材料力学 杆件的变形计算

C1
C点总位移： 点总位移：
∆C = ∆C y + ∆C x = 1.47mm
2 2
C0
Cx
(此问题若用圆弧精确求解) 此问题若用圆弧精确求解)
∆C x = 0.278mm ∆C y = 1.44mm
第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dϕ 的两个相邻截面之间有相对转角d
− 40 3 × 10 3 × 1000 = = −0.277mm 3 10 × 10 × 25000
[解 ]
3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0 分别作AC 的垂线交于C
∆C x = CC2 = 0.277mm ∆C y = CC1 / sin30° + CC 2 cot30°
C2
= 1.44mm
L b´ d´ L1 P
∆x + d∆x
3、平均线应变： 平均线应变：
dL L1 − L ε = = L L
点处的纵向线应变： 4、x点处的纵向线应变： 点处的纵向线应变
d∆x ε = lim ∆x→ 0 ∆ x
5、杆的横向变形： 杆的横向变形： 点处的横向线应变： 6、x点处的横向线应变： 点处的横向线应变
Mxili ϕ =∑ i=1 GI pi
n
请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别
例4-4 一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N·m， T2=600N·m， 一受扭圆轴如图所示，已知： =1400N·m， =600N·m， T3=800N·m， d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计 =800N·m， =60mm， =40mm，剪切弹性模量G=80GPa， 算最大单位长度扭转角。 算最大单位长度扭转角。
1 即: ε = σ E
4、泊松比（或横向变形系数） 泊松比（或横向变形系数）
ε′ ν = ε
或 : ε ′ = −νε
泊松比ν 泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数， 切变模量G 都是材料的弹性常数， 可以通过实验测得。对于各向同性材料， 可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存 在着下面的关系
800 π × 0.04 4 80 ×109 32 = 0.03978rad / m
综合两段， 综合两段，最大单位扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
例4-5 图示一等直圆杆， 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, ϕ DB=1O , 求 : 1) 最大切应力 2）ϕ AC
第四章 杆件的变形计算
第一节 拉（压）杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形， 直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横 向变形相应变细或变粗 横截面
1、杆的纵向总变形： 杆的纵向总变形：
a c a´ c´
b d
∆x
d L = L1 − L
2、线应变： 线应变： 单位长度的线变形 P
第三节 梁的变形
1、梁的变形 梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变 梁在平面内弯曲时， 挠曲线。 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线 成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。 某截面的竖向位移，称为 某截面的竖向位移， 该截面的挠度 该截面的挠度 某截面的法线方向与x 某截面的法线方向与x轴 的夹角称为该截面的转角 的夹角称为该截面的转角 挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位 置有关， 的函数。 置有关，可以表示为关于 x 的函数。 挠度方程（挠曲线方程） w = f1 ( x)或y = f1 ( x ) 挠度方程（挠曲线方程） 转角方程
σ = Eε = 200 ×103 × 7.41×10−4 = 148.2 MPa
2) 螺栓横向变形
ε' = − = −2.22 ×10−4 νε
∆d = ε' di = −0.0034 mm
螺栓直径缩小 0.0034 mm
例4-3 节点位移问题 如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积 的横截面面积A 如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa。木杆BC的横截面面积A2=25000mm2，长1m，弹性模 =200GPa。木杆BC的横截面面积 的横截面面积A 1m， =10GPa。求铰接点C的位移。 kN。 量E2=10GPa。求铰接点C的位移。F = 80 kN。
分析 通过节点C的受力分析可以判断AC 通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压 AC杆将伸长 杆受压， 杆将伸长， 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 BC杆将缩短。 BC杆将缩短 杆将缩短。
C1
因此，C节点变形后将位于C3点 因此， 节点变形后将位于C 由于材料力学中的小变形假设 由于材料力学中的小变形假设，可 小变形假设， 以近似用C 以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替 圆弧（以切代弧法），得到交点C ），得到交点 圆弧（以切代弧法），得到交点C0
C3
C0
[解 ]
1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预 分析节点C,求AC和BC的轴力 的轴力（ 先设为拉力） 先设为拉力）
FAC C2
30
F
C1
FBC
C
FAC sin 30° − F = 0 FAC = 2 F = 80kN 拉
− FBC − FAC cos 30° = 0 FBC = −40 3kN
“ 胡：请问， 弛其弦，以绳缓援之”
是什么意思 ? 郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。 胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。 必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以 一条 绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三 其中 “ 两萧” 就是指弓的两端。 尺。 胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一 个意思。您比我早1500 中就记录下这种正比关系，的确了不起， 真是令人佩服之至』我在1686 年《关于中国文字和语言的研究 和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化： 目前我们还只 是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般 地加以描述的知识王国”。
1）画出扭矩图 2）求最大切应力 首先要求出M 首先要求出M 的数值
ϕ DB = ϕ DC + ϕCB
180° M xDC l DC M xCB lCB = + π GI p GI p
180° 3Ma = = 1° π GIp πGIp M= 540a
πGIp M= 540a
τ max
d M max 2 = 3Md = Ip 2I p
3d πGI p = 2 I p 540a 3 × 40 × π × 80 ×103 = 1080 × 400 = 69.81MPa
ϕ AC
180° M CB lCB M BAl BA = + π GI p GI p
压
伸长 缩短
[解 ]
2）求AC和BC杆分别的变形量 AC和BC杆分别的变形量
∆l AC
FAC l AC = CC1 = E1 A1
C2
C1
80 × 10 3 × 1000 / cos30° = 0.481mm = 3 200 × 10 × 960
∆l BC
FBC l BC = CC 2 = E 2 A2
∆ac = a ′c′ − ac
∆ac ε′ = ac
二、拉压杆的弹性定律 1、等内力拉压杆的弹性定律 P P
PL NL dL = = EA EA
PL dL ∝ A
2、变内力拉压杆的弹性定律
N（x） N(x)
x dx dx 内力在n段中分别为常量时 内力在 段中分别为常量时
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。 ※“ ”称为杆的抗拉压刚度。
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分， 在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分， 就可得到两端相对扭转角ϕ 。
l M dϕ Mx θ= ϕ = ∫ x dx = 0 GI dx GI p p Mx Mxl ϕ= 为常数时： 当 为常数时： GI p GI p
同种材料阶梯轴扭转时: 同种材料阶梯轴扭转时: 相对扭转角的单位: 相对扭转角的单位: rad
∆l = ∫
l
FNdx EA(x)
FNili ∆l = ∑ i=1 EA i
n
是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般 认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通 常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于 力和变形成正比关系的记载。 东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记·弓人》中“量其力， 有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛 其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图)
在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时， 在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距
Mx dϕ = dx GI p dϕ Mx 单位长度扭转角 单位长度扭转角 取 θ= = dx GI p 用来表示扭转变形的大小
单位长度扭转角的单位 单位长度扭转角的单位: rad/m 长度扭转角的单位:
GI p 抗扭刚度
越大， GI p 越大，单位长度扭转角越小
N ( x )d x ∆ (dx ) = EA ( x ) N ( x )dx dL = ∫ ∆ (dx ) = ∫ L L EA ( x )
dL =
∑
n
i =1
N iLi E i Ai
3、单向应力状态下的弹性定律
∆ (dx ) 1 N ( x) 1 ε = = = σ dx E A( x ) E
180° 7 Ma = π GI p 7 = ϕ DB = 2.33° 3
பைடு நூலகம்
第三节 梁的变形
1、梁的变形 梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯 梁必须有足够的刚度， 曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若 弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如 果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。 果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
1）根据题意，首先画出扭矩图 根据题意， 2）AB 段单位长度扭转角： 段单位长度扭转角：
θ AB =
1400 π × 0.06 4 80 ×109 32 = 0.01375rad / m
M xAB = GI pAB
3）BC 段单位长度扭转角： θ = M xBC = 段单位长度扭转角： BC GI pBC
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa， ν = 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 σ (b) 螺栓的横向变形△d
解：1) 求横截面正应力 ：
ε=
∆l 0.04 = = 7.41×10-4 l 54
l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E＝200 GPa， ν = 0.3， △l ＝0.04 mm
1）求出轴力，并画出轴力图 求出轴力， 2）求伸长量
∆l = ∆l AB + ∆l BC
40 × 10 3 × 400 FNAB l AB = = 0.1 mm 伸长 ∆l AB = 3 200 × 10 × 800 EAAB FNBC l BC − 20 × 10 3 × 400 ∆l BC = = = −0.167mm 缩短 3 EABC 200 × 10 × 240 ∆l = ∆l AB + ∆l BC = 0.1 − 0.167 = −0.067mm 缩短
E G= 2(1+ν )
公式的适用条件
Fl ∆l = N EA
1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律 线弹性范围以内， 2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应 在计算杆件的伸长时， 长度内其F 为常数，若为变截面杆或阶梯杆， 为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计 算或积分计算。 算或积分计算。
“
例题4 例题4-1： 如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积 段横截面面积A 如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2， BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa， BC段横截面面积 段横截面面积A 杆件材料的弹性模量E=200GPa， 求该杆的总伸长量。 求该杆的总伸长量。