平差数学模型与最小

（2-1-6）
式中 Vi 称为观测值 Lˆi 的改正数，它们必须在计算之
前被计算出来。但这种改正数有无数多组（如：对三
L1 L2 L3 180 0
(2-15)
即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻合于 几何模型。
为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值”
（又叫平差值、最或是值、最或然值）Lˆ 来代替观测
值 L，由于任何一个观测值估值都可以看作是一个改 正了的观测值，是由观测值加上改正数而得到，即
Lˆi Li Vi
必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个 数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为 t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必 要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则 就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模 型有关，与实际观测量无关。
必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数。 对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为t=2,t=3 和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素 的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地 确定模型。必要观测个数t只与几何模型有关，与实际 观测量无关。
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任 何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测 元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上 述⑵情况中，任意三个必要观测元素，如 L1、L2、S1 之间，其中 S1 不可能表达成 L1、L2 的函数，除非再 增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为 函数独立量，简称独立量。
例如在上述⑴中，t=2，如选为必要观测量，假设 现在又观测了，则它们的真值之间就存在一个确定 的关系：
L~1 L~2 L~3 180 0 (2-1-2)
再如上述⑵中，如果观测了角度L1、L2 、L3 和 边长 S1、S2 ，即n=5,t=3,则r=2,它们的真值之间 也存在如下关系式：
L~1 L~2 L~3 180 0
所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角 时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角， 这就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中， 实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两点都 是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方 向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边 或一边一角等。
从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够 唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为 必要观测元素。
在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何 量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所 有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测 n个，当观测值个数小于必要观测个数，即n<t,显然 无法确定模型的解；
如果观测值个数恰好等于必要观测个数，即n=t, 则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗 差和错误都将无法发现。为了能及时发现测量中的 粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性，通常 使观测值个数大于必要观测个数，即使n>t，设：
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
⑵要确定该三角形的大小 和形状，就必须知道三个 不同的元素，即任意的一 边两角、任意的两边一角 或者是三边。
如：L1、L2、S1 或 S1、S2、L3或
S1、S
2、S
等，它
3
们中间都至少包含一条边长，否则只能确定其形状，
而不能确定其大小，该情况包含两类元素（角度和
边长）。
⑶要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐 标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素中的 6个不同的元素，当然，这6个元素可以构成更多的组 合，但不论哪一种组合，都至少要包含一个点的坐标 和一条边的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可 缺少的元素，通常称其为外部配置元素，它们的改变 只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不 影响该三角形的内部形状和大小。
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点 的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点 的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求 定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个 几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只 需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过 它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量 与已知量之间的关系式称为函数模型。
随着几何模型的不同，它所需要知道的元素的个 数与类型也有所不同，要唯一地确定几何模型，就 必须弄清楚至少需要观测哪些元素以及哪些类型的 元素。例如：
⑴如图2-1的三角形ABC中，为了确定它的 形状，只需要知道其中任意两个内角的大小就
可它以们了 都， 是如 同一L1类、型L2的或元L素1 、。L3或 L2 、L3等。
(2-1-3)
sinS~1L~1 sinS~2L~2 0
(2-1-4)
由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就
必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少
个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种
函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
综上所述，由于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ了多余观测，必然产生条件方
程，但由于观测不可避免地含有误差，故观测值之 间必然不能满足理论上的条件方程，即：
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建 立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立 平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我 们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含 有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方 位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都 被称为几何量。