【最新】用递归法解决问题
递归算法题目
《递归算法题目》
同学们，今天咱们来聊聊递归算法题目。
啥是递归算法呢？简单说，就是一个函数自己调用自己。
听起来有点绕，对吧？别担心，咱们通过例子来理解。
比如说，计算阶乘。
咱们要算 5 的阶乘，也就是5! 。
正常算法是
5×4×3×2×1 ，那用递归算法呢，就是这样：先定义一个函数，假设叫factorial ，如果要算n 的阶乘，当n 等于0 或者 1 时，结果就是 1 ；如果n 大于 1 ，那结果就是n 乘以factorial(n - 1) 。
再比如，计算斐波那契数列。
这个数列前两个数是0 和 1 ，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
用递归算法，咱们也能搞定。
那为啥要学递归算法呢？因为它能让一些复杂的问题变得简单。
就像走迷宫，有时候直接往前走找不到出口，但是退一步，换个角度，可能就柳暗花明啦。
不过，递归算法也有它的小麻烦。
要是不小心，可能会陷入无限循环，就像在一个圈圈里一直转，出不来啦。
那怎么才能做好递归算法的题目呢？首先，得把问题分析清楚，搞明白啥时候该停止递归。
然后，要仔细设计递归的条件和步骤。
同学们，递归算法就像一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。
只要咱们多练习，多思考，就一定能掌握它，让它为咱们的编程之路助力！
加油吧，同学们，相信你们都能搞定递归算法题目！。
递归的经典例子
递归的经典例子
1. 算数学题的时候啊，像计算一个数的阶乘，这就是一个递归的经典例子呀！比如说计算 5 的阶乘，不就是 5 乘以 4 的阶乘嘛，而 4 的阶乘又等于 4 乘以 3 的阶乘，依次类推，这多有意思啊！
2. 还有走迷宫呢，你想想，当你在迷宫里遇到岔口，你选择一条路走，然后又遇到岔口，又继续选择，这不就跟递归很像嘛！你不断地进入更小的问题去探索，直到找到出口，这难道不是很神奇吗？
3. 画树也可以用递归呀！先画一个树干，然后树干上又分出树枝，每个树枝又可以当作新的树干去继续分树枝，这不就跟递归的过程一样嘛，哇塞，这样就能画出一棵复杂又漂亮的树啦！
4. 你知道汉诺塔游戏不？那就是典型的递归例子哟！要把盘子从一个柱子移到另一个柱子，不就得不断地用递归的方法去解决嘛，天啊，真是好烧脑又好有趣！
5. 再来说说我们电脑里的文件系统，那也是递归的体现呀！文件夹里有子文件夹，子文件夹里还有子文件夹，就这么一层层下去，像不像递归在大展身手呢？
6. 回忆一下我们看电影的时候，很多故事里不是也有类似递归的情节嘛！主角解决一个问题又引出新的问题，然后一直这么循环，这也可以说是一种故事里的递归呀，多有意思的发现呀！
总之，递归在生活中无处不在，它就像一把神奇的钥匙，能打开很多复杂问题的大门，给我们带来惊喜和挑战！。
递归算法 递推公式求解
递归算法递推公式求解递归算法是一种自我调用的算法，它通过不断将问题分解为更小的子问题来求解问题。
递归算法的核心是递推公式，也称为递归式，它描述了如何将问题分解为子问题，并如何从子问题的解中得到原问题的解。
递推公式通常具有以下形式：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n) 表示问题规模为n 时的时间复杂度，a 表示每次递归调用的次数，b 表示每次递归调用后问题规模缩小的比例，f(n) 表示除了递归调用外的其他操作的时间复杂度。
为了求解递推公式，我们可以使用以下方法：1.迭代法：通过迭代递推公式的方式逐步计算出T(n) 的值。
这种方法比较直观，但对于较大的n 值，迭代次数可能非常多，计算量也会非常大。
2.替换法：通过猜测T(n) 的形式，并将其代入递推公式中进行验证。
如果猜测正确，则可以得到T(n) 的解。
这种方法需要对问题有一定的了解和猜测能力。
3.大师定理：大师定理是一种求解递推公式的通用方法。
它可以根据递推公式的形式，直接给出T(n) 的时间复杂度。
大师定理有多种形式，其中最常用的是以下三种：a. 如果f(n) = O(n^c)，其中c < log_b(a)，则T(n) = O(n^log_b(a))。
b. 如果f(n) = O(n^c)，其中c = log_b(a)，则T(n) = O(n^c * log_n)。
c. 如果f(n) = O(n^c)，其中c > log_b(a)，且对于所有足够大的n，有af(n/b) <= f(n)，则T(n) = O(f(n))。
需要注意的是，大师定理只是一种求解递推公式的工具，它并不能解决所有类型的递推公式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的求解方法。
《用递归法解决问题》教学设计-最新文档
《用递归法解决问题》教学设计学习者分析本节课的教学对象为高中二年级的学生。
这个阶段的学生具有很强的自主意识，具备一定的探究能力，喜欢自己动手实践来获得新知。
多次经历从问题到程序的思考过程，在面对现有软件无法解决的问题时能够编写程序解决问题。
在此之前，学生已经掌握了循环、数组、自定义函数的使用，为本课的学习做好了充分的准备。
学习内容分析《用递归法解决问题》是高中选修教材《算法与程序设计》（科教版）第三章“算法的程序实现”第五小节的内容。
在本课学习之前，学生已经学会了用循环的方法来解决问题，然而循环的方法往往并不会那么清晰地描述解决问题的步骤，递归法则可以非常直白地描述一个问题的求解过程，因此递归法也是最容易实现的算法。
递归的基本思想是把规模大的问题转化为规模小的相类似的子问题来解决。
在函数实现时，因为解决大问题的方法和解决小问题的方法往往是同一种方法，所以就产生了调用自身的情况。
递归是利用系统的堆栈保存函数中的局部变量来解决问题的，因为函数调用的开销比较大，递归常常会带来效率问题。
本节课学生不仅要学会用递归法解决问题，更重要的是领会递归思想的精髓。
递归思想是计算机学科中的核心技术思想之一，其本质反映的是一种将复杂问题简单化的思维方法。
学习目标知识与技能目标：理解递归的含义，找出递归问题中缩小问题规模的递归处理方法及递归结束条件，了解递归算法的优缺点。
过程与方法目标：能用程序实现递归算法，学会用简单模式解决复杂问题的方法。
情感态度与价值观目标：领悟递归思想，体验递归思想在实际生活中的应用。
教学重点、难点重点：分析递归结束条件及缩小问题规模的方法，以及递归算法的程序实现。
难点：递归算法的程序实现。
教学策略呈现斐波那契数列问题，由学生比较熟悉的递推法入手，针对问题描述中的不严谨之处，引入递归定义及其关键因素――递归结束条件和缩小问题规模的递归处理。
在递归的学习过程中，学生通过阅读代码、尝试模仿、归纳提炼、拓展应用等环节逐渐完成知识的内化并达到应用、迁移的目的。
简单递归例子
简单递归例子
1. 嘿，你知道计算阶乘吧，那就是个简单递归例子呀！比如说，计算 5 的阶乘，不就是 5 乘以 4 的阶乘嘛，4 的阶乘又是 4 乘以 3 的阶乘，一直
这样递推下去，直到 1 的阶乘就是 1，多神奇呀！
2. 哎呀呀，斐波那契数列也是呢！前两个数是 0 和 1，后面每个数都
是前两个数的和，这就是妥妥的递归呀！你想想，像不像搭积木，一层一层搭起来的感觉。
3. 还有走迷宫！当你在一个岔路口选择一条路走下去，如果碰到死胡同，就回到岔路口再选另一条路，这也有点递归的味道啊，是不是很有意思呢？
4. 你看画树的例子呀！先画一个主干，然后从主干上再长出分支，每个分支又可以长出更小的分支，这不就是用递归在构建嘛！
5. 计算最大公约数也能用递归呢！如果两个数不相等，就把大的数变成大的数减去小的数，小的数不变，然后再去算，这不就是在反复进行一个过程嘛，多酷！
6. 就说汉诺塔问题吧！把盘子从一个柱子移动到另一个柱子，不也得靠递归的思路嘛！这就像接力赛，一环扣一环的。
7. 像倒着数数也是呀！从 10 数到 1，不就是每次减去 1 然后接着数，这也是一种简单的递归呀！
8. 你瞧，生活中好多地方都有递归的影子呢！这真的很神奇，不是吗？简单的递归例子就在我们身边呀，让我们发现更多有趣的递归吧！
我的观点结论：递归在很多地方都有体现，而且非常有趣，大家可以多多留意去发现呀。
C语言递归函数解决问题的高效方法
C语言递归函数解决问题的高效方法在编程领域中，递归是一种非常强大的技术，特别是在解决具有重复性质的问题时。
C语言是一种被广泛使用的编程语言，它提供了递归函数的支持，使得程序员可以更加高效地解决各种问题。
本文将探讨C语言递归函数解决问题的高效方法。
一、递归函数的基本概念递归是指函数在其定义中调用自身的过程。
递归函数包含两个部分：基线条件和递归条件。
基线条件用于结束递归过程，递归条件用于继续递归调用函数本身。
递归函数将问题分解为更小的子问题，直到达到基线条件才停止递归。
通过这种方式，递归函数可以高效地解决复杂的问题。
二、递归函数的优点1. 简洁：递归函数可以用更少的代码实现复杂的逻辑，提高代码的可读性和可维护性。
2. 可扩展性：递归函数可以轻松处理不同规模的问题，只需调整递归条件和基线条件。
3. 逻辑清晰：递归函数能够将问题分解为更小的子问题，使得代码逻辑更加清晰明了。
三、使用递归函数解决问题的注意事项1. 设定合适的基线条件：基线条件应该能够在递归过程中终止函数的调用，避免无限循环。
2. 确保递归条件能够让问题规模不断减小：递归调用应该将问题分解为更小的子问题，确保递归过程能够逐步收敛到基线条件。
3. 避免重复计算：在使用递归函数解决问题时，应该避免重复计算，通过合理的数据结构或缓存机制提高效率。
四、应用举例：计算斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递归应用场景。
它定义如下：第1项和第2项为1，从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
以下是使用递归函数解决斐波那契数列问题的示例代码：```c#include <stdio.h>int fibonacci(int n) {if (n <= 2) {return 1;} else {return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);}}int main() {int num = 10;printf("斐波那契数列的第%d项是：%d\n", num, fibonacci(num));return 0;}```在上述代码中，fibonacci函数通过递归调用自身来计算斐波那契数列的指定项数。
递归算法的应用范文
递归算法的应用范文
一、什么是递归算法
递归算法是指利用递归的思想来解决一些问题的算法。
它将一个复杂的问题分解成若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相似的子问题，递归地求解各个子问题，然后将子问题的解合并为原问题的解。
二、递归算法的基本特征
1、递归算法主要有两个要素：基本问题的解和递归式。
基本问题的解是算法给出的简单的解决方案，而递归式是递归算法的核心，它描述了将复杂的问题划分成若干个子问题的方法。
2、递归算法要求每次调用它在输入上有着明确的变化。
一般来说，递归算法的每次调用都会将输入变得更趋近于基本问题的解，最终递归调用一定会到达基本问题的解，这时结束递归调用，从而问题得到最终解。
3、递归算法可以节省计算机的存储空间。
由于它使用有限的容量就可以解决大量的问题，因此它可以有效地节省存储空间。
三、递归算法的常见应用
1、排序算法：排序算法是日常编程中经常使用的算法，而这些算法中，有许多都采用了递归的思想，比如快速排序和归并排序。
2、算法：算法一般用于在一个有序的集合中其中一元素，而常用的算法有二分查找和深度优先，它们都采用了递归的思想。
递归算法解决问题
递归算法解决问题递归算法是一种解决问题的重要方法，它的特点是在解决问题的过程中，可以调用自身来解决子问题。
这种方法通常可以使问题的解决过程更加简洁明了，但也需要注意递归的边界条件以及递归深度的控制，以避免陷入无限循环的情况。
在计算机科学中，递归算法被广泛应用于各种领域，比如树的遍历、图的搜索、动态规划等等。
下面我们将以几个具体的例子来说明递归算法的使用。
我们来看一个经典的例子——计算斐波那契数列。
斐波那契数列是一个递归定义的数列，它的前两个数是0和1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。
可以用递归算法来计算斐波那契数列的第n个数，代码如下：```pythondef fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```在这个递归函数中，当n小于等于1时，直接返回n；否则，就将问题拆分为求解第n-1个数和第n-2个数的和。
通过不断地递归调用自身，最终可以得到问题的解。
接下来，我们来看一个更复杂的例子——汉诺塔问题。
汉诺塔是一个经典的数学问题，它可以用递归算法来求解。
问题的描述如下：有三根柱子A、B、C，初始时柱子A上有n个盘子，这些盘子按照从小到大的顺序叠放在一起。
现在要将这些盘子从柱子A移动到柱子C，可以借助柱子B作为中转。
移动的规则是每次只能移动一个盘子，且大盘子不能叠在小盘子上面。
代码如下：```pythondef hanoi(n, A, B, C):if n == 1:print("Move disk", n, "from", A, "to", C)else:hanoi(n-1, A, C, B)print("Move disk", n, "from", A, "to", C)hanoi(n-1, B, A, C)```在这个递归函数中，当n等于1时，直接将盘子从柱子A移动到柱子C；否则，将问题拆分为三个子问题，先将n-1个盘子从柱子A 移动到柱子B，然后将第n个盘子从柱子A移动到柱子C，最后将n-1个盘子从柱子B移动到柱子C。
递归的用法
递归的用法递归是一种编程技巧，它允许函数在其定义中调用自身。
递归的用法广泛且强大，能够解决许多复杂问题。
在理解递归的用法时，我们首先要明白其基本概念和适用场景。
递归的基本思想是将一个复杂问题分解为两个或多个相同或相似的子问题，直到子问题变得足够简单，可以直接解决。
然后，通过组合这些简单问题的解，我们可以得到原始复杂问题的解。
递归的用法在多种场合下都非常有用。
以下是一些常见的递归应用场景：阶乘计算：阶乘是递归的经典示例之一。
n的阶乘可以定义为n乘以(n-1)的阶乘，直到n为1时停止递归。
这种递归定义非常直观，并且很容易用代码实现。
斐波那契数列：斐波那契数列是另一个递归的经典示例。
每个数字是前两个数字的和，可以通过递归函数轻松计算。
树形结构遍历：在数据结构中，树形结构（如二叉树）的遍历（前序、中序、后序遍历）经常使用递归实现。
通过递归调用，我们可以轻松遍历整个树形结构。
深度优先搜索（DFS）：在图形算法中，深度优先搜索是一种常用的搜索算法，它通过递归的方式访问图形的顶点。
解析表达式：在编译器设计中，解析表达式（如算术表达式或逻辑表达式）通常使用递归实现。
通过递归调用，我们可以轻松地解析复杂的嵌套表达式。
除了以上几个例子外，递归还在许多其他领域得到应用，如动态规划、分治算法等。
然而，需要注意的是，递归虽然强大，但也可能导致性能问题，特别是在处理大规模数据时。
因此，在使用递归时，我们需要仔细考虑其适用性和性能影响。
总之，递归是一种非常有用的编程技巧，能够解决许多复杂问题。
通过理解递归的基本思想和适用场景，我们可以更好地利用这一工具，编写出更高效、更简洁的代码。
递归算法的例子
递归算法的例子
1. 计算阶乘不就是个很好的例子嘛！比如计算 5 的阶乘，5! 不就是
5×4×3×2×1 嘛，这就是通过不断用较小的数的阶乘来计算呀，这多有意思啊！
2. 斐波那契数列呀！就像兔子繁殖一样神奇，前两个数相加得到下一个数，是不是很特别？这就是典型的递归算法呀！
3. 走迷宫的时候，你可以用递归算法来试着找路呀！哎呀，要是不这样试试，怎么能找到出口呢？
4. 汉诺塔问题啊，把那些盘子移来移去，不就是递归在发挥作用嘛，神奇吧！
5. 二叉树的遍历，就像是在森林里探索一样，一层一层地深入，这不是递归算法在帮忙嘛！
6. 画分形图形的时候，你看那美丽又复杂的图案，都是递归算法创造出来的呀，哇塞！
7. 分解一个大问题成小问题，再解决小问题，这不就是递归嘛，就像拆礼物一样，一层一层去发现惊喜！
8. 你想想，电脑下棋的时候，不也是用递归算法来分析各种走法吗，真的超厉害的！
总之，递归算法在好多地方都大显身手呢，它让很多复杂的事情变得简单又有趣，能创造出很多神奇的效果呀！。
用递归法解决问题
在VB中,说自定义函数,就不能不提子过程.子过程的定义如下: [Public|private] sub 局部常量 变量定义 过程语句组 End sub <子过程名称> ([参数列表])
子过程和函数的本质是一样的,在VB中往往将函数看做特殊的子过程
子过程与函数的区别: 关键字:函数(Function) 子过程(sub) 返回值:函数(可以有) 子过程(无) 调用格式:
虽然VB为我们提供了大量的标准函数，但我们 在实际应用时难免有时还是找不到合意的，那就只 有自己解决了，这样为了一个特定的任务而编出来 的函数叫自定义函数。
二、自定义函数的作用
1、可以方便的把较为复杂的问题分解成若干 个小问题去处理。(公司里就是采用这种模式的。) 2、使程序结构清晰，层次分明，增强了程序 的可读性。
一、标准函数
VB给我们提供了一些标准函数，我们不用了解这些函数如何求出 来的，只管直接调用它们，挺方便的。如正弦函数，余弦函数，算术平 方根．．．．．．有了这些函数，我们觉得很省事。如：求1加到100的 算术平方根这个程序我们可以这样编写： 例1 dim I as integer, s as single s=0 for i=1 to 100 s=s+sqr(i) next i print(“s=“,s)
在这个程序里，我们直接用到了求平方根函数，至于sqr（1
），sqr（2）如何求出来的我们不需过问，只管直接用它的结 果便是了。 象这样，VB给我们提供的，我们不用了解这些函数如何求 出来的，只管直接调用它们的这类函数叫做标准函数。
二、用户自定义函数
我们来看看下面一个例子：求：1！＋2！＋3！＋．．．＋10！＝？ 如果要编写程序，我们看到求阶乘的操作要执行10次，只不过每次 所求的数不同。我们想：不至于编写10遍求阶乘的程序吧。我们希 望有一个求阶乘的函数，假设为JS（X），那么我们就可以这样求这 道题了：
c语言递归解决台阶问题
C语言递归解决台阶问题概述在计算机科学中，递归是一种常用的问题解决方法。
递归函数是一种自己调用自己的函数，通过不断地将问题分解为更小的子问题来解决复杂的问题。
本文将以台阶问题为例，介绍如何使用C语言中的递归方法来解决这个问题。
问题描述给定一个台阶，每次可以迈上1个或2个台阶，问有多少种不同的方式可以将台阶走完。
例如，对于一个有3个台阶的楼梯，有3种不同的走法:1-1-1、1-2、2-1。
.解决思路要解决台阶问题，我们可以考虑最后一步的情况。
最后一步只可能是迈1个台阶或者迈2个台阶，所以可以将问题分解为两个子问题：1.如果最后一步迈1个台阶，那么剩下的台阶数目为n-1。
2.如果最后一步迈2个台阶，那么剩下的台阶数目为n-2。
通过递归的方式，我们可以将问题一直分解到只有1个或2个台阶时，再逐步将子问题结果累加得到最终的解。
解决代码使用C语言实现递归函数解决台阶问题的代码如下：#i nc lu de<s td io.h>i n tc ou nt Wa ys(i ntn){i f(n==1)r e tu rn1;e l se if(n==2)r e tu rn2;e l ser e tu rn co un tW ay s(n-1)+c ou nt Wa ys(n-2);}i n tm ai n(){i n tn;p r in tf("请输入台阶数目：");s c an f("%d",&n);p r in tf("共有%d种不同的方式可以走完%d个台阶\n",co un tW ay s(n),n);r e tu rn0;}示例假设我们要计算有6个台阶时的走法数量，我们可以运行上述代码，输入台阶数目为6。
程序将计算出共有13种不同的方式可以走完6个台阶。
总结通过本文的介绍，我们了解了如何使用C语言中的递归方法来解决台阶问题。
递归函数能够将复杂的问题分解为较小的子问题，并通过不断地调用自身来逐步解决这些子问题。
用递归算法处理fibonacci数列问题
用递归算法处理fibonacci数列问题
Fibonacci数列是一个经典的数学问题，它的规律是：从第3个数开始，每个数都是前两个数的和，即f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1。
如果要求出第n个数的值，我们可以使用递归算法来解决这个问题。
递归算法是一种自我调用的算法，它将一个问题拆分成一个或多个子问题，并且解决每个子问题的方法与原问题相同。
在处理Fibonacci数列问题时，我们可以使用递归算法来计算每个数的值，直到计算到第n个数为止。
具体实现时，我们可以使用一个递归函数来计算Fibonacci数列中第n个数的值。
该函数的实现如下：
```
def fibonacci(n):
if n == 1 or n == 2:
return 1
else:
return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
```
在上面的代码中，如果n等于1或2，我们直接返回1；否则，我们递归地调用fibonacci函数，并计算前两个数的和。
递归的终止条件是当n等于1或2时，直接返回1，因为这两个数是Fibonacci 数列中的规定值。
使用上述递归函数来计算Fibonacci数列中第n个数的值，可以得到正确的结果。
但是，递归算法的效率比较低，因为它会产生大量的重复计算。
如果要处理大规模的Fibonacci数列问题，使用递归算法可能会导致程序运行缓慢或者甚至崩溃。
因此，为了提高算法的效率，我们可以使用其他方法来处理Fibonacci数列问题，例如使用迭代算法或者动态规划算法。
用递归法解决商人渡河问题
商人渡河问题是这样的：有三个商人，三个强盗，和一条船（船每次只可以载小于等于两个人）他们同在河的一边，想渡过河去，但是必须保证在河的任何一边必须保证商人的数目大于等于强盗的数目，应该怎么过这条河呢？用递归的源程序如下：开始时商人，强盗所在的河的这边设为0状态，另一边设为1状态（也就是船开始时的一边设为0，当船驶到对岸是设为1状态，在这两个状态时，都必须符合条件）#include<stdlib.h>struct node /*建立一个类似栈的数据结构并且可以浏览每一个数据点*/{int x;int y;int state;struct node *next;};typedef struct node state;typedef state *link;link PPointer1=NULL;link PPointer2=NULL;int a1,b1;int a2,b2;/*栈中每个数据都分为0，1状态*/void Push(int a,int b,int n){link newnode;newnode=(link)malloc(sizeof(state));newnode->x=a;newnode->y=b;newnode->state=n;newnode->next=NULL;if(PPointer1==NULL){PPointer1=newnode;PPointer2=newnode;}else{PPointer2->next=newnode;PPointer2=newnode;}}void Pop() /*弹栈*/ {link pointer;if(PPointer1==PPointer2){free(PPointer1);PPointer1=NULL;PPointer2=NULL;}pointer=PPointer1;while(pointer->next!=PPointer2)pointer=pointer->next;free(PPointer2);PPointer2=pointer;PPointer2->next=NULL;}int history(int a,int b,int n) /*比较输入的数据和栈中是否有重复的*/{link pointer;if(PPointer1==NULL)return 1;else{pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){if(pointer->x==a&&pointer->y==b&&pointer->state==n)return 0;pointer=pointer->next;}return 1;}}int judge(int a,int b,int c,int d,int n) /*判断这个状态是否可行，其中使用了history函数*/{if(history(a,b,n)==0) return 0;if(a>=0&&b>=0&&a<=3&&b<=3&&c>=0&&d>=0&&c<=3&&d<=3&&a+c==3&&b+d==3) {switch(n){case 1:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}case 0:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a>=b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}}}else return 0;}int Duhe(int a,int b,int n) /*递归法解决商人渡河问题，如果这一个状态符合*/ { /*则判断下一个状态，直至问题解决*/if(a==0&&b==0) return 1;if(n==0) /*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a-1,b-1,4-a,4-b,1)) {if(Duhe(a-1,b-1,1)==1) return 1;}if(judge(a,b-2,3-a,5-b,1)) {if(Duhe(a,b-2,1)==1)return 1;}if(judge(a-2,b,5-a,3-b,1)) {if(Duhe(a-2,b,1)==1)return 1;}if(judge(a-1,b,4-a,3-b,1)) {if(Duhe(a-1,b,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-1,3-a,4-b,1)) {if(Duhe(a,b-1,1)==1)return 1;}else{Pop(0);return 0;}}if(n==1) /*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/ {if(judge(a+1,b+1,2-a,2-b,0)){if(Duhe(a+1,b+1,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+2,3-a,1-b,0)){if(Duhe(a,b+2,0)==1)return 1;}if(judge(a+2,b,1-a,3-b,0)){if(Duhe(a+2,b,0)==1)return 1;}if(judge(a+1,b,2-a,3-b,0)){if(Duhe(a+1,b,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+1,3-a,2-b,0)){if(Duhe(a,b+1,0)==1)return 1;}else{Pop(1);return 0;}}return 0;}main(){link pointer;Push(3,3,0);Duhe(3,3,0);pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){printf("%d,%d---%d\n",pointer->x,pointer->y,pointer->state); pointer=pointer->next;}getch();}。
用递归法解决问题
3.5用递归法解决问题【教材分析】“用递归法解决问题”是《算法与程序设计》第三章第5节的内容，学业水平测试对本节内容也达到了B级要求，本节内容是在学习了VB基础知识中的三种基本结构，并且学习了数组、用解析法和穷举法解决问题等算法。
本节先后介绍了“什么是递归法”、“自定义函数”、以及应用自定义函数结合递归算法来解决问题实例。
通过本节内容的学习可以培养学生分析和分解问题的能力。
从教材的结构上看“自定义函数”和“递归算法”是独立的，可以分别讲解，但在使用时两者是相辅相成的。
【学情分析】这节课的教学对象是高中二年级学生，已经学习了算法与程序设计VB中的一些基础知识，初步了解了算法的概念。
特点是在学习循环结构的过程中，学生已经积累了一些“递归”和“穷举”的算法。
但是学生对函数尤其是“自定义函数”非常陌生，而“自定义函数”和“递归法”是本册的学习重点，也是以后编程的重点。
学习本节内容学生可以充分体会递归算法的思想过程，扩大原来的知识面，进一步认识程序设计的功能，进一步激发学生学习算法与程序设计的兴趣。
【教学目标】1.知识与技能：理解什么是递归法，会用递归法的思想分析和解决问题理解什么是自定义函数，能应用自定义函数实现递归算法的编程2.过程与方法学生通过思考、探究，体验递归算法和发现问题与解决问题的步骤3.情感态度与价值观在建立数学模型中培养学生的抽象思维能力，培养学生多维度思考问题和解决能力。
树立多学科整合的思想意识，能够用联系的观点解决问题。
【教学重点】理解什么是递归算法，学会用递归法的思想分析问题。
理解自定义函数的概念。
【教学难点】用自定义函数和递归算法编写程序解决问题【教学方法及策略】米用程序展示法、讨论总结法、讲解法、启示引导法。
本节以一简单的例子对比VB中提供的标准函数，引出本节的第一项内容，自定义函数并加以讲解使学生掌握自定义函数的方法，由于理解和学习递归法比较困难，要求学生具有很强的抽象思维能力，如直接讲解则学生很难达到预期效果，在讲递归法之前是我让5位具有表演天赋同学表演一场戏（5人的年龄问题），创造递归情境，同时留下问题“第一位同学应该怎么说？”通过问题情境引出和深化学生对递归算法的理解。
用递归法解决问题
Recursion(intMonth)，这个自定义函数怎么编写呢？
观察范例；
尝试编写自定义函数和过程 也是一个可行的方法。 教师 对函数和过程的区别最好能做出概括总结。
3. 递归法的实现
由“兔子繁殖问题”导出
“斐波那契数列”，给出任务解决“斐波那契数列”问题，学生首先需要了解“斐波那契数列”的规律，利用图解法帮助学生理解“斐波那契数列”问题的规律。学生在对递归程序的理解上存在一定的困难，教师可从绘制流程图或编写伪代码入手，引导学生分析程序。对于递归法的
编
程
展
开
讨
论提出兔子繁殖问题；
展示范例：运行程序，察看结果（见附录1）；
展示部分程序（见附录2）；
分析 intMonth ＞2时，计算的值是通过多次调用自身函数实现的，这就是一种递归。 思考；
……
巩固递归思想。 分析任务，为编程做准备。
思考程序；
写出自定义函数的框架结构。 激发学生的兴趣，引发学生的学习期待。
分
析
2. 什么是自定义函数
在程序设计过程中，自定义函数和子过程在编程中的重要性不言而喻，对于自定义函数的讲解应该是本节的重点，要精讲、细讲。首先教师可通过实例突出标准函数的不足，展现自定义函数的作用；然后演示如何定义函数、调用函数。教师可借用同样实例演示如何定义子过程、调用子过程，让学生体会函数和过程的区别。学生参照实例、自主探究、
问
题引导：图解兔子繁殖问题。
……
Recursion （ intMonth ） =
Recursion （ intMonth-1 ） +Recursion （ intMonth-2 ）
递归算法解决问题
递归算法解决问题在计算机科学中，递归算法是一种非常重要的算法思想，它在解决问题时能够简洁高效地进行操作。
递归算法通过将一个问题分解为更小的子问题来解决，直到达到基本情况，然后再逐步返回结果并解决整个问题。
递归算法的核心思想是自我调用。
通过不断地调用自身，将问题分解为更小的子问题，逐步解决，最终得到问题的解。
递归算法在许多领域都有广泛的应用，比如数学、计算机科学、自然语言处理等。
递归算法的实现需要满足两个条件：基本情况和递归关系。
基本情况是指递归调用的终止条件，当满足终止条件时，递归过程停止，返回结果。
递归关系是指将原始问题分解为更小的子问题的方法，通过递归调用解决子问题，最终获得原始问题的解。
递归算法的优点是代码简洁，思路清晰。
通过递归可以将复杂的问题简化为简单的子问题，降低解决问题的难度。
递归算法还可以提高代码的可读性和可维护性，使代码更加易于理解和修改。
然而，递归算法也存在一些缺点。
首先，递归算法的效率较低，由于递归调用会产生大量的函数调用和栈帧，导致内存占用较高。
其次，递归算法容易产生栈溢出的问题，当递归调用层数过多时，可能会导致程序崩溃。
为了解决递归算法的效率问题，可以使用尾递归优化。
尾递归是指递归调用发生在函数的最后一步，这样可以将递归转化为循环，减少函数调用的开销。
尾递归优化可以提高递归算法的效率，避免栈溢出的问题。
在实际应用中，递归算法有许多经典的应用场景。
比如在树的遍历中，可以使用递归算法进行前序、中序、后序遍历。
在图的搜索中，可以使用递归算法进行深度优先搜索和广度优先搜索。
在排序算法中，归并排序和快速排序都是基于递归算法的。
除了上述应用场景外，递归算法还可以用于解决一些数学问题。
比如计算斐波那契数列、阶乘等。
斐波那契数列是一个典型的递归问题，可以通过递归算法进行求解。
阶乘也可以使用递归算法进行计算，将问题不断分解为更小的子问题，直到达到基本情况。
递归算法在自然语言处理中也有广泛的应用。
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2021/2/2
12
递归算法的基本思想
递归算法的基本思想是：把规模大的、较 难解决的问题变成规模较小的、易解决的 同一问题。规模较小的问题又变成规模更 小的问题，并且小到一定程度可以直接得 出它的解，从而得到原来问题的解。
2021/2/2
13
实践1
编写递归函数求5！的值 Public Function s ( n As Integer) As Long If n=1 Then
请同学样仔细看戏：第一位同学该怎么回答？
请思考：我们如何通过编程来实现此算法？
2021/2/2
7
解决步骤
1。建立数学模型。 2。自定义函数。 3。调用函数解决问题。
A 像这种自己调用了自己的函数
A
叫做递归调用，这种算法就 叫做递归算法。
如果A函数调用B函数，B函数又反过来调用A函数， 那这种现象也叫做递归调用。
2021/2/2
8
自定义函数代码如下：
public function nl( n as integer) as integer nl=nl(n-1)+2 end function
请同学们自己调试以上代码。
2021/2/2
9
我们再问一下第一位同学看他怎 么回答
2021/2/2
10
子程序中定义递归调用。一般格式为：
2021/2/2
5
自定义函数的作用
1. 按照自己的要求“制作”出适合自己 的问题。
2．可以方便地把较为复杂的问题分解成 若干个小问题去处理。
3．使程序结构清晰，层次分明，增强了 程序的可读性 。
2021/2/2
6
请同学们表演一场戏。
5位同学表演，按序号排好顺序， 问第5位同学说比第4位同学大2 岁，问第三位同学，说比第3位 同学大2岁，问第3位同学说比 第2位同学大2岁，问第2位同学 说比第1位同学大2岁。
2021/2/2
15
Private Sub Command1_Click() Dim s As Single Dim a As Single a = Val(Text1.Text) s = mj(a) Print CStr(s) End Sub
mj( )函数就是我们要找的求已知半径圆的面积的函数。
2021/2/2
3
像 y=abs(9) y=int(9) y=sqr(9) 这些语句中的函数在VB中已经存在了，称作是VB 的标准函数，我们可以直接调用就可以了，而刚才 我们使用的mj( ) 函数，不是VB的标准函数， 需要我们DIY。
我们如何自定义函数？
请同学们看课本66页。
2021/2/2
4
自定义函数格式
［public/prinvate］function <函数名称＞［参数列表］as 数据类型
局部常量、量定义 语句组 函数名称＝返回值
end function
虽然VB为我们提供了大量的标准函数，但我们 在实际应用时难免有时还是找不到合意的，那 就只有自己解决了，这样为了一个特定的任务 而编出来的函数叫自定义函数。
if 边界条件 1 成立 then 赋予边界值 1
[ elseif 边界条件 2 成立 then 赋予边界值 2 ┇] else 调用解决问题的通式 endif
2021/2/2
11
归纳
递归法有什么特点？
什么样的问题可以使用递归法来解决？
A 递归体（数学模型）必须明确。 B 递归法是层层调用函数实现的，函 数先由上向下调用，称为递推。 C 当问题求解的规模越来越小时，必 定有一个结束条件作为递推出口。 D 递归法的可读性强。
3.5 用递归ห้องสมุดไป่ตู้解决问 题
2021/2/2
丰县欢口中学 孙厚旺
1
复习
求以下函数的值： y=abs(9) y=int(9) y=sqr(9)
有没有可以求以9为半径的圆的面积。
2021/2/2
2
Private Function mj(r As Single) As Single Const pi = 3.14 mj = pi * r * r End Function
s=1 Else s=n*s(n-1) End if End Function Private Sub Form_Click( ) Print “s(5)=”;s(5) End Sub
2021/2/2
14
实践2
案例：有一天一只猴子摘了一堆桃子，第一 天吃了总桃数的一半，嘴馋，又多吃一个， 第二天又吃了剩下的一半，又嘴馋，再多吃 一个，以后猴子都是吃剩下的一半再多吃一 个，到第10天的时候发出无法吃一半，再多 吃一个，因为只剩下一只了。问这只猴子第 一天一共摘多少只桃子？ 要求：分别使用递归法和循环语句（for next ）编程实现，并分析比较两种算法的区别和 特点。