零状态响应与零输入响应

信号与系统
第8讲
零输入响应和零状态响应
零输入响应和零状态响应的定义 ⏹
从引起系统响应的根源出发，将系统全响应分为零输入响应和零状态响应，即 ⏹
零输入响应是指没有外加激励信号（零输入）,仅由系统内部初始储能(电容储有电场能、电感储有磁场能)引起的响应； ⏹零状态响应是指系统内部储能为零（零状态)，仅由系统的外部的激励引起的响应。

)()()(t y t y t y zs zi +=
零输入响应的求解
设n 个特征根为 ()(1)(2)1210()()()'()()0n n n n n y t a y t a y t a y t a y t ----+++++=L 00111=++++--a a a n n n λλλΛ其特征方程为 12.n
λλλL 零输入下，系统的微分方程为 系统的零输入响应与微分方程的齐次解相同 以下分三种情况讨论
零输入响应的求解
（2）若存在共轭复根，如 1,2j λαβ=±3123()(cos sin ),0n t t t zi n y t c t c t e c e c e t λλαββ=++++≥L (3) 若这些特征根中含有
重根，设 r 12r λλλ===L 111121()[()],0
n r t t t r zi r r n y t c c t c t e c e c e t λλλ+-+=++++++≥L L 1212(),0
n t t t zi n y t c e c e c e t λλλ=+++≥L （1）若这些特征根都是单根，则
由起始状态值确定待定系数
【解】 特征方程为 其特征根为 λ1 = -1， λ 2= -3
零输入响应为： (0)1,(0)2
y y --'==得到：
最后得到： 根据起始条件： 例1 已知系统微分方程应的齐次方程为： (0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。

)(3)('4)(''=++t y t y t y 0
342=++λλ312()t t
zi y t c e c e --=+312'()3t t
zi y t c e c e --=--121=+c c 2321=--c c 251=c 2
32-=c 353()(),022t t zi y t e e t --=-≥
例2 已知系统微分方程相应的齐次方程为：
(0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。

【解】
特征方程为 零输入响应为：
(0)1,(0)2
y y --'==解得：
最后得到： 根据起始条件： 0)(2)('2)(''=++t y t y t y 0222=++λλj ±-=12,1λ12()(cos sin )t zi y t e c t c t -=+2121'()[()cos ()sin ]t
zi y t c c t c c t e -=--+其特征根为 11=c 32=c ()(cos 3sin ),0
t zi y t e t t t -=+≥
例3 已知系统微分方程相应的齐次方程为：
(0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。

【解】 特征方程为
其特征根为
零输入响应为：
(0)1,(0)2y y --'==得到： 最后得到： 根据起始条件：
0)()('2)(''=++t y t y t y 0122=++λλ121λλ==-12()(+)t zi y t c c t e -=212'()()t zi y t c c c t e -=--11=c 32=c ()(13),0
t zi y t t e t -=+≥
零状态响应的求解-卷积法 零状态情况下，系统的微分方程的形式为 强迫函数：
()(1)(2)12
10()()()'()()()n n n n n y t a y t a y t a y t a y t f t ----∑+++++=L ()(1)110()()()'()()m m m m f t b f t b f t b f t b f t -∑-=++++L 强迫函数是方程右端输入信号及其各阶导数的组合
回顾一阶系统的微分方程
()()()
zs zs y t ay t f t ∑'+=()()()
at at at zs zs y t e ay t e e f t ∑'+=d [()]()d at at zs y t e e f t t
∑=0()()0t at
a zs t y t e e f d τττ-∑-=⎰零状态响应的求解-卷积法
()()()zs T y t f t f t ∑=*0()(0)()t
at
a zs zs y t e y e f d τττ--∑-=⎰(0)0
y -=零状态响应的求解-卷积法
()0()()()*()t
a t at zs y t e f d e t f τττετ----∑∑==⎰()()
at T f t e t ε-=一阶系统的特征函数
类似地，对于二阶系统，由其特征根可以导出二阶系统的特征函数
12121212121.21()() ()()()() 1sin () =t t t t t T t e e t f t e t e t te t e t t j λλλλλαελλλλεεελλλ
βελαββ⎧-≠⎪-⎪⎪=*===⎨⎪⎪±⎪⎩推而广之，设特征根为
,1,i i n λ=L 12()()()()
n t t t T f t e t e t e t λλλεεε=***L
零状态响应的求解-卷积法 n 阶LTI 系统的特征函数为
零状态响应的求解-卷积法 系统的零状态响应为
()()()
zs T y t f t f t ∑=*()(1)110()()()'()()
m m m m f t b f t b f t b f t b f t -∑-=++++L 12()()()()
n t t t T f t e t e t e t λλλεεε=***L LTI 系统的零状态响应是系统的特征函数和强迫函数的卷积
例4 某连续LTI 系统的系统方程为 )
(3)(')(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++求下面两种情况下的零状态响应：
(1)()()f t t ε=3(2)()()t f t e t ε-=解:系统的特征根为 11-=λ2
2-=λ 系统的特征函数为 22()()()()()
t t t t T f t e t e t e e t εεε----=*=-（1）系统的强迫函数为 )
(3)()(t t t f εδ+=∑零状态响应为 ()()()zs T y t f t f t ∑=*)]
(3)([)()(2t t t e e t t εδε+*-=--)()2
1223(2t e e t t ε--+-=零状态响应的求解-卷积法
例4 某连续LTI 系统的系统方程为 )
(3)(')(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++求下面两种情况下的零状态响应：
(1)()()f t t ε=3(2)()()t f t e t ε-=解:系统的特征根为 11-=λ2
2-=λ 系统的特征函数为 22()()()()()
t t t t T f t e t e t e e t εεε----=*=-（2）系统的强迫函数为 零状态响应为 ()()()
zs T y t f t f t ∑=*33()()3()3()()
t t f t t e t e t t δεεδ--∑
=-+=22()()()()()()
t t t t zs y t e e t t e e t εδε----=-*=-零状态响应的求解-卷积法
将LTI系统的响应分解为零输入响应和零状态响应，则可以对LTI系统的线性性质进一步有如下理解：
（1）响应的可分解性：系统的完全响应可分解为零输入响应和零状态响应；
（2）零输入线性：当外加激励信号为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性；
（3）零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各个外加激励信号呈线性关系，称为零状态线性。

)(1t f ),()cos ()(1t t e t y t επ+=-)(1t f ),(cos 2)(2t t t y επ=)(1t f 3()y t 例5 .某LTI 系统起始状态不变，当激励为
时，响应为 当激励为2 时，响应为 求当激励为3 时的全响应 解：根据题意可得： ()()(cos )()()2()2cos ()
t zi zs zi zs y t y t e t t y t y t t t πεπε-⎧+=+⎨+=⎩解得： ()(cos )()
t zs y t t e t πε-=-()2()t zi y t e t ε-=根据零输入线性和零状态线性的性质，则
3()()3()(3cos )()
t zi zs y t y t y t t e t πε-=+=-
思考与练习 ⏹
1、何谓零输入响应，何谓零状态相应？ ⏹
2、求系统的零输入响应与求解齐次微分方程有什么差别？ ()2()2()dy t y t f t dt
+=()()f t t ε=21()1,03
t y t e t -=+≥(0)y -3、已知系统微分方程为 若 解得完全响应 则系统的起始状态 应该为（ ）。