三角函数的平移

三角函数图象的平移和伸缩

函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()

ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

1

到原来的

纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移

sin y x =的图象

(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

1

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的

纵坐标不变 得sin()y A x ω=

的图象(0)(0)

ϕϕϕω

><−−−−−−−→向左或向右平移个单位

得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛

⎫

=+

+ ⎪⎝⎭

的图象． 解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4

个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+

⎪⎝

⎭

的

图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12

，得πsin 24y x ⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛

⎫=+

⎪⎝⎭

的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移

1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛

⎫

=+

+ ⎪⎝

⎭

的图象．

（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的

12

，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移

π8

个单位长度得π2sin 28y x ⎛

⎫=+

⎪⎝

⎭

的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到

π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8

个单位长

度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛

⎫=+

⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的

图象的横坐标缩小到原来的

12

，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

而不是

πs i n 24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭．

对于复杂的变换，可引进参数求解．

例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭

的图象．

分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．

解：ππsin 2cos 2cos 22

2y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝

⎭

，

在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝

⎭

中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣

⎦

⎝

⎭

．

根据题意，有ππ2222

4

x a x --=-，得π8

a =-．

所以将

sin 2y x

=的图象向左平移π8

个单位长度可得到函数

πcos 24y x ⎛

⎫=- ⎪

⎝

⎭的图象．

练习

1、将函数y=3sin （2x+θ）的图象F 1按向量平移得到图象F 2，若图象

F 2关于直线

对称，则θ的一个可能取值是（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

2、将函数

的图象按向量

平移，得到y=f

（x ）的图象，则f （x ）=（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、sin （2x ）+3

3、要得到函数y=cos()24

x π

-

的图象，只需将y=sin 2

x 的图象（ ）

A ．向左平移2

π

个单位 B.同右平移

2

π

个单位 C ．向左平移

4

π

个单位 D.向右平移

4

π

个单位

4、若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个

图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1

y= sin x 2

的图象y=f(x)是（ ） A ． 1y=sin(2)12

2

x π

+

+ B. 1y=

sin(2)122

x π

-+ C. 1y=

sin(2)124

x π

+

+ D. 1sin(2)12

4

y x π

=

-

+

5.为得到函数πcos 23y x ⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移

5π12个长度单位 C ．向左平移

5π6

个长度单位

D ．向右平移

5π6

个长度单位

6.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫

=-

⎪3⎝

⎭

的图象（ D ）