含参不等式

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第2章含参不等式(教案)

2.教学难点
（1）含参不等式的图像法：对于一元二次含参不等式，学生需通过图像来理解不等式的解集，这对学生的直观想象能力要求较高。
举例：x^2 - 2ax + a^2 > 0，通过图像分析解集。
（2）含参不等式的证明：学生需要掌握不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等，这要求学生具备较强的逻辑推理能力。
我反思自己在教学难点和重点的讲解上，可能需要更多的例子和练习来帮助学生巩固。特别是在含参不等式的证明部分，学生们似乎对逻辑推理的要求感到有些困惑。我考虑在下一节课中，引入更多的直观图形和实际情境，以帮助学生们更好地理解证明的步骤和逻辑。
此外，我也认识到在总结回顾环节，我需要更加强调对知识点的整合和应用。学生们需要明白，含参不等式的学习不仅仅是为了解决数学题目，更是为了培养解决实际问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元一次含参不等式和一元二次含参不等式的解法这两个重点。对于难点部分，如图像法和判别式法，我会通过具体的例子和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与含参不等式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如绘制一元二次不等式的图像，以演示其基本原理。
二、核心素养目标
1.理解含参不等式的概念，掌握其基本性质，培养数学抽象和逻辑推理能力；
2.学会一元一次和一元二次含参不等式的解法，提高问题解决能力和数学运算能力；
3.能够运用图像法、判ห้องสมุดไป่ตู้式法等方法解决含参不等式问题，增强直观想象和数学建模能力；
4.通过含参不等式的实际应用，提升数学在实际生活中的应用意识，培养数学素养；
在实践活动中，学生们分组讨论并展示了他们的成果，这部分的互动让我看到了他们的合作精神和解决问题的能力。不过，我也观察到，在讨论含参不等式在实际生活中的应用时，有些学生还是比较拘谨，可能是因为他们对这些概念还不够熟悉，或者是不太敢将自己的想法表达出来。

人教版七年级下册数学第九章含参不等式以及含参不等式组的解法

含参不等式以及含参不等式组的解法不等式在中考中的运用，往往掺杂参数来增加难度，我们只要读清楚题目找到解题思路便能迎刃而解了。

本节课我们就重点讲讲如何读题去寻找解题思路。

含参不等式：解不等式5（x-1）<3x+1通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x<3 求不等式57x -<32-x 的最小整数解. 通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x>831,故可以得出最小整数为4.在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。

例题：1、求不等式kx+2>2x-3的解集移项、合并同类项、讨论取值2、（1）求不等式解集mx+a>nx+b 移项、合并同类项、讨论取值（2）（m-1）x>a 2+1对于任意x 都成立，则参数m 的值为练习：1、求不等式kx+2>3的解集2、（1）求不等式mx-2<-7-nx 的解集（2）求不等式m 2x+1<-x+5的解集3、关于x 的方程5x-2m=-4-x 的解满足2<x<10，求m 的取值范围。

2、解关于x 的不等式组⎩⎨⎧+->+-<-8)21(563x m x mx mxmx3、如果一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-ax x 432（1）有解，求a 的取值范围。

（2）无解，求a 的取值范围。

(3)有且只有一个解，求a 的取值范围。

（4）只有两个整数解，求a 的取值范围。

1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。

20.6.156.15.202021:5021:50:33Jun-2021:502、心不清则无以见道，志不确则无以定功。

二〇二〇年六月十五日2020年6月15日星期一3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。

21:506.15.202021:506.15.202021:5021:50:336.15.202021:506.15.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。

解答含参不等式问题常用的几种方法

考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。

求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”

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不等式含参问题口诀

不等式含参问题口诀听着，咱今天要说的是“含参不等式”的问题，哈哈，别一听到这些数学词儿就开始皱眉头，别着急，咱慢慢来，慢慢捋清楚。

你看啊，这种题，首先它有个特点，特别关键，你得知道这东西是有“参”的，什么是参呢？其实就是那种不确定的数，可能是x、y，也可能是a、b，总之你能看见这个符号，心里就得打个预防针：这事儿不简单！其实一开始我们都觉得这东西好像很高深，但你仔细想想，其实也就是个“做题游戏”，对吧？你别光看它名字长，没啥大不了的。

只要掌握了技巧，它其实也就那么回事。

想当年我也是个“看见不等式就腿软”的人，后来慢慢的才知道，哎，这不就是“左右不对称”的一场较量嘛。

你看，问题中的“参”，就是我们要解的关键。

你可能要问，什么叫左右不对称？就是我们得琢磨这参的取值范围。

想象一下，假如这参是“a”，它可能会让式子的两边的关系变得天翻地覆。

所以你做题的时候，得时刻关注这个参，别让它“脱缰”，否则这道题就不好搞了。

讲道理，不等式有时就是这么个“翻脸不认人”的东西，平时看着还挺温顺，一旦给它一个不合适的参，马上就暴跳如雷。

别急，先给你来个“口诀”，我觉得你可以记住这几条。

第一条：参越大，范围越广。

这句话是我做题经验的总结。

你想啊，参大的时候，它对整个不等式的影响也大，尤其是当它跑到一边，它直接就决定了你不等式成立的条件。

所以，每次看到参大的时候，千万别掉以轻心，得特别警惕，像盯着高空掉下来的炸弹一样。

第二条：参越小，影响越小。

这就跟你小时候写字，笔小字小，差不多意思。

参越小，意味着它对式子的影响比较轻，基本上是“加点儿小料”，给题目带不来太大变动。

你这时候只要稍微运算一下，通常能搞定。

再来第三条：不等式两边都得仔细琢磨。

这玩意儿就跟谈恋爱似的，不能光顾着盯着自己这一边，别忽视了另一边的情绪，嘿嘿。

比如说，你不可能在一个方向上给它加点儿东西，然后在另一边放任它不管，不等式就是这么“挑剔”的东西，你必须确保两边都妥帖，才不会出岔子。

七年级下册数学含参不等式

七年级下册数学含参不等式
以下是七年级下册数学含参不等式的一些例子：
1. 解不等式：4x + 7 > 23
解法：首先将不等式转化为等价的形式：4x > 23 - 7，即 4x > 16
然后将不等式两边都除以4，得到 x > 4
因此，不等式的解集为 x > 4
2. 解不等式：2(3x + 5) ≤ 10
解法：首先将不等式括号内的式子展开：6x + 10 ≤ 10然后将不等式两边都减去10，得到6x ≤ 0
最后将不等式两边都除以6，得到x ≤ 0
因此，不等式的解集为x ≤ 0
3. 解不等式：3(x + 4) - 2x ≥ 1
解法：首先将不等式括号内的式子展开：3x + 12 - 2x ≥ 1然后将不等式两边都减去12，得到 x - 2 ≥ 1
再将不等式两边都加上2，得到x ≥ 3
因此，不等式的解集为x ≥ 3
这些例子展示了计算含参不等式的步骤，具体的题目可能会有不同的形式和操作，但解题思路大致相同。

在解不等式时，都是通过对不等式进行等式的转化和运算，最后确定不等式的解集。

含参不等式的例题

含参不等式的例题含参不等式是指在不等式中包含了参数的不等式。

在数学中，含参不等式是一个非常重要的概念，可以用于解决许多实际问题。

下面是一些例题和拓展:1. 求解含参不等式给定不等式:a x +b y +c z +d w +e > 0其中，a、b、c、d、e 是实数常数，x、y、z、w 是实数变量。

求出所有满足不等式的实数常数 a、b、c、d、e 和实数变量 x、y、z、w。

解:首先对不等式进行化简，得到:(a x + b y + c z + d w + e) / (x + y + z + w) > 0然后，将不等式两边同时乘以 (x + y + z + w),得到:a (x + y + z + w) +b (x + y + z) +c (x + z) +d (w + x) +e (x + y) > 0继续化简，得到:a (x + y + z + w) +b (x + y + z) +c (x + z) +d (w + x) +e (x + y) > a (x + y + z + w) + b (x + y + z) + c (x + z) + d (w + x) + e (x)将不等式再次化简，得到:(a + b + c + d + e) (x + y + z + w) > a + b + c + d + e x根据题意，我们要求解所有满足不等式的实数常数 a、b、c、d、e 和实数变量 x。

我们可以通过枚举所有可能的实数常数 a、b、c、d、e 和实数变量 x，然后检查不等式是否成立。

具体而言，我们可以使用如下的递归函数:def solve_neq(A, B, C, D, E, X):if X == 0:return A + B + C + D + E == 0else:return solve_neq(A, B, C, D, E, -X)其中，A、B、C、D、E 和 X 分别为不等式中的常数和变量。

含参不等式

含参不等式组一．有、无解问题（不等式符号传递性）例：不等式组的解集为m ＜x ＜-1，①若有解，求m 范围；②无解，求m 范围。

变式：1.不等式组的解集为m ≤x ≤-1，分别求出有解无解m 的取值范围。

2. 不等式组的解集为m ＜x ≤-1，分别求出有解无解m 的取值范围。

二．已知解（大大取大，小小取小）例：不等式组⎩⎨⎧1-m ＜＜x x 的解集为m x <，求m 范围。

变式：1.不等式组⎩⎨⎧≤a2-x x ＜的解集为-2<x ，求a 范围。

2.不等式组⎩⎨⎧≤a 2-x x ＜的解集为a ≤x ，求a 范围。

3.不等式组⎩⎨⎧≥≥m3x x 的解集为3≥x ，求m 范围。

三．整数解以不等式组的解集为-3≤x ＜a ，整数解都为4个为例。

1. 有且仅有4个整数解2. 至少有4个整数解3. 至多（不超过）4个整数解4. 有解5. 有解且不超过4个整数解6. 有整数解（至少有一个整数解）7. 有整数解且不超过4个整数解8. 有且仅有4个非正整数解9. 有且仅有4个非负整数解10.有且仅有4个奇数解11.有且仅有4个偶数解专题含参不等式（组）1. 已知关于x 的不等式组{4x ≥3(x −1)2x −x−12<a 有且只有3个负整数解，则符合条件的a 的取值范围为( )答案：a>-12. 若数a 使关于x 的不等式组{x3−2≤14(x −7),6x −2a >5(1−x)有且仅有三个偶数解，则所有满足条件的a 的取值范围是( )答案：-24.5≤a<-13.53. 若关于x 的一元一次不等式组{x −14(4a −2)≤123x−12<x +2的解集是x ≤a ，则符合条件的所有a 的取值范围为( )答案：a<54. 若数a 使关于x 的不等式组{x−52+1≤x+135x −2a >2x +a 至少有3个整数解，则满足条件的所有a 的取值范围是( )答案：a<95. 如果关于x 的不等式组{a −2x ≤1−x 4x+12>x +3的解集为x >52，那么符合条件的所有a 的取值范围为(答案：a ≤3.56. 如果关于x 的不等式组{x −m ≤34x−76>x −32的解集为x <1，则所有符合条件的m 的取值范围是( )答案：m ≥-27. 若数a 使关于x 的不等式组{x−22≤−12x +27x +4>−a有且只有4个奇数解，则符合条件的a 的取值范围为( )答案：17<a ≤318. 如果关于x 的不等式组{x−a 3>0x +2<2(x −1)的解集为x >4，那么符合条件的a 的取值范围是( )答案：a ≤49. 如果关于y 的不等式组{2(a −y)≤−y −43y+42<y +1无解，则符合条件的a 的取值范围是( )答案：a ≥-310. 若数a 使关于x 的不等式组{a+x2≥x −2x3−(x −2)>23的解为x <2，则满足条件的a 的取值范围是( )11. 若整数a 使得关于y 的不等式组{y−a 5≤03y−22+1>y−22至少有三个整数解，则符合条件的a 的取值范围是()答案：a >212. 若数k 使关于x 的不等式组{3x +k ≤0x 3−x−12≤1只有4个整数解，则符合条件的所有整数k 的积为( )答案：013. 使得关于x 的不等式组{6x −a ≥−10−1+12x <−18x +32有且只有4个整数解的a 的取值范围是( )答案：4<a ≤1014. 若数a 使得关于x 的不等式组{x−32<x−23x +a ≥5(1−2x)，有且仅有四个奇数解，则所有满足条件的a 的取值范围是( )答案：38≤a<6015. 若关于x的不等式组{13x +2>3x+34−a−13>−x−112的解集为x >3，则所有符合条件的a 取值范围为( )16. 若数a 使关于x 的不等式组{3−x ≥a −2(x −1)2−x ≥1−x 2有解且所有解都是2x +6>0的解，则满足条件的所有整数a 的个数是( )个答案：617. 若a 为整数，关于x 的不等式组{2(x +1)≤4+3x 4x −a <0有且只有3个非正整数解，则a 的取值范围为( )．答案：a>018. 若数m 使关于x 的一元一次不等式组有整数解，且整数解的个数不超过4个，则满足条件的所有m 的取值范围是（）答案：1≤m<719. 如果关于x 的不等式组有且仅有三个奇数解，则满足条件的m 的取值范围是（）答案：8<m ≤1620. 如果关于x 的不等式组至少有3个整数解，则满足条件的a 的取值范围是（）答案：a ≥0 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤->+223235m x x x ⎪⎩⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛+<-44213211x m x x ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<+0511635x a x x21. 若关于x 的不等式组的解为正数，则符合的a 的取值范围是（）.答案：-3≤a<2.522. 若关于x 的一元一次不等式组所有整数解的和为-9，则符合条件的a 的取值范围为 .答案：-6<a ≤3或3<a ≤6()⎪⎩⎪⎨⎧+>-->-+6223134x a x x x ⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤-xa x x 2321。

含参不等式的解法

不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当m>3时, 原不等式的解集为∅。

第三讲(2) 含参不等式

第三讲含参不等式1、知识要点1.含参不等式的解法：（1）解含参数不等式：一般是对所含的参数进行恰当的分类和讨论；（2）含参二次不等式的分类标准和讨论步骤：(a)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意二次项系数为零转化为一元一次不等式的问题。

(b)对含参数的一元二次不等式，还要分、、讨论。

(c)对一元二次不等式和分式不等式转化为整式不等式后有根，且根为（或更多）但含参数，要分、、讨论。

（3）对指数、对数不等式要注意对底数分与进行讨论。

2.不等式的恒成立问题（1）一般不等式：恒成立恒成立解集非空解集非空无解无解恒成立恒成立解集非空解集非空无解无解(2)二次不等式（设）(a)在时恒成立或；(b)在时恒成立或 ;(c)在时恒成立或 .（注：若二次项系数含有参数，须分“”、“”讨论）3.补充说明：恒成立的解集为无解恒成立的解集为无解二、考点解析题型一：解含参不等式例1解关于的不等式变式1：解关于的不等式例2. 解关于的不等式变式2：解关于的不等式题型二：含参不等式与集合运算例1设，求实数的值.变式1：已知集合，且，则实数的取值范围是题型三：不等式的恒成立问题例1若不等式对一切恒成立，求的取值范围变式1：设关于的不等式的解集为，求的取值范围例2若恒成立，则实数的取值范围是____________ _________变式2：若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是三、巩固练习1.若不等式无解，则的取值范围是（）2.设集合，则下列关系式中成立的是（）3.已知，不等式在实数集上的解集不是空集，则正实数的取值范围是4.若不等式的解集为，则实数的取值范围是5.设，则实数的值为6.解关于的不等式7解关于的不等式。

含参不等式恒成立问题的解法

bx2≤1
bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx
-
1 x
≤
a
≤
1 x
+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x
≥2
b
(x= 1 b
时取等号 )
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:
-1≤ax-
b-1≤a≤2 b
取值范围是 —-—2—— 2 —<—k—<—2—2— 。
②解：原不等式可化为： x2+2>kx
设 y1= x2+2 ( x [-3,3])
y2= kx
y
11
y=x2+2
y=2 2 x
y=kx
在同一坐标系下作它们的图
象如右图: 由图易得:
-2
2
<k<22
2
-３ - 2 0 2 ３
x
y= - 2 2 x
y2= logax
在同一坐标系下作它们
y=x2 1
的图象如右图:
4
x
由图易得:
0
1 2
1 y=log1 x
16
1 16
≤a ＜1
例2、①若不等式x2 <logax对x（0,12 ）恒成立，则实数a的取
值范围是 ————————————。
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的
问题获解。

七年级下册数学含参不等式

七年级下册数学含参不等式
七年级下册数学含参不等式的相关知识有：
1. 含参不等式的概念：含参不等式是一个带有参数的不等式，参数可以是任意实数。

解含参数不等式就是找到满足不等式条件的参数的取值范围。

2. 含参不等式的解法：对于含参不等式，通常的解法是通过构建参数的取值范围，并进行推导和分析，从而得出参数的取值范围。

3. 含参不等式的图像表示：可以将含参不等式的图像表示在数轴上，帮助我们更直观地理解含参不等式的解集。

4. 含参不等式的应用：含参不等式在实际问题中有着广泛的应用，比如描述某个物理量的变化范围、解决最优化问题等等。

七年级下册数学教材中包含了一些含参不等式的例题和习题，通过学习这些例题和习题，可以帮助学生掌握含参不等式的解法和应用。

含参不等式课程设计

含参不等式课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解含参不等式的定义，掌握含参不等式的性质及其解法。

2. 学生能够运用含参不等式解决实际问题，结合图形理解含参不等式的解集。

3. 学生掌握含参不等式在不同参数取值下的解集变化规律。

技能目标：1. 学生能够熟练运用数轴、不等式的性质等方法求解含参不等式。

2. 学生通过实际问题的解决，培养将现实问题转化为数学模型的能力。

3. 学生通过小组讨论和问题解决，提高合作能力和逻辑思维能力。

情感态度价值观目标：1. 学生在解决含参不等式问题的过程中，培养对数学的兴趣和热情。

2. 学生通过自主探究、合作交流，增强自信心，培养克服困难的决心。

3. 学生在学习过程中，体会到数学在现实生活中的重要性，增强学习的责任感。

课程性质分析：本课程为初中数学课程，重点在于使学生掌握含参不等式的解法及其在实际问题中的应用。

学生特点分析：初中生正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，需要结合具体实例理解抽象概念。

教学要求：1. 教师应注重启发式教学，引导学生主动探索含参不等式的性质和解法。

2. 教学中注重培养学生的数感和符号意识，提高学生的数学素养。

3. 教师应关注学生的个别差异，给予不同层次的学生有针对性的指导。

二、教学内容1. 含参不等式的定义及基本性质- 不等式的概念及其分类- 含参不等式的表示方法- 含参不等式的基本性质2. 含参不等式的解法- 参数分离法- 图形法- 数轴标根法3. 含参不等式的实际应用- 路程问题- 面积问题- 利润问题4. 含参不等式的解集变化规律- 参数变化对不等式解集的影响- 解集的区间表示方法- 解集的图形表示教学大纲安排：第一课时：含参不等式的定义及基本性质第二课时：含参不等式的解法（参数分离法、图形法）第三课时：含参不等式的解法（数轴标根法）及实际应用第四课时：含参不等式的解集变化规律教材章节关联：本教学内容与教材中第三章“不等式及其应用”相关，涉及含参不等式的理论知识和实际应用。

初中数学。含参不等式组

初中数学。

含参不等式组含参不等式组模块一：含参不等式组1.不等式组解集口诀当 b < a 时。

x。

a 的解集为 x。

ax < a 的解集为 x < ax。

b 且 x < a 的解集为 b < x < ax。

a 时无解2.不等式组的常见题型1) 已知不等式组的解集情况，求参数的取值或取值范围2) 整数解问题模块二：含参不等式（组）和方程（组）综合模块一：含参不等式组例1：解关于 x 的不等式组：3mx - 6 < 5 - mxmx + x。

(1 - 2m)x + 8化简不等式组得：4mx < 113mx。

8①当 m。

0 时，可化为 8/3 < x < 4/m，且 3mx - 6 < 5 - mx，故解集为 8/3 < x < 4/m。

②当 m < 0 时，可化为 4/m < x < 3m，且 3mx - 6 < 5 - mx，故解集为 4/m < x < 3m。

③当 m = 0 时，原不等式组无解。

教师备课提示】这道题主要考查含参不等式组的基本解法。

例2：1) 若关于 x 的不等式无解，则 a 的取值范围为a ≥ 3.2) 若不等式组有解，则解集为 2 - a < x < a + 2.例3：1) 当 x < 4 时，m ≥ 4.2) 当 x。

5 时，m < 2.3) 当 1 < x < 2 时，a + b = 3.1）若关于x的不等式组$\begin{cases} x-a\geq\dfrac{3}{2}-x \\ 3-2x\geq -1 \end{cases}$的整数解共有3个，则a的取值范围为$\boxed{(-\infty。

-1]}$。

解析：化简不等式组得到$\begin{cases} 2x\geq\dfrac{1}{2}+a \\ x\leq 2 \end{cases}$，因为要求整数解，所以$\dfrac{1}{2}+a$必须是偶数，即$a$为奇数。

含参不等式的解题方法与技巧

含参不等式的解题方法与技巧
1、含参不等式的解题方法与技巧
一、等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数或消去；
4、将等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数或消去。

二、不等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的不等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将不等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将不等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数，这时一般要保留不等式的方向；
4、将不等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数。

三、解题方法
1、先求出不含参数的区间：让参数的系数取已知值，把不等式化为等式，解出已知系数的不含参数的解；
2、在不含参数的区间内求参数的区间：把不等式再化为等式，
分别令不含参数的解取已知系数的区间的上下两端的值，解出参数的区间；
3、再求参数的解：在参数的区间内分别求解参数的解，得到参数的解。

四、解题技巧
1、确定不等式的方向：通过乘以系数，把等式变为不等式；
2、选择合适的参数：选择不含参数的系数，以使参数的系数取一个易于使用的值；
3、求解参数的解：根据不等式的方向，在参数的区间内，用二分法或牛顿迭代法求解参数的解。

含参不等式

含参不等式是含有参数的不等式。

用符号“>”“<”表示大小关系的式子，叫作不等式。

用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公
共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

证明方法：
综合法：由因导果，证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。

分析法：执果索因，证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。

不等式组的含参问题

不等式组的含参问题不等式组的含参问题是指在一组不等式中，存在一个或多个参数（未知数），需要求出这些参数的取值范围。

这类问题常见于代数与数学分析课程，对于学生来说是一个重要的考察对象。

在解决含参不等式组的问题时，我们可以考虑以下几个主要的思路和方法：1.图形法：将不等式转化为几何图形，在图形上找出参数的取值范围。

在平面直角坐标系上绘制不等式的图形，通过分析图形的位置、形状和交点等特征，确定参数的取值范围。

这种方法适用于一些简单的不等式组，例如线性不等式组或二次不等式组。

例如，考虑如下不等式组：{x + y ≤ 2,x² + y² ≥ k,x ≥ 0,y ≥ 0}将这些不等式转化为图形，可以发现参数k对应的图形是一个闭合的圆，而x + y ≤ 2确定了圆的位置。

因此，根据参数k的取值，圆可以与直线x + y = 2相交或相切。

2.代数方法：通过运用代数的方法进行计算和推导，求出参数的取值范围。

这种方法通常需要借助不等式之间的关系，推导出参数的上界和下界。

一般来说，在解决含参不等式组的问题时，我们需要考虑以下几种可能的情况：-不等式存在等号的情况：将不等式转化为等式，求出参数的值。

-含有分式的不等式：进行分式的乘法或约分，使得不等式中的分式被消去，然后根据参数的范围，确定解的取值。

-多个不等式的组合：通过将不等式进行叠加或相减，确定参数的范围。

例如，考虑如下不等式组：{x + 2y ≤ n,x - y ≥ n,y ≥ 0}我们可以将第一个不等式左右两边同时减去2y，得到x ≤ n -2y；然后将这个结果代入第二个不等式，得到n - 2y - y ≥ n，即-y ≥ 0，由此得出y ≤ 0。

因此，参数y的取值范围是y ≤ 0。

-不等式的相乘：通过乘法，将一个不等式转化为另一个不等式，然后根据参数的范围，确定解的取值。

例如，考虑如下不等式组：{x + y ≤ a,x - y ≤ a,a > 0,x ≥ 0,y ≥ 0}将这两个不等式相乘，得到(x + y)(x - y) ≤ a²，再根据x ≥ 0和y ≥ 0，可以得到x² - y² ≤ a²，即|x| ≤ a，从而x的取值范围是-x ≤ a且x ≥ 0，即0 ≤ x ≤ a。

含参不等式专题

本和收益下的最优策略。
市场供需平衡
在分析市场供需平衡时，需要建立含参不等式模型，以确定不同
价格和产量下的供需关系。
投资风险评估
在投资决策中，风险评估是关键的一环。通过建立含参不等式模型，可以评估不同投资方案的风
险水平，为决策提供依据。
04 含参不等式的扩展
高次含参不等式
总结词
高次含参不等式是指含有未知数的高次幂的不等式，这类不等式在数学中具有广泛的应用。
详细描述
参数分离法是将含参不等式中的参数分离出来，单独处理的一种方法。通过将参数与未知数分离，可以将复杂的不等式转化为简单的不等式，从而简化求解过程。这种方法需要观察不等式的特点，正确地将参数分离出来。
图像法
总结词
通过图像表示不等式的解集，直观地展示不等式的解。
详细描述
图像法是通过图像表示不等式的解集的一种方法。通过绘制不等式的图像，可以直观地展示不等式的解集和参数对解集的影响。这种方法适用于一些简单的不等式和特定类型的不等式。在绘制图像时，需要注意不等式的定义域和值域，以及参数的取值范围。
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总结词
通过代数手段，将含参不等式转化为不含参的不等式，再求解。
详细描述
代数法是一种常用的解含参不等式的方法，它通过代数手段，如合并同类项、因式分解、配方等，将含参不等式转化为不含参的不等式，再利用不等式的性质和求解方法求解。这种方法需要熟练掌握代数运算和不等式性质。
参数分离法
总结词
将含参不等式中的参数分离出来，单独处理，简化不等式的形式。
未来发展方向
深入研究参数范围的影响
01
未来可以进一步深入研究参数范围对不等式证明的影响，探索

(完整版)含参不等式题型

含参不等式题型一、给出不等式解的情况，求参数取值范围：总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。

记住：“大小小大有解；大大小小无解。

”注：端点值格外考虑。

(x > -31：已知关于 x 的不等式组〈lx < a。

(1)若此不等式组无解，求 a 的取值范围，并利用数轴说明。

(2)若此不等式组有解，求 a 的取值范围，并利用数轴说明(x > a (y + a 之 12：如果关于 x 的不等式组〈无解，问不等式组〈的解集是怎样的?3、若关于 x 的不等式组〈的解集是 x>2a,则 a 的取值范围是。

4、已知关于 x 的不等式组〈> 1的解集为x > 2 ，则( )A.m > 2B.m < 2C.m = 2D.m 三 2lx < b ly + b 三 15、关于 x 的一元一次不等式组〈的解集是 x>a,则 a 与 b 的关系为( ) (|x – 3(x – 2) 共 4 (x > a l x > bA.a > bB.a 共 bC.a > b > 0D.a 共 b < 0(x + 8 4x – 1 6、若关于 x 的不等式组〈的解集是x ＞ 3 ，则 m 的取值范围是 x m (x < 8，7、若关于 x 的不等式组〈有解，则 m 的取值范围是__ ___。

( x < m + 18、若关于 x 的不等式组〈无解，则 m 的取值范围是。

二、给出不等式解集，求参数的值总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。

方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。

1：若关于 x 的不等式组〈(2x – a < 1 的解集为 – 1< x < 1 ，求(a + 1)(b – 1) 的值。

2 ：已知关于 x 的不等式组〈 a + 2x 的解集是1共 x<3 ，求 a 的值。

含参不等式的解法

含参不等式的解法2019-06-12参数对不等式的影响，我们常通过分类讨论的思想来加以控制，⽽这个分类的基本原则正是⼤家难以把握的⼀个要素.下⾯通过⼏个例⼦体会⼀下参数的分类⽅法.1. 含参⽅程在指定区间有解的问题例1 若⽅程[log2(ax2-2x+2)=2]在[[12]，2]内有解，求[a].解析由题意知，[ax2-2x+2=4]在[[12,2]]上有值使[a=2x2+2x]成⽴.即[a=2x+2x2=21x+122-12].⼜由[12x2]可得，[32a12].点拨本题涉及到含参数的对数式，转化成参数⽅程后讨论其在指定区间上的解的问题，通常分离变量与参数后，借助于函数在指定区间的值来讨论参数范围.2. 含参不等式对于分式不等式，通常先将其转化为同解的整式不等式，然后分离参数求解.例2 若[axx-1分析关于此类分式不等式，先化简整理成同解的整式不等式后，再分离参数.解由题意得，[ax-x+1x-1]＜0，即[1-ax-1x-1]＞0.所以由不等式的解集(-∞,1)[⋂](2,+∞)可得，[11-a=2]，即[a=12.]点拨含参的分式不等式的⼀般解法：移项――通分――分式化整式――解集对应.例3 若关于[x]的不等式[ax2-x+1+2a分析先利⽤等价转换将原命题转换为[∀x∈R]都有[ax2-x+1+2a0]，再分离参数[a]进⾏讨论.解由题意知，[∀x∈R]，都有[ax2-x+1+2a0.]即[ax+1x2+2].令[f(x)=x+1x2+2]，则[af(x)max].令[t=x+1]，则[f(x)=g(t)=tt2-2t+3].（1）[t=0]时，[g(0)=0].（2）[t>0]时，[g(t)=tt2-2t+3=tt2-2t+3=1t+3t-2]，此时[g(t)max=g(3)=3+14].（3）[t综上知，[f(x)max=g(t)max=3+14]，[a3+14]，即参数[a∈3+14,+∞].点拨本题涉及到含参的绝对值不等式，解决此类问题要注意：（1）绝对值的⼏何意义；（2）分离参数与函数,转化成讨论函数在指定区间上的最值问题.例4 若不等式[3x2-logax分析本题实质上可看作两个数的⼤⼩⽐较问题，⽽且两个函数的图象很好取得. 对这类问题我们常采⽤数形结合，通过观察图象的交点并结合数据分析.解不等式可变形为[3x2[12108642][-2-4][5 10 15]由题意知,当[x∈(0,13)]时,[g(x)=logax]位于[f(x)=3x2]的上⽅.结合图象可知，[0综合得，[a∈127,1].点拨此类函数模型较明显，涉及⼏种形式的初等函数问题，通常，我们分解基本函数后，再借助函数图象数形结合，从⽽使得范围问题迎刃⽽解.3. 含参的⼀元⼆次函数例5 已知[a]是实数，函数[f(x)=2ax2+2x-3][-a]，如果函数[y=f(x)]在区间[-1,1]上有零点，求[a]的取值范围.分析含参的⼀元⼆次函数在指定区间有解，当⼆次项系数含参数时，通常以⼆次项系数作为分类标准，分别讨论[a=0]和[a≠0]的情况，在[a≠0]时分离参数，转化成借助已知量的范围求参数的取值范围问题.解由题意得，（1）当[a=0]时，[f(x)=2x-3]在[-1，1]上⽆零点，故[a=0]（舍）.（2）当[a≠0]时，[Δ=4+8a(3+ a)0]，即[a-3+72]或[a-3-72]时，整理[2ax2+2x-3-a=0]得，[a=3-2x2x2-1]（[-1x1]）*.令[3-2x=t]，则[x=3-t2]（1≤t≤5）代⼊*得，[a=2t+7t-6.]⼜[1t5]时，[27t+7t8]，则[27-6t+7t-62].①[27-6t+7t-6[a227-6]，即[a-7+32].②[0综合①②得[a-3+72]或[a1].点拨本题属于函数与不等式的综合，解决此类问题应注意：（1）⼆次项含有参数的分类思想；（2）[y=t+1t]在指定区间上的取值问题；（3）注意分式、分母的零点分段.若不等式[x+ax2+4x+3]≥0的解集为(-3,-1)∪(2,+∞), 求[a]的值.[a=-2]注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。