定积分试题及答案

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定积分期末考试题及答案

定积分期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫abf(x)dx的值：A. 总是存在B. 可能不存在C. 总是不存在D. 无法确定答案：A2. 计算定积分∫01x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上的定积分值为：A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A4. 若∫abf(x)dx =∫abg(x)dx，则f(x)和g(x)在区间[a, b]上的关系是：A. 相等B. 相等或相反C. 相等或相等的常数倍D. 无法确定答案：C5. 定积分∫0π/2</s up>cos(x)dx的值是：A. 1B. 0C. π/2D. -1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 定积分∫01(2x+1)dx的值为______。

答案：3/22. 函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上的定积分值是______。

答案：8/33. 计算定积分∫0πsin(x)dx的值是______。

答案：24. 定积分∫-11|x|dx的值为______。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） A ．22B ．42C ．2D ．43．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d x B ．2π40⎰(sin x －cos x )d x C ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x4．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π5．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-6．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 7．121(1)x x dx --=⎰（）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π8．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（）A ．163B ．83C ．43D ．239．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A 3B ．23C ．π23-D π3310．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（）A ．1B ．2C ．3D ．411．20sin xdx π=⎰（）A ．4B ．2C ．-2D ．012．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（） A ．1a 或0a <D ．01a <<或0a <二、填空题13．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．14．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是(3-，若[)0,2απ∈，则cos xdx αα-=⎰______．15．由曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为________________.16．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21ae dx x=⎰________________ 17．(12021x x dx +-=⎰________18．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．19．π4cos xdx =⎰______．20．曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．三、解答题21．设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-.(1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.22．已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围；（2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e 与232a e+的大小. 23．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.24．已知抛物线2:2C y x x =-+，在点(0,0)A ，(2,0)B 分别作抛物线的切线12,l l ．（1）求切线1l 和2l 的方程；（2）求抛物线C 与切线1l 和2l 所围成的面积S ．25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为AB 的中点.求：（1）异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值；（2）点A 到平面1A EC 的距离.26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R2212()ln(1)ln(1)ln(1)()f x x x x x x x f x --=+=+=-+=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)，故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．3．D解析：D 【解析】π40⎰(-sin x +cos x )d x 2π4π+⎰(sin x -cos x )dx=2π40⎰(cos x －sin x )d x ,选D. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．4．A解析：A 【解析】由三视图可得：DC ⊥平面ABC 且底面ABC 为正三角形，如图所示，取AC 中点F ，连BF ，则BF AC ⊥，在Rt BCF 中，2BF =，2CF =，4BC =，在Rt BCD 中，4CD =，所以42BD =ABC 的距离为d ，因为DC ⊥平面ABC ，且底面ABC 为正三角形，所以2d =，因为ABC 的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得22228R d =+=，则该三棱锥外接球的半径22R =，所以三棱锥外接球的表面积是2432R ππ=，故选A ．点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC ⊥平面ABC 、求出ABC 的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.5．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{x xy e y e-==解得交点为（0，1），∴所求面积为：()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点：定积分及其应用6．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2xf x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线7．D解析：D 【解析】因1112111111]|2x dx x ----=+=⎰，故设sin ,[,]22x ππθθ=∈-，则12221221cos 21cos sin cos (2)2sin 2|442d d d ππππππππθπθθθθθπθ-----+====⨯+=⎰⎰⎰，应选答案D 。

定积分

12．曲线 y x 2 和曲线 y
A．1
B．
1 2
C．
2 2
D．
1 3
）
13．曲线 y e x 在点 (2, e2 ) 处的切线与坐标抽所围三角形的面积为（ A． e2
2 2 C. 4e
B． 2e
D．
e2 2
）
14．函数 f ( x) x sin x 在 x

2
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（
考点：定积分的几何意义. 4．C 【解析】试题
分
析
：

4 0
cos 2 x cos 2 x sin 2 x 4 dx dx 4 (cos x sin x)dx (sin x cos x) 4 0 0 cos x sin x cos x sin x 0
3 4
B．
4 5
C．
5 6
D．不存在
6．若

4
2
e dx 的值等于（
x
）
4 2 4 2 4 2 4 2 A． e e B． e e C． e e 2 D． e e 2
7．若 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) x 2 2 f ' (2) x 3 ,则 A． 16 8．若
(2)近似代替：记 f(x)＝
1 1 n i 1 n i .当 n 很大，即 Δ x 很小时，在区间上，可以认为 f(x) ＝ , 2 x x2 n n
n i 1 n i 从图形上看，． n n
的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于 f
2 3 1 3 1 1 2 2 ( x x ) dx x x . 0 3 3 0 3

定积分试题及答案大学

定积分试题及答案大学一、选择题1. 定积分的几何意义是表示曲线与x轴之间的有向面积。

（）A. 正确B. 错误答案：A2. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b]f(x)dx的值是唯一的。

（）A. 正确B. 错误答案：A3. 定积分∫[a,b]kf(x)dx=k∫[a,b]f(x)dx，其中k为常数。

（）A. 正确B. 错误答案：A二、填空题1. 设f(x)=x^2，计算定积分∫[0,1]x^2dx的值为____。

答案：1/32. 若∫[0,1]f(x)dx=2，则∫[0,2]f(x)dx=____。

答案：43. 设f(x)=2x，求定积分∫[1,2]2xdx的值为____。

答案：4三、解答题1. 计算定积分∫[0,π]sin(x)dx。

解：根据定积分的计算公式，我们有∫[0,π]sin(x)dx = [-cos(x)] | [0,π] = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。

2. 设f(x)=x^3+3x^2+2x-1，求定积分∫[-1,1]f(x)dx。

解：首先计算不定积分F(x)=∫f(x)dx，得到F(x)=x^4/4+x^3+x^2-x+C。

然后计算定积分∫[-1,1]f(x)dx = F(1)-F(-1) = [(1)^4/4+(1)^3+(1)^2-1] - [(-1)^4/4+(-1)^3+(-1)^2-(-1)]= (1/4+1+1-1) - (1/4-1+1+1) = 0。

3. 求曲线y=x^2与x轴及直线x=1，x=2所围成的面积。

解：根据定积分的几何意义，所求面积为S = ∫[1,2]x^2dx = [x^3/3] | [1,2] = (2^3/3) - (1^3/3) = 7/3。

高三数学积分试题

高三数学积分试题1.定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】定积分.2.二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( ) A．B．C．或D．或【答案】A【解析】∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，当时，.【考点】二项式定理、积分的运算.3.（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e2+1【答案】C1=e+1﹣1=e【解析】（e x+2x）dx=（e x+x2）|故选C．4.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设旋转体的体积为V，1则=．故旋转体的体积为：．故选A．5. 2．=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】=∵，∴圆的面积的四分之一，即．6.设函数的定义域为，若对于给定的正数k, 定义函数则当函数时，定积分的值为【答案】【解析】由定义可知，当时，，即，则＝＝＝＝．【考点】定积分的运算．7.定积分的值为____________.【答案】【解析】．【考点】定积分．8.定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A,B之间的曲线段与线段OA,OB所围成图形的面积为S,求S的值.【答案】9【解析】因为F(x,y)=(1+x)y,所以f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))==x2-4x+9,故A(0,9),又过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),f'(x)=2x-4.所以解得B(3,6),所以S=(x2-4x+9-2x)dx=(-3x2+9x)=9.9.若S1＝x2d x，S2＝d x，S3＝e x d x，则S1，S2，S3的大小关系为()．A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1【答案】B【解析】S1＝＝；S2＝ln x＝ln 2<ln e＝1；S3＝e x＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S2<S1<S3.10.若，，则、的大小关系为 .【答案】【解析】，，.【考点】积分的计算.11.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．3B．C．3或D．3或【答案】B【解析】∵，第二项的系数为，∴，∴.【考点】1.二项展开式的系数；2.积分的计算.12.设，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，选C.【考点】1.分段函数；2.定积分13.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在同一直角坐标系中，作出，和的图像，如图所示，则阴影部分面积为S==.【考点】定积分的几何意义.14.由曲线，，直线所围成的区域的面积为___________【答案】【解析】画出这三条曲线可以看出，它们所围成的图形的面积为.【考点】定积分的几何意义.15.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】,所以,解得,当时,,当时, ,故选C.【考点】定积分的应用，二项式定理的应用，二项式定理的通项以及组合数的计算.16.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )A．B．C．D．【答案】D.【解析】如图，所求面积为阴影部分面积，其面积为四边形的面积减去不规则图形的面积，故,选D.【考点】定积分.17.已知.（Ⅰ）写出的最小正周期；（Ⅱ）求由，，，以及围成的平面图形的面积．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】1.解答第（Ⅱ）问，首先要正确画出示意图．2.要注意的是，当面积在轴上方的时候，定积分算出来是正数；当面积在轴下方的时候，定积分算出来是负数.很多考生没有注意到这一点而导致出错：.3.充分运用对称性，否则就要计算三个定积分了．试题解析：（Ⅰ）∵,∴.∴的最小正周期为.（Ⅱ）设由，，，以及围成的平面图形的面积为，∵，∴.∵，∴.∴由，，以及围成的平面图形的面积为.【考点】考查三角函数的化简计算、定积分的应用.18.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.【答案】36【解析】把0到4的积分根据题意分成2段，再分别求积分，即.【考点】考查积分的运算.19.如图，设是图中边长为2的正方形区域，是函数的图象与轴及围成的阴影区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，两个阴影部分的面积相等，即阴影部分的面积为：，向中随机投一点，则该点落入中的概率，故选B.【考点】微积分基本定理，几何概型.20.设的展开式中的常数项等于 .【答案】-160【解析】所以常数项为-160.【考点】定积分；二项式定理。

变上限定积分精选试题和答案

变上限定积分1、函数⎰+-=23211)(x dt tx x f ，但减区间为。

2、若⎰+-=2324)(x dt t t x f ，则的单增区间为 )(x f，3、设函数)(x f 连续，在0=x 处可导，且0)0(=f ，3)0(='f ，若函数[]⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=⎰0,0,5sin )()(2x A x x dtt t f x F x ，在0=x 处连续，则A= 4 。

4、若当0→x 时，无穷小量⎰-=sin 02)1()(x tdt e x f 与)1ln()(3xx g α-=等价，则α5、设连续)(x f '，0)0(=f ，0)0(≠'f ，dt t f t x x F x)()()(022⎰-=，若当时0→x ，是同阶无穷小与k x x F )('，=k 则（ B ）（A ）4；（B ）3；（C ）2；（D ）1。

6、设函数)(x y y =是由方程确定x dt e y x t =⎰+-12，则==0x dxdy（ C ）（A ）1+e ；（B ）e -1；（C ）1-e ；（D ）e 2。

7. 设()t u u x f xtd d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f 1 . 8. 设函数()()01d 23>+=⎰x t t x f x x,则当x ,取得最大值. 9、设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ，记)20()()(0≤≤=⎰x dt t f x F x ，则)(x F 等于（ B ）（A ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,223110,323x x x x x （B ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤21,226710,323x x x x x （C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,22310,3233x x x x x x （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤21,2210,323x x x x x 10. 求()()32d cos ln limx tt t xx ⎰+→ 11.求xx dte xt x sin )1(lim202⎰-→. (31=). 12.求xdttt x xx 202sin )3ln()(lim ⎰+-→； (23ln =)。

高中积分试题及答案

高中积分试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 [1, 3] 上的定积分值为：A. 4B. 9C. 14D. 162. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值为：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 13. 微分方程 \( y'' - y' - 6y = 0 \) 的通解包含：A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( e^{3x} \)D. \( e^{2x} \)4. 函数 \( f(x) = \sin x + \cos x \) 的原函数是：A. \( -\cos x + \sin x + C \)B. \( -\sin x + \cos x + C \)C. \( \sin x - \cos x + C \)D. \( \cos x + \sin x + C \)5. 如果 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 10 \) 且 \( f(x) = 2x \)，那么 \( a \) 和 \( b \) 的值分别是：A. 1 和 5B. -1 和 4C. 2 和 6D. 0 和 5二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数 \( f(x) = 2x - 1 \) 在区间 [0, 3] 上的定积分值为______。

7. 定积分 \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx \) 的值为______。

8. 微分方程 \( y' + 2y = 4x \) 的一个特解是______。

9. 函数 \( f(x) = x^3 \) 的原函数是______。

10. 如果 \( \int_{0}^{1} f(x) dx = 7 \) 且 \( f(x) = 7x^2 \)，那么 \( f(x) \) 的原函数是______。

三、解答题（共75分）11. 求函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 在区间 [1, 4] 上的定积分，并给出几何意义。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)

一、选择题1．给出下列函数：①())ln f x x =；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a3．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 4．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（） A．．9-．323 D ．3535．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．3298．已知函数()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-=∈，则()1f x dx π-=⎰（） A ．2π+ B ．2πC ．22π-+D ．24π-9．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值10．10)x dx ⎰=（）A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 11．下列积分值最大的是（） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C ．224x dx --⎰D ．11edx x12．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．定积分21d 1x x ⎰-的值为__________．15．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.16．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．17．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．18．已知平面区域(){}2,|04x y y x Ω=≤≤-，直线:2l y mx m =+和曲线2:4C y x =-有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________. 19．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．20．曲线2y x 和曲线y x =________．三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=，试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 22．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为34-.（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积. 23．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．24．一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程? 25．已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间．26．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aaxx a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．A解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。

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第四章不定积分一、填空题1．若()d f x x ⎰是()f x 的原函数,则d[()d ]d f x x x ⎰= 2．若()F x 是'()F x 的原函数,则'()d F x x ⎰= 3．3d x ⎰= 4．2(2)d x x x +⎰= 5．21d x x ⎰= 6．6d x e x ⎰= 7．(3cos )d x e x x -⎰=8．42d 1x x x +⎰= 9．1d 32x x +⎰= 10．ln d xx x⎰= 11．2sin 2d x x ⎰= 12、7d x e x ⎰= 13．22d x xe x ⎰= 14．1d 12x x+⎰= 15．1d 12x x-⎰= 16．3sin d x x ⎰=17．设x e -是()f x 的一个原函数,则()d xf x x ⎰= 18．设()f x =xe -,则'(ln )d f x x x⎰= 二、单项选择题1．设3(57)d I x x =+⎰,则I =（） A23(57)x c ++ B 26(57)x c ++ C41(57)20x c ++ D 41(57)10x c ++ 2．设3d x I a x =⎰,则I =（）A313ln xa c a+ B 31ln 3x a a c ⋅+ C 31ln x a c a + D 313x a c + 3．设2d 25xI x x =+⎰,则I =（） A 21ln |25|2x c ++ B 25ln |25|2x c ++ C 21ln |25|5x c ++ D21ln |25|10x c ++ 4．设2cos d 3I x x =⎰,则I =（）A 22sin 33x c +B 32sin 23x c +C 32cos 23x c +D 22cos 33x c + 5．设sin cos d x I e x x =⎰,则I =（）A s in x e c +B sin x e c -+C cos x e c +D cos x e c -+ 6．设41d I x x =⎰,则I =（） A 54x c --+ B 313c x -+ C 313x c -+ D 313x c -+7．设sin cos d I x x x =⎰,则I =（）A 21sin 2x c -+B 21cos 2x c +C 1cos 24x c +D 1cos 24x c -+8．若22()d x f x x x e c =+⎰,则()f x =（）A 22x xeB 222x x eC 2x xeD 22(1)x xe x + 9．设ln d I x x =⎰,则I =（）A1c x + B ln x x c + C ln x x x c -+ D 21(ln )2x c + 10．设=arctan d I x x I =⎰，则（）A 2arctan ln 1x x x c -++B 2arctan ln 1x x x c -++C ()21arctan 12x x x c +++ D 211c x ++ 11．设sin d I x x x =⎰,则I =（）A cos sin x x x c ++B cos sin x x x c -++C sin sin x x x c -++ Dcos sin x x x c -+12．设()d ()f x x F x c =+⎰,则()d x x e f e x --=⎰（）A ()xF e c + B ()xF e c --+ C ()xF e c -+ D()x F e c x-+ 三、计算题 1．52(2)d x x -⎰ 2．22d 1xx x+⎰ 3．12d xe x x ⎰4．3sin d x x ⎰ 5．1d x xx e e-+⎰6、1d x x x +⎰ 7．321d x x x+⎰8．322(1)d x x --⎰ 9．221d (1)x x +⎰10．22d x a x x-⎰ 11．21d 94x x -⎰12．21d 967x x x -+⎰13．2ln(1)d x x +⎰ 14．d x xe x ⎰ 15．csc cos d x x ⎰ 16．2ln d x x x ⎰17．2d x x e x -⎰ 18．32(ln )d x x x ⎰ 19．sin d x e x x ⎰ 20．3sec d x x ⎰ 21．d x e x ⎰ 22．ln ln d xx x⎰23．sin cos d x x x x ⎰ 24．2ln d x x x ⎰第五章定积分及其应用一、填空题1．由[],a b 上连续曲线()y f x =,直线(),x a x b a b ==<和x 轴围成的图形的面积为2．()2d sin 1d d ba x x x +=⎰3．设()11d xF x t t =+⎰,则()F x '=4．利用定积分的几何意义求10d x x =⎰ 5．积分1213ln d x x x ⎰值的符号是6．定积分()4520sinsin d x x x π-⎰值的符号是7．积分211I ln d x x =⎰与2221I ln d x x =⎰的大小关系为8．积分413I ln d x x =⎰与4223I ln d x x =⎰的大小关系为9．区间[][],,c d a b ⊂,且()0f x >,则()1I d b af x x =⎰与()2I d dcf x x =⎰的大小关系为10．()f x 在[],a b 上连续,则()d baf x x =⎰ ()d abf x x ⎰11．若在区间[],a b 上,()0f x ≥,则()d baf x x ⎰ 012．定积分中值定理中设()f x 在[],a b 上连续,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得()f ξ=13．设()20d ,0x t F x e t x =>⎰,则()F x '=14．220d sin d d 1cos x tt x t=+⎰ 15．设()()()33sin d ,x F x t t x ϕϕ=⎰可导,则()F x '=16．201d limx x t t x→+=⎰17．02sin d limx x t t x→=⎰18．设()()01d xf x t t t =-⎰,则()f x 的单调减少的区间是19．函数()23d 1x tf x t t t =-+⎰在区间[]0,1上的最大值是 ,最小值是 20．设()3131sin d x f x t t +=⎰,则()f x '=21．设()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的任意一个原函数,则()d b af x x =⎰ 22．1023d x x x ⋅=⎰23．sin 22cos d x xe x ππ-=⎰24．设()f x '在[]1,3上连续,则()()321d 1f x x f x '=+⎰25．221sin d x x ππ-=⎰26．20cos d x x π=⎰27．2101d 1x x e x e -=-⎰28．20sin d x x π=⎰29．21d 1lne xx x=+⎰30．23545sin d 1x xx x -=+⎰ 31．设()f x 在[],a a -上连续,则()()sin d aax f x f x x -+-=⎡⎤⎣⎦⎰ 32．设()21,0,0x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩,则()11d f x x -=⎰33．设()[]cos ,,02,0,1x x x f x e x π⎧⎡⎫∈-⎪⎪⎢=⎣⎭⎨⎪∈⎩,计算()12d f x x π-=⎰ 34．若广义积分11d q x x +∞⎰发散,则必有q 35．若广义积分101d p x x⎰收敛,则必有p36．反常积分2d x xe x +∞-=⎰37．121d 1x x=-⎰38．曲线22,y x y x ==所围成的图形的面积为39．曲线1sin 2,1,0,22y x y x x π====所围成的图形的面积为二、单项选择题1．函数()[]0,,f x x a b ≥∈且连续,则()y f x =,x 轴,x a =与x b =围成图形的面积s =( ) A ．()d baf x x⎰B ．()d baf x x⎰C ．()d baf x x ⎰D ．()()()2f b f a b a +-⎡⎤⎣⎦ 2．413I ln d x x =⎰,4223I ln d x x =⎰,则1I 与2I 大小关系为( )A ．≥B ．≤C ．>D ．< 3．()f x 连续,()0I d s t t f tx x =⎰,则下列结论正确的是( )A ．I 是s 和t 的函数B ．I 是s 的函数C ．I 是t 的函数D ．I 是常数4．()f x 连续且满足()()2,0f x f a x a =-≠,c 为任意正数,则()d ccf a x x --=⎰( )A ．()022d c f a x x -⎰ B ．()22d c cf a x x --⎰ C ．()02d cf a x x -⎰ D ．05．()f x 连续,()()d xe xF x f t t -=⎰,则()F x '=( )A ．()()x x e f e f x ----B ．()()x x e f e f x ---+C ．()()x x e f e f x ---D ．()()x x e f e f x --+6．设()2I sin d x xx t t =⎰,则()I x '=( )A ．2cos cos x x -B ．22cos cos x x x - C ．22sin sin x x x -D ．22sin sin x x x +7．当0x →时,()sin 20sin d xf x t t =⎰与()34g x x x =+比较是( )A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．同阶但非等价无穷小D ．等价无穷小8.()(),f x x φ在点0x =的某邻域内连续,且当0x →时,()f x 是()x φ的高阶无穷小,则0x →时,()0sin d xf t t t ⎰是()0d xt t t φ⎰( )A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．同阶但不等价无穷小D ．等价无穷小9．()f x 为连续的奇函数,又()()0d xF x f t t =⎰,则()F x -=( )A ．()F xB ．()F x -C ．0D ．非零常数 10．设()()2d 2xx F x f t t x =-⎰,f 连续,则()2lim x F x →=( )A ．0B ．2C ．()22fD ．()2f 11．设()f x 连续,0x >,且()()221d 1x f t t x x =+⎰,则()2f =( )A ．4B ．2212-C ．3212+ D ．1222-12．设()f x ''在[],a b 上连续,且()(),f a b f b a ''==,则()()d baf x f x x '''=⎰( )A ．a b -B ．()12a b - C ．22a b - D ．()2212a b - 13．若()()2021d ,0,0x t e tx f x x a x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰,且已知()f x 在0x =点连续,则必有( ) A ．1a = B ．2a = C ．0a = D ．1a =- 14．设xe t =,则1d x xxe x e e -=+⎰( )A ．1d et tt t -+⎰B ．1d 1et t+⎰C ．211d 1et t+⎰D ．11d ett t t-+⎰15．()f x 在给定区间连续,则()320d ax f x x =⎰( )A ．()01d 2axf x x⎰ B ．()21d 2a xf x x ⎰C ．()22d a xf x x ⎰D ．()0d axf x x ⎰16．积分1ln d exx x⎰的值是( ) A ．2122e - B ．21122e - C ．12 D ．1-17．若()4d 2xx f t t =⎰,则()401d f x x x=⎰( )A ．16B ．8C ．4D ．2 18．积分121d x x -⎰的值是( )A ． 0B ．1C ．12D.219．曲线1,,2y y x x x===所围平面图形的面积为( )A ．211d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰B ．211d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰C ．()221112d 2d y y y y ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ D ．()221112d 2d x x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰⎰20．曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围平面图形的面积为( )A ．()10d x e ex x-⎰ B ．()1ln ln d ey y y y-⎰C ．()1d exx exe x -⎰D ．()1ln ln d y y y y -⎰21．在区间[],a b 上()()()0,0,0f x f x f x '''><>,令()()()()()()1231d ,,2ba s f x x s fb b a s f b f a b a ==-=+-⎡⎤⎣⎦⎰,则有( ) A ．123s s s << B ．213s s s << C ．312s s s << D ．231s s s << 22．曲线cos ,22y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于( )A ．2πB ．πC ．212π D ．2π23．曲边梯形()0,f x y a x b ≤≤≤≤,绕x 轴旋转而成的旋转体体积为( )A ．()2d baxf x x π-⎰ B ．()2d bafx x π⎰ C ．()d ba xf x x -⎰D ．()2d baf x x ⎰24．曲线()2ln 1y x =-上满足102x ≤≤的一段弧的弧长为( ) A ．12221d 1x x x +-⎰B ．2122011d 1x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰C ．12221d 1xx x -+-⎰D ．()122201ln 1d x x ⎡⎤+-⎣⎦⎰25. 一无限长直线放在正实轴上,其线密度x e ρ-=,则其质量M =( )A ．eB ．∞C ．1 D.226．一变力212F x =把一物体从0.9x =推到 1.1x =,它所做的功W =( ) A ． 1.120.912d x x ⎰ B ．0.22012d x x ⎰ C ． 1.220.912d x x x ⋅⎰ D ．0.22012d x x x⋅⎰ 三、证明题1．设()f x 是连续函数,证明：()()()10d d b a f x x b a f a b a x x =-+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰ . 2．设()f x 是连续函数,证明：()()2321d d ,02a a x f x x xf x x a =>⎰⎰.3．设()f x 是连续函数,证明：()()200sin d sin d f x x f x x ππππ=⎰⎰.4．证明不等式()52441sin d 2x x ππππ≤+≤⎰.四、计算题 1．()1001lim 1sin 2d xux u u x →+⎰2．2001limarctan d xx u u x →⎰3．2001lim cos d xx u u x →⎰4．求21sin d xt t ⎰的导数.5．()()ln 1d xxf x t t φ=⎰,()t φ为连续函数,求()f x '.6．求函数()()()212d xu f x u u e u -=--⎰的极值点.7．计算()2d xe x x -⎰8．计算()24111d xx x-⎰ 9．计算()12032d x x x +-⎰10．计算6251d 2x x x+⎰11．计算94d 1xx x -⎰ 12．计算2541d 1x x+⎰13．计算1d xe x ⎰14．计算ln 21d x e x -⎰15．计算21211sin d x x xππ⎰ 16．计算161d 9x x x +-⎰17．计算311d 1lne x x x+⎰18．计算()251d x x -⎰19．计算1d x xe x -⎰20．计算()113d x x x -⎰21．计算40sin d x x x π⎰22．计算()1ln 1d x x +⎰23．计算()2211ln d e x x x⎰24．计算2222d x xe x --⎰25．计算221d 1x x +∞-⎰26．计算1ln d x x x⎰27．计算()11d 21x x x--⎰28．求曲线22235,1y x x y x =+-=-围成的平面图形的面积. 29．求曲线231,53y x y x =-=-围成的平面图形的面积. 30．求曲线6,7xy x y =+=围成的平面图形的面积. 31．求曲线ln ,0,y x y x e ===围成的平面图形的面积.32．求曲线,,0x y e y e x ===围成的平面图形的面积. 33．求曲线22235,1x y y x y =+-=-围成的平面图形的面积. 34．求曲线()22,0,0,0y px y x a p a ===>>围成的平面图形绕x 轴旋转而形成的旋转体的体积.35．求曲线2xy a =,0y =,x a =,()20x a a =>围成的平面图形绕x 轴旋转而形成的旋转体的体积.36．求曲线2y x =,2x y =围成的平面图形绕y 轴旋转而形成的旋转体的体积. 37．分别求曲线3y x =,0y =,2x =围成的平面图形绕x 轴,y 轴旋转而成的旋转体的体积.38．求曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.39．求()()sin 1cos x a y a θθθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩的一拱()02θπ≤≤的长度. 40．求阿基米德螺线(0)r a a θ=>相应于θ从0到2π的一段弧的弧长. 41．圆柱形的水桶高为5m ,底圆半径为3m ,桶内盛满了水,试问要把桶内的水全部吸出需做多少功？第四章不定积分答案一、填空题1．()f x 2.()F x C + 3. 3x C +4.321ln 23x C x ++ 5. 1C x -+ 6. 6x e C + 7. 3sin x e x C -+8.3arctan 3x x x C -++9. 1ln 322x x C ++ 10.21ln 2x C + 11. cos 2x C -+ 12. 717x e C + 13. 2x e C +14. 1ln 122x C ++ 15. 12x C --+16. 31cos cos 3x x C -++17. ()1x e x C -++ 18. 1C x+二、单项选择题1．C 2．A 3．D 4．B 5．A 6．B 7．D 8．D 9．C 10.A 11.B 12.B 三、计算题1．()()()57222I 2d 227x x x C =---=--+⎰2．()()2221I d 1ln 11x x C x=+=+++⎰3．111I d x xe e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰()22334.I sin sin d 1cos d cos 11cos cos cos cos 33x x x x xx x C x x C=⋅=--⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 5. ()()22d I d arctan 11xxx x x e e x e C e e ===+++⎰⎰ 6. 令1t x =+()()()()242532322I 12d 2d 2222115353t t t t t t tt t C x x C =-⋅⋅=-=-+=+-++⎰⎰ 7. 令6t x =()5223421113666d d -1+1I d 66d 11161d 6d 1366ln 1366ln 1t t t t t t tt t t t t t t t t t t C x x x C===+++=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰ 8. 令sin x t =()()322222I 1sin cos d cos d sec d tan 1t t t t tx t t t C Cx--=-===+=+-⎰⎰⎰9．令tan x t =()()2222422sec d sec I d cos d sec 1tan 1111cos 2d sin 2224111sin cos arctan 2221t ttt t t tt t t t t C x t t t C x C x ===+=+=++⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 10. 令sec x a t =()()()22222222sec 1I sec tan d tan d sec sec 1d tan arccos arccos a t a t t t a t ta ta t t a t t Cx a a a a C x a a C a x x -=⋅==-=-+⎛⎫-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2sec 32222sect an d d 1311. I 2sec 132121sec tan 1d sec d 3tan 311394ln sec tan ln 3322x tt t t xt x t t t t t t x t t C x C ===-⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=++=++⎰⎰⎰⎰令12. ()()22d 3111I ln 9673133316x x x x C x -==-++-+-+⎰()()()()2222213. I ln 1dln 12ln 1d 1ln 122arctan x x x x xx x xx xx x x x C =+-+=+-+=+-++⎰⎰ 14. I d d x x x x x x e xe e x xe e C ==-=-+⎰⎰()2222 I arccos d arccos arccos d 111arccos d 121arccos 1x x x x xx x xx x x x x x x x C15. =- =+- =--- =--+⎰⎰⎰ 16. 211111I ln d ln d ln x x x x C x xx x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰()2222217.I d 2d 2d 22d 22x x x x xx x x x x e x e xe x x e x e x e xe e x x x e C--------- =-=-+ =-- =--+ =---+⎰⎰⎰⎰4442244232442444244118. I (ln )d (ln )(2ln )d 44411(ln )ln d (ln )ln d 4248111(ln )ln d 48811(ln )ln 4832x x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x C==- =-=- =-+⋅ =-++⎰⎰⎰⎰⎰19.I sin d sin cos d sin cos d sin cos d cos (sin cos )sin d 1sin d (sin cos )2x x x x xx x x x x x xx e e x e x x e x x e e x e x e x e x x e x x e x x e x x C ==- =- =-+ =--∴=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2233320.I sec sec d sec d tan sec tan tan tan sec d sec tan (sec -1)sec d sec tan sec d sec d sec tan sec d ln sec tan 1sec d sec tan ln sec tan 2x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =⋅= =-⋅⋅ =- =-+ =-++∴=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21. t xI=2d 2d 22d 2222t t t t t t x x e t t t e te e tte e C xe e C==-=-+=-+⎰⎰⎰令=()()()()22.I ln ln dln ln ln ln ln d ln ln 11ln ln ln ln d ln ln ln ln ln x x x x x x x x xx x xx x x C ==- =- =-+⎰⎰⎰23. ()cos 2sin 2I d cos 2448x x x xx C =-=-++⎰ 24. 333ln I ln d 339x x x x x C ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭⎰第五章定积分及其应用答案一、填空题1．()d ba f x x ⎰ 2.0 3. 1x -+ 4.125.负6.正7. 12I >I8. 12I <I9. 12I >I10.- 11. ≥ 12. ()d ba f x xb a-⎰ 13.2xxe14. 222sin 21cos x x x + 15.()()3sin x x φφ'-⎡⎤⎣⎦16.1 17.1 18. ()0,1 19. ()()31,003f f π== 20. ()3233sin 1x x +21. ()()F b F a - 22.5ln 6 23. 1e e- 24. ()()arctan 3arctan 1f f - 25.1 26.2π27. 2e - 28.4 29. 232- 30.0 31.032. 56 33.e 34. 1≤ 35.<36. 12 37. 2π 38. 13 39. 122π-二、单项选择题1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．C 8．B 9．A 10.C 11.C 12.D 13.C 14.C 15.B 16.C17.A 18.B 19.B 20.A 21.B 22.C 23.B 24.A 25.C 26.A 三、证明题1．证：令()u a b a x =+-,则()d d u b a x =-,所以()()()()111000d d d b a f a b a x x f u u f x x -+-==⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰2．证：令2u x =,则d 2d u x x =,所以()()()223200011d d d 22aa a x f x x uf u u xf x x ==⎰⎰⎰ 3．证：令u x π=-,则d d u x =-,则()()()()()22002sin d sin d sin d xf x x u f u u x f x xππππππ=-=-⎰⎰⎰()()()()()()()202222000sin d sin d sin d sin d sin d sin d xf x x xf x x xf x xxf x x x f x x f x xπππππππππ=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以4．证：5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,有20sin 1x ≤≤,所以211sin 2x ≤+≤()55524444441d 1sin d 2d 2x x x x ππππππππ=≤+≤=⎰⎰⎰四、计算题1．解：()()0sin2sin211lim2sin200I lim 1sin 2lim 1sin 2x x x xxxxx x x x ee →→→⎡⎤=+=+==⎢⎥⎣⎦2．解：2001arctan 11I lim lim 222x x x x x →→+===3．解：20I limcos 1x x →==4．解：221d sin d sin d x t t x x=⎰ ()()()()()()()()ln ln 111ln 2d d 5.d d d d d d d d d d d 11ln ln 111ln x ax a x x xxa a t t t t t t x x t t t tx x x x x x x x x xφφφφφφφφφ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=-+'⎛⎫⎛⎫'=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰解：6．解：由()()()2120x f x x x e -'=--=, 得驻点121,2x x ==,由()()()()223212xf x x x x x e -''=----⎡⎤⎣⎦,得()()4110,20f f e e-''''=-<=>,所以11x =为()f x 的极大值点,22x =为()f x 的极小值点.7．解：22201I 32x e x e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭8．解：344211122I 2d 2233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰9．解：23101I 222x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭10．解：66551111121I d ln ln 2222220x x x x x ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭⎰ 11．解：令u x =,则2,d 2d x u x u u ==()233222321I 2d 21d 1122ln 172ln 2u u u u u u u u u ⎛⎫==++ ⎪--⎝⎭⎡⎤=++-=+⎣⎦⎰⎰ 12．解：令1u x =+,则()()21,d 21d x u x u u =-=-()()66331I 2d 2ln 23ln 2u u u u u-==-=-⎰13．解：令u x =,则2,d 2d x u x u u ==()110I 2d 21e 2u uue u u ==-=⎰14．解：令1x u e =-,则()222ln 1,d d 1ux u x u u=+=+ ()21110220021I d 21d 2arctan 2112u u u u u u u π⎛⎫==-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 15．解：令1u x =,则21d d x u u=- 22I sin d cos 1u u uππππ==-=⎰16．解：()()3316162201122I 9d 9129933x x x x x ⎡⎤=++=++=⎢⎥⎣⎦⎰17．解：令1ln u x =+,则1d d u x x=44111I d 22u u u===⎰18．解：令1u x =-,则d d x u =-115556611110111I d d d 663u u u u u u u u ---==-+=-+=⎰⎰⎰()()()1111111019. I d d d 21xxxx x x e xee x e ex e e e------- =-=---=-+=-+-=-⎰⎰⎰解：()()()1110001021120. I 1d3133d ln3ln311ln3213ln3ln3ln3x x xx x x x ⎡⎤ =-=--⎢⎥⎣⎦-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰⎰解：4440221. I d cos cos cos d 124x x x x x x ππππ⎛⎫ =-=-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰解： ()()1110022. I ln 1d ln 2ln 112ln 21x x x x x x x=+-=--+⎡⎤⎣⎦+ =-⎰解：()()()2222222221111111223. I 2ln d 2ln ln d 188ln d 88ln d 8161682e e e e e e e x x x x x x x e x x e x x x x e e xe ⎡⎤ ==-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭=-+=-⎰⎰⎰⎰解：24．解：令2xu =-,则-2,d 2d x u x u ==-,所以()()1221111I 8d 82285u uu e u u u e e e ---==-+=-⎰25．解：因为22221111111111d d ln ln ln 1211212123bb b x b x x x x x x b --⎛⎫=-==- ⎪--+++⎝⎭⎰⎰,所以2211111lim d lim ln ln3ln312122bb b b x x b →+∞→+∞-⎡⎤=+=⎢⎥-+⎣⎦⎰, 所以1I ln 32=26．解：0x =为瑕点,由分部积分法有()()11001101ln d lim ln d 21lim 2ln 2d lim -2ln 44xx x x x x x x x xεεεεεεεεε+++→→→=⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-=-⎰⎰⎰ 27．解：1x =为瑕点,令1t x =-, 则21,d 2d x t x t t =-=-,()()()11012210011d lim d 212122lim d lim d 112lim arctan1arctan 2x xx xx xt t t t t tεεεεεεεπε++++-→→→→=-----==++⎡⎤=-=⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 28．解：两曲线交点为（-2,-3）和（1,0）,由图可知,所求面积为()()()112222223121235d 633d 3613.52S x x x x x x x x x x ---⎡⎤=--+-=--⎣⎦⎛⎫=--= ⎪⎝⎭⎰⎰29．解：两曲线交点为（-2,11）和（1,2）,由图可知,所求面积为 ()()()11222223125331d 633d 3613.52S x x x x x x x x x ---⎡⎤=---=--⎣⎦⎛⎫=--= ⎪⎝⎭⎰⎰30．解：两曲线交点为（1,6）和（6,1）,由图可知,所求面积为 ()62611617d 76ln 217.56ln 6 6.749S x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-≈⎰ 31．解：由图可知,所求面积为()11ln d ln 11eeS x x x x ==-=⎰32．解：由图可知,所求面积为()()1100d 1x x Se e x ex e =-=-=⎰33．解：两曲线交点为（-3,-2）和（0,1）,由图可知,所求面积为()()1222312231235d 613.52S y y y y y y y --⎛⎫⎡⎤=--+-=--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ 34．解：2202d aax V px x px pa πππ===⎰35．解：42423211d 2aa x aaa V x a a x xπππ==-⋅=⎰36．解：两曲线交点为（0,0）,（1,1）,114251000113d d 2510y V y y y y y y ππππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 37．解：22262d d 187x V y x x x πππ===⎰⎰25882833032d d 412.85y V y y y y y ππππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰38．解：12y x '=,则212d 1d 1d s x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以 ()()()333222221d 11133b ba aS x x x b a ⎡⎤⎡⎤=+=+=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰yx1-2132-=x y x y 35-=()()222239.d 1cos sin d 21cos d 2sind 2s a a a a θθθθθθθ=-+=-=解：所以22002sin d 22cos 822s a a a ππθθθ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰40．解：2222d d 1d s a a a θθθθ=+=+ 所以()222201d 214ln 2142as πθθππππ⎡⎤=+=++++⎢⎥⎣⎦⎰41．解：做x 轴如图所示,深度设为x ,[]0,5x ∈,相应于[]0,5上任一小区间[],d x x x +的一薄层水的高度为d x ,水的比重为39.8/kN m ,所以薄层水重力为29.83d x π⋅,这薄层水吸出桶外需做功 2d 9.83d W x x π=⋅⋅,所以所求功为()5525d 88.2d 88.234622W W x x kJ ππ===⋅≈⎰⎰28题图y x1-2 21x y -= 15322-+=x x y -531题图29题图30题图yx0 x y ln =1 e yx 66=xy 7=+y x 632题图33题图yxx e y =1 e1yx 2-321y x -=5322-+=y y x。