向量及其线性运算课件
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【课件】空间向量及其线性运算+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
使 OE OF OG OH k. OA OB OC OD
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
《向量的线性运算》课件
02 向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，它遵循平行四边形法则。
详细描述
向量加法是将两个向量首尾相连，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终 点的向量。这个新的向量称为原来两个向量的和。在几何上，向量加法可以由平 行四边形的对角线向量得出。
向量的数乘
总结词
数乘是向量的一种线性运算，它通过 乘以一个标量来改变向量的长度和方 向。
《向量的线性运算》 ppt课件
目录
Contents
• 向量的基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积
01 向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的概念，它表示一个既有大小又有方向的 量。在二维或三维空间中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任 意点。
详细描述
数乘是将一个向量与一个标量相乘， 得到的结果是原向量的长度按比例缩 放，同时方向可能改变。数乘满足结 合律和分配律，但不满足交换律。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，得到的结果向量就是两个向量的差。
详细描述
向量减法是将两个向量首尾相连，由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，这个新的向量称为原 来两个向量的差。在几何上，向量减法可以由三角形法则得出。
向量积不满足交换律，即a×b≠b×a；向量积也不满足结合 律，即(a+b)×c≠a×c+b×c。
05 向量的外积
外积的定义
总结词
基于向量的坐标表示
详细描述
3.2向量及其线性组合1-PPT课件
o ( 0 , 0 ,..., 0 ) 即
注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量：n 维向量 的各分量的相反数所构成的 n 维 向量，称为 的负向量，记作 ，即
( a , a ,..., a ) 1 2 n
设 (a1 , a2 ,..., a n ) ， (b1 , b2 ,..., bn ) 都 向量相等： 是 n 维向量， 若它们的各个对应的分量都 相等，则称向量 与 相等， 记 作
T ( 2 , 3 ) 由 1
T ( 4 , 2 ) 2
构成的向量组1T, 2T为行向量组. 说明： （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成 一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 , 2 , , 1 n 构成一个 mn 矩阵 a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2n A ( , , , ) 1 2 n a a a a mj mn m1 m2
（2）向量的数乘
（k∈R） ， 所 定义3.3 n维向量 对应的各分量的 k 倍 构成的 n维向量，称为数 k 与向量 的乘积， 记作 k ，
减法
( )
与 的 和 称 为 与 的 差 ， 记 作 ， 即
( a ,a ,..., a ) ( b ,b ,..., b ) 1 2 n 1 2 n ( a b ,a b ,..., a b ) 1 1 2 2 n n
T T T, T 都是行向量. (4 ,2 ), (2 ,3 ), 则 若 2 1 1 2
注： 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量.
注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量：n 维向量 的各分量的相反数所构成的 n 维 向量，称为 的负向量，记作 ，即
( a , a ,..., a ) 1 2 n
设 (a1 , a2 ,..., a n ) ， (b1 , b2 ,..., bn ) 都 向量相等： 是 n 维向量， 若它们的各个对应的分量都 相等，则称向量 与 相等， 记 作
T ( 2 , 3 ) 由 1
T ( 4 , 2 ) 2
构成的向量组1T, 2T为行向量组. 说明： （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成 一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 , 2 , , 1 n 构成一个 mn 矩阵 a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2n A ( , , , ) 1 2 n a a a a mj mn m1 m2
（2）向量的数乘
（k∈R） ， 所 定义3.3 n维向量 对应的各分量的 k 倍 构成的 n维向量，称为数 k 与向量 的乘积， 记作 k ，
减法
( )
与 的 和 称 为 与 的 差 ， 记 作 ， 即
( a ,a ,..., a ) ( b ,b ,..., b ) 1 2 n 1 2 n ( a b ,a b ,..., a b ) 1 1 2 2 n n
T T T, T 都是行向量. (4 ,2 ), (2 ,3 ), 则 若 2 1 1 2
注： 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量.
人大微积分课件7-2向量及其线性运算
2021/4/21
14
r OM
z
OP PN NM
R(0,0, z)
B(0, y, z)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C( x,o, z)
• M(x, y, z)
OP OQ OR
o
y
Q(0, y,0)
x
iy
jz k
x
P( x,0,0)
A( x, y,0)
r x
i
yj z
k
称为向量的坐标分解式，
y1 y2 , 1
z z1 (z2 z)
z z1 z2 , 1
M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时，
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 .
2
2
2
2021/4/21
20
例 3 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 ) 为两已知 点，而在AB 直线上的点 M 分有向线段AB 为
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
2021/4/21
10
么么么么方面
• Sds绝对是假的
么么么么方面
• Sds绝对是假的
2021/4/21
12
例2 用向量方法证明：连结三角形两边中点 的线段平行于第三边，且等于第三边的一半.
证 设M、N为AB、AC的中点，则
A
MN MA AN
M
N
1 1 BA AC
(b
c ).
（3）
a (a) 0.
[2] 减法
a b a (b)
b
a
ab ab
b
b c
a
b
c
高等数学向量及其运算PPT课件.ppt
例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算第一课时【课件】
= + +
= +
( + = )
= + +
( + + = )
小结
1、空间向量的定义及表示方法
2、特殊的向量
3、向量的加减法
4、向量的数乘运算
5、共线向量与共面向量
规定：零向量与任意向量平行
练习
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向
量的模就越大．( √
)
(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不
是共面向量．( × )
(3)零向量是长度为 0，没有方向的向量．( × )
果的向量.(如图)
D1
() +
() + +
() ( + + )
() + +
C1
A1
B1
M
G
D
A
解：(1) + ＝
(2) + + 1 = + 1 = + 1 = 1
1
1
(3) ( + + 1 ) = =
3
3
1
(4) + + 1 ＝.
2
C
B
12. 向量共线定理
՜ ՜ ՜ ՜ ՜
՜
对任意两个空间向量 ， ( ≠ ), //
՜
՜
⇔ 存在实数，使 = 。
12. 方向向量
高二数学选择性必修 第1章 空间向量及其线性运算 课件(共71张PPT)
(2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
返 首 页
21
4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
返 首 页
20
3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
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14
5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
返 首 页
3
情景 导学 探新 知
返 首 页
4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
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4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
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3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
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5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
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3
情景 导学 探新 知
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4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
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时间：2024年9月1日
2024课件
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时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
课件7：6.1.5 向量的线性运算
[正解] 因为向量 ka＋2b 与 8a＋kb 的方向相反， 所以 ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒2k＝＝8λkλ，⇒k＝－4(因为方向相反， 所以 λ＜0⇒k＜0)． [答案] －4
本课结束
综上，a 与 b 共线，即 a∥b．
典例剖析
易错警示
典例 4 设a，b是两个不共线的向量，若向量ka＋2b与8a ＋kb的方向相反，则k＝_______． [错解] ±4 [辨析] 本题容易出现得到k＝±4的错误，出错的原因 是忽视了条件方向相反对k取值的限制．因此由两个向 量共线求参数时要注意两向量的方向．
规律方法：用已知向量表示未知向量的技巧 (1)由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、 平行四边形法则以及向量线性运算的运算律． (2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解．
对点训练 2．如图，四边形 ABCD 是一个梯形，AB∥CD，且 AB ＝2CD，M，N 分别是 DC 和 AB 的中点，已知A→B＝a， A→D＝b，试用 a，b 表示B→C和M→N．
(2)如图所示，已知□ABCD 的边 BC，CD 上的中点分别为
K，L，且A→K＝e1，A→L＝e2，试用 e1，e2 表示B→C，C→D．
解：设B→C＝x，则B→K＝12x，A→B＝A→K＋K→B＝e1－21x， D→L＝21e1－14x，又A→D＝x，由A→D＋D→L＝A→L，得 x＋12e1－14x＝e2， 解方程得 x＝43e2－23e1，即B→C＝43e2－23e1， 由C→D＝－A→B，A→B＝e1－12x，得C→D＝－43e1＋23e2．
解：(1)∵A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)， பைடு நூலகம்A→E＝23A→D＝31(a＋b)， ∵A→F＝12A→C＝21b，
空间向量及其线性运算ppt课件
1 OA 2 MN
23
1 OA 2 MA AB BN
23
1 2
OA
2 3
1 2
OA
OB
OA
1 2
BC
1 2
OA
2 3
OB
1 2
OA
1 2
OC OB
1 OA 1 OB 1 OC 633
1 6
a＋
13b＋
1
c3
学习目标
新课讲授
课堂总结
技巧归纳 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关 键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算 时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移 获得运算结果.
B b A
AQ M
a
O
λa(λ＜0)
PN
λa(λ＞0)
学习目标
新课讲授
课堂总结
运算律的类比（其中λ，μ∈R）：
平面向量
空间向量
交换律
a＋b=b＋a
a＋b=b＋a
结合律 分配律
(a＋b)＋c = a(＋b＋c) ， (a＋b)＋c =a(＋b＋c) ，
λ(μa) = (λμ)a
λ(μa) = (λμ)a
学习目标
新课讲授
课堂总结
利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用向量的三角形 法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
学习目标
新课讲授
课堂总结
高中数学人教A版 选择性必修第一册 空间向量及其线性运算 课件
（2）空间向量的数乘
a
λa
(λ>0)
0时， a 0
λa
(λ<0)
B
例：空间一个平移就是一个向量．
a
a
D’
D
A’
A
C’
C
B
B’
（3）推广
①首尾相接的若干向量之和，
等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
OF -OE OH -OE
EF EH .
∴ E, F , G, H四点共面.
【解决几何问题的常用方法（三部曲）】
• 选择恰当的向量表示问题中的几何元素
• 通过向量运算得出几何元素的关系
• 把运算结果“翻译”成相应的几何意义
练习巩固
练习4（课本P5练习T4）
（1）AB BC CD
A
• 与向量a平行的非零向量成为直线l的方向向量
O
• 直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量确定，
即直线可以由其上一点和它的方向向量确定
若OP xOA yOB( x y 1)，---共线向量
则A、B、P三点共线。
定理的推论
三、共面向量及其定理
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
注意：空间任意两个
向量是共面的，但空
间任意三个向量就不
一定共面的了。
2.共面向量定理: 如果两个向量 a 、b 不共线,则
向量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的
有序实数对 ( x , y) 使 p xa yb .
b
C
A a B
高中数学选择性必修一(人教版)《1.1.1空间向量及其线性运算》课件
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定， 即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分 条件；
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素： 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于 同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则 对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量．
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素： 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于 同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则 对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量．
《向量及其线性运算》课件
2 2
z
R
M1
M2
Q
o
P
N
y
x
2
M 1 P PN NM 2
2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
2 2
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
2 2 PP2 x 1 1 2
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
二、向量的概念
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
三、向量的加减法
[1] 加法： a b c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 |c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
2
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
例2
设P 在x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
P 的坐标. 到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
z
R
M1
M2
Q
o
P
N
y
x
2
M 1 P PN NM 2
2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
2 2
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
2 2 PP2 x 1 1 2
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
二、向量的概念
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
三、向量的加减法
[1] 加法： a b c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 |c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
2
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
例2
设P 在x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
P 的坐标. 到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
高中数学选择性必修一课件：1.1.1空间向量及其线性运算
A．1
B．2
C．3
D．4
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
素养点睛：考查数学抽象的核心素养． 【答案】C
【解析】两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故① 不正确；若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则不一定能判断出 a＝b，故②不 正确；在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1成立，故③正确； ④显然正确；空间中任意两个单位向量的模必相等，但这两个向量不一 定相等，故⑤错误．
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 __互__相__平__行__或__重__合____，那么这些向量叫做共__线__向__量__或平 行向量
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
【预习自测】
【预习自测】 思维辨析(对的画“√”，错的画“×”) (1)向量A→B与B→A的长度相等． (2)【不答相案】等(1)的√ 两(2个 )× 空间向量的模必不相等．
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
2．下列命题是真命题的是______(填序号)． ①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个 向量一定不相等； ②若|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝|b|； ③若向量A→B，C→D满足|A→B|>|C→D|，且A→B与C→D同向则A→B>C→D.
给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别
相同；②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；③在正方体 ABCD－
A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1；④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p， 则 m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的个数是
高中数学人教版A版选择性必修一1.1.1空间向量及其线性运算课件
D1
C1
A1
B1
M
D C
A
B
共线向量与共面向量
a
b
回顾
B
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量.
回顾
平面向量数乘的定义
a 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ， a
它的长度和方向规定如下：
（1） | a || || a |;
零向量
模为0的向量
模为0的向量
单位向量
模为1的向量
模为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量 方向相反且模相等的向量
三、探究新知
3．提出问题：平面向量可以在平面内平移，那么空间 向量能否在空间中平移？
任意两个空间向量，我们总可以把它们平移到 同一个平面内
a // b(b 0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l为经过已知点A且平行已知非零向 量的直线，若点P是直线l上任意一点，则
由 l //知a 存在唯一的t, 满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
l
AP OP OA,
所以
OP
OA
ta
即
OP OA ta
①
aP
B
O
构成一个半径为1的球
三、理解新知 2 ． 在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 分 别 标 出
AB AD AA1 ， AB AA1 AD 表示的向量。能否
得出三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关 系？
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
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A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M B
o
A
中点公式:
B
x1
x2 2
,
y1 2
y2
,
z1 z2 2
M
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
a 2a
1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a
(a
b)
a
b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
Ⅵ
2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下,任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM ON NM OA OB OC
z
r
x
i
y
j
z
k
(
x
,
y
,
z
)
C
Q
R
r
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
o
O
M By
xA
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
a
三角形法则:
ab b
ab b a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
设 a ( ax , ay , az ),
b (bx ,by ,bz ),
为实数，则
a
b
(ax
bx
,ay
by
, az
bz
)
a ( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
当
ar
r 0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
例2.已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
规定: 零向量与任何向量平行 ; 向量共线：当两个平行向量的起点放在同一
点时，它们的终点和公共起点应在一条直
线上 .因此，两向量平行又称两向量共线. 向量共面：当把 k(k 3)个向量的起点放在同一 点
时，如果 k 个终点和公共起点在一个平面 上 . 就称这 k 个向量共面.
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
解得
故所求点为
M
(0
,
0
,
14 9
)
.
思考:
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
平行向量： 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ;
a 0， 故 0， 即 .
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o 由, 三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
向量及其线性运算
第一节
第八章
向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
r b
平行于
ar
的充
分必要条件是：存在唯一的实数
，使
r b
ar.
证 充分性显然；
当
必要性
设
b‖
a
取
b
与
a同向时
取正值，
b a ,
当
b
与
a
反向时
取负值，
即有
b
a.
此时
b
与
的唯一性.
a同向. 且 a
设
b
a，又设
b
a
aba， a
b.
两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0，
2 MB
bM
MA
1 2
(
a
b
)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
设a0表示与非零向量a同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a| a0
|
a a
|
a0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
两个向量的平行关系
定理
设向量
ar
0，那么向量
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
四、利用坐标作向量的线性运算
由勾股定理得
r OM
z R
M
o
Q y
P
x
N
x2 y2 z2
对两点
与
因
得两点间的距离公式:
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
例3.在 z 轴上求与两点
及
离的点 .
解: 设该点为M (0,0, z),因为 M A MB ,
等距
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
AHale Waihona Puke 得OM11
(OA
OB
B
即
1
1
( x1
x2
,
y1
y2
,
z1
z2 )
M
说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
2. 向量的减法
a
一般地，任给向量
uuur AB
及点 O
uuur uuur uuur uuur uuur AB AO OB OB OA
三角不等式
3、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0, a与a同向，| a| | a|
(2) 0,
a
0
(3) 0, a与a反向，| a|| | | a|