直线的倾斜角与斜率课件公开课
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直线的倾斜角与斜率课件(公开课)
定义: 我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即:
k tan （ 90）
注: 倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提示：tan 180 - - tan
已知下列直线的倾斜角, 求直线的斜率.
(1) 30 ; (2) 45 ; (3) 120 ; (4) 135 ;
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同.
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义: 当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0.
注意: (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
斜率.
（）
④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
()
⑤两直线的倾斜角相等, 则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1、若直线的倾斜角为
6
，
3
，求斜率k的取值范围。
变式训练
1、若直线的倾斜角为
6
，3
4
，求斜率k的取值范围。
1.确定直线位置关系的要素 2.刻画直线倾斜程度的量
解：(1)k tan 30 3 ； 3
(3)k tan120 3；
(2)k tan 45 1； (4)k tan135 1.
倾斜角与斜率有怎样的关系呢？
k tan
[0, π) ( π , π)
22
k (,)
k
π O
2
k tan （ 90）
注: 倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提示：tan 180 - - tan
已知下列直线的倾斜角, 求直线的斜率.
(1) 30 ; (2) 45 ; (3) 120 ; (4) 135 ;
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同.
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义: 当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0.
注意: (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
斜率.
（）
④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
()
⑤两直线的倾斜角相等, 则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1、若直线的倾斜角为
6
，
3
，求斜率k的取值范围。
变式训练
1、若直线的倾斜角为
6
，3
4
，求斜率k的取值范围。
1.确定直线位置关系的要素 2.刻画直线倾斜程度的量
解：(1)k tan 30 3 ； 3
(3)k tan120 3；
(2)k tan 45 1； (4)k tan135 1.
倾斜角与斜率有怎样的关系呢？
k tan
[0, π) ( π , π)
22
k (,)
k
π O
2
高二数学直线的倾斜角和斜率7省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
13/13
P37练习3.4
10/13
例2、已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线, 求a 值.
例3、直线L倾斜角是连接（3，-5），（0，-9） 两点直线倾斜角两倍，求直线L斜率。
例4、从M（2，2）射出一条光线，经过X轴反射后 过点N（-8，3），求反射点P坐标
N(-8,3)
M(2,2)
此时斜率为 tan 0o，与0
k y一2 致 y1 0
x2 x1
7/13
直线的斜率、倾斜角、 直线上点坐标关系
k
y2 x2
y x
1 1
k tan
0
( 0)
0 (0 ) 2
不存在 ( ) 2
0 ( )
2
8/13
直线上的向量P1P2 及与它平行的向量都
称为直线的 方向向量
试确定k1, k2 ,k3 ,k4 大小关系. l3
l4 y
l2 l1
o
x
0o 1 2 90o 3 4 180o
k3 k4 0 k1 k2
3/13
练习：1、已知直线 l1 倾斜角 1=300 , 直线 l2 l1, 求 l1, l2 斜率.
y l2
1
o
l1
2
x
2.已知直线 l和1 l斜2 率分别是
直线倾斜角与斜率
第二课时
1/13
复习巩固
1、倾斜角定义及其范围 00 1800
2、斜率定义及斜率与倾斜角相互转化
不存在 900
k 判断：
tan
900
1、平行于X轴直线倾斜角为0或
2、直线斜率为tan ,则它倾斜角为
3、直线倾斜角越大，则它斜率也越大
P37练习3.4
10/13
例2、已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线, 求a 值.
例3、直线L倾斜角是连接（3，-5），（0，-9） 两点直线倾斜角两倍，求直线L斜率。
例4、从M（2，2）射出一条光线，经过X轴反射后 过点N（-8，3），求反射点P坐标
N(-8,3)
M(2,2)
此时斜率为 tan 0o，与0
k y一2 致 y1 0
x2 x1
7/13
直线的斜率、倾斜角、 直线上点坐标关系
k
y2 x2
y x
1 1
k tan
0
( 0)
0 (0 ) 2
不存在 ( ) 2
0 ( )
2
8/13
直线上的向量P1P2 及与它平行的向量都
称为直线的 方向向量
试确定k1, k2 ,k3 ,k4 大小关系. l3
l4 y
l2 l1
o
x
0o 1 2 90o 3 4 180o
k3 k4 0 k1 k2
3/13
练习：1、已知直线 l1 倾斜角 1=300 , 直线 l2 l1, 求 l1, l2 斜率.
y l2
1
o
l1
2
x
2.已知直线 l和1 l斜2 率分别是
直线倾斜角与斜率
第二课时
1/13
复习巩固
1、倾斜角定义及其范围 00 1800
2、斜率定义及斜率与倾斜角相互转化
不存在 900
k 判断：
tan
900
1、平行于X轴直线倾斜角为0或
2、直线斜率为tan ,则它倾斜角为
3、直线倾斜角越大，则它斜率也越大
直线的倾斜角斜率直线的方程公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
律
总
结
菜单
高考总复习·数学（理科）第3页
第八章 平面解析几何
要 点
知识扫描
梳
理 ·
一、直线倾斜角与斜率
基
础
1．直线倾斜角
落
实
(1)定义: x轴 正向 与直线_向__上__方向所成角叫做这条
综 合
训
直线倾斜角，当直线与x轴平行或重叠时，要求它倾斜
练 ·
能
角为____． 0°
力
考
提
点 突
(2)倾斜角范围为____[0_,_π_)_．
力 提 升
突
破 ·
除 B，故选 A.
规
律
答案 A
总
结
菜单
高考总复习·数学（理科）第13页
第八章 平面解析几何
要 点
4. 假如A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝
梳
理
0不通过
·
基 础
A. 第一象限
B. 第二象限
落
实
C. 第三象限
D. 第四象限
综 合
训
解析 由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的
·
规 律
答案 A
总
结
菜单
高考总复习·数学（理科）第21页
第八章 平面解析几何
要 点
考点二 两条直线平行、垂直关系
梳 理
例2 (1)(·杭州模拟)设直线l1: 2x－my－1＝0；l2:
·
基 础
(m－1)x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”
落
实
A．充足而不必要条件 B．必要而不充足条件
综 合
实 平行，则 a＋b 等于________．
直线的倾斜角与斜率公开课优质课课件
π O
2
ππ
2
a
3 2
几何画板展示
例3.类型二：利用两条直线的位置关系判断多边 形的形状及由斜率之间的关系求各顶点的坐标；
1.已知四边形ABCD的顶点A(2,2 2 2 ),B(-2,2),C(0,2 2 2 ),
D(4,2),求证：四边形ABCD是矩形.
理论依据：有一个直角的平行四边形是矩形； y A
3.设直线的倾斜角 率k的取值范围.
的范围是
3
,
5 6
，求直线的斜
4.ABC的顶点A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若 ABC 为 直角三角形，一条直线的斜率不存在;
例2. 类型一：求直线的倾斜角和斜率：
1.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角；
| k | 1, k tan | tan | 1 tan 1; 又 [0, ) 或 3 ；
44
2.已知直线的斜率k 2, A(3,5),B(x,7),C(1, y)是这条直线上的 三个点,求x和y 的值；
(x2
x1 )
2.两条直线的位置关系
平行
斜率存在 时： 斜特率殊不情存况在： 时：
k1 k2
两条直线与x 轴垂直
垂直
斜率存在 时：
k1 • k2 1
特殊情况：一条直线与y轴垂直，另一条直
线与x 轴垂直;
二.习题讲解：
例1.判断对错，并说明理由： 1.若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线的斜率相等；
理论依据：分类讨论点A的位置，使四边形ABCD为直角梯形
AB // CD, AD CD y
k AB kCD , k AD kCD
1 n 5 3 , 5 n • 5 3 1 6m 23 2m 23
2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)
④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的 大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾 斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－ －yx11＝xy11－－xy22； 当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜 角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方 向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向．
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定义：我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan （ 90）
注：倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提示：tan 180 - - tan
已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
(1) 30o; (2) 45o; (3) 120o; (4) 135o;
欢迎各位领导专家 莅临指导
人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2
3.1.1 倾斜角与斜率
我们学过函数y=x+1,它的图象是什么？ 如何在平面直角坐标系内确定它的位置?
y
1
-1 o
x
两点确定一条直线.
已知直线l经过点P，直线l 的位置能够确定吗？
l3 l2 l1 不确定.过一个点有无数条直线.
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同．
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0.
注意： (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
解：(1)k tan 30 3 ； 3
(3)k tan120 3；
(2)k tan 45 1； (4)k tan135 1.
倾斜角与斜率有怎样的关系呢？
k tan
[0, π) ( π , π)
22
k (,)
k
π O
2
ππ
2
a
3
2
a0
k 0
0a π 2
k 0
π aπ 2
k 0
a 0
x
试一试
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
x x
a
o
oa
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
直线的倾斜角范围
议一议：如果一条直线绕着一点旋转，则它的倾斜角有 什么变化？
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o
p
x
y
pl
o
x
l
直线倾斜角α的范围为：
0 ,180
思考1：如图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等？
倾斜角a 斜率k
k tan 90
1、若直线的倾斜角为
3
，2
3
，求斜率k的取值范围。
能力题：若直线的斜率k -1，3，求倾斜角取值范围。
祝同学们学习快乐！
斜率.
（）
④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
()
⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1、若直线的倾斜角为
6
，
3
，求斜率k的取值范围。
变式训练
1、若直线的倾斜角为
6
，3
4
，求斜率k的取值范围。
1.确定直线位置关系的要素 2.刻画直线倾斜程度的量
a π 时， kk不存在 2
试一试
如图 k1 k2
Y
C．k3 k2 k1 D．k1 k3 k2
O
l1
l2
X
l3
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）
②直线的斜率的范围是 (,)
（）
∨
③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有
y
ab
c
1o
2
3x
相等
思考2：若给定一个倾斜角 ，能确定一条直线的位 置？并说明理由。
不能
想一想 你认为下列说法对吗？
1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。 对 2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。错
坡度（比）
升高量（即坡角的正切值） 前进量
类比坡度，引进一个刻画直线倾斜程度的量
直线的斜率
k tan （ 90）
注：倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提示：tan 180 - - tan
已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
(1) 30o; (2) 45o; (3) 120o; (4) 135o;
欢迎各位领导专家 莅临指导
人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2
3.1.1 倾斜角与斜率
我们学过函数y=x+1,它的图象是什么？ 如何在平面直角坐标系内确定它的位置?
y
1
-1 o
x
两点确定一条直线.
已知直线l经过点P，直线l 的位置能够确定吗？
l3 l2 l1 不确定.过一个点有无数条直线.
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同．
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0.
注意： (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
解：(1)k tan 30 3 ； 3
(3)k tan120 3；
(2)k tan 45 1； (4)k tan135 1.
倾斜角与斜率有怎样的关系呢？
k tan
[0, π) ( π , π)
22
k (,)
k
π O
2
ππ
2
a
3
2
a0
k 0
0a π 2
k 0
π aπ 2
k 0
a 0
x
试一试
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
x x
a
o
oa
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
直线的倾斜角范围
议一议：如果一条直线绕着一点旋转，则它的倾斜角有 什么变化？
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o
p
x
y
pl
o
x
l
直线倾斜角α的范围为：
0 ,180
思考1：如图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等？
倾斜角a 斜率k
k tan 90
1、若直线的倾斜角为
3
，2
3
，求斜率k的取值范围。
能力题：若直线的斜率k -1，3，求倾斜角取值范围。
祝同学们学习快乐！
斜率.
（）
④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
()
⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1、若直线的倾斜角为
6
，
3
，求斜率k的取值范围。
变式训练
1、若直线的倾斜角为
6
，3
4
，求斜率k的取值范围。
1.确定直线位置关系的要素 2.刻画直线倾斜程度的量
a π 时， kk不存在 2
试一试
如图 k1 k2
Y
C．k3 k2 k1 D．k1 k3 k2
O
l1
l2
X
l3
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）
②直线的斜率的范围是 (,)
（）
∨
③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有
y
ab
c
1o
2
3x
相等
思考2：若给定一个倾斜角 ，能确定一条直线的位 置？并说明理由。
不能
想一想 你认为下列说法对吗？
1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。 对 2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。错
坡度（比）
升高量（即坡角的正切值） 前进量
类比坡度，引进一个刻画直线倾斜程度的量
直线的斜率