零状态响应与零输入响应

信号与系统

第8讲

零输入响应和零状态响应

零输入响应和零状态响应的定义 ⏹

从引起系统响应的根源出发，将系统全响应分为零输入响应和零状态响应，即 ⏹

零输入响应是指没有外加激励信号（零输入）,仅由系统内部初始储能(电容储有电场能、电感储有磁场能)引起的响应； ⏹零状态响应是指系统内部储能为零（零状态)，仅由系统的外部的激励引起的响应。

)()()(t y t y t y zs zi +=

零输入响应的求解

设n 个特征根为 ()(1)(2)1210()()()'()()0n n n n n y t a y t a y t a y t a y t ----+++++=L 00111=++++--a a a n n n λλλΛ其特征方程为 12.n

λλλL 零输入下，系统的微分方程为 系统的零输入响应与微分方程的齐次解相同 以下分三种情况讨论

零输入响应的求解

（2）若存在共轭复根，如 1,2j λαβ=±3123()(cos sin ),0n t t t zi n y t c t c t e c e c e t λλαββ=++++≥L (3) 若这些特征根中含有

重根，设 r 12r λλλ===L 111121()[()],0

n r t t t r zi r r n y t c c t c t e c e c e t λλλ+-+=++++++≥L L 1212(),0

n t t t zi n y t c e c e c e t λλλ=+++≥L （1）若这些特征根都是单根，则

由起始状态值确定待定系数

【解】 特征方程为 其特征根为 λ1 = -1， λ 2= -3

零输入响应为： (0)1,(0)2

y y --'==得到：

最后得到： 根据起始条件： 例1 已知系统微分方程应的齐次方程为： (0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。

)(3)('4)(''=++t y t y t y 0

342=++λλ312()t t

zi y t c e c e --=+312'()3t t

zi y t c e c e --=--121=+c c 2321=--c c 251=c 2

32-=c 353()(),022t t zi y t e e t --=-≥

例2 已知系统微分方程相应的齐次方程为：

(0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。

【解】

特征方程为 零输入响应为：

(0)1,(0)2

y y --'==解得：

最后得到： 根据起始条件： 0)(2)('2)(''=++t y t y t y 0222=++λλj ±-=12,1λ12()(cos sin )t zi y t e c t c t -=+2121'()[()cos ()sin ]t

zi y t c c t c c t e -=--+其特征根为 11=c 32=c ()(cos 3sin ),0

t zi y t e t t t -=+≥

例3 已知系统微分方程相应的齐次方程为：

(0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。

【解】 特征方程为

其特征根为

零输入响应为：

(0)1,(0)2y y --'==得到： 最后得到： 根据起始条件：

0)()('2)(''=++t y t y t y 0122=++λλ121λλ==-12()(+)t zi y t c c t e -=212'()()t zi y t c c c t e -=--11=c 32=c ()(13),0

t zi y t t e t -=+≥

零状态响应的求解-卷积法 零状态情况下，系统的微分方程的形式为 强迫函数：

()(1)(2)12

10()()()'()()()n n n n n y t a y t a y t a y t a y t f t ----∑+++++=L ()(1)110()()()'()()m m m m f t b f t b f t b f t b f t -∑-=++++L 强迫函数是方程右端输入信号及其各阶导数的组合

回顾一阶系统的微分方程

()()()

zs zs y t ay t f t ∑'+=()()()

at at at zs zs y t e ay t e e f t ∑'+=d [()]()d at at zs y t e e f t t

∑=0()()0t at

a zs t y t e e f d τττ-∑-=⎰零状态响应的求解-卷积法

()()()zs T y t f t f t ∑=*0()(0)()t

at

a zs zs y t e y e f d τττ--∑-=⎰(0)0

y -=零状态响应的求解-卷积法

()0()()()*()t

a t at zs y t e f d e t f τττετ----∑∑==⎰()()

at T f t e t ε-=一阶系统的特征函数

类似地，对于二阶系统，由其特征根可以导出二阶系统的特征函数

12121212121.21()() ()()()() 1sin () =t t t t t T t e e t f t e t e t te t e t t j λλλλλαελλλλεεελλλ

βελαββ⎧-≠⎪-⎪⎪=*===⎨⎪⎪±⎪⎩推而广之，设特征根为

,1,i i n λ=L 12()()()()

n t t t T f t e t e t e t λλλεεε=***L

零状态响应的求解-卷积法 n 阶LTI 系统的特征函数为