向量及其线性运算PPT课件
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线性代数第二章2-2向量及其线性运算
代数形象：向 量 的 坐 标 表 示 式
a a1 a2
an
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
系
代 数 形 象： 向量空间中的平面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
解
四、向量空间 1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足
①对加法封闭
if V , V V ; if V , R V . ②对数乘封闭 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）．
例1 全体ｎ维向量所组成的集合是一个向量空间, 记作 ：
第二节 向量及其线性运算
１、引入 确定小鸟的飞行状态， 需要以下若干个参数： 小鸟身体的质量ｍ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 鸟翼的振动频率ｔ 小鸟身体的水平转角θ 小鸟重心在空间的位置参数 P ( x , y , z ) 还有… 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 m t x y z
i 1,2,
, n
5、负向量： (a1, a2 ,
, an ), (a1, a2 , , an )
二、向量的运算 1、加法 a1
a2 an , b1 a2 b2 b2 bn ,
规定 a1 b1
an bn an bn
所以 V2不是一个向量空间.
例3
V3 x x1
有
k R,
V4 x x1
判别下列集合是否为向量空间.
第1章 1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算课件(共71张PPT)
·
情
课
景
堂
导
小
学
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
结
·
探
提
新 知
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
素 养
合
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
作
课
探 究
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向
时 分
层
释 疑
量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
作 业
难
返 首 页
·
结 提
新
素
知
(2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足O→P＝13O→A 养
合
作
课
探 究
＋13O→B＋13O→C，则点 P 与点 A，B，C 是否共面？
时 分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
17
·
情 景
[提示]
(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成
课 堂
导
小
学 为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
12
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？
·
提
新
素
知
养
[提示] 没有关系．
合
作
课
探
时
究
分
层
释
3.2向量及其线性组合1-PPT课件
o ( 0 , 0 ,..., 0 ) 即
注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量：n 维向量 的各分量的相反数所构成的 n 维 向量，称为 的负向量，记作 ，即
( a , a ,..., a ) 1 2 n
设 (a1 , a2 ,..., a n ) ， (b1 , b2 ,..., bn ) 都 向量相等： 是 n 维向量， 若它们的各个对应的分量都 相等，则称向量 与 相等， 记 作
T ( 2 , 3 ) 由 1
T ( 4 , 2 ) 2
构成的向量组1T, 2T为行向量组. 说明： （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成 一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 , 2 , , 1 n 构成一个 mn 矩阵 a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2n A ( , , , ) 1 2 n a a a a mj mn m1 m2
（2）向量的数乘
（k∈R） ， 所 定义3.3 n维向量 对应的各分量的 k 倍 构成的 n维向量，称为数 k 与向量 的乘积， 记作 k ，
减法
( )
与 的 和 称 为 与 的 差 ， 记 作 ， 即
( a ,a ,..., a ) ( b ,b ,..., b ) 1 2 n 1 2 n ( a b ,a b ,..., a b ) 1 1 2 2 n n
T T T, T 都是行向量. (4 ,2 ), (2 ,3 ), 则 若 2 1 1 2
注： 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量.
注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量：n 维向量 的各分量的相反数所构成的 n 维 向量，称为 的负向量，记作 ，即
( a , a ,..., a ) 1 2 n
设 (a1 , a2 ,..., a n ) ， (b1 , b2 ,..., bn ) 都 向量相等： 是 n 维向量， 若它们的各个对应的分量都 相等，则称向量 与 相等， 记 作
T ( 2 , 3 ) 由 1
T ( 4 , 2 ) 2
构成的向量组1T, 2T为行向量组. 说明： （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成 一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 , 2 , , 1 n 构成一个 mn 矩阵 a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2n A ( , , , ) 1 2 n a a a a mj mn m1 m2
（2）向量的数乘
（k∈R） ， 所 定义3.3 n维向量 对应的各分量的 k 倍 构成的 n维向量，称为数 k 与向量 的乘积， 记作 k ，
减法
( )
与 的 和 称 为 与 的 差 ， 记 作 ， 即
( a ,a ,..., a ) ( b ,b ,..., b ) 1 2 n 1 2 n ( a b ,a b ,..., a b ) 1 1 2 2 n n
T T T, T 都是行向量. (4 ,2 ), (2 ,3 ), 则 若 2 1 1 2
注： 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量.
第七章第1节向量及其线性运算
定义1
由n个数 a1, a2,…, an 所组成的有序数组
= (a1, a2,…, an)
称为n维向量. 数 a1, a2,… an 称为向量 的分量 (坐标)，aj 称为向量 的第 j 个分量(坐标). 一般地，我们用, , 表示向量，a, b, c 或 x, y, z 表示其分量.
线性相关.
定理3. 任意 n+1 个 n 维向量都是线性相关的.
推论3. 若1, 2,… m为 n 维向量.且 m > n
则此向量组 线性相关.
定义3. 设 T 是 n 维向量所组成的向量组.
如果 T 的部分组 1, 2,…,r 满足
(i) 1, 2,…, r 线性无关; (ii) T, 可由1, 2,…, r 线性表出, 即 , 1, 2,…,r 线性相关. 则称向量组1, 2,…, r为向量组T的一个极大线性无 关向量组，也称极大无关组.
0= 1 (1 + 2 )+ 2 (2+ 3 )+ 3(3 + 1 ) = (1+ 3)1 + (1 +2)2 + (2 +3 )3.
1＋3 =0, 1+ 2 =0,
2＋3 =0.
1+2+ 3=0, 1=2= 3=0. 故 1 , 2 , 3 线性无关. 证毕.
且 1, 2,…, r, 0, …, 0 不全为零，
即1, 2, …, r , r+1 ,…,m 线性相关.
推论1. 若1, 2,…, r 线性无关. 则其部分组 (由1, 2,…, r 中某些向量组成的向量组)
也线性无关.
推论2. 若向量组中含有零向量, 则 此向量组
平面向量的概念及线性运算(课堂PPT)
3
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0， 零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ． （7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识 典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
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时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
空间向量及其线性运算ppt课件
1 OA 2 MN
23
1 OA 2 MA AB BN
23
1 2
OA
2 3
1 2
OA
OB
OA
1 2
BC
1 2
OA
2 3
OB
1 2
OA
1 2
OC OB
1 OA 1 OB 1 OC 633
1 6
a＋
13b＋
1
c3
学习目标
新课讲授
课堂总结
技巧归纳 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关 键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算 时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移 获得运算结果.
B b A
AQ M
a
O
λa(λ＜0)
PN
λa(λ＞0)
学习目标
新课讲授
课堂总结
运算律的类比（其中λ，μ∈R）：
平面向量
空间向量
交换律
a＋b=b＋a
a＋b=b＋a
结合律 分配律
(a＋b)＋c = a(＋b＋c) ， (a＋b)＋c =a(＋b＋c) ，
λ(μa) = (λμ)a
λ(μa) = (λμ)a
学习目标
新课讲授
课堂总结
利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用向量的三角形 法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
学习目标
新课讲授
课堂总结
《向量及其线性运算》课件
2 2
z
R
M1
M2
Q
o
P
N
y
x
2
M 1 P PN NM 2
2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
2 2
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
2 2 PP2 x 1 1 2
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
二、向量的概念
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
三、向量的加减法
[1] 加法： a b c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 |c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
2
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
例2
设P 在x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
P 的坐标. 到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
z
R
M1
M2
Q
o
P
N
y
x
2
M 1 P PN NM 2
2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
2 2
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
2 2 PP2 x 1 1 2
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
二、向量的概念
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
三、向量的加减法
[1] 加法： a b c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 |c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
2
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
例2
设P 在x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
P 的坐标. 到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
向量及其线性运算PPT文档共21页
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
向量及其线性运算4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
1.1.1 空间向量及其线性运算课件ppt
边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.
③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体
的边选择途径).
延伸探究 本例条件不变,试用 a,b,c 表示向量 + 1 .
解 + 1 = 1 + 1 1 + 1 + + 1
1
1 1
1
1
③1 = 1 + + =-1 + + 2 =-a+b+2c.
反思感悟 空间向量线性运算的技巧和思路
(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧
①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运
算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.
F 在对角线 A1C 上,且1 =
2
.求证:E,F,B
3
三点共线.
思路分析可通过证明 与共线来证明 E,F,B 三点共线.
证明 设=a,=b,1 =c.
因为1 =21 , 1 =
所以1 =
2
,
3 1 1 1
所以1 =
2
3
2
= (
对于空间任一点O,点P在
直线l上的充要条件是存在
推论 实数t,使
①,如图所示.
如图,空间一点P位于平面
MAB内的充要条件是存在
有序实数对(x,y),使
2.如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,
由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得 =λa.
解析 单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有|a|=1,即选
③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体
的边选择途径).
延伸探究 本例条件不变,试用 a,b,c 表示向量 + 1 .
解 + 1 = 1 + 1 1 + 1 + + 1
1
1 1
1
1
③1 = 1 + + =-1 + + 2 =-a+b+2c.
反思感悟 空间向量线性运算的技巧和思路
(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧
①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运
算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.
F 在对角线 A1C 上,且1 =
2
.求证:E,F,B
3
三点共线.
思路分析可通过证明 与共线来证明 E,F,B 三点共线.
证明 设=a,=b,1 =c.
因为1 =21 , 1 =
所以1 =
2
,
3 1 1 1
所以1 =
2
3
2
= (
对于空间任一点O,点P在
直线l上的充要条件是存在
推论 实数t,使
①,如图所示.
如图,空间一点P位于平面
MAB内的充要条件是存在
有序实数对(x,y),使
2.如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,
由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得 =λa.
解析 单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有|a|=1,即选
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
向量及其线性运算
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
高等数学
由图上可以看出
a = M 1 M 2 = M 1 B + BM 2 = M 1 A + AB + BM 2
而 M 1 A = P1 P2
R2 R1
M2 M1
A
B
k
AB = Q1Q2 BM 2 = R1 R2 ⇒
∵ a ≠ 0， 故 λ − µ = 0， 即 λ = µ .
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
高等数学
此定理是建立数轴的理论依据 数轴： 数轴：点、方向、单位长度 方向、 点P 向量 OP = xi
．
O
1
x ． P
i
x
实数 x
轴上点P的坐标为 的充分必要条件是 轴上点 的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 的坐标为 另外 设a 0 表示与非零向量 a 同方向的单位向量， 同方向的单位向量， 按照向量与数的乘积的规定， 按照向量与数的乘积的规定， a 0 = a0 . a =| a | a |a| 上式表明： 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一 个与原向量同方向的单位向量. 个与原向量同方向的单位向量
在 x 轴上的投影 的值
M2 M1
A
B
y2 − y1
P1 P2
k
Q1
Q2
为向量 M 1 M 2 在 y 轴上的投影 有向线段 R1 R2 的值 z2 − z1 为向量 M 1 M 2 依次记作 a x
i
o
j
y
x
在 z 轴 上的投影
中国劳动关系学院
高等数学
由图上可以看出
a = M 1 M 2 = M 1 B + BM 2 = M 1 A + AB + BM 2
而 M 1 A = P1 P2
R2 R1
M2 M1
A
B
k
AB = Q1Q2 BM 2 = R1 R2 ⇒
∵ a ≠ 0， 故 λ − µ = 0， 即 λ = µ .
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此定理是建立数轴的理论依据 数轴： 数轴：点、方向、单位长度 方向、 点P 向量 OP = xi
．
O
1
x ． P
i
x
实数 x
轴上点P的坐标为 的充分必要条件是 轴上点 的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 的坐标为 另外 设a 0 表示与非零向量 a 同方向的单位向量， 同方向的单位向量， 按照向量与数的乘积的规定， 按照向量与数的乘积的规定， a 0 = a0 . a =| a | a |a| 上式表明： 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一 个与原向量同方向的单位向量. 个与原向量同方向的单位向量
在 x 轴上的投影 的值
M2 M1
A
B
y2 − y1
P1 P2
k
Q1
Q2
为向量 M 1 M 2 在 y 轴上的投影 有向线段 R1 R2 的值 z2 − z1 为向量 M 1 M 2 依次记作 a x
i
o
j
y
x
在 z 轴 上的投影
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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a C
M
B
AD AMMD MCBM BC
AD与 BC平行且相等, 结论得证.
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此定理是建立数轴的理论依据
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数轴：点、方向、单位长度
．1
Oi
点P 向量 OP = xi 实数 x
．x
Px
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi .
另外 设 a 0表示与非 a 同 零 方 向 向 量 的单
按照向量与数的乘积的规定，
a|a|a0
|
a a
|
a0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一 个与原向量同方向的单位向量.
例3 用向量的方法证明梯形两腰中点的连线 平行于底边且等于两底边之和的一半
证 E E F D DF C
D
E C C DFE
F
E E F B BF
E A A B BF A
B
2 E A F C ( B E D E ) C ( D A B ) F F
AB //CD
0
0
A B CD E F 1(A B C) D 1(1)CD
当 b 与 a 反向 取 时 负 即 值 b 有 a ， .
的此 唯一b 与 性.时 设 a 同 b.且 a， 向 又 a b 设 a a ba， a
b.
两式相减，得 ()a 0 ， 即 a 0，
a0，故0，即.
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( a b )a b
两个向量的平行关系 定理 设向 a量 0，那么 b平 向行 量 a的 于充
分必要条件一 是的 ：实 ， 存数 使 b 在 a 唯 .
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证 充分性显然；
当 b 与 必要a 同 性 设 向 b取 ‖ a时 取正 值 ba , ，
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第一节 向量及其线性运算
一、向量概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算
五、向量的模、方向角、投影
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一、向量的概念
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向量：既有大小又有方向的量. 向量的大小：向量长度的值.
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三、空间直角坐标系高等数学b源自a|c ||a | c|b |
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向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律： a b b a .
（2）结合律： a b c ( a b ) c a (b c ).
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自由向量：不考虑起点位置的向量.
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相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
负向量：大小相等但方向相b反的向量.a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
向量平行： 两个非零向量的方向相同或者相反.
k个向量共面： k( 2)个有公共起点的向量的k
个终点和起点在一个平面上.
使 a b c b c a
a b c ( 1 ) c a b c ( 1 ) a
( 1 ) c ( 1 ) a 1 , 1
若不然 则 a //c 与题设矛盾 故 a b c 0
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例1 化简 a b 51b b 3a 2 5
解 a b 51b b 3a 2 5
(13)a 15 21 55 b
2a 5b. 2
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M2
向量的方向：箭头的方向.
向量表示：a或 M1M2
M 1
以 M1为起点， M 2为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a|或 | M1M2|
单零位向向量量：：模模长长为为0的1的向向量量,其. 方a 0向或任M 意1.M020
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(2)0, a 0
(3)0, a 与 a 反 向 ， |a | | ||a |
a 2a 1 a 2
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数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： (a )(a )()a
（2）分配律： ( ) a a a
2
2
EF //CD
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例4 已知三个非零向量
a,b,c
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中任意两个向量
都不平行 但 a b 与 c 平 ,b c 与 行 a 平 试证 a b c 0
证 由题设 存在 0,0
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二、向量的线性运算
1. 向量的加减法
[1] 加法：a b c
b
c
（平行四边形法则）
a
ab a b
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
b
分为同c向和|c 反| 向|a | |b |
（3） a ( a )0 .
[2] 减法
a b a ( b ) ab b
b c
a
b
b a
ab
c
a
(b)
a
b
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2. 向量与数的乘法
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1)0, a 与 a 同 向 ， |a | |a |