的可能性，将所有可能的结果列举出来；
（4）统计满足条件的可能性的数量；
（5）最后计算出概率值。
例如：在一副有52张牌的扑克牌中抽出一张，问抽到的是黑桃的概率。
（1）首先确定所要求的概率事件：抽到的是黑桃
（2）将该事件分解成一个独立事件：抽到的是黑色；抽到的是桃子
（3）根据独立事件的可能性，将所有可能的结果列举出来：抽到的是黑桃、黑红桃、黑方块、红桃、红红桃、红方块、梅花、梅红桃、梅方块；
（4）统计满足条件的可能性的数量：抽到的是黑桃的可能性有1种；
（5）最后计算出概率值：P(抽到的是黑桃)=1/9=0.11。
人教版数学九年级上册25.2《列举法求概率》教案
人教版数学九年级上册25.2《列举法求概率》教案一. 教材分析《列举法求概率》是人教版数学九年级上册第25.2节的内容，主要介绍了利用列举法求概率的方法。
本节内容是在学生掌握了概率的基本概念和等可能事件的概率求法的基础上进行的，是进一步培养学生解决实际问题的能力。
通过本节内容的学习，学生能够掌握列举法求概率的步骤和方法，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，对于概率的基本概念和等可能事件的概率求法已经有了一定的了解。
但是，学生在运用列举法求概率时，可能会出现列举不完整、分类不清晰等问题。
因此，在教学过程中，需要引导学生正确地进行列举和分类，培养学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握列举法求概率的方法，能够运用列举法解决实际问题。
2.过程与方法：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：列举法求概率的方法。
2.难点：如何引导学生正确地进行列举和分类，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生运用列举法解决实际问题。
2.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，培养学生解决问题的能力和团队合作意识。
3.引导发现法：教师引导学生进行自主探究，发现列举法求概率的方法，培养学生的独立思考能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生更好地理解和掌握列举法求概率的方法。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入本节课的内容，例如抛硬币、抽奖等，引导学生思考如何求解这些事件的概率。
2.呈现（10分钟）通过课件展示列举法求概率的步骤和方法，引导学生理解并掌握列举法的基本原理。
3.操练（10分钟）让学生进行小组讨论，共同解决一些实际问题，例如抛硬币三次，求正面向上的概率等。
用列举法求概率
1
2
（1，1） （ 1 ， 2 ） （ 1 ， 3 ）
（2，1） （ 2 ， 2 ） （ 2 ， 3 ）
3
（3，1） （ 3 ， 2 ） （ 3 ， 3 ）
牌面数字等于4 的概率
P(A)
3 1 9 3
创设情景 引入新课 探究问题 寻找方法 引深拓展 归纳总结 巩固知识 实际应用 交流小结 形成能力
蚂蚁
巩固 3、假定孵化后，雏鸟为雌与为雄的概 率相同。如果三枚卵全部成功孵化，则 三只雏鸟中有两只雄鸟的概率是多少？
探究
三、连续两次抛掷一枚硬币，所有可 能出现的结果有哪些？我们知道用“列 表”法列举所有结果，能用“树形图”法 列举所有结果吗？ 正 反
二 一
正 反
正 反 正正 反正 正反 反反
探究 二、 用“树形图”法列举：
1 2 3
(1，4) (1，5) (1，6) (1，7)
(2，4) (2，5) (2，6) (2，7)
(3，4) (3，5) (3，6) (3，7)
4 5 乙 7 6
求指针所指数字之和为偶数的概率。
归纳 “列表法”的意义：
当试验涉及两个因素(例如两个 转盘)并且可能出现的结果数目较多 时，为不重不漏地列出所有的结果， 通常采用“列表法”。
探究2:如果有两组牌，它们牌面数字分别为1、2、3，
那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和 是多少？
问题：两张牌面数字和为几的概率最大？
创设情景 引入新课 探究问题 寻找方法 引深拓展 归纳总结 巩固知识 实际应用 交流小结 形成能力
方法1
第一张牌的 牌面数字 第二张牌的 牌面数字
列表法
1×5=5 2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=25 6×5=30 1×6=6 2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=36
求概率的三种方法
.求概率的方法在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率局部的考察，表达了“学以致用〞这一理念． 计算简单事件发生的概率是重点，常用的方法有:列举法、列表法、画树状图法，这三种方法应该熟练掌握，先就有关问题加以分析． 一、列举法 例1：〔05济南〕如图1所示，打算了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，假设可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；假设可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？假设不是，有利于谁？ ．分析：这个游戏不公平，因为抽取两张纸片，全部时机均等的结果为：半圆半圆，半圆正方形，正方形半圆，正方形正方形．所以取出的两张纸片都画有半圆形的概率为41． 取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形的概率为2142=，因为二者概率不等，所以游戏不公平． 说明: 此题采纳了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对不确定事件发生概率值的计算．此题用列举方法，也可以用画树状图，列表法． 二、画树状图法 例2：〔06临安市〕不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球〔除颜色外其余都相同〕，其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12．〔1〕试求袋中蓝球的个数．〔2〕第一次任意摸一个球〔不放回〕，第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．解析：⑴设蓝球个数为x 个，则由题意得21122=++x ， 1=x答：蓝球有1个． 〔2〕树状图如下：∴ 两次摸到都是白球的概率 =61122=． 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果．②无论哪种都是时机均等的，要对实践的分析得出概率通常用列表或画树状图来写出事件发生的结果，这样便于确定相关的概率． 此题是考查用树状图来求概率的方法，这种方法比拟直观，把全部可能的结果都一一排列出来，便于计算结果． 三、列表法 例3：〔06晋江市〕如图2，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A 、B 的转盘分别被平均分成三局部，装置A 上的数字是3、6、8；装置B 上的数字是4、5、7；这两个装置除了外表数字不同外，其他构造均相同，小东和小明分别同时转动A 、B 两个转盘〔一人转一个〕，如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜〔如：假设A 、B 两个转盘的箭头分别停在6、4上，则小东获胜，假设箭头恰好停在分界图1 5 4 B768A 3图2.线上，则重新转一次〕，请用树状图或列表加以分析说明这个游戏公平吗？ 解析：〔方法一〕画树状图： 由上图可知，全部等可能的结果共有9种，小东获胜的概率为95，小明获胜的概率为94，所以游戏不公平．由上表可知，全部等可能结果共有9种，小东获胜的概率为95，小明获胜的概率为94，所以游戏不公平．说明：用树状图法或列表法列举出的结果一目了然，当事件要经过屡次步骤〔三步以上)完成时，用这两种方法求事件的概率很有效．6开始。
九年级数学 用列举法求概率
A反B正 A正B反 A反B反
所以，
n=4
m=1
p(2正)=1/4
例1、袋子里面装有一个黑球两个红球、
摸两次，第一次放回去再摸一次，两次都 摸到红球的概率是多少。 如图：
解： 1 2
第一次
红1
红2
黑
第二次
红1 红2 黑
红1 红2 黑 红1 红2 黑
所以， n=9 所以
m=4
4 p(2红)= 9
归纳 把所有可能事件写出来、或者 用表格、树形图表示出来。然后 p(A)=m/n求出概率，这种求概率 的方法叫列举法求概率。
上节知识的回顾
1、概率公式 p(A)=m/n 2、不可能事件的概率；p(A)=0 3、必然事件的概率； P(A)=1 本节内容；列举法求概率
投一枚硬币求正面向上的概率。 袋子里有两个红球一个黑球，摸一次摸到黑 球的概率。
例1，一学生一次投两枚硬币试求两枚正面都朝上的概率。
A
B
解，列举所有的可能性：A正B正
练习（一）
是一电子元件，它有通电和不通电两种情况。求 下列安装由A到B通电的概率
解：1通2通 1通2不通 。 1不通2通 1不通2不通 P(通)=m/n=1/4
解：P(通)=m/n=3/4 解
练习（二）
三两概率 。
解：P(3车右拐)=1/27
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方法归纳
列表法求概率应注意的问题
确保试验中每种结果出现的可能性大小相等.
列表法求概率的基本步骤
第一步：列表格；
第二步：在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m；
第三步：代入概率公式 P ( A ) = m 计算事件的概率. n
当堂练习
1.小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明赢的
概率是（ C ）
开始
第二掷 所有可能出现的结果 （正、正） （正、反） （反、正）
发现： 一样.
（反、反）
归纳 随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同 的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发 生”的结果是一样的.
二 列表法求概率
问题1 利用列举法可以比较快地求出简单事件发生的概 率，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？
（1）摸出两张牌的数字之和为4的概念为多少？ （2）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？
第一张牌的 牌面数字
第二张牌 的牌面数字
1
1 （1,1）
2
（2,1）
3
（3,1）
2 （1,2） （2,2） （3,2）
3 （1,3） （2,3） （3,3）
解：（1）P（数字之和为4）= 1 . 3
（2）P（数字相等）= 1
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
注意有序 数对要统 一顺序
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
合作（探3究）至少有一个骰子的点数为2.
分析 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，
为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.
把两个骰子分别标记为第1个和第2个，列表如下：
第第二一个个 1
2
3
4
5
6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
4
1
A. B.
9
3
1
1
C. 2
D. 9
2.某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有
两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答
案，则该同学的这两道题全对的概率是（ D ）
1
A.
4
1
B.
2
1 C. 8
D. 1 16
3.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那么 从每组牌中各摸出一张牌.
字母的概率各是多少？
解：由树状图得，所有
甲
Байду номын сангаас
A
可能出现的结果有12个， B
它们出现的可能性相等.
乙 C D E C D E （1）满足只有一个元音
字母的结果有5个，则 P
丙H I H I H I H I H I H I
A
AA
AA
A
BBB
BBB
（一个元音）= 5 .
12
C C D D E E C C D D E E 满足三个全部为元音字
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
①
②
“掷两枚硬币”所有结果如下：
①
②①
②
①
②①
②
正正
正反 反正 反反
解：（1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两 面都是反面，共两种情形；所以学生赢的概率是 2 1; 42 （2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共 有反正，正反两种情形；所以老师赢的概率是 2 1. 42 ∵P(学生赢）=P(老师赢）.
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
解：由列表得，同时掷两枚骰子，可能出现的结果 有36个，它们出现的可能性相等.
（1）满足两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结 果有6个，则P（A）= 6 1 ；
36 6
（2）满足两枚骰子的点数之和是9（记为事件B） 的结果有4个，则P（B）= 4 1 ；
∴这个游戏是公平的.
上述这种列举法我们称为列举法，即把事件可能出现的结 果一一列出.
注意 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素 或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的 等可能性事件.
想一想 “同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这 两种试验的所有可能结果一样吗？
观察与思考
第一掷
用列举法求概率
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对 游戏者来说非常重要，其实这是一个游戏双方获胜概率大小的问题.
向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一 反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢.请问，你 们觉得这个游戏公平吗？
探索交流
一 用列举法求概率
同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
3
典例精析
例1 甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状、质地 相同的小球若干，甲盒中装有2个小球，分别写有字母A 和B；乙盒中装有3个小球，分别写有字母C、D和E；丙 盒中装有2个小球，分别写有字母H和I；现要从3个盒中 各随机取出1个小球．
AB
ED C
HI
（1）取出的3个小球中恰好有1个，2个，3个写有元音
问题2 怎样列表格？ 列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
列表法
另一个 因素所 包含的 可能情 况
两个因素所组合的所 有可能情况,即n
说明：如果第一个因素 包含2种情况；第二个 因素包含3种情况；那 么所有情况n=2×3=6.
典例精析 例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同； （2）两个骰子点数的和是9；
36 9
（3）满足至少有一枚骰子的点数为2（记为事件C）
的结果有11个，则P（C）= 1 1 . 36
提示 列表法对于列举涉及两个因素或分两步进行的试验
结果是一种有效的方法.
我们发现： 与前面掷硬币问题一样，“同时掷两个质地相同的骰子”与“把一个
骰子掷两次”，所得到的结果没有变化. 所以，当试验涉及两个因素时， 可以“分步”对问题进行分析.
H I H I H I HI H I HI
满足只有两个元音字母的结果有
4个，则
P（两个元音）=
4 12
=1.
3
母的结果有1个，则 P
（三个元音）=
1 12
.
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
甲
A
B
乙C D E C D E
丙H I H I H I H I H I H I
A AA AA A B B B B B B C CD DE E C C D D E E H I H I H I HI H I HI