NOI导刊资源背包动态规划
动态规划——01背包问题
动态规划——01背包问题⼀、最基础的动态规划之⼀01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。
01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。
我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。
只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。
运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。
由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。
这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。
有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。
显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。
可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。
可知dp[0][j]值⼀定为零。
那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。
显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。
当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。
①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。
拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。
背包问题动态规划
背包问题动态规划1006: 开⼼的WaterTime Limit: 1 Sec Memory Limit: 32 MBSubmit: 178 Solved: 62[][][]DescriptionWater今天很开⼼，家⾥购置的新房就要领钥匙了，新房⾥有⼀间他⾃⼰专⽤的很宽敞的房间。
更让他⾼兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就⾏”。
今天⼀早Water就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N元。
于是，他把每件物品规定了⼀个重要度，分为5等：⽤整数1~5表⽰，第5等最重要。
他还从因特⽹上查到了每件物品的价格（都是整数元）。
他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最⼤。
设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为 j1，j2，……，jk，则所求的总和为：v[j1]*w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]*w[jk]。
（其中*为乘号）请你帮助Water设计⼀个满⾜要求的购物单。
Input多组数据。
每组数据的第1⾏，为两个正整数，⽤⼀个空格隔开：N m（其中N（<30000）表⽰总钱数，m（<25）为希望购买物品的个数。
）从第2⾏到第m+1⾏，第j⾏给出了编号为j-1的物品的基本数据，每⾏有2个⾮负整数v p（其中v表⽰该物品的价格(v<=10000)，p表⽰该物品的重要度(1~5)）Output每组输出只有⼀个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最⼤值（<100000000）。
Sample Input1000 5800 2400 5300 5400 3200 2Sample Output3900#include<iostream>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>using namespace std;int max(int a, int b) {if (a > b)return a;return b;}int main() {int n, m;while (scanf("%d%d", &n, &m)!= EOF) {int f[30001]; //记录背包放哪些物品能达到最⼤利⽤率memset(f, 0, sizeof(int)*30001);int w[26];int v[26];memset(w, 0, sizeof(int)*26);memset(v, 0, sizeof(int)*26);int w_;int v_;int max_total = 0;for (int i = 1; i <= m; i++) {cin >> w_ >> v_;w[i] = w_;v[i] = v_;}//动态规划的⾃底向上解题for (int i = 1; i <= m; i++) { //依次选择是否放物品1,2,3,4...m//对于每个物品，看背包是否能承载得了，以及为了达到背包的利⽤率最⼤化，需要考虑是否把该物品放⼊背包，同时记录下每考虑过⼀个物品后 //背包的最⼤利⽤率for (int j = n; j >=1; j--) {if (j - w[i] >= 0) { //如果此时背包能够放物品if[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]*w[i]); //f[j]保持总价值不变，此时为放物品i, f[j-w[i]]+v[i]*w[i]此时放物品i,总价值为未放//物品i时的价值（查表获得，因为之前已经计算得到了）加上物品i的价值max_total = max(max_total, f[j]); //⽤max_total来记录最后背包利⽤率}}}cout << max_total << endl;}return 0;}/**************************************************************Problem: 1006User: 12330344Language: C++Result: AcceptedTime:24 msMemory:1316 kb输出所选物品：/**记录了选择哪些物品使得背包的使⽤率*程序结束时，同时输出所选物品和背包的最⼤利⽤率*/#include<iostream>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>using namespace std;int max(int a, int b) {if (a > b)return a;return b;}int main() {int n, m;while (scanf("%d%d", &n, &m)!= EOF) {int f[30001]; //记录背包放物品时的总价值，f[j]中j为载重memset(f, 0, sizeof(int)*30001);int w[26]; //记录物品int v[26]; //记录相应物品的价值int selected_w[26]; //记录最终所选择的物品的载重int k = 0;memset(w, 0, sizeof(int)*26);memset(v, 0, sizeof(int)*26);memset(selected_w, 0, sizeof(int)*26);int w_;int v_;int max_total = 0;for (int i = 1; i <= m; i++) {cin >> w_ >> v_;w[i] = w_;v[i] = v_;}//动态规划的⾃底向上解题for (int i = 1; i <= m; i++) { //依次选择是否放物品1,2,3,4...m//对于每个物品，看背包是否能承载得了，以及为了达到背包的利⽤率最⼤化，需要考虑是否把该物品放⼊背包，同时记录下每考虑过⼀个物品后 //背包的最⼤利⽤率bool select = false;for (int j = n; j >=1; j--) {if (j - w[i] >= 0) { //如果此时背包能够放物品i//f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]*w[i]); //f[j]表⽰载重为j时，背包的总价值。
动态规划0-1背包和资源分配
0-1背包问题实例详解
有5个物品，其重量分别是{2,2,6,5,4}，价值分别为{6,3,5,4,6}， 背包的容量为10.
0-1背包问题判断下一个物品是放还是不放；不放时： M ( i , v )= M ( i-1 , C ) ；放时：M ( i , v ) = max{M ( i-1 , C ) , M ( i-1 , C – W(i) + V(i)}
04
结果讨论
结果讨论
动态规划优缺点
1、由于约束条件确定的约束集 合往往很复杂，即使指标函数较 简单，也很难求出全局解，而动 态规划可以把全过程化为一系列 结构显示的子问题，变量大大减 少，约束集合变简单，易于得到 全局最优解。 2、实际问题往往是动态的，而 动态规划方法反映了过程逐段演 变的前后联系和动态特征，在计 算中可以利用实际知识和经验提 高求解效率。
1、动态规划没有同意的模型， 也没有构造模型的通用方法，甚 至还没有判断一个问题能否构造 动态规划模型的准则，因此只能 凭借经验具体分析，这也带来了 应用上的局限性。 2、用数值方法求解时，对于状 态变量取值的n维问题，对每个 状态都要计算，就存在维数灾问 题，动态规划对于这一类问题是 无效的
结果讨论
0-1背包问题基本思路
0-1 背包问题，特点就是：每种物品仅有一件，可 以选择放或者是不放，其状态转移方程就是： M ( i , v ) = max{第i件物品不放入背包,第i件物品放 入背包} M ( i , v ) = max{M ( i-1 , C ) , M ( i-1 , C – W(i) + V(i)} 用子问题定义状态：即M ( i , v )表示前i件物品恰好 放入一个容量为C的背包可以获得的最大价值。 M ( i , v ) = max{(不放入物品i)将前i-1件物品放入容 量为 C的背包中的最大价值， ( 放入物品i) 将前 i-1件 物品放入容量为C-W(i)的背包中的最大价值+V(i)}
背包的动态规划课程设计
背包的动态规划课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解动态规划的概念及其在问题解决中的应用；2. 掌握背包问题的基本原理，能够运用动态规划方法解决0-1背包问题；3. 学会分析问题，将复杂问题分解为子问题，并建立数学模型。
技能目标：1. 能够运用动态规划算法编写程序解决0-1背包问题；2. 培养逻辑思维和问题解决能力，通过优化算法提高问题求解效率；3. 学会使用图表、文字等形式进行问题分析，提高沟通和表达技巧。
情感态度价值观目标：1. 激发对计算机科学和信息技术的兴趣，培养主动学习和探索精神；2. 培养团队协作意识，学会与他人分享和交流；3. 认识到计算机科学在实际生活中的应用，提高社会责任感和创新意识。
本课程针对高中年级学生，结合动态规划这一重要算法，以背包问题为载体，旨在提高学生的计算思维和问题解决能力。
课程注重理论知识与实际应用的结合，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，使学生能够在掌握动态规划基本原理的基础上，运用所学技能解决更广泛的实际问题。
二、教学内容1. 动态规划基本概念：介绍动态规划的定义、原理和应用场景，结合教材相关章节，阐述动态规划与分治、贪心等算法的关系。
2. 背包问题原理：讲解0-1背包问题的背景、描述和数学模型，分析问题特点，引导学生掌握背包问题的解题思路。
3. 动态规划解决背包问题：详细讲解动态规划在0-1背包问题中的应用，包括状态定义、状态转移方程、边界条件等，结合教材实例进行剖析。
4. 编程实践：指导学生利用编程语言（如Python、C++等）实现动态规划算法解决0-1背包问题，强化理论与实践相结合的教学。
5. 算法优化与拓展：介绍如何对动态规划算法进行优化，如空间优化、时间优化等，并探讨背包问题的拓展应用，如完全背包、多重背包等。
教学内容安排与进度：1. 动态规划基本概念（1课时）2. 背包问题原理（1课时）3. 动态规划解决背包问题（2课时）4. 编程实践（2课时）5. 算法优化与拓展（1课时）本教学内容根据课程目标，紧密结合教材相关章节，系统性地组织课程内容，确保学生在掌握基本概念和原理的基础上，能够通过实践锻炼编程和问题解决能力，进一步提高学生的计算思维。
动态规划-01背包问题
动态规划——01背包问题01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为j 的背包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了背包中物品总价值最大化，第i件物品应该放入背包中吗？题目描述：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。
首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。
为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e 时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。
对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。
同理，c2=0，b2=3,a2=6。
对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；在这里， f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包以下是actionscript3 的代码[java]view plain copy1.public function get01PackageAnswer(bagItems:Array,bagSize:int):Array2.{3. var bagMatrix:Array=[];4. var i:int;5. var item:PackageItem;6.for(i=0;i<bagItems.length;i++)7. {8. bagMatrix[i] = [0];9. }10.for(i=1;i<=bagSize;i++)11. {12.for(var j:int=0;j<bagItems.length;j++)13. {14. item = bagItems[j] as PackageItem;15.if(item.weight > i)16. {17.//i背包转不下item18.if(j==0)19. {20. bagMatrix[j][i] = 0;21. }22.else23. {24. bagMatrix[j][i]=bagMatrix[j-1][i];25. }26. }27.else28. {29.//将item装入背包后的价值总和30. var itemInBag:int;31.if(j==0)32. {33. bagMatrix[j][i] = item.value;34.continue;35. }36.else37. {38. itemInBag = bagMatrix[j-1][i-item.weight]+item.value;39. }40. bagMatrix[j][i] = (bagMatrix[j-1][i] > itemInBag ? bagMatrix[j-1][i] : itemInBag)41. }42. }43. }44.//find answer45. var answers:Array=[];46. var curSize:int = bagSize;47.for(i=bagItems.length-1;i>=0;i--)48. {49. item = bagItems[i] as PackageItem;50.if(curSize==0)51. {52.break;53. }54.if(i==0 && curSize > 0)55. {56. answers.push();57.break;58. }59.if(bagMatrix[i][curSize]-bagMatrix[i-1][curSize-item.weight]==item.value)60. {61. answers.push();62. curSize -= item.weight;63. }64. }65.return answers;66.}PackageItem类[java]view plain copy1.public class PackageItem2.{3.public var name:String;4.public var weight:int;5.public var value:int;6.public function PackageItem(name:String,weight:int,value:int)7. { = name;9.this.weight = weight;10.this.value = value;11. }12.}测试代码[java]view plain copy1.var nameArr:Array=['a','b','c','d','e'];2.var weightArr:Array=[2,2,6,5,4];3.var valueArr:Array=[6,3,5,4,6];4.var bagItems:Array=[];5.for(var i:int=0;i<nameArr.length;i++)6.{7. var bagItem:PackageItem = new PackageItem(nameArr[i],weightArr[i],valueArr[i]);8. bagItems[i]=bagItem;9.}10.var arr:Array = ac.get01PackageAnswer(bagItems,10);出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划
利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划背包问题是一个经典的动态规划模型,很多关于算法的教材都把它作为一道例题,该问题既简单又容易理解,而且在某种程度上还能够揭示动态规划的本质。
将具有不同重量和价值的物体装入一个有固定载重量的背包,以获取最大价值,这类问题被称为背包问题。
背包问题可以扩展出很多种问题,而01背包问题是最常见、最有代表性的背包问题。
一、问题描述给定一个载重量为M的背包及n个物体,物体i的重量为wi、价值为pi,1≤i≤n,要求把这些物体装入背包,使背包内的物体价值总量最大。
此处我们讨论的物体是不可分割的,通常称这种物体不可分割的背包问题为01背包问题。
二、基本思路01背包问题的特点是:每种物体只有一件,可以选择放或者不放。
假设:xi表示物体i被装入背包的情况,xi=0,1。
当xi=0时,表示物体没有被装入背包;当xi=1时,表示物体被装入背包。
根据问题的要求,有如下的约束方程(1)和目标函数(2):三、利用动态规划法求解01背包问题(一)动态规划算法的基本思想动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中,可能会有许多可行解。
每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。
动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。
若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算很多次。
如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。
我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。
不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中,这就是动态规划法的基本思路。
具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。
(二)算法设计假定背包的载重量范围为0～m。
noip背包问题教程(背包九讲)
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}第一讲 01背包问题题目有N 件物品和一个容量为V 的背包。
第i 件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i 件物品恰放入一个容量为v 的背包可以获得的最大价值。
则其状态转移方程便是：这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要将它详细解释一下：“将前i 件物品放入容量为v 的背包中”这个子问题，若只考虑第i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。
如果不放第i 件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v 的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i 件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i 件物品获得的价值w[i]。
优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O 。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N ，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。
那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i 次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v] 呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i 次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。
NOI导刊资源背包动态规划
少。
剩下钱数最少的找零方案中的所需的最少 硬币数。
N<=500,T<=10000.
分析
设F[i]表示需要找的钱数为i时所需要的最少 钱币数。显然有：
F[i]=Min{F[ i - A[j] ] + 1} { i≤ T，1≤j≤N} 初始值：F[0]=0。 A[j]表示其中 第j种钱币的面值。 时间复杂度为O(N*T)。
动态规划
• 可以按每个物品进行规划，同样每种物品有选和 不选两种选择
• 设F(i,j)表示前i件物品载重为j的最大效益，则有
F(i 1, j w[i]) C[i],第i种物品装载 F(i, j) MaxF(i 1, j),第i种物品不装载
• 1<=i<=N, 0<=j<=N • 初值：F(0,j)=0 • F(N,M)即答案 • 显然时间复杂度为O(NM)
for j:=0 to m do
begin
if j>=w[i] then //背包容量够大
f[j]:=max(f[j-w[i]]+c[i],f[j])
end;
思考题1：机器分配
• M台设备，分给N个公司。 • 若公司i获得j台设备，则能产生Aij效益 • 问如何分配设备使得总效益最大？ • M<=15，N<=10。
else
//背包容量不足
f[i,j]:=f[i-1,j];
end;
满背包问题（01背包）
• 有N件物品; • 第i件物品Wi公斤; • 第i件物品价值Ci元; • 现有一辆载重M公斤的卡车; • 问选取装载哪些物品，使得卡车开车正
好装满时，运送的总价值最大？ 若无法装满卡车，则输出无解。
动态规划求解01背包问题
动态规划求解01背包问题问题给定n种物品和⼀个背包，物品(1<=i<=n)重量是w I ，其价值v i,背包容量为C,对每种物品只有两种选择：装⼊背包和不装⼊背包，即物品是不可能部分装⼊，部分不装⼊。
如何选择装⼊背包的物品，使其价值最⼤？想法该问题是最优化问题，求解此问题⼀般采⽤动态规划（dynamic plan），很容易证明该问题满⾜最优性原理。
动态规划的求解过程分三部分：⼀：划分⼦问题：将原问题划分为若⼲个⼦问题，每个⼦问题对应⼀个决策阶段，并且⼦问题之间具有重叠关系⼆：确定动态规划函数：根据⼦问题之间的重叠关系找到⼦问题满⾜递推关系式（即动态规划函数），这是动态规划的关键三：填写表格：设计表格，以⾃底向上的⽅式计算各个⼦问题的解并填表，实现动态规划过程。
思路：如何定义⼦问题？0/1背包可以看做是决策⼀个序列（x1,x2,x3,…,xn）,对任何⼀个变量xi的决策时xi=1还是xi=0. 设V(n,C)是将n个物品装⼊容量为C的背包时背包所获得的的最⼤价值，显然初始⼦问题是将前i个物品装如容量为0的背包中和把0个物品装⼊容量为j的背包中，这些情况背包价值为0即V(i,0)=V(0,j)=0 0<=i<=n, 0<=j<=C接下来考虑原问题的⼀部分，设V(I,j)表⽰将前i个物品装⼊容量为j的背包获得的最⼤价值，在决策xi时，已经确定了(x1,x2,…,xi-1)，则问题处于下列两种情况之⼀：1. 背包容量不⾜以装⼊物品i，则装⼊前i-1个物品的最⼤价值和装⼊前i个物品最⼤价值相同，即xi=0，背包价值没有增加2. 背包容量⾜以装⼊物品i，如果把物品i装⼊背包，则背包物品价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi；如果第i个物品没有装⼊背包，则背包价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j的背包中所取得的价值，显然，取⼆者最⼤价值作为把物品i装⼊容量为j的背包中的最优解，得到如下递推公式为了确定装⼊背包中的具体物品，从V(n,C)的值向前推，如果V（n，C）>V(n-1,C),则表明第n个物品被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C的背包中，依次类推，直到确认第⼀个物品是否被装⼊背包中代码C++实现1. // dp_01Knapsack.cpp : 定义控制台应⽤程序的⼊⼝点。
动态规划方案解决算法背包问题实验报告含源代码
动态规划方案解决算法背包问题实验报告含嘿，大家好！今天我来给大家分享一个相当有趣的编程问题——背包问题。
这可是算法领域里的经典难题，也是体现动态规划思想的好例子。
我会用我10年的方案写作经验，给大家带来一份详细的实验报告，附带哦！让我简单介绍一下背包问题。
假设你是一个盗贼，要盗取一个博物馆里的宝贝。
博物馆里有n个宝贝，每个宝贝都有它的价值v和重量w。
你有一个承重为W的背包，你希望放入背包的宝贝总价值最大，但总重量不能超过背包的承重。
这个问题，就是我们要解决的背包问题。
一、算法思路1.创建一个二维数组dp，dp[i][j]表示前i个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
2.初始化dp数组，dp[0][j]=0，因为如果没有宝贝，那么无论背包承重多少，价值都是0。
3.遍历每个宝贝，对于每个宝贝，我们有两种选择：放入背包或者不放入背包。
4.如果不放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
5.如果放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j-w[i]的背包中，加上当前宝贝的价值。
6.dp[i][j]取两种情况的最大值。
二、defknapsack(W,weights,values,n):dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=10weights=[2,3,4,5]values=[3,4,5,6]n=len(values)输出结果max_value=knapsack(W,weights,values,n)print("最大价值为：",max_value)三、实验结果分析通过上面的代码，我们可以得到最大价值为15。
资源背包类型动态规划
资源背包类型动态规划资源背包类型动态规划是动态规划中的经典问题，在近几年联赛中经常出现，甚至在NOIP 2006的普及组和提高组中同时出现。
因此如何较好地掌握这一问题的解决方法，提升学生的思维能力，成为了一个值得研究的热点问题。
本文对资源背包类型问题进行了系统的分类，对每个子类的背包问题进行了较深入的算法分析和对比研究，旨在能够深入理解背包问题的内涵。
下面主要讲解三类背包问题，即0-1背包、完全背包、二维背包。
一、0-1背包1．经典的背包问题—0-l背包【例题1】0-1背包【问题描述】在0-1背包问题中，需对容量为C的背包进行装载。
从n个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的重量为wi，价值为vi。
对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载是指所装入的物品价值最高，即v1×xl+v2×X2+…+Vi×Xi（其1≤i≤n，x取0或1，取1表示选取物品i）取得最大值。
【文件输入】第一行一个数m，为背包容量（整数）；第二行一个数n，为物品数量（整数）；第三行n个数，以空格分开，为n(1≤n≤10000)个物品的重量；第四行n个数，以空格分开，为n个物品的价值（整数）。
【文件输出】文件输出仅一行为一个数，表示能取得的最大价值。
【样例输入】1162 4 5 6 10 31 7 4 5 11 1【样例输出】12【试题特点】每种物品仅有一件，可以选择放或不放，故称作为0-l背包。
【思路点拨】第一次看到背包类的问题，容易想到贪心策略，但是贪心策略得不到最优解。
从物品上进行贪心，不外乎三个方面：重量、价值和价值／重量，下面一一分析：贪心1：对输入数据，以物品重量排序，越轻的越靠前。
以样例为例，得到如下表所示的排序结果。
以物品重量排序得到的结果（越轻的越靠前）根据排序结果，在剩下的物品中每次选择最轻的装入背包。
背包的容量为11，此时选择物品的编号为①、⑥、②，得到的总价值为9，而输出样例的最大价值为12，这种选择显然不对。
动态规划算法0-1背包问题课件PPT
回溯法
要点一
总结词
通过递归和剪枝来减少搜索空间，但仍然时间复杂度高。
要点二
详细描述
回溯法是一种基于递归的搜索算法，通过深度优先搜索来 找出所有可能的解。在0-1背包问题中，回溯法会尝试将物 品放入背包中，并递归地考虑下一个物品。如果当前物品 无法放入背包或放入背包的总价值不增加，则剪枝该分支 。回溯法能够避免搜索一些无效的组合，但仍然需要遍历 所有可能的组合，时间复杂度较高。
缺点
需要存储所有子问题的解，因此空间 复杂度较高。对于状态转移方程的确 定和状态空间的填充需要仔细考虑， 否则可能导致错误的结果。
04
0-1背包问题的动态规划解法
状态定义
状态定义
dp[i][ j]表示在前i个物品中选，总 重量不超过j的情况下，能够获得 的最大价值。
状态转移方程
dp[i][ j] = max(dp[i-1][ j], dp[i1][ j-w[i]] + v[i])，其中w[i]和v[i] 分别表示第i个物品的重量和价值。
02
计算时间复杂度：时间复杂度是指求解问题所需的时间与问题规模之间的关系。对 于0-1背包问题，时间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被遍历， 因此时间复杂度为O(2^n)，其中n是物品的数量。
03
空间复杂度：空间复杂度是指求解问题所需的空间与问题规模之间的关系。在0-1 背包问题中，空间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被存储，因此 空间复杂度也为O(2^n)，其中n是物品的数量。
06
0-1背包问题的扩展和实际应用
多多个物品和多个 背包，每个物品有各自的重量和价值， 每个背包有各自的容量，目标是选择物 品，使得在不超过背包容量限制的情况 下，所选物品的总价值最大。
背包问题的动态规划法
背包问题的动态规划法背包问题：在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的重量为W1，W·2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。
求出获得最大价值的方案。
注意：在本题中，所有的重量值均为整数。
[算法分析]：对于背包问题，通常的处理方法是搜索。
用递归来完成搜索，算法设计如下：function make( i {处理到第i件物品} , j{剩余的空间为j}:integer) :integer; 初始时i=m , j=背包总容量beginif i:=0 thenmake:=0;if j>=wi then (背包剩余空间可以放下物品 i )r1:=make(i-1,j-wi)+v[i]; (第i件物品放入所能得到的价值 )r2:=make(i-1,j) (第i件物品不放所能得到的价值 )make:=max{r1,r2}end;这个算法的时间复杂度是o(2^n)，我们可以做一些简单的优化。
由于本题中的所有物品的重量均为整数，经过几次的选择后背包的剩余空间可能会相等，在搜索中会重复计算这些结点，所以，如果我们把搜索过程中计算过的结点的值记录下来，以保证不重复计算的话，速度就会提高很多。
这是简单的"以空间换时间"。
我们发现，由于这些计算过程中会出现重叠的结点，符合动态规划中子问题重叠的性质。
同时，可以看出如果通过第n次选择得到的是一个最优解的话，那么第n-1次选择的结果一定也是一个最优解。
这符合动态规划中最优子问题的性质。
考虑用动态规划的方法来解决，这里的：阶段是：在前n件物品中，选取若干件物品放入背包中；状态是：在前n件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为w的背包中的所能获得的最大价值；决策是：第n件物品放或者不放；由此可以写出动态转移方程：我们用f[i,j]表示在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值f[i,j]=max{f[i-1,j-wi]+pi (j>=wi), f[i-1,j]}这样，我们可以自底向上地得出在前m件物品中取出若干件放进背包能获得的最大价值，也就是f[m,w]算法设计如下：procedure make;beginfor i:=0 to w dof[0,i]:=0;for i:=1 to m dofor j:=0 to w do beginf[i,j]:=f[i-1,j];if (j>=w[i]) and (f[i-1,j-w[i]]+v[i]>f[i,j]) thenf[i,j]:=f[i-1,j-w[i]]+v[i];end;writeln(f[m,wt]);end;由于是用了一个二重循环，这个算法的时间复杂度是o（n*w)。
动态规划之01背包问题
动态规划之01背包问题01背包问题问题描述：给定 n 件物品，物品的重量为 w[i]，物品的价值为 c[i]。
现挑选物品放⼊背包中，假定背包能承受的最⼤重量为 V，问应该如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中物品的总价值最⼤？针对这个问题，本⼈理解了多次，也了看各种题解，尝试各种办法总还觉得抽象；或者说，看了多次以后，只是把题解的状态转移⽅程记住了⽽已，并没有真正的“掌握”其背后的逻辑。
直到我看了，在此感谢作者并记录于此。
01背包问题之另⼀种风格的描述：假设你是⼀个⼩偷，背着⼀个可装下4磅东西的背包，你可以偷窃的物品如下：为了让偷窃的商品价值最⾼，你该选择哪些商品？暴⼒解法最简单的算法是：尝试各种可能的商品组合，并找出价值最⾼的组合。
这样显然是可⾏的，但是速度⾮常慢。
在只有3件商品的情况下，你需要计算8个不同的集合；当有4件商品的时候，你需要计算16个不同的集合。
每增加⼀件商品，需要计算的集合数都将翻倍！对于每⼀件商品，都有选或不选两种可能，即这种算法的运⾏时间是O(2ⁿ)。
动态规划解决这样问题的答案就是使⽤动态规划！下⾯来看看动态规划的⼯作原理。
动态规划先解决⼦问题，再逐步解决⼤问题。
对于背包问题，你先解决⼩背包（⼦背包）问题，再逐步解决原来的问题。
⽐较有趣的⼀句话是：每个动态规划都从⼀个⽹格开始。
（所以学会⽹格的推导⾄关重要，⽽有些题解之所以写的不好，就是因为没有给出⽹格的推导过程，或者说，没有说清楚为什么要”这样“设计⽹格。
本⽂恰是解决了我这⽅⾯长久以来的困惑！）背包问题的⽹格如下：⽹格的各⾏表⽰商品，各列代表不同容量（1~4磅）的背包。
所有这些列你都需要，因为它们将帮助你计算⼦背包的价值。
⽹格最初是空的。
你将填充其中的每个单元格，⽹格填满后，就找到了问题的答案！1. 吉他⾏后⾯会列出计算这个⽹格中单元格值得公式，但现在我们先来⼀步⼀步做。
⾸先来看第⼀⾏。
这是吉他⾏，意味着你将尝试将吉他装⼊背包。
如何使用动态规划算法解决背包问题
如何使用动态规划算法解决背包问题背包问题是一类经典的组合优化问题，也是计算机科学中重要的算法优化问题。
在实际生活中，背包问题常常出现，例如超市购物时的选择，航空货物装载等场景，如何高效地解决背包问题一直以来都是计算机学术界与产业界努力的方向。
动态规划算法是其中一种经典解法，本文将讨论如何使用动态规划算法解决背包问题。
一、背包问题的定义背包问题指在限定总量和负荷的前提下，如何选择物品能使价值最大化的问题。
其定义如下：有N个物品和一个容量为V的背包。
第i个物品的重量为Wi，价值为Ci。
求装入背包中的物品的最大价值。
背包不可分割，且每个物品只有一件。
可以选择不装某些物品，且每种物品只能选择一次。
要求选出的物品总重量不超过背包容量。
目标是使选出的物品的总价值最大。
二、动态规划算法及其基本思路动态规划算法能够有效地解决许多背包问题。
动态规划是求解多阶段决策过程最优化的一种利器，基本思路可以概括为：从小问题出发，逐步解决大问题。
即从问题的子问题逐步求解出整个问题的优化解。
具体地，使用动态规划算法解决背包问题的基本步骤如下：（1）把背包问题分解为若干子问题；（2）设计一个状态表示方法，定义子问题的状态；（3）设计状态转移方程，从小问题逐步解决大问题；（4）边界条件的处理。
这里以01背包问题为例来说明。
三、01背包问题的状态表示与状态转移方程01背包问题是指每种物品数量只有一个，要么选要么不选，不能部分选取。
其状态定义为dp[i][j]表示前i个物品，体积不超过j的情况下所能获得的最大价值。
状态转移方程为：- 当j<wi时：dp[i][j]=dp[i-1][j]- 当j>=wi时：dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+ci)其中，第一行表示物品数为0时，无论容量为多少，价值为0；第一列表示容量为0时，无论物品数为多少，价值为0。
第一种状态转移方程表示当前背包容量无法装下第i个物品，直接继承前i-1个物品的最优解；第二种状态转移方程表示当前背包容量可以装下第i个物品，此时需要判断选择第i个物品是否能够为获得的最大价值带来贡献。
动态规划专题01背包问题详解【转】
动态规划专题01背包问题详解【转】对于动态规划，每个刚接触的⼈都需要⼀段时间来理解，特别是第⼀次接触的时候总是想不通为什么这种⽅法可⾏，这篇⽂章就是为了帮助⼤家理解动态规划，并通过讲解基本的01背包问题来引导读者如何去思考动态规划。
本⽂⼒求通俗易懂，⽆异性，不让读者感到迷惑，引导读者去思考，所以如果你在阅读中发现有不通顺的地⽅，让你产⽣错误理解的地⽅，让你难得读懂的地⽅，请跟贴指出，谢谢！初识动态规划经典的01背包问题是这样的：有⼀个包和n个物品，包的容量为m，每个物品都有各⾃的体积和价值，问当从这n个物品中选择多个物品放在包⾥⽽物品体积总数不超过包的容量m时，能够得到的最⼤价值是多少？[对于每个物品不可以取多次，最多只能取⼀次，之所以叫做01背包，0表⽰不取，1表⽰取]为了⽤⼀种⽣动⼜更形象的⽅式来讲解此题，我把此题⽤另⼀种⽅式来描述，如下：有⼀个国家，所有的国民都⾮常⽼实憨厚，某天他们在⾃⼰的国家发现了⼗座⾦矿，并且这⼗座⾦矿在地图上排成⼀条直线，国王知道这个消息后⾮常⾼兴，他希望能够把这些⾦⼦都挖出来造福国民，⾸先他把这些⾦矿按照在地图上的位置从西⾄东进⾏编号，依次为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，然后他命令他的⼿下去对每⼀座⾦矿进⾏勘测，以便知道挖取每⼀座⾦矿需要多少⼈⼒以及每座⾦矿能够挖出多少⾦⼦，然后动员国民都来挖⾦⼦。
题⽬补充1：挖每⼀座⾦矿需要的⼈数是固定的，多⼀个⼈少⼀个⼈都不⾏。
国王知道每个⾦矿各需要多少⼈⼿，⾦矿i需要的⼈数为peopleNeeded[i]。
题⽬补充2：每⼀座⾦矿所挖出来的⾦⼦数是固定的，当第i座⾦矿有peopleNeeded[i]⼈去挖的话，就⼀定能恰好挖出gold[i]个⾦⼦。
否则⼀个⾦⼦都挖不出来。
题⽬补充3：开采⼀座⾦矿的⼈完成开采⼯作后，他们不会再次去开采其它⾦矿，因此⼀个⼈最多只能使⽤⼀次。
题⽬补充4：国王在全国范围内仅招募到了10000名愿意为了国家去挖⾦⼦的⼈，因此这些⼈可能不够把所有的⾦⼦都挖出来，但是国王希望挖到的⾦⼦越多越好。
背包问题贪心法和动态规划方案法求解
背包问题贪心法和动态规划方案法求解嘿，大家好！今天咱们来聊聊那个让人又爱又恨的背包问题。
这个问题可是算法领域的经典难题，不过别怕，今天我会用贪心法和动态规划两种方法帮你轻松搞定它！来个简单直接的背景介绍。
背包问题，简单来说，就是给定一组物品，每个物品都有一定的价值和重量，你需要在不超过背包承载重量的前提下，挑选出价值最大的物品组合。
听起来是不是有点像生活中的购物决策？哈哈，没错，这就是背包问题的魅力所在。
好，下面咱们直接进入主题。
一、贪心法贪心法，顾名思义，就是每一步都选择当前看起来最优的方案。
对于背包问题，贪心法的核心思想就是：每次都选取价值密度最大的物品。
1.计算每个物品的价值密度，即价值除以重量。
2.然后，按照价值密度从大到小排序。
3.从排序后的列表中依次选取物品，直到背包装满或者没有物品可选。
二、动态规划法动态规划，这是一种更加严谨、也更复杂的方法。
它的核心思想是：通过把大问题分解成小问题，逐步求解，最终得到最优解。
1.定义一个二维数组dp[i][j]，表示在前i个物品中选择，背包容量为j时的最大价值。
2.我们考虑第i个物品是否放入背包。
如果放入，则前i-1个物品在容量为j-w[i]时的最大价值加上w[i]的价值，即dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+w[i]。
如果不放入，则前i-1个物品在容量为j时的最大价值，即dp[i][j]=dp[i-1][j]。
3.通过比较这两种情况，取最大值作为dp[i][j]的值。
整个过程中，我们需要遍历所有物品和所有可能的背包容量，最终得到dp[n][W]就是我们要找的最大价值。
现在，让我们用一段代码来具体实现一下动态规划法：defknapsack(W,weights,values):n=len(values)dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=50weights=[10,20,30]values=[60,100,120]print(knapsack(W,weights,values))怎么样？是不是觉得动态规划法虽然复杂，但逻辑清晰，更容易找到最优解？通过上面的分析，我们可以看到，贪心法简单高效，但有时候并不能得到最优解；而动态规划法虽然计算复杂度较高，但可以得到最优解。
动态规划0-1背包和资源分配
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动态规划原理之0-1背包问题
0-1背包问题
问题描述： 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi， 背包的容量为c。请问如何选择装入背包中的物品，使 得装入背包中物品的总价值最大？
对于0-1背包问题，每种物品i都只有一件，可以选 择装入或者是不装入背包。不能将物品i装入背包 多次，也不能只装入部分。
二、动态规划的设计思想
动态规划法将求解问题分解成若干个相互重 叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一 个阶段。一般来说，子问题的重叠关系表现 在对给定问题求解的递推关系（也就是动态 规划函数）中，将子问题的解求解一次并填 入表中，当需要再次求解此子问题时，就可 以通过查表获得该子问题的解而不用再次求 解，从而避免了大量重复计算。为了达到这 个目的，可以用一个表来记录所有已解决的 子问题的解，这就是动态规法的设计思想。 具体的动态规划法是多种多样的，但是他们 具有相同的填表形式。
0-1背包问题实例详解
有5个物品，其重量分别是{2,2,6,5,4}，价值分别为{6,3,5,4,6}， 背包的容量为10.
0-1背包问题判断下一个物品是放还是不放；不放时： M ( i , v )= M ( i-1 , C ) ；放时：M ( i , v ) = max{M ( i-1 , C ) , M ( i-1 , C – W(i) + V(i)}
发电机组分配问题
问题描述：现有5套发电机组分配给甲乙丙三个发电厂， 各个发电厂利润与发电机组数量之间的关系如下表所示， 请问如何分配可使3个发电厂的总利润最大化？ 建立动态规划的数学模型 1、阶段K：按发电厂划分阶段，k=1,2,3（分别代表甲乙 丙发电厂） 2、状态变量Sk：表示可用于分配给第k个发电厂的发电机 组的数量 3、决策变量Uk：表示分配给第k阶段（发电厂）的发电 机组数量 4、状态转移Tk：Sk+1=Sk-Uk 5、阶段指标Vk：第k阶段的指标函数，表示分配给第k个 发电厂Uk台设备所获的利益