不定积分教案
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案第一章：不定积分的概念与性质教学目标：1. 理解不定积分的概念；2. 掌握不定积分的性质；3. 学会计算基本的不定积分。
教学内容：1. 不定积分的定义；2. 不定积分的符号表示；3. 不定积分的性质；4. 基本不等式的积分；5. 基本三角函数的积分。
教学活动：1. 引入不定积分的概念，引导学生理解不定积分表示的是一个函数的积累效果；2. 讲解不定积分的符号表示，让学生熟悉积分符号；3. 通过示例演示不定积分的性质，如线性函数的积分是线性函数的常数倍，指数函数的积分是指数函数的倒数等；4. 引导学生掌握基本不等式的积分公式，如\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)；（n ≠-1）；5. 教授基本三角函数的积分公式，如\( \int \sin x dx = -\cos x + C \)，\( \int \cos x dx = \sin x + C \) 等；6. 进行课堂练习，巩固所学内容。
作业布置：1. 练习计算基本不等式的积分；2. 练习计算基本三角函数的积分；3. 完成课后习题。
第二章：换元积分法教学目标：1. 理解换元积分法的概念；2. 掌握换元积分法的步骤；3. 学会运用换元积分法计算不定积分。
教学内容：1. 换元积分法的定义；2. 换元积分法的步骤；3. 常用换元积分法；4. 换元积分法的应用。
教学活动：1. 引入换元积分法，让学生理解通过变量替换简化积分过程；2. 讲解换元积分法的步骤，如选择合适的换元变量，构造新的函数等；3. 介绍常用的换元积分法，如代数换元法、三角换元法等；4. 通过示例演示换元积分法的应用，如计算\( \int \sqrt{1+x^2} dx \) 等；5. 进行课堂练习，巩固所学内容。
作业布置：1. 练习运用换元积分法计算不定积分；2. 完成课后习题。
第三章：分部积分法教学目标：1. 理解分部积分法的概念；2. 掌握分部积分法的步骤；3. 学会运用分部积分法计算不定积分。
不定积分整章教案
不定积分整章教案1 NO.设是定义在区间上的函数，如果存在函数，对于,f(x)F(x),x,II都有 , 或 , F(x),f(x)dF(x),f(x)dx则称函数为函数在区间上的一个. F(x)f(x)I2,,例如，cosx是的原函数,因为 .又因为, sinx(sinx),cosx(x),2x222,x ,所以x和x，1都是2的原函数. (x，1),2x一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果，为函数在区间上的任意两个原函数, F(x)G(x)f(x)I,, , , (F(x)),f(x)(G(x)),f(x),于是有 ,,. (G(x),F(x)),G(x),F(x),f(x),f(x),0所以 ,或 .G(x),F(x),CG(x),F(x)，C：任意两个原函数相差一个常数。
函数的所有原函数称为的，记作:. f(x)f(x)f(x)dx,其中“x”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称f(x)f(x)dx,为积分变量.由前面的讨论可知：如果是的一个原函数,那么 . F(x)f(x)f(x)dx,F(x)，C,dx 求. 2,1，x11,解由于，所以是的一个原函数，因此 (arctanx),arctanx221，x1，x2 NO.dx . ,arctanx，C2,1，x, 求. dxx,1,，1,,，1,,解当,(x),(,，1)x时,我们知道，，亦有 ,,,,1(x),x,，1 11,,，1,,，1即是的一个原函数，因此 ; xxxdx,x，C,,，1,1，11,当时，我们所要求的不定积分为 .因为，因此 ,,,1dx(lnx),,xx1 ． dx,lnx，C,xd1）或 ; ，，f(x)dx,f(x)，，df(x)dx,f(x)dx,,dx2）, 或. F(x)dx,F(x)，CdF(x),F(x)，C,,如果函数在某一区间上连续，则在这区间上函数可积 f(x)f(x),，1x, (1) xdx,，C(,,,1),（是常数）; (2) ; kkdx,kx，C,,,，111 (3) ; (4) ; dx,lnx，Cdx,arctanx，C2,,x1，xdx (5) ,arcsinx，C; (6) ; cosxdx,sinx，C,,21,x(7) ; (8) sinxdx,,cosx，C,dx2; ,secxdx,tanx，C2,,cosxdx2 (9) ,cscxdx,,cotx，C; (10) ; secxtanxdx,secx，C,,2,sinxxx （11）; （12）; cscx,cotxdx,,cscx，Cedx,e，C,,3 NO.xaxadx,，C （13）; （14）; (a,1)shxdx,chx，C,,lna（15）. chxdx,shx，C,（1） [f(x)，g(x)]dx,f(x)dx，g(x)dx,,,,事实上，,,[f(x)dx，g(x)dx],[f(x)dx]，[g(x)dx],f(x)，g(x). ,,,, ：有限个函数的和的情况也有这一性质.（为常数，）. kk,0kf(x)dx,kf(x)dx,,1 求. [3,2x，,5sinx]dx2,x1dx 解 [3,2x，,5sinx]dx,3dx,2xdx，,5sinxdx22,,,,,xx221,，xx ,3(x，C),2(，C)，(，C),5(,cosx，C) 12342,2，112 ,. 3x,x,，5cosx，Cx2xx1，， . dx2,xx(1，)21111xx1，，解 ,(，)dx,dx，dxdx22,,,2,xx1，x1，xxx(1，),. ，Carctanx，lnx4x 求dx. 2,x1，4224,1，1(，1)(,1)，1xxxx 解 dxdxdx== 222,,,x1，1，1，xx4 NO.1122, (x,1，)dx,xdx,dx，dx22,,,,，1，1xx3x ,,x，arctanx，C. 3x2 求 sindx,2x112 解 sindx,(1,cosx)dx,(1,cosx)dx,,,22211 ,. [dx,cosxdx],(x,sinx)，C,,221 已知曲线在其上点的切线斜率，且曲线经过点P(x,y)k,x45y, ，求此曲线方程． (2)2 1 解设曲线方程为,，由假设， y,f(x)f(x),x4x112故 ,= ，，，，fx,fxdx,xdxx，C ,,84图5.1-1 2x5即 y,，C，为常数，曲线经过点（2，），以此点坐标代入方程，得 C82254x y,，2 ，解得 .因此所求方程为. ,，CC,28282 已知某产品的边际收入函数为,xR(x),60,2x,2x(为销售量),求总收入函数. R(x)2解 , R(x),R(x)dx,(60,2x,2x)dx,,223 . ,60x,x,x，C3当时,,从而,于是 x,0R,0C,0223 R(x),60x,x,x35 NO.求． cos2xdx,1解 x,u ，令2，得 cos2xdx,cos2xd(2x),,2111 , cos2xd(2x),cosudu,sinu，C,2221代回原变量，得 . cos2xdx,sin2x，C,2一般的我们有如下结论：设u是的连续函数，且， f(u)f(u)du,F(u)，C,设,,有连续的导数，则=． u,,(x),(x)F[,(x)]，Cf[,(x)],(x)dx,dF[,(x)]证明只需证明 ,即可． ,f[,(x)],(x)dxdF[,(x)]dF[,(x)],,,,，又由，故 ,F[,(x)],(x)F(u),f(u),f[,(x)],(x)dxdx1 求. dx,3,2x解令，则，故 u,3,2xdu,,2dxdx1d(3,2x)1du11. ,,,,,,lnu，C,,ln3,2x，C,,,3,2x23,2x2u22求,tanxdx．sinx解 = 因为， dx,sinxdx,dcosxtanxdx,,cosx设 u,cosx，则，因此， du,,sinxdxsinxdu ,tanxdx,=. dx,,,lnu，C,,lncosx，C,,cosxu练习：． ,cotxdx,lnsinx，C熟练以后，可直接写出结果:1 求. dx22,，ax6 NO.1111x1x1,dx,d(),arctan，C 解 =. dx,2,22,xxaaaaa，ax221，()1，()aadx 求(a>）. 0,22ax,xd()dx1dxxa 解 ,,,arcsin，C. ,,,22aaxxa,x221,()1,()aa1求. dx22,,xa 1111解由于,所以 ,(,)22ax,ax，a2x,adx111111 ,(,)dx,(dx,dx)22,,,,,，,，2axaxa2axaxa,xa111 ,[d(x,a),d(x，a)],,2ax,ax，a1x,a1 ,, ln，C. [lnx,a,lnx，a]，C2ax，a2a3求. sinxdx,322 解 sinxdx,sinxsinxdx,,(1,cosx)d(cosx),,,132 ,=. ,cosx，cosx，C,d(cosx)，cosxd(cosx),,322求与 . cosxdxsinxdx,,1，cos2x11x12 解 =. dx,dx，cos2xdx,，sin2x，Ccosxdx,,,,22224 1,cos2xx12 . sinxdx,dx,,sin2x，C,,224求. cscxdx,7 NO.xxx2d()secd()dxdx222解 ,,,cscxdx,,,,,,xxxxxsinx22sincostancostan22222xd(tan)x2 ,. ,，Clntan,x2tan2xx22sinsin1,cosxx22又 =. ,,cscx,cotxtan,xsinxsinx2cos2所以上述不定积分又可表示为. cscxdx,lncscx,cotx，C,练习： secxdx,lnsecx，tanx，C,求sin2xcos3xdx. ,解利用积化和差公式1 , sin,cos,,,,sin(,，,)，sin(,,,)21得 , sin2xcos3x,,,sin5x,sinx2111所以 sin2xcos3xdx, (sin5x,sinx)dx,sin5xdx,sinxdx,,,,22211 ,. ,cos5x，cosx，C102设函数,,严格单调、可导且，设具有原函x,,(t),(t),0f[,(t)],(t),1数.则,,(x)f[,(t)],(t)dt]，其中是的反函数. x,,(t)f(x)dx,[,1,,t,,(x) ,1 证设 ,,[F(,(x))，C],f(x)，只需证 f[,(t)],(t)dt,F(t)，C,1ddFtdt(),1而 ,,f[,(t)],(t),,f[,(t)],f(x). F,x,,(()),,(t)dxdtdx8 NO.dx求. ,1，x2 解作变量代换 x,t( 以消去根式)，于是，,从而x,tdx,2tdtdxt1 ,2dt,2(1,)dt ,,,1，t1，t1，x,2t,2ln(1，t)，C,2x,2ln(1，x)，C.22求aa,xdx (>). 0,解积分难点在于被积函数中的根号，为去掉根号，令,,22 ， , 则 ,, x,asint,,t,dx,acostdta,x,acost222222 a,xdx,acost,acostdt,acostdt ,,,21，cos2ta12,, ,adt,t，sin2t，C, ,,,222,,22xx,ax回代变量，由cos,，得 ,, sint,t,arcsintaaa222axxa,x22 故有 a,xdx,(arcsin，)，C 2,2aa2axx22 ,arcsin，a,x，C. 22adx 求> (a0),22x，a22解利用三角公式 1，tant,sect来化去根式，,,2 设 dx,asectdt << ,则 , (,)x,atantt22222222 ,于是 x，a,a，atant,a1，tant,asect9 NO.2asectdx,,dt,,sectdt . ,lnsect，tant，C,22asectx，a22x，xa由 sec,，得 , 因此, tant,taa22xx，adx ,ln(，)，C ,22aax，a22 C,C,lna, 其中 . ,ln(x，x，a)，C11dx 求(a> 0),22xa,解设x>，令， 0x,acht22 利用公式cht,sht,1 有222222 ， dx,ashtdtx,a,a(cht,1),asht,ashtdxasht于是有 ,dt,t，C， ,,22ashtx,a22,xaxt注意：,，,，两边取导数得 eshtchtaa22 t,ln(x，x,a),lnadx22所以 ,ln(x，x,a)，CC,C,lna,其中 . 11,22x,adx求 ,x1，e2dtx2 解为化去根式，令x,lnt,2lnt，则，， dx,e,tt21，,ttdx ,dt,2dt ,,,x(1，)(1，)tttt1，e10 NO.11，， ,2,dt,2[lnt,ln1，t]，C ,,,t1，t，，2t,, . ,ln，C,,1，t,,2x，，edxx将回代得 . ,，Ct,eln,,,xx1，e，e1,,，，dx求 . 2,2x，4x，3dx1dx1dx 解 ,,2,,,31222x，4x，322x，2x，(x，1)，22111x，1 ,d(x，1),,2arctan，C,112222(x，1)，()222,arctan2(x，1)，C . 2dx 求 . ,24x，9dx1d(2x)dx 解 ,,,,,2222224x，9(2x)，3(2x)，312 . ,ln(2x，4x，9)，C211 NO.,,,,,, ，移项得, . (uv),uv，uvuv,(uv),uv对这个等式两边求不定积分，得,,. （1） uvdx,uv,uvdx,,简便起见,公式（1）常写成下面的形式：. （2） udv,uv,vdu,,求. xcosxdx,解这个积分用换元积分法不易求得结果。
不定积分的概念教案
不定积分的概念教案Lesson Plan on the Concept of Indefinite Integral教学目标：1.了解不定积分的基本概念及意义。
2.掌握不定积分的符号表示和性质。
3.学会计算基本的不定积分。
教学内容：Introduction:In this lesson, we will introduce the concept of indefinite integral and understand its significance.We will also explore the notation and properties of indefinite integrals.引入：本节课我们将介绍不定积分的基本概念及其意义。
我们将探讨不定积分的符号表示和性质。
Section 1: Definition and Significance of Indefinite Integral1.1 Definition:An indefinite integral of a function f(x) is a function whose derivative is f(x), and it is denoted by ∫f(x)dx.The process of finding an indefinite integral is called antiderivative.1.2 Significance:Indefinite integrals play a crucial role in calculus.They are used tosolve problems involving area, volume, and accumulation.They also provide the foundation for calculating definite integrals, which are used to find exact values of functions.1.1 定义：函数f(x)的不定积分是一个导数为f(x)的函数，用符号∫f(x)dx表示。
不定积分-教案
不定积分 的几何意义就是，其表示了 的一族积分曲线 .这族积分曲线可由积分曲线 向上或向下平移得到，且在相同的横坐标的点处，任一曲线的切线有相同的斜率，即有平行的切线.
4.1.3基本积分公式表
1.求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算.
(1) ，或 ;
(2) ，或 .
（2） ；
（3） ；
（4） ;
（5） ;
（6） ;
*（7） ;
*（8） ;
*（9） ;
*（10） ．Biblioteka 授课序号03教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第3节分部积分法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
分部积分法
教学难点
分部积分法
参考教材
作业布置
课后习题微积分标准化作业
例题讲解
例4.38求不定积分 ．
例4.39求不定积分 ．
例4.40求不定积分 ．
注多次使用分部积分时， 和 的选取类型要与第一次的保持一致，否则将回到原积分.本例选取幂函数为 ，正(余)弦函数为 ．并两次使用了分部积分法．
分部积分法的使用熟练后， 与 的选取不必写出，只要把被积表达式凑成 的形式，即可使用分部积分公式．
大纲要求
熟练掌握分部积分法.
教 学 基 本 内 容
定理4.4设 ， 在区间 上都有连续的导数，则有 ，即 ，简记为 ．
注1.分部积分法应用的基本步骤可归纳为：
= ．
2. 和 的选取非常关键．选取 和 一般要遵循下面两个原则：
(1)由 要容易求得 ；
(2) 要比 容易积分．
不定积分教案范文
不定积分教案范文一、教学目标：1.熟练掌握不定积分的概念和性质。
2.能够运用基本积分公式求不定积分。
3.能够运用换元法、分部积分法、有理函数积分法等方法求解不定积分。
4.能够运用不定积分的性质解决实际问题。
二、教学内容：1.不定积分的基本概念和性质。
2.基本积分公式及其运用。
3.换元法求不定积分。
4.分部积分法求不定积分。
5.有理函数积分法求不定积分。
6.不定积分的应用。
三、教学过程：1.不定积分的基本概念和性质：不定积分是微积分中的重要内容，是函数的一个全体定义域上的原函数集合。
具体来说，设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，则函数 F(x)在区间 [a, b] 上的不定积分是 f(x) 的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中 F(x) 称为 f(x) 的一个原函数，C 为任意常数。
不定积分具有以下性质：（1）积分的线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx；（2）积分和求导的逆关系：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F'(x)=f(x)；（3）换元积分法：设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，g(x) 是可导函数，则∫f[g(x)]g'(x)dx=F[g(x)]+C；（4）分部积分法：设 F(x) 和 G(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的原函数，则∫f(x)g'(x)dx=F(x)g(x)-∫F'(x)g(x)dx。
2.基本积分公式及其运用：（1）常数函数积分：∫kdx=kx+C，其中 k 为常数。
（2）幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)x^(n+1)/(n+1)+C，其中 n 为任意实数，n ≠ -1（3）指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C。
（4）三角函数积分：a. ∫sinxdx=-cosx+C；b. ∫cosxdx=sinx+C。
（5）倒数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C。
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案一、教学目标1. 理解不定积分的概念和物理意义。
2. 掌握基本积分公式和积分方法。
3. 能够运用不定积分解决实际问题。
二、教学内容1. 不定积分的定义和性质。
2. 基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分。
3. 换元积分法：代数换元、三角换元。
4. 分部积分法。
5. 积分在物理、经济学等领域的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：不定积分的概念、性质和基本积分公式。
2. 难点：换元积分法、分部积分法的运用。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法，讲解不定积分的概念、性质和积分方法。
2. 利用多媒体课件，展示积分过程和应用实例。
3. 引导学生通过讨论、练习，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：介绍不定积分的定义、性质和基本积分公式。
2. 第二课时：讲解换元积分法。
3. 第三课时：讲解分部积分法。
4. 第四课时：举例分析不定积分在实际问题中的应用。
5. 第五课时：课堂练习和总结。
六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的不定积分题目，检查学生对基本积分公式和积分方法的掌握程度。
2. 课后作业：布置综合性的不定积分题目，要求学生在课后完成，以检验学生对课堂内容的理解和应用能力。
3. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题，评估学生对不定积分概念的理解和分析问题的能力。
七、教学资源1. 教材：选用权威的微积分教材，提供系统的理论知识。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过图像、动画等形式展示积分过程，增强学生的直观理解。
3. 练习题库：整理一套丰富的练习题库，包括不同难度层次的题目，以满足不同学生的学习需求。
4. 应用案例：收集一些实际问题，用于讲解不定积分在实际中的应用。
八、教学建议1. 强化基础知识：在学习不定积分之前，确保学生掌握了函数、极限、导数等基本概念，以便能够顺利理解不定积分的性质和计算方法。
2. 逐步引导：从简单的积分公式开始，逐步引导学生掌握更复杂的积分方法，避免一开始就给出复杂的公式和方法，让学生能够逐步建立信心。
不定积分教案
第四章 不定积分教学目的： 1、 理解原函数概念、不定积分的概念。
2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。
3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：1、 不定积分的概念；2、 不定积分的性质及基本公式；3、 换元积分法与分部积分法。
教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。
§4. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx ,那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.又如当x ∈(1, +∞)时,因为xx 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问:cos x 和x21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x ).简单地说就是: 连续函数一定有原函数.两点说明:第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数.第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数).定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作⎰dx x f )(.其中记号⎰称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量.根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即⎰+=C x F dx x f )()(.因而不定积分dx x f )(⎰可以表示f (x )的任意一个原函数.例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以C x xdx +=⎰sin cos .因为x 是x21的原函数, 所以C x dx x+=⎰21.例2. 求函数xx f 1)(=的不定积分. 解：当x >0时, (ln x )'x1=, C x dx x+=⎰ln 1(x >0); 当x <0时, [ln(-x )]'xx 1)1(1=-⋅-=, C x dx x+-=⎰)ln( 1(x <0). 合并上面两式, 得到C x dx x+=⎰||ln 1(x ≠0). 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解 设所求的曲线方程为y =f (x ), 按题设, 曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,,即f (x )是2x 的一个原函数.因为 ⎰+=C x xdx 22,故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C , 即曲线方程为y =x 2+C .因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C , C =1.于是所求曲线方程为y =x 2+1.积分曲线: 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线.从不定积分的定义, 即可知下述关系: ⎰=)(])([x f dx x f dxd , 或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([;又由于F (x )是F '(x )的原函数, 所以⎰+='C x F dx x F )()(,或记作 ⎰+=C x F x dF )()(.由此可见, 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号⎰表示）是互逆的. 当记号⎰与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数), (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ, (3)C x dx x+=⎰||ln 1, (4)C e dx e x x +=⎰, (5)C aa dx a x x +=⎰ln , (6)C x xdx +=⎰sin cos ,(7)C x xdx +-=⎰cos sin , (8)C x xdx dx x +==⎰⎰tan sec cos 122, (9)C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin 122,(10)C x dx x+=+⎰arctan 112, (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112, (12)C x xdx x +=⎰sec tan sec ,(13)C x dx x +-=⎰csc cot csc ,(14)C x dx x +=⎰ch sh ,(15)C x dx x +=⎰sh ch .例4⎰⎰-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131. 例5 ⎰⎰=dxx dx x x 252C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372. 例6 ⎰⎰-=dx x x x dx 343C x ++-=+-134134C x +-=-313C x+-=33. 三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.这是因为, ])([])([])()(['+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数, k ≠0).例7. ⎰⎰-=-dx x x dx x x )5()5(21252 ⎰⎰-=dx x dx x 21255⎰⎰-=dx x dx x 21255 C x x +⋅-=232732572. 例8 dx x x x dx xx x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰ C x x x x dx xdx x dx dx x +++-=-+-=⎰⎰⎰⎰1||ln 3321113322.例9 ⎰⎰⎰-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3.例10 C e C e e dx e dx e x x x x x x ++=+==⎰⎰2ln 12)2ln()2()2(2. 例11 dx xx dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222++=+++=+++⎰⎰⎰ C x x dx x dx x++=++=⎰⎰||ln arctan 1112. 例12 dx x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++-+=++-=+222242411)1)(1(1111 ⎰⎰⎰⎰++-=++-=dx xdx dx x dx x x 222211)111( C x x x ++-=arctan 313. 例13 ⎰⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan= tan x - x + C .例14 ⎰⎰⎰-=-=dx x dx x dx x )cos 1(212cos 1 2sin 2 C x x +-=)sin (21. 例15 C x dx x dx xx +-==⎰⎰cot 4sin 142cos 2sin 1222.§4. 2 换元积分法一、第一类换元法设f (u )有原函数F (u ), u =ϕ(x ), 且ϕ(x )可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有d F [ϕ(x ) ]=d F (u )=F '(u )d u = F ' [ϕ(x ) ] d ϕ(x )= F '[ϕ(x ) ]ϕ'(x )d x ,所以 F '[ϕ(x )]ϕ'(x )dx = F '[ϕ(x )] d ϕ(x )= F '(u )d u = d F (u )=d F [ϕ(x ) ],因此 ⎰⎰'='')()]([)()]([x d x F dx x x F ϕϕϕϕ⎰⎰='=)()(u dF du u F C x F x dF +==⎰)]([)]([ϕϕ.即 )(])([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='=[F (u ) +C ] u = ϕ(x ) = F [ϕ(x )]+C .定理1 设f (u )具有原函数, u =ϕ(x )可导, 则有换元公式⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ .被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待, 从而微分等式ϕ'(x )dx =du 可以应用到被积表达式中.在求积分⎰dx x g )(时, 如果函数g (x )可以化为g (x )= f [ϕ(x )]ϕ'(x )的形式, 那么⎰dx x g )()(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰='=.例1. ⎰⎰'⋅=dx x x xdx )2(2cos 2cos 2⎰=)2(2cos x xdC u udu +==⎰sin cos =sin 2x +C .例2. dx x x dx x ⎰⎰'++=+)23(23121231⎰++=)23(23121x d x C u dx u +==⎰||ln 21121C x ++=|23|ln 21. 例3. ⎰⎰⎰⎰=='=du e x d e dx x e dx xe u x x x )()(222222C e C e x u +=+=2.例4. 22222121)(1211dx x dx x x dx x x ⎰⎰⎰-='-=- C u du u x d x +-=-=---=⎰⎰2321223121)1(121 C x +--=232)1(31.C u du u+-=-=⎰||ln 1 =-ln|cos x |+C .即 C x xdx +-=⎰|cos |ln tan .类似地可得C x xdx +=⎰|sin |ln cot .熟练之后, 变量代换就不必再写出了.例6. dx ax a dx x a ⎰⎰+=+2222)(1111C ax a a x d ax a +=+=⎰arctan 1)(1112. 即 dx x a ⎰+221C a xa +=arctan 1. 例7. C ax a a x d a x a dx a x +==⎰⎰sh ch ch . 例8. 当a >0时,⎰⎰-=-dx a x a dx x a 222)(1111C a x a x d a x +=-=⎰arcsin )(112. 即 dx x a ⎰-221C a x +=arcsin . 例9. ⎰⎰+--=-dx a x a x a dx a x )11(21122]11[21⎰⎰+--=dx a x dx a x a ])(1)(1[21⎰⎰++---=a x d ax a x d a x a C a x a x a ++--=|]|ln ||[ln 21C ax a x a ++-=||ln 21. 即 dx a x ⎰-221C a x ax a ++-=||ln 21. 例10. ⎰⎰⎰++=+=+xx d x x d x x dx ln 21)ln 21(21ln 21ln )ln 21( C x ++=|ln 21|ln 21.xC e x +=332. 含三角函数的积分:例12. ⎰⎰⋅=xdx x xdx sin sin sin 23⎰--=x d x cos )cos 1(2⎰⎰+-=x xd x d cos cos cos 2C x x ++-=3cos 31cos . 例13. ⎰⎰=x xd x xdx x sin cos sin cos sin 4252⎰-=x d x x sin )sin 1(sin 222⎰+-=x d x x x sin )sin sin 2(sin 642C x x x ++-=753sin 71sin 52sin 31. 例14. dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2)2cos (21⎰⎰+=xdx dx ⎰⎰+=x xd dx 22cos 4121C x x ++=2sin 4121. 例15. dx x xdx 224)(cos cos ⎰⎰=⎰+=dx x 2)]2cos 1(21[ ⎰++=dx x x )2cos 2cos 21(412 ⎰++=dx x x )4cos 212cos 223(41 C x x x +++=)4sin 812sin 23(41 C x x x +++=4sin 3212sin 4183. 例16. ⎰⎰+=dx x x xdx x )5cos (cos 212cos 3cos C x x ++=5sin 101sin 21. 例17. ⎰⎰=dx x xdx sin 1csc ⎰=dx x x 2cos 2sin 21C x xxd x x x d +===⎰⎰|2tan |ln 2tan 2tan 2cos 2tan 22=ln |csc x -cot x |+C . 即 ⎰xdx csc =ln |csc x -cot x |+C .例18. ⎰⎰+=dx x xdx )2csc(sec πC x x ++-+=|)2cot()2 csc(|ln ππ =ln |sec x + tan x | + C .即 ⎰xdx sec =ln |sec x + tan x | + C .二、第二类换元法定理2 设x =ϕ(t )是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t )≠0. 又设f [ϕ(t )]ϕ'(t )具有原函数F (t ), 则有换元公式C x F t F dt t t f dx x f +=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ.其中t =ϕ-1(x )是x =ϕ(t )的反函数.这是因为)()]([1)()]([)(})]([{1x f t f dtdx t t f dx dt t F x F =='='='-ϕϕϕϕ. 例19. 求dx x a ⎰-22(a >0).解: 设x =a sin t , 22 ππ<<-t , 那么22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos t d t , 于是⎰⎰⋅=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==⎰)2sin 4121(cos 222. 因为ax t arcsin =, a x a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==, 所以 dx x a ⎰-22C t t a ++=)2sin 4121(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 2.解: 设x =a sin t , 22 ππ<<-t , 那么⎰⎰⋅=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==⎰)2sin 4121(cos 222C x a x a x a +-+=22221arcsin 2. 提示:22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos tdt .提示: a x t arcsin =, ax a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==.例20. 求⎰+22a x dx (a >0). 解法一: 设x =a tan t , 22 ππ<<-t , 那么 22a x +t a a 222tan +=t a 2tan 1+==a sec t , dx =a sec 2t d t , 于是⎰+22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t a sec sec sec 2= ln |sec t + tan t |+C . 因为aa x t 22sec +=, a x t =tan , 所以 ⎰+22a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .解法一: 设x =a tan t , 22 ππ<<-t , 那么 ⎰⎰⎰==+tdt dt t a t a a x dx sec sec sec 222=ln|sec t +tan t |+C C aa x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .提示:22a x +t a a 222tan +==a sec t , dx =a sec 2t dt ,提示:aa x t 22sec +=, a x t =tan .解法二: 设x =a sh t , 那么⎰+22a x dx C a x C t dt dt t a t a +=+===⎰⎰arsh ch ch C a x a x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1)(ln 2122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .提示: 22a x +222a t sh a +==a ch t , dx =a ch t d t .例23. 求⎰-22a x dx (a >0). 解: 当x >a 时, 设x =a sec t (20π<<t ), 那么 22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t ,于是⎰-22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t t a sec tan tan sec = ln |sec t + tan t |+C . 因为aa x t 22tan -=, a x t =sec , 所以 ⎰-22a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +-+=||ln 22122)ln(C a x x +-+=, 其中C 1=C -ln a .当x <a 时, 令x =-u , 则u >a , 于是⎰-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=⎰)ln(2222 C a x x +-+--=)ln(22122)ln(C a x x +---=,122222)ln(ln C a x x C aa x x +---=+---=, 其中C 1=C -2ln a .综合起来有⎰-22a x dx C a x x +-+=||ln 22. 解: 当x >a 时, 设x =a sec t (20π<<t ), 那么⎰-22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t t a sec tan tan sec C aa x a x C t t +-+=++=)ln(|tan sec |ln 22 C a x x +-+=)ln(22,其中C 1=C -ln a .当x <-a 时, 令x =-u , 则u >a , 于是⎰-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=⎰)ln(2222 C a a x x C a x x +---=+-+--=22222ln )ln( 122)ln(C a x x +---=,其中C 1=C -2ln a .提示:22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t .提示:aa x t 22tan -=, a x t =sec . 综合起来有C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222. 补充公式: (16)C x xdx +-=⎰|cos |ln tan ,(17)C x xdx +=⎰|sin |ln cot ,(18)C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec ,(19)C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc , (20)C a x a dx x a +=+⎰arctan 1122, (21)C a x a x a dx a x ++-=-⎰||ln 21122, (22)C a x dx x a +=-⎰arcsin 122, (23)C a x x a x dx +++=+⎰)ln(2222,(24)C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222.§4. 3 分部积分法设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为(uv )'=u 'v +uv ',移项得 uv '=(uv )'-u 'v .对这个等式两边求不定积分, 得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u , 或⎰⎰-=vdu uv udv ,这个公式称为分部积分公式.分部积分过程:⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰ vdx u uv vdu uv udv dx v u .例1 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos =x sin x -cos x +C .例2 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰.例3 ⎰⎰⎰-==2222dx e e x de x dx e x x x x x⎰⎰-=-=x x x x xde e x dx xe e x 2222⎰+-=dx e xe e x x x x 222=x 2e x -2xe x +2e x +C =e x (x 2-2x +2 )+C .例4 ⎰⎰⎰⋅-==dx xx x x xdx xdx x 121ln 21ln 21ln 222 C x x x xdx x x +-=-=⎰22241ln 2121ln 21. 例5 ⎰⎰-=x xd x x xdx arccos arccos arccosdx x x x x ⎰-+=211arccos )1()1(21arccos 2212x d x x x ---=⎰-C x x x +--=21arccos . 例6 ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x ⎰+⋅-=dx x x x x 2221121arctan 21 ⎰+--=dx x x x )111(21arctan 2122C x x x x ++-=arctan 2121arctan 212. 例7 求xdx e x sin ⎰.解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin⎰⎰-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,所以 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin .例8 求⎰xdx 3sec .解 因为⎰⎰⎰=⋅=x xd xdx x xdx tan sec sec sec sec 23⎰-=xdx x x x 2tan sec tan sec⎰--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2⎰⎰+-=xdx xdx x x sec sec tan sec 3⎰-++=xdx x x x x 3sec |tan sec |ln tan sec ,所以 ⎰xdx 3sec C x x x x +++=|)tan sec |ln tan (sec 21. 例9 求⎰+=nn a x dx I )(22, 其中n 为正整数. 解 C a x aa x dx I +=+=⎰arctan 1221; 当n >1时，用分部积分法, 有dx a x x n a x x a x dx n n n ⎰⎰+-++=+--)()1(2)()(222122122dx a x a a x n a x x n n n ⎰+-+-++=--])()(1[)1(2)(222122122, 即 ))(1(2)(211221n n n n I a I n a x x I --++=---, 于是 ])32()([)1(2111222---++-=n n n I n a x x n a I . 以此作为递推公式, 并由C ax a I +=arctan 11即可得n I . 例10 求dx e x ⎰. 解 令x =t 2 , 则 , dx =2tdt . 于dx e x ⎰C x e C t e dt te x t t +-=+-==⎰)1(2)1(22.x d e x x d e dx e x x x ⎰⎰⎰==2)(2x d e e x de x x x x ⎰⎰-==222C x e C e e x x x x +-=+-=)1(222.第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分⎰⎰=')()]([)()]([x d x f dx x x f ϕϕϕϕu x =)(ϕ令⎰du u f )(,⎰⎰=')()()()(x dv x u dx x v x u ⎰-=)()()()( x du x v x v x u .哪些积分可以用分部积分法？⎰xdx x cos , ⎰dx xe x , dx e x x ⎰2;⎰xdx x ln , ⎰xdx arccos , ⎰xdx x arctan ;xdx e x sin ⎰, ⎰xdx 3sec .2222⋅⋅⋅===⎰⎰⎰du e dx e dx xe u x x ,2222⋅⋅⋅=-==⎰⎰⎰dx e e x de x dx e x x x x x .§4. 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:mm m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(, 其中m 和n 都是非负整数; a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n 及b 0, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b m 都是实数, 并且a 0≠0, b 0≠0. 当n <m 时, 称这有理函数是真分式; 而当n ≥m 时, 称这有理函数是假分式.假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如1111)1(1122223++=+++=+++x x x x x x x x . 真分式的不定积分:求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 例1 求⎰+-+dx x x x 6532. 解 ⎰+-+dx x x x 6532⎰--+=dx x x x )3)(2(3⎰---=dx x x )2536( ⎰⎰---=dx x dx x 2536=6ln|x -3|-5ln|x -2|+C . 提示: )3)(2()32()(23)3)(2(3----++=-+-=--+x x B A x B A x B x A x x x , A +B =1, -3A -2B =3, A =6, B =-5.分母是二次质因式的真分式的不定积分:例2 求⎰++-dx x x x 3222. 解 ⎰++-dx x x x 3222dx x x x x x )3213322221(22++-+++=⎰ dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=321332222122 ⎰⎰+++-++++=2222)2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=21arctan 23)32ln(212. 提示: 321332221323)22(213222222++⋅-++-⋅=++-+=++-x x x x x x x x x x x . 例3 求⎰-dx x x 2)1(1.解 ⎰⎰-+--=-dx x x x dx x x ])1(1111[)1(122 ⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(1111C x x x +----=11|1|ln ||ln .提示: 222)1(1)1(1)1(1)1(1-+--=-+-=-x x x x x x x x x 22)1(1111)1(1)1(1-+--=-+-+--=x x x x x x x x . 二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数, 然后作变换2tan x u =: 222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x +-=-=-=. 变换后原积分变成了有理函数的积分.例4 求⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1. 解 令2tan x u =, 则212sin u u x +=, 2211cos u u x +-=, x =2arctan u , du u dx 212+=. 于是 ⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1⎰+-++++=)111(12)121(2222u u u u u udu u 212+⎰++=du u u )12(21 C u u u +++=|)|ln 22(212C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 解 令2tan x u =, 则du uu u u u u udx x x x 2222212)111(12)121()cos 1(sin sin 1+⋅+-++++=++⎰⎰ ⎰++=+++=du uu C u u u )12(21|)|ln 22(212 C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如,⎰⎰++=++=+C x x d x dx x x )sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1cos .三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.例5 求⎰-dx xx 1. 解 设u x =-1, 即12+=u x , 则du u u udu u u dx xx ⎰⎰⎰+=⋅+=-12211222 C u u du u+-=+-=⎰)arctan (2)111(22 C x x +---=)1arctan 1(2.例6 求⎰++321x dx . 解 设u x =+32. 即23-=u x , 则du uu du u u x dx ⎰⎰⎰++-=⋅+=++111331121223 C u u u du u u +++-=++-=⎰|)1|ln 2(3)111(32 C x x x +++++-+=|21|ln 23)2(233332. 例7 求⎰+x x dx )1(3. 解 设x =t 6, 于是dx =6t 5d t , 从而dt t t dt t t t x x dx ⎰⎰⎰+=+=+22325316)1(6)1(C t t dt t +-=+-=⎰)arctan (6)111(62 C x x +-=)arctan (666.例8 求⎰+dx xx x 11. 解 设t xx =+1, 即112-=t x , 于是 dt t t t t dx x x x ⎰⎰--⋅-=+222)1(2)1(11 dt t dt t t )111(212222-+-=--=⎰⎰ C t t t ++---=|11|ln 2 C xx x x x x +++-+-+-=11ln 12.练习1. 求⎰+xdx cos 2. 解: 作变换2tan x t =, 则有dt t dx 212+=, 2211cos t t x +-=, ⎰+x dx cos 2⎰+-++=22211212t t t dt⎰+=dt t 2312⎰+=3)3(11322t d t C t+=3arctan 32C x +=)2tan 31arctan(32. 2. 求⎰dx xx 45cos sin . 解: ⎰dx x x 45cos sin ⎰-=x d x x cos cos sin 44⎰--=x d xx cos cos )cos 1(422 ⎰+--=x d xx cos )cos 1cos 21(42 C x x x ++--=3cos 31cos 2cos . 3. 求⎰+-+dx x x x 23132.解: ⎰+-+dx x x x 23132⎰--+=dx x x x )1)(2(13⎰---=dx x x )1427(⎰-=dx x 217⎰--dx x 114 =7ln|x -2|-4ln|x -1|+C .§4.5积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂. 为了实用的方便, 往往把常用的积分公式汇集成表, 这种表叫做积分表. 求积分时, 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后, 在表内查得所需的结果.积分表一、含有ax +b 的积分 1．⎰++=+C b ax ab ax dx ||ln 1 2．)1()()1(1)(1-≠+++=++⎰μμμμC b ax a dx b ax 3．C b ax b b ax a dx b ax x ++-+=+⎰|)|ln (124．[]C b ax b b ax b b ax a dx b ax x ++++-+=+⎰||ln )(2)(2112232 5．C x b ax b b ax x dx ++-=+⎰ln 1)( 6．C x b ax b a bx b ax x dx +++-=+⎰ln 1)(22 7．()C b ax b b ax a dx b ax x ++++=+⎰||ln 1)(22 8．()C b ax b b ax b b ax a dx b ax x ++-+-+=+⎰2322||ln 21)( 9．C xb ax b b ax b b ax x dx ++-+=+⎰ln 1)(1)(22 例1求⎰+dx x x 2)43(. 解: 这是含有3x +4的积分, 在积分表中查得公式()C b ax b b ax a dx b ax x ++++=+⎰||ln 1)(22.现在a =3、b =4, 于是 ()C x x dx x x ++++=+⎰434|43|ln 91)43(2. 二、含有b ax +的积分1．C b ax adx b ax ++=+⎰3)(32 2．C b ax b ax a dx b ax x ++-=+⎰32)()23(152 3．C b ax b abx x a a dx b ax x +++-=+⎰322232)()81215(1052 4．C b ax b ax a dx b ax x ++-=+⎰)2(322 5．C b ax b abx x a a dx bax x +++-=+⎰)843(15222232 6．⎰⎪⎩⎪⎨⎧<+-+->+++-+=+)0( arctan 2)0( ln 1b C b b ax bb C b b ax b b ax b b ax x dx 7．⎰⎰+-+-=+b ax x dx b a bx b ax bax x dx 22 8．⎰⎰+++=+bax x dx b b ax dx x b ax 2 9．⎰⎰+++-=+bax x dx a x b ax dx x b ax22 三、含x 2±a 2的积分1．⎰+=+C a x a a x dx arctan 122 2．⎰⎰--+--++-=+1222122222)()1(232)()1(2)(n n n a x dx a n n a x a n x a x dx 3．C ax a x a a x dx ++-=-⎰ln 2122 四、含有ax 2+b (a >0)的积分1．⎪⎩⎪⎨⎧<+-+--->+=+⎰)0( ln 21)0( arctan 12b C bx a b x a ab b C x b a ab b ax dx 2．C b ax adx b ax x ++=+⎰||ln 21223．⎰⎰+-=+b ax dx a b a x dx b ax x 222 4．C b ax x b b ax x dx ++=+⎰||ln 21)(222 5．⎰⎰+--=+dx b ax b a bx b ax x dx 22211)( 6．C bx x b ax b a b ax x dx +-+=+⎰22222321||ln 2)( 7．⎰⎰+++=+dx bax b b ax b x b ax dx 2222121)(2)( 五、含有ax 2+bx +c (a >0)的积分 六、含有22a x + (a >0)的积分1．C a x x C a x a x dx +++=+=+⎰)ln(arsh 22122 2．C a x a x a x dx +++⎰222322)( 3．C a x dx a x x ++=+⎰2222 4．C a x dx a x x ++-=+⎰223221)( 5．C a x x a a x x dx a x x +++-+=+⎰)ln(2222222222 6．C a x x a x x dx a x x +++++-=+⎰)ln()(22223222 7．C x a a x a a x x dx +-+=+⎰||ln 12222 8．C x a a x a x x dx ++-=+⎰222222 9．C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰)ln(222222222 例3求⎰+942x x dx . 解: 因为⎰⎰+=+222)23(2194x x dx x x dx , 所以这是含有22a x +的积分, 这里23=a . 在积分表中查得公式C x a a x a a x x dx +-+=+⎰||ln 12222. 于是 C x x C x x x x dx +-+=+-+⋅=+⎰||2394ln 31||23)23(ln 3221942222. 七、含有22a x -(a >0)的积分1．⎰+-+=+=-C a x x C a x x x a x dx ||ln ||arch ||22122 2．⎰+--=-C a x a x a x dx 222322)( 3．C a x dx a x x +-=-⎰2222 4．⎰+--=-C a x dx a x x 223221)( 5．C a x x a a x x dx a x x +-++-=-⎰||ln 2222222222 6．⎰+-++--=-C a x x a x x dx a x x ||ln )(22223222 7．⎰+=-C x a a a x x dx ||arccos 122 8．⎰+-=-C x a a x ax x dx 222222 9．C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰||ln 222222222 八、含有22x a -(a >0)的积分1．⎰+=-C a x x a dx arcsin 22 2．⎰+--=-C x a a x x a dx 222322)( 3．C x a dx x a x +--=-⎰2222 4．⎰+-=-C x a dx x a x 223221)( 5．C a x a x a x dx x a x ++--=-⎰arcsin 22222222 6．⎰+--=-C a x x a x dx x a x arcsin )(2232227．⎰+--=-C x x a a a x a x dx ||ln 12222 8．⎰+--=-C x a x a x a x dx 222222 9．C ax a x a x dx x a +--=-⎰arcsin 2222222 九、含有)0(2>++±a c bx ax 的积分 十、含有bx a x --±或))((b x a x --的积分 十一、含有三角函数的积分1．C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec2．C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc3．C x xdx x +=⎰sec tan sec4．C x xdx x +-=⎰csc cot csc5．C x x xdx +-=⎰2sin 412sin 2 6．C x x xdx ++=⎰2sin 412cos 2 7．⎰⎰---+-=xdx nn x x n xdx n n n 21sin 1cos sin 1sin 8．⎰⎰---+=xdx nn x x n xdx n n n 21cos 1sin cos 1cos 9．C x b a b a x b a b a bxdx ax +---++-=⎰)cos()(21)cos()(21cos sin 10．C x b a b a x b a b a bxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin 11．C x b a b a x b a b a bxdx ax +--+++=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos 12．)( 2tan arctan 2sin 222222b a C b a b x a b a x b a dx >+-+-=+⎰13．)( 2tan 2tan ln 2sin 22222222b a C a b b x a a b b x a a b x b a dx <+-++--+-=+⎰ 14．())( 2tan arctan 2cos 22b a C x b a b a b a b a b a x b a dx >++--++=+⎰ 14．)( 2tan 2tan ln 2cos 22b a C a b ba x ab ba x ab b a b a x b a dx <+-+--++-++=+⎰ 例2求⎰-xdx cos 45. 解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式())( 2tan arctan 2cos 22b a C x b a b a b a b a ba xb a dx >++--++=+⎰. 这里a =5、b =-4, a 2>b 2, 于是 () 2tan )4(5)4(5arctan )4(5)4(5)4(52cos 45C x x dx +-+-----+-+=-⎰ ()C x +=2tan 3arctan 32. 例4 求⎰xdx 4sin .解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式⎰⎰---+-=xdx n n x x n xdx n n n 21sin 1cos sin 1sin , C x x xdx +-=⎰2sin 412sin 2. 这里n =4, 于是C x x x x xdx x x xdx +-+-=+-=⎰⎰)2sin 412(43cos sin 41sin 43cos sin 41sin 3234.。
“不定积分的概念与性质”教案
“不定积分的概念与性质”教案教案：不定积分的概念与性质一、教学目标1.理解不定积分的概念，能够正确地定义不定积分。
2.掌握不定积分的基本性质，能够正确地应用不定积分求解一些简单的函数积分。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力。
二、教学重点1.不定积分的概念和定义。
2.不定积分的基本性质。
三、教学难点1.不定积分的概念和定义的理解。
2.不定积分的基本性质的掌握和应用。
四、教学过程1.引入（5分钟）请学生回顾在微积分第一节课中所学的导数的概念和定义，提醒学生导数与积分的关系。
2.概念讲解（20分钟）解释不定积分的概念，即初等函数的原函数。
示意图解，帮助学生理解不定积分的几何意义。
引导学生注意不定积分的一般形式f(x)dx中，f(x)的变量是x，x是积分变量。
3.定义说明（25分钟）通过具体的例子和讲解，引导学生理解不定积分的定义并能够正确地定义不定积分。
4.基本性质的讲解（20分钟）讲解不定积分的一些基本性质，如线性性质、常数性质、分部积分法等。
通过具体的例子演示和讲解，引导学生掌握这些基本性质，并能够正确地应用。
5.练习（20分钟）布置一些基本性质练习题，让学生独立完成。
通过做题，巩固和拓展学生对不定积分的理解和掌握。
6.拓展延伸（10分钟）让学生思考不定积分与定积分的关系，引导学生思考什么条件下不定积分可以变成定积分。
7.总结与反思（10分钟）对本节课内容进行总结，检查学生对不定积分概念和性质的掌握情况。
针对学生可能存在的困惑和问题进行解答和引导。
五、作业布置1.完成课堂练习题。
2.预习下一节课内容。
六、板书设计不定积分的概念与性质概念：不定积分的定义性质：1.线性性质2.常数性质3.分部积分法七、教学反思本节课通过引入导数和积分的关系，让学生能够更容易理解不定积分的概念。
通过具体的例子和讲解，引导学生正确地定义不定积分，并能够掌握不定积分的基本性质。
通过练习题的布置，巩固和拓展学生对不定积分的理解和应用能力。
大学不定积分教案
教学目标：1. 理解不定积分的概念和性质。
2. 掌握不定积分的基本方法，包括换元积分法、分部积分法等。
3. 能够运用不定积分解决实际问题。
教学重点：1. 不定积分的概念和性质。
2. 换元积分法和分部积分法的运用。
教学难点：1. 换元积分法和分部积分法的灵活运用。
2. 复杂函数的不定积分计算。
教学过程：一、导入1. 回顾导数的概念和求导法则。
2. 提出问题：如何从导数反求原来的函数？二、不定积分的概念与性质1. 引入不定积分的定义：如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，那么f(x)在区间I上的不定积分记作∫f(x)dx，其中F(x) + C为f(x)的不定积分。
2. 讲解不定积分的性质：a. 线性性质：∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dxb. 可积性质：如果f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上可积。
c. 积分常数：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数。
三、换元积分法1. 介绍换元积分法的概念：将原积分问题转化为新的积分问题，通过变量替换简化积分计算。
2. 讲解第一类换元法：a. 介绍凑微分法：在原积分中，将微分表达式凑成待积函数的形式。
b. 举例说明第一类换元法的运用。
3. 讲解第二类换元法：a. 介绍根式换元法：将被积函数中含有根式的部分通过换元转化为不含根式的函数。
b. 举例说明第二类换元法的运用。
四、分部积分法1. 介绍分部积分法的概念：利用分部积分公式将原积分问题转化为新的积分问题。
2. 讲解分部积分公式的推导过程。
3. 举例说明分部积分法的运用。
五、巩固练习1. 给出一些不定积分的计算题，让学生运用所学方法进行计算。
2. 对学生的答案进行点评和讲解，帮助学生掌握不定积分的计算方法。
六、总结1. 总结本节课所学的不定积分的概念、性质、基本方法。
2. 强调换元积分法和分部积分法的运用技巧。
七、课后作业1. 完成本节课所学的练习题。
不定积分教案
第三章 一元函数积分学一、 不定积分（一）、 不定积分的概念已知一个函数的导数（或微分），求此函数。
例如：已知)(t f s =则)(t f v '=反之，若已知)(t f v '=，则?=s 这是积分学的基本问题。
1、原函数的定义：若在某区间上)()(x f x F ='，则在某区间上)(x F 叫做)(x f 的原函数。
例如：x x F sin )(=是x x f cos )(=的原函数。
又如3)(x x F =是23)(x x f =的原函数。
若)(x f 有原函数)(x F ，则一共有几个？)()(x f x F ='显而易见)(]1)([x f x F ='+)(])([x f c x F ='+其中C 為任意的常数即函数族:c x F +)(是)(x f 的原函数。
一个函数若有原函数就必有无穷多个，它们之间相差一个常数。
2、不定积分的定义)(x f 所有原函数的全体，叫做)(x f 的不定积分。
记为⎰dx x f )(其中⎰叫做积分号，)(x f 叫被积函数，dx x f )(叫被积表达式，x 叫积分变量；设)(x f 的原函数)(x F ，则c x F dx x f +=⎰)()(其中c 是任意常数（c 叫做积分常数）。
例如：c x xdx +=⎰sin cosc x dx x +=⎰323 )(]100)([x f x F ='+例31－1、⎰dx x 2解： 23)31(x x ='c x dx x +=∴⎰3231 例31－2、⎰+dx x 211解： ]11)[(arctan 2xx +=' c x dx x+=+∴⎰arctan 1123、不定积分的几何意义设)(x f 的原函数)(x F ，)()(x f x F ='c x F dx x f +=⎰)()()(])([x f c x F ='+即沿y 轴上下移动的全部积分曲线所形成的积分族。
第四章不定积分教案
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分1．定义1 如果对任一I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。
2211)1l n ([xx x +='++，即)1ln(2x x ++是211x+的原函数。
2．原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。
注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。
设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即 C x G x F =-)()( （C 为常数）注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。
3．定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。
如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(，（C 为任意常数） 例1． 因为 23)3(x x ='， 得⎰+=C x ds x 332例2． 因为，0>x 时，x x 1)(ln ='；0<x 时，xx x x 1)(1])[ln(='--='-，得 xx 1)||(l n ='，因此有 ⎰+=C x dx x ||ln 1例3． 设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。
不定积分的优秀教学设计
不定积分的优秀教学设计引言不定积分是高等数学中的重要概念之一，作为微积分的基础知识，不定积分的学习对学生的数学素养和解决实际问题的能力起着至关重要的作用。
然而，在教学过程中，不定积分的抽象性和复杂性常常会给学生带来困扰。
为了提高不定积分的教学效果，本文将介绍一种优秀的不定积分教学设计，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、教学目标1. 让学生了解不定积分的基本概念和性质；2. 培养学生运用不定积分解决实际问题的能力；3. 提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
二、教学内容1. 不定积分的定义和性质；2. 基本不定积分法和常见的不定积分公式；3. 利用不定积分解决实际问题的应用。
三、教学步骤1. 导入环节通过一个生活中的例子引出不定积分的概念，例如汽车行驶的速度问题。
让学生思考在已知汽车的速度函数的情况下，如何求出汽车行驶的路程。
2. 知识讲解介绍不定积分的定义和基本性质，引导学生理解不定积分的本质是求取一个函数的原函数。
讲解基本不定积分法和常见的不定积分公式，如导数与不定积分的关系、幂函数、三角函数等的不定积分公式。
3. 案例分析选取一些具有实际意义的问题，如速度与加速度之间的关系、曲线下的面积计算等，通过具体的案例分析，引导学生运用不定积分解决实际问题。
让学生参与思考和讨论，锻炼他们的数学思维能力和逻辑推理能力。
4. 练习与巩固布置一定数量的练习题目，既涵盖了基本的不定积分计算，又包含了一些应用题。
让学生通过练习提升他们的计算能力和综合运用能力。
5. 总结与拓展对本节课的内容进行总结，重点回顾不定积分的基本概念和性质。
同时，引导学生在不定积分的基础上，拓展更深层次的数学知识，如定积分、微分方程等，培养学生对数学的兴趣和探索精神。
四、教学方法在教学过程中，可以采用多种教学方法，如讲述法、示范法、探究法和综合运用法等。
通过一些具体的例子和案例分析，激发学生的学习兴趣和思维活跃性，并结合实际问题，引导学生将数学知识与实际问题相结合。
不定积分的概念与基本公式教案
不定积分的概念与基本公式教案引言：不定积分是微积分的重要概念之一，是对函数求导运算的逆运算。
本教案将介绍不定积分的概念、性质以及基本公式，并提供一些练习题来帮助学生巩固所学知识。
一、不定积分的概念不定积分是对函数进行求导运算的逆运算，也可以理解为找到一个函数，使得它的导数等于给定的函数。
记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为不定积分的结果，C为常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a和b为常数。
2.可积性：如果函数f(x)在区间[a,b]上有不定积分，则在该区间上f(x)一定可积。
3. 反常积分：如果函数f(x)在其中一点x=c处不连续，其中c为[a,b]上的端点，则∫f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
三、基本不定积分公式1.幂函数的不定积分：(1) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1(2) ∫1/x dx = ln，x， + C。
(3) ∫e^x dx = e^x + C。
(4) ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠12.三角函数的不定积分：(1) ∫sinx dx = -cosx + C。
(2) ∫cosx dx = sinx + C。
(3) ∫sec^2x dx = tanx + C。
(4) ∫csc^2x dx = -cotx + C。
3.指数函数与三角函数的不定积分：(1) ∫e^ax*sinbx dx = (e^ax)*(asinbx/b - bcosbx/b^2) + C。
(2) ∫e^ax*cosbx dx = (e^ax)*(acosbx/b + bsinbx/b^2) + C。
四、练习题1.求函数y=3x^2的不定积分。
2. 求不定积分∫(4x^3 + 2x - 5)dx。
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案第一章：不定积分的概念1.1 引言引入不定积分概念，解释其在微积分中的重要性。
举例说明实际问题中的不定积分应用。
1.2 不定积分的定义介绍不定积分的定义和符号表示。
解释不定积分与定积分的区别。
1.3 基本积分公式推导基本积分公式，如幂函数、指数函数、对数函数的积分。
强调记忆和掌握基本积分公式的重要性。
第二章：不定积分的计算方法2.1 换元积分法介绍换元积分法的概念和步骤。
举例说明换元积分法的应用。
2.2 分部积分法介绍分部积分法的概念和步骤。
举例说明分部积分法的应用。
2.3 部分分式积分法介绍部分分式积分法的概念和步骤。
举例说明部分分式积分法的应用。
第三章：不定积分的应用3.1 平面区域的面积介绍平面区域面积的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算平面区域面积。
3.2 曲线的长度介绍曲线长度的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算曲线长度。
3.3 曲线的弧长介绍曲线弧长的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算曲线弧长。
第四章：高阶不定积分4.1 高阶不定积分的定义介绍高阶不定积分的定义和符号表示。
解释高阶不定积分与一阶不定积分的区别。
4.2 高阶不定积分的计算方法推导高阶不定积分的计算方法。
举例说明高阶不定积分的计算应用。
4.3 求解高阶不定积分的一般步骤介绍求解高阶不定积分的一般步骤。
强调记忆和掌握求解高阶不定积分的技巧。
第五章：特殊函数的不定积分5.1 三角函数的不定积分推导三角函数的不定积分公式。
举例说明三角函数的不定积分的应用。
5.2 指数函数的不定积分推导指数函数的不定积分公式。
举例说明指数函数的不定积分的应用。
5.3 对数函数的不定积分推导对数函数的不定积分公式。
举例说明对数函数的不定积分的应用。
第六章：常数项的不定积分6.1 常数项的不定积分的定义引入常数项的不定积分的概念。
解释常数项的不定积分与一般函数的不定积分的区别。
6.2 常数项的不定积分的计算推导常数项的不定积分的计算公式。
不定积分教案
第五章不定积分教学安排说明章节题目：5.1 不定积分的概念5.2 不定积分的性质5.3 换元积分法5.4 分部积分法学时分配：共6学时。
5.1 不定积分的概念1学时5.2 不定积分的性质1学时5.3 换元积分法2学时5.4 分部积分法2学时本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。
课堂教学方案（一）课程名称：5.1 不定积分的概念；5.2 不定积分的性质授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义，不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分。
教学内容5.1 不定积分的概念1.原函数与不定积分在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。
但是，在科学、技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要由一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数。
这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为不定积分，这是积分学的基本问题之一。
定义1 如果函数)(x f 与)(x F 为定义在某同一区间内的函数,并且处处都有 )()('x f x F =或d ()()d F x f x x =,则称)(x F 是)(x f 的一个．．原函数. 根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如x x cos )(sin ='， 故x sin 是x cos 的一个原函数；x x cos )1(sin ='+， 故1sin +x 也是x cos 的一个原函数；x x 2)(2='， 故2x 是x 2的一个原函数；x x 2)2(2='+， 故2x 也是x 2的一个原函数.．．．．．．由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明：第一，若在某区间内)(x F 为)(x f 的一个原函数，即)()(x f x F =',则对任意常数C , 由于)())((x f C x F ='+,所以函数C x F +)(都是)(x f 的原函数.这说明如果函数)(x f 有原函数,那么它就有无限多个原函数.第二，若在某区间内)(x F 为)(x f 的一个原函数，那么，)(x f 的其它原函数和)(x F 有什么关系？设()x Φ是)(x f 在同一区间上的另一个原函数，即()()x f x 'Φ=，于是有[()()]()()0,x F x x F x '''Φ-=Φ-=由于导数恒为零的函数必为常数，因此11()()()x F x C C Φ-=为某个常数，即1()().x F x C Φ=+这说明)(x f 的任意两个原函数之间只差一个常数.因此,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则)(x f 的全体原函数可以表示为C x F +)( (其中C 为任意常数).为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念.2.不定积分的概念定义2 函数)(x f 在某区间内的全体原函数称为)(x f 在该区间内的不定积分,记为()d f x x ，其中记号⎰称为积分号,)(x f 称为被积函数,()d f x x 称为被积表达式,x 称为积分变量.即 ()d ()f x x F x C =+⎰.这说明,要计算函数的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数C 就可以了.例1 求x x f 2)(=的不定积分.解：因为x x 2)(2=',所以2()d 2d .f x x x x x C ==+⎰⎰例2 求x e x f =)(的不定积分.解：因为x x e e =')(,所以()d d .x x f x x e x e C ==+⎰⎰3.不定积分学的几何意义不定积分的几何意义:若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则称)(x F y =的图象为)(x f 的一条积分曲线.于是,)(x f 的不定积分在几何上表示)(x f 的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族.若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行(如图４-1),任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数C 的值，因而就确定了一个原函数，于是就确定了一条积分曲线．例3设曲线通过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程．解：设所求的曲线方程为)(x f y =,按题设，曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为,2d d x xy = 说明)(x f y =是x 2的一个原函数.因为x 2的全体原函数为C x x x +=⎰2d 2， 所以曲线方程为C x x f y +==2)(,又由于曲线过点)2,1(,故2)1(=f , ,21=+C 解得1=C ,于是所求曲线为 2()1y f x x ==+.例4 一物体作直线运动，速度为时，物体所经过的当s t s m t t v 1,/12)(2=+=路程为3m ，求物体的运动方程。
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第五章不定积分教学安排说明章节题目：不定积分的概念不定积分的性质换元积分法分部积分法学时分配：共6学时;不定积分的概念1学时不定积分的性质1学时换元积分法2学时分部积分法2学时本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法,熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分;课堂教学方案一课程名称：不定积分的概念；不定积分的性质授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式,了解不定积分的基本运算法则,能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义,不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分;教学内容不定积分的概念1.原函数与不定积分在微分学中,我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题;但是,在科学、技术和经济的许多问题中,常常还需要解决相反的问题,也就是要由一个函数的已知导数或微分,求出这个函数;这种由函数的已知导数或微分去求原来的函数的运算,称为不定积分,这是积分学的基本问题之一;定义1 如果函数)(x f 与)(x F 为定义在某同一区间内的函数,并且处处都有 )()('x f x F =或d ()()d F x f x x =,则称)(x F 是)(x f 的一个．．原函数. 根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如 x x cos )(sin =', 故x sin 是x cos 的一个原函数；x x cos )1(sin ='+, 故1sin +x 也是x cos 的一个原函数；x x 2)(2=', 故2x 是x 2的一个原函数；x x 2)2(2='+, 故2x 也是x 2的一个原函数.．．．．．．由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明： 第一,若在某区间内)(x F 为)(x f 的一个原函数,即)()(x f x F =',则对任意常数C , 由于)())((x f C x F ='+,所以函数C x F +)(都是)(x f 的原函数.这说明如果函数)(x f 有原函数,那么它就有无限多个原函数.第二,若在某区间内)(x F 为)(x f 的一个原函数,那么,)(x f 的其它原函数和)(x F 有什么关系设()x Φ是)(x f 在同一区间上的另一个原函数,即()()x f x 'Φ=,于是有[()()]()()0,x F x x F x '''Φ-=Φ-=由于导数恒为零的函数必为常数,因此11()()()x F x C C Φ-=为某个常数，即1()().x F x C Φ=+这说明)(x f 的任意两个原函数之间只差一个常数.因此,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则)(x f 的全体原函数可以表示为C x F +)( 其中C 为任意常数.为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念.2.不定积分的概念定义2 函数)(x f 在某区间内的全体原函数称为)(x f 在该区间内的不定积分,记为()d f x x ,其中记号⎰称为积分号,)(x f 称为被积函数,()d f x x 称为被积表达式,x 称为积分变量.即 ()d ()f x x F x C =+⎰.这说明,要计算函数的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数C 就可以了.例1 求x x f 2)(=的不定积分.解：因为x x 2)(2=',所以2()d 2d .f x x x x x C ==+⎰⎰例2 求x e x f =)(的不定积分.解：因为x x e e =')(,所以()d d .x x f x x e x e C ==+⎰⎰3.不定积分学的几何意义不定积分的几何意义:若)(x F 是)(x f 的一个原函数,则称)(x F y =的图象为)(x f 的一条积分曲线.于是,)(x f 的不定积分在几何上表示)(x f 的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族.若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行如图４-1,任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数C 的值,因而就确定了一个原函数,于是就确定了一条积分曲线．例3设曲线通过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程．解：设所求的曲线方程为)(x f y =,按题设,曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为,2d d x xy = 说明)(x f y =是x 2的一个原函数.因为x 2的全体原函数为C x x x +=⎰2d 2, 所以曲线方程为C x x f y +==2)(,又由于曲线过点)2,1(,故2)1(=f , ,21=+C 解得1=C ,于是所求曲线为 2()1y f x x ==+.例 4 一物体作直线运动,速度为时，物体所经过的当s t s m t t v 1,/12)(2=+=路程为3m,求物体的运动方程;解：设物体的运动方程为).(t s s =依题意有,12)()(2+=='t t v t s 所以 C t t dx t t s ++=+=⎰3232)12()( 将方程为因此，所求物体的运动代入上式，得,343,1===C s t 3432)(3++=t t t s 一般,若)(x F 是函数)(x f 的原函数,那么)(x F y =所表示的曲线称为)(x f 的一条积分曲线;不定积分⎰dx x f )(在几何上表示由积分曲线)(x F y =沿y 轴方向上下平移而得到的一族曲线,称为积分曲线族;这就是不定积分的几何意义; 课堂练习：填空（ 4x ='） （ x 2csc ='） （ x e x+='2）小结：本节讲述了原函数的概念,不定积分的概念,性质及几何意义; 4.基本积分表及常用的积分公式第一节我们知道积分与微分互为逆运算,因此由第二章的导数的基本公式可以相应地写出不定积分的基本公式;列表如下：1⎰+=C kx x k d k 是常数； 2C x u x x u u ++=+⎰111d )1(-≠μ； 3C x x x+=⎰ln d 1； 4C a ax a x x +=⎰ln 1d )1,0(-≠>a a ； 5C e x e x x +=⎰d ；6C x x x ⎰+-=cos d sin ；7C x x x ⎰+=sin d cos ； 8C x x x x x⎰⎰+==tan d sec d cos 122； 9C x x x x x ⎰⎰+-==cot d csc d sin 122； 10C x x x +=-⎰arcsin d 112； 11C x x x +=+⎰arctan d 112； 12C x x x x +=⎰sec d tan sec ；13C x x x x +-=⎰csc d cot csc ；以上13个基本积分公式是求不定积分的基础,若能熟记,则对不定积分的运算会起到关键性的作用.以上11个公式是求不定积分的基础,必须熟记;例5求下列不定积分：1dx x ⎰ 2dx x ⎰21 3 dx e x x ⎰⋅2 解：1 C x C x dx x dx x +=++==+⎰⎰2312121321121 2 C x C x dx x dx x+-=++-==+--⎰⎰112111222 3 C e C e e dx e dx e xx x x x x ++⋅=+==⋅⎰⎰2ln 122ln )2()2(2 不定积分的性质根据不定积分的定义,可以得到其如下性质：性质1 两个函数之和差的不定积分等于这两个函数的不定积分之和差,即⎰⎰⎰±=±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )]()([.证明：根据导数的运算法则,),()(])([])([]d )()([x g x f dx x g dx x f x x g dx x f ±='±'='±⎰⎰⎰⎰因此⎰⎰±x x g x x f d )(d )(是)()(x g x f ±的原函数,而且上式含有不定积分记号,因此已经含有任意常数,故上式即为)()(x g x f ±的不定积分.证毕.类似可证明如下性质.性质2 不为零的常数因子可以移到积分号前⎰⎰=x x f a x x af d )(d )( )0(≠a例1 求不定积分.d )sin 2(⎰-x x e x解：(2sin )d d 2sin d 2cos x x x e x x e x x x e x C -=-=++⎰⎰⎰.例2 求dx x x )4cos 32(+-⎰解：dx x x )4cos 32(+-⎰=⎰⎰⎰+-dx xdx dx x 4cos 32=C x x x ++-4sin 322ln 1 例3 求不定积分x .解：51532222d 5312x x x x C x C C -+--==+=-+=+-+⎰. 例4 求不定积分2(2)d x x x +⎰.解：22321(2)d 2d d ln 23x x x x x x x x x C +=+=++⎰⎰⎰. 注意：在分项积分后,每个不定积分的结果都应有一个积分常数,但任意常数的和仍是常数,因此最后结果只要写一个任意常数即可;例5 求dx xx ⎰-2)1( 解：C x x x dx x x dx x x x dx x x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰ln 221)12(12)1222（ 例6求dx x ⎰2tan 解：C x x dx x dx x +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22上面例题都是属于基本积分法的应用,就是利用基本积分公式和积分运算法则直接求不定积分.但有时并不是被积函数直接就符合基本积分公式,需要对被积函数作适当的恒等变换. 如用代数运算或三角关系等对被积函数进行变形,是变形后的被积函数能直接使用基本公式和运算法则求出不定积分.例7求dx x ⎰2cos 2 解：C dx x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2 例8 求不定积分sin 2d cos x x x⎰. 解：sin 22sin cos d d 2sin d 2cos cos cos x x x x x x x x C x x===-+⎰⎰⎰. 例9求不定积分3d x x e x ⎰.解：33d (3)d 1ln 3x xx x xe e x e x C ==++⎰⎰.例10 求不定积分42d 1x x x+⎰. 解：由于 42221d 111x x x x x =-+++,所以 42221d (1)d 11x x x x x x =-+++⎰⎰3arctan 3x x x C =-++．小结：本节讲述了不定积分的基本公式和基本运算法则,以及利用直接积分法求函数的积分方法;作业：P151 1；314671011课 堂 教 学 方 案二课程名称：换元积分法授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；强调第二类换元积分法与第一类换元积分法之间的区别；了解第二类换元积分法适用的函数类型教学重点、难点：教学重点：第一类换元积分法和第二类换元积分法；教学难点：第一类换元积分法中中间变量)(x u ϕ=的选取,灵活地运用微分公式凑微分;)()(dx x x d du ϕϕ'==第二类换元积分法中适当选取单调连续函数)(t x ψ=,将积分⎰dx x f )(化为积分⎰'dt t t f )()([ψψ,求出结果;教学内容换元积分法有时仅仅依靠不定积分的性质和基本积分表来计算不定积分是非常有限的,因此有必要讨论求不定积分的一种重要方法,其实质是把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分,也就是利用变量代换来求不定积分,这种方法称为换元积分法.按照换元方式的不同,通常把换元法分为两类.1．不定积分的第一类换元法凑微分法例1 求不定积分1d .21x x +⎰ 分析 基本积分公式表中没有与该积分一致的公式,因此该积分不能直接由积分公式与不定积分的性质求得.但注意到121+x 是复合函数,且d(21)2d x x +=,于是可做如下的变换和计算:解 11111d 2d d(21),21221221x x x x x x =⋅=++++⎰⎰⎰ 11d 2u u=⎰ 令12+=x u , ,||ln 21C u += C x ++=|12|ln 21 将12+=x u 回代, 由121)|12|ln 21(+='++x C x ,验证上述积分结果正确. 一般地,对于积分()d f ax b x +⎰,总可以作变换u ax b =+,把它化为1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a +=++⎰⎰ 1()d u ax b f u u a =+⎡⎤=⎣⎦⎰. 一般地,有: 定理1 若()d ()f x x F x C =+⎰且)(x u ϕ=可导,则()d ()f u x F u C =+⎰．定理1表明,在基本积分公式中,将x 换成任一可导函数)(x u ϕ=后公式仍然成立,从而扩充了基本积分公式的使用范围.定理中的结论可表示为[()]d ()[()],f x x F x C ϕϕϕ=+⎰即 [()]()d [()]f x x x F x C ϕϕϕ'=+⎰．由此得到如下求不定积分的步骤,即[()]()d [()]d[()]f x x x f x x ϕϕϕϕ'=⎰⎰凑微分()d f u u =⎰ 令)(x u ϕ=C u F +=)( 积分公式C x F +=)]([ϕ 将)(x u ϕ=回代.上述方法称为第一类换元法或凑微分法.注意：如果中间换了元,积分完了后,一定要回代,即将积分后的函数中的变量u 换成)(x ϕ；如果熟练过后,可以不要换元这步,就将)(x ϕ当作一个变量来积分即可,最后也不需要回代了;例2 求不定积分10(21)d x x +⎰.解：利用凑微分方法1d d()x ax b a=+,此时,1,2==b a 10101011(21)(21)(21)d (21)d(21)22x dx x x x x x '+=++=++⎰⎰⎰凑微分 101d 2u u =⎰ 换元,令12+=x u 111211u C =+ C x ++=11)12(221 将12+=x u 回代. 例3 求⎰+dx x 8)13(解：dx x dx x 3)13(31)13(88⋅+=+⎰⎰8811(31)31)(31)(31)33x x dx x d x '=+⋅+=++⎰⎰（899111(31)32727u du u C x C ==+=++⎰例4求⎰dx xe x 2解：)(21)(21221222222x d e dx x e xdx e dx xe x x x x ⎰⎰⎰⎰='⋅=⋅==C e x +221例5求⎰dx x x 2ln 解：C x x xd dx x x +==⎰⎰322ln 31)(ln ln ln 例6 求不定积分1d (12ln )x x x +⎰.解：111d d (12ln )12ln x x x x x x =⋅++⎰⎰1d(ln )12ln x x=+⎰11d(12ln )212ln x x =++⎰ 凑微分公式11d 2u u =⎰ 令x u ln 21+= C x C u ++=+=|ln 21|ln 21||ln 21 将x u ln 21+=回代. 注: 一般情形有1(ln )d (ln )d(ln )f x x f x x x=．当运算熟练后,可以不把换元和回代过程写出来,而是直接计算下去.例7 求不定积分2d 1xx x+⎰． 解：依据不定积分的第一类换元法,有2211d d()d(1+)22x x x x ==,所以2222212d 1d(1+)ln (1+)d 121212x x x x x x C x x x ===++++⎰⎰⎰．例8 求不定积分221d x a x-⎰. 解：2211111d 1d d ()d 222x xx x a x a a x a x a a x a a x=-=+-+-+-⎰⎰⎰⎰ 11ln ln 22a x a x C a a=+--+1ln 2a x C a a x +=+- 例9 求⎰≠-)0a 122（dx ax解：dx a x a x a dx a x )11(21122⎰⎰+--=-=])()([21⎰⎰++---a x a x d a x a x d a =C a x a x a++-ln _(ln 21=C a x a x a ++-ln21 例10 求⎰>-)0a 122（dx xa解：C a x axa x d axa dx dx xa +=-=-=-⎰⎰⎰arcsin )(1)()(112222例11 求⎰≠+)0a 122（dx xa 解：C a x a ax a x d a a x dx a dx x a +=+=+=+⎰⎰⎰arctan 1)(1)(1)(11122222例12 求不定积分tan d x x ⎰.解：sin d cos tan d d ln cos cos cos x xx x x x C x x ==-=-+⎰⎰⎰同理cot d ln sin x x x C =+⎰ 例13 求不定积分sin 2d x x ⎰. 解：方法一 11sin 2d sin 2d(2)cos 222x x x x x C ==-+⎰⎰； 方法二 2sin 2d 2sin cos d 2sin d(sin )(sin )x x x x x x x x C ===+⎰⎰⎰； 方法三 2sin 2d 2sin cos d 2cos d(cos )(cos )x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰.在此例中三种方法得到的结果并不一样,这说明不定积分的结果不是唯一的,采用不同的方法,可以出现不同形式的结果.但不同形式的结果,他们之间只相差一个常数.例14 求不定积分sec d x x ⎰.解：221cos dsin sec d d d cos cos 1sin x x x x x x x xx ===-⎰⎰⎰⎰ 11sin 1sin lnln 21sin cos x xC C x x--=+=++ln sec tan x x C =++. 同理 csc d ln csc cot x x x x C =-+⎰ 例15 求不定积分sin cos d x e x x ⎰．解：依据不定积分的第一类换元法,有cos d d(sin )x x x =,即sin sin sin cos d d(sin )x x xe x x e x e C ==+⎰⎰． 例16求不定积分22arctan d 1x x x+⎰()． 解：凑微分21d d(arctan )1x x x=+,有 2232arctan 1d arctan d(arctan )(arctan )13x x x x x x ==+⎰⎰()()． 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循,只能具体问题具体分析.要掌握好这种方法,需要熟记一些函数的微分公式,并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形.下面是部分经常使用凑微分法的积分类型及其凑微分的方法: 11()d ()d()f ax b x f ax b ax b a +=++⎰⎰；21(ln )d (ln )d(ln )f x x f x x x =⎰⎰；3()d ()d()x x x x f e e x f e e =⎰⎰； 4(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x x =⎰⎰；5(cos )sin d (cos )d(cos )f x x x f x x =-⎰⎰；62(tan )sec d (tan )d(tan )f x x x f x x =⎰⎰；72(cot )csc d (cot )d(cot )f x x x f x x =-⎰⎰；8(arcsin (arcsin )d(arcsin )f x x f x x =⎰⎰；921(arctan )d (arctan )d(arctan )1f x x f x x x=+⎰⎰； 10()1d d(())ln |()|()()f x x f x f x C f x f x '==+⎰⎰． 2．第二类换元积分法第一类换元积分法是先凑微分,再用新变量u 代替()x ϕ,但是有些不定积分需要作相反方式的换元,即令()x t ϕ=,把t 作为新的积分变量,从而简化积分计算,最后再将1()t x ϕ-=回代.例17 求不定积分x ． 解：令),0(3>-=t x t 即 32+=t x ,此时d 2d x t t =,于是23232d 2(3)d 2(3),3t t x t x t x t C t +==+=++⎰⎰再将 3-=x t 回代,整理后得122(6)(3)3x x x C =+-+．一般地,定理2第二类换元积分法 设函数)(x f 在某区间I 上连续,又()x t ϕ=在t 对应的区间上的导数()t ϕ'连续,且()0t ϕ'≠,则有换元公式1()()d [[()]()d ]t x f x x f t t t ϕϕϕ-='=⎰⎰,其中1()t x ϕ-=是()x t ϕ=的反函数.对于被积函数中含有n b ax +的不定积分,可令t b ax n =+,即作变换)(1b t a x n -=, ),0(≠a dt t a ndx n 1-=,以简化计算. 例18 求⎰+dx x11解：令于是则.2,,2tdt dx t x t x ===dt tdt t t t tdt t dx x)111(211221111⎰⎰⎰⎰+-=+-+=⋅+=+=C x x C t t ++-=++-)]1ln([2)1ln (2 例19 求不定积分x．解321,,d 3d ,3t x t x t t ==-=则 43343313d 443x t t t C x C ⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭⎰．例20 求不定积分x ．解：令61x t +=,则651,d 6d x t x t t =-=,于是有235522316d 6(1)d 6(),35t t t x t t t t t C t +==+=++⎰⎰再将61x t +=回代,得x C =．如果被积函数中含有二次根式22x a -,22x a +,22a x -,)0(>a 时,通常采用三角函数换元的方法去掉根号:含22x a -时,设t a x sin =;含22x a +时,设t a x tan =;含22a x -时,设t a x sec =.例21 求不定积分x .解：令t a x sin =,)22(ππ<<-t ,d cos d x a t t =,于是cos d d .x t t t t C ===+⎰再由t a x sin =,得a xt arcsin =,将其回代上式,得, arcsin .x x C a =+ 例22 求⎰>-)0a 122（dx ax解：令.tan sec ,tan )1(sec ),20(sec 2222tdt t a dx t a t a a x t t a x ==-=-<<=则π于是122tan sec ln sec tan tan sec 1C t t tdx dt t a t t a dx a x ++===-⎰⎰⎰,根据axt =sec 知aa x t 22tan -=,因此 12222ln 1C aa x a xdx a x +-+=-⎰=122ln )ln(C a x a x +-+- =C x a x ++-)ln(22其中C=a C ln 1- 例23 求不定积分x ．解：13x x =,令22sec (0),d sec tan d 323x t t x t t t π=<<=,则有1111sec d ln |sec tan |333x x t t t t C ===++⎰⎰ 12|1sec sec |ln 31C t t +-+=, 再将xt 32arccos =回代,得到113ln |32x x C =+1ln |33x C =++, 其中2ln 311-=C C ．例24求不定积分(0)x a >．解：令2tan (),d sec d 22x a t t x a t t ππ=-<<=,则有20sec d sec d ln sec tan sec a t x t t t t t C a t ===++⎰⎰0tan t C =+0ln(x C a=++ln(x C =+其中 0ln C C a =-.综上所述,当被积函数含有形如2222a x x a ±-或的根式时,可作如上三种变换,上述三种变换称为三角代换;有些函数即可用第一类换元法又可用第二类换元积分法来积分;上面的三个例子中,最后的回代过程可借助直角三角形的边角关系进行;如当被积函数中含22x a -时,设t a x sin =,可作辅助直角三角形如图,易得2222tan ,cos x a x t ax a t -=-=等其它三角函数值；当含有含22x a +时,设t a x tan =,可作辅助直角三角形如图4-3；当含有22a x -时,设t a x sec =,可作辅助直角三角形如图4-4,利用直角三角形的边角关系,即可找出积分结果中新变量t 的三角函数还原为原积分变量x 的关系式下面再列出部分初等函数的不定积分,以补充基本积分公式表： 1tan d ln |cos |x x x C =-+⎰； 2cot d ln |sin |x x x C =-+⎰； 3sec d ln |sec tan |x x x x C =-++⎰； 4csc d ln |csc cot |x x x x C =--+⎰； 52211d arcsin (0)xx C a a x a a=+≠+⎰；图5-162211d ln ||(0)2a xx C a a x a a x +=+≠--⎰； 7arcsin(0)xx C a a=+>；8ln |(0)x x Ca =++>；9222()d arcsin (0)2a x a x x C a a -=+>⎰．有些函数即可用第一类换元法又可用第二类换元积分法来积分; 例25 求 ⎰-dx x x 3解1: 用第一类换元法,得 )3()333(3333--+-=-+-=-⎰⎰⎰x d x x dx x x dx x x=C x x C x x +-+-=+-+-36)3(32)3(6)3(3232123解2:用第二类换元法;令tdt dx t x t x 2,3,32=+==-则 C t t dt t tdt t t dx x x++=+=⋅+=-⎰⎰⎰)33(2)3(2233322=C x x +-+-36)3(323 课堂练习⎰+31xdx⎰-dx xx 229 ⎰-dx x x 42 ⎰+xx dx1 小结：本节分别讲述了用第一类、第二类换元积分法求函数的积分作业：P189 3 23678910151720 4 1456课 堂 教 学 方 案三课程名称： 分部积分法 授课时数：2学时 授课类型:理论课 教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握分部积分法的步骤和积分法适用的函数类型;教学重点、难点：教学重点：分部积分法公式的使用,正确地选取函数)()(x v v x u u ==，求出不定积分；教学难点：用分部积分法时,掌握对不同的函数积分怎样选择)()(x v v x u u ==， 的原则,使不定积分容易求出; 教学内容分部积分法前面介绍的换元积分法虽然可以解决很多的积分计算问题,但有些积分,如d ,sin d xxe x x x x ⎰⎰等等,利用换元法求解还是无法完成的.本节我们介绍另一种基本积分方法—分部积分法.设)(),(x v v x u u ==具有连续导数,则由函数求导法则得：v u v u uv '+'=')(, 移项得: v u uv v u '-'=')(,所以有 d d ,u v uv v u =-⎰⎰ 1 或者 d d .uv x uv u v x ''=-⎰⎰ 2式1或式2称为分部积分公式．利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分d v u ⎰化为d u v ⎰或d uv x '⎰形式, 也就是选择好v u ',,一般情况下,选择v u ',,可按照反三角函数,对数函数,幂函数,三角函数,指数函数的顺序,把排在前面的那类函数选作u ,而把排在后面的那类函数选作v '．这样使它更容易计算.例1求不定积分sin d x x x ⎰.解：令,sin d d(cos )d u x x x x v ==-=,则sin d d d(cos )cos cos d cos sin x x x uv x x x x x x x x x x C '==-=-+=-++⎰⎰⎰⎰． 在使用分部积分法时,可不必按部就班地写出v u ,的表达式,而直接按照公式1写出求解过程；另外,有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法．例2 求⎰xdx x cos ；解：令于是则,sin ,cos ,x v xdx dv x u ===⎰⎰⎰+--=-==C x x x xdx x x x xd xdx x )cos (sin sin sin )(sin cos.cos C x xxinx ++= 此题若令于是则,21,,cos 2x v xdx dv x u === 22222111cos cos cos (cos )22211cos sin .22x xdx xd x x x x d x x x x xdx ⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 这样新得到的积分⎰xdx x sin 212反而比原积分⎰xdx x cos 更难求了;所以然在分部积分法中,)()(x dv dv x u u ==和的选择不是任意的,如果选取不当,就得不出结果;在通常情况下,按以下两个原则选择)()(x dv dv x u u ==和：1)(x v 要容易求,这是使用分部积分公式的前提；2⎰vdu 要比⎰udv 容易求出,这是使用分部积分公式的目的;例3 求⎰dx xe x ；解：设于是则,,,x x e v dx e dv x u ===.C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰注：在分部积分法中,dv u 及的选择有一定规律的;当被函数为幂函数与正余弦或指数函数的乘积时,往往选取幂函数为.u例4求不定积分2d x x e x ⎰.解：2222d d()2d 2d()x x x x x x x e x x e x e xe x x e x e ==-=-⎰⎰⎰⎰22(22d )(22)x x x x x e xe e x x x e C =--=-++⎰例5 求不定积分ln d x x x ⎰. 解：22211ln d ln d()[ln d(ln )],22x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰ 22211111ln d ln d 2222x x x x x x x x x =-=-⎰⎰ 2211ln 24x x x C =-+． 例6求⎰xdx x ln 2；解：为使v 容易求得,选取于是则,31,21,ln 332x v x d dx x dv x u =⎪⎭⎫ ⎝⎛=== ⎰⎰⎰-==)(ln 31ln 31ln 31ln 3332x d x x x xdx xdx x .91ln 3131ln 313323C x x x dx x x x +-=-=⎰ 例7 求不定积分arcsin d x x ⎰.解：被积函数是反三角函数和幂函数)1(0x =的乘积,故选取u x =arcsin ,于是arcsin d arcsin d(arcsin )arcsin x x x x x x x x x =-=-⎰⎰,再利用换元积分法得21arcsin d arcsin arcsin 2x x x x x x C =+=+⎰．例8 求⎰xdx arctan ；解：设于是则,,,arctan x v dx dv x u ===.|1|ln 21arctan )1(1121arctan 11arctan )(arctan arctan arctan 2222C x x x x d x x x dx x x x x x xd x x xdx ++-=++-=+⋅-=-=⎰⎰⎰⎰例9 求⎰xdx x arctan ; 解：()⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=x d x x x x xd xdx x arctan 21arctan 2121arctan arctan 222 ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+⋅-=dx x x x dx x x x x 2222211121arctan 211121arctan 21 .)arctan (21arctan 212C x x x x +--= 注①：如果被积函数含有对数函数或反三角函数,可以用考虑用分部积分当,并设对数函数或反三角函数为u ;注②：在分部积分法应用熟练后,可把认定的u ,dv 记在心里在而不写出来,直接在分部积分公式中应用;还有一类积分的求解过程是通过分部积分,获得所求不定积分满足的一个方程,然后把不定积分解出来．这也是一种比较典型的求不定积分的方法,特别是被积函数为三角函数与指数函数的乘积时是经常用到的．例10 求不定积分cos d x e x x ⎰.解：cos d cos d()cos d(cos )x x x x e x x x e x e e x ==⋅-⎰⎰⎰cos sin d x x x e e x x =⋅+⎰ 再次利用分部积分法,得到cos d cos sin d()cos sin d(sin )x x x x x x e x x x e x e e x e x e x =⋅+=+-⎰⎰⎰cos sin cos d x x x e x e x e x x =+-⎰．由上述等式可解得 1cos d (sin cos )2x x e x x e x x C =++⎰． 例11 求⎰xdx e x sin ；解：⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=)(sin cos cos cos )cos (sin x d e x e xdx e x e x d e xdx e x x x x x x⎰⎰-+-=+-=xdx e x e x e x d e x e x x x x x sin sin cos )(sin cos由于上式第三项就是所求的积分⎰xdx e x sin ,把它移到等式左边,得,2)cos (sin sin 2C x x e xdx e x x +-=⎰故 .)cos (sin 21sin C x x e xdx e x x +-=⎰ 注①：如果被积函数为指数函数与正余弦函数的乘积,可任选项其一为u ,但一经选定,在后面的解题过程中要始终选项其为u ; 注②：有时求一个不定积分,需要将换元积分法和分部积分法结合起来使用;如下例例12 求不定积分3sec d x x ⎰．解：被积函数可以写成)(tan sec sec sec 2'⋅=⋅x x x x ,利用分部积分法,得3sec d sec d(tan )sec tan tan d(sec )x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰223sec tan sec tan d sec tan sec (sec 1)d sec tan sec d sec d x x x x xx x x x x x x x x x x x=-=--=-+⎰⎰⎰⎰3sec tan ln |sec tan |sec d x x x x x x =++-⎰．由以上等式可得到31sec d (sec tan ln |sec tan |)2x x x x x x C =+++⎰． 有时在使用分部积分法前,要先使用换元积分公式.例13 求不定积分sin(ln )d x x ⎰．解：注意到被积函数是由函数u sin 与x u ln =复合的一个复合函数,因此,首先利用换元积分法,令x u ln =,则,d d u u x e x e u ==,有sin(ln )d sin d u x x eu u =⎰⎰, 此时被积函数是指数函数与三角函数的乘积,与例类似进行两次分部积分,略去中间计算过程,得 1sin d (sin cos ),2u u e u u e u u C =-+⎰ 把x u ln =代入得到sin(ln )d [sin(ln )cos(ln )]2x x x x x C =-+⎰．例14．求⎰dx e x解：先去根号,设于是则,2,,2tdt dx t x t x ===⎰⎰⎰⎰-==⋅=dt e te tde tdt e dx e t t t t x 2222().1222C x e C e te x t t +-=+-=⎰ 这是一道综合题,先用换元积分法消去根式,再用分部积分法求得最终结果;所以解题时要灵活运用这些方法;课堂练习：求下列不定积分：⎰xdx x 2sin ⎰dx x xln ⎰xdx xarc cot ⎰dx x )cos(ln ；小结：本节讲了分部积分法公式及几种情况下的应用作业：P153 12458；6147812小结:本章主要介绍原函数与不定积分的概念、不定积分的性质、基本积分公式,以及基本积分方法——直接积分法、换元积分法和分部积分法.1.原函数与不定积分的概念1导数与积分是互逆的运算()()()F x C F x f x −−−→'+=←−−−求导积分2原函数的概念设函数()f x 在区间(,)a b 有定义,若存在函数()F x ,使对于任意的(,)x a b ∈,都有()()F x f x '=或d ()()d F x f x x =则称()F x 是()f x 在(,)a b 上的一个原函数.3不定积分的概念若()f x 有原函数,则()f x 的全体原函数()F x C +称为()f x 的不定积分,记作()d ()f x x F x C =+⎰.2.不定积分的基本性质1 [()d ]()f x x f x '=⎰ 或 d[()d ]()d f x x f x x =⎰； 2()d ()f x x f x C '=+⎰ 或 d ()()f x f x C =+⎰3.不定积分的基本运算性质 1[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰ 2()d ()d kf x x k f x x k =⎰⎰为非零常数4.不定积分的积分方法u=(x)x=(t)ϕϕ⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩第一类换元法换元法第二类换元法分部积分法。