高一数学数列全章知识点

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人教版高一数学知识点梳理整合5篇

人教版高一数学知识点梳理整合5篇高一数学知识点梳理整合数列1.等差数列1）定义：若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之差都相等，则该数列为等差数列。

2）通项公式：an = a1 + (n-1)d (其中a1为首项，d为公差，n 为项数)3）前n项和公式：Sn = n/2 (a1+an) = n/2 (2a1+(n-1)d)例题：如果a1=3，d=5，求第5项与第10项的值。

解：an = a1 + (n-1)da5 = a1 + (5-1)d = 3 + 4×5 = 23a10 = a1 + (10-1)d = 3 + 9×5 = 482.等比数列1）定义：若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之比都相等，则该数列为等比数列。

2）通项公式：an = a1 × q^(n-1) (其中a1为首项，q为公比，n为项数)3）前n项和公式：Sn = a1 (1-q^n)/(1-q)例题：如果a1=2，q=3，求第4项与前4项的和。

解：an = a1 × q^(n-1)a4 = a1 × q^(4-1) = 2 × 3^3 = 54Sn = a1 (1-q^n)/(1-q)S4 = 2 (1-3^4)/(1-3) = 242概率统计1.概率基础1）定义：在试验中，事件A发生的可能性大小称为A的概率，记为P(A)。

2）公式：P(A)=n/N (其中n为事件A包含的基本事件数，N为试验总基本事件数)2.条件概率1）定义：若已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为A在B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。

高一数学必修5：数列(知识点梳理)

第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------，设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

高一数学数列知识点

高一数学数列知识点数列作为数学中的重要概念，贯穿着高中数学的整个学习过程。

它虽然看似简单，但其中蕴含着丰富的知识和应用。

在高一的数学学习过程中，数列是一个非常重要的章节，本文将对高一数学数列知识点进行总结和探讨。

首先，数列的定义是我们学习数列的基础。

数列是一组有序的数按照一定规律排列而成的序列。

其中，每个数被称为数列的项，而规律被称为数列的通项公式。

例如，{1，3，5，7，9，…}就是一个常数项数列，其中的通项公式可以表示为an = 2n-1。

数列的定义不仅帮助我们从宏观上把握数列的概念，而且为我们后续的学习提供了基础。

接下来，我们来讨论数列的类型。

根据数列的规律性质，我们可以将数列分为等差数列、等比数列和通项公式类型数列。

等差数列是指数列中的相邻两项之差是一个常数，我们常用的等差数列通项公式是an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等比数列则是指数列中的相邻两项之比是一个常数，我们常用的等比数列通项公式是an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

通项公式类型数列则是指数列的通项公式表达较为复杂，但可以通过一定的规律或者递推关系式来得到。

在应用方面，数列有着广泛的运用。

例如，在数学中，我们常常使用数列来解决实际问题，如求和、求项数等。

这些问题涉及到数列的性质和规律的运用，锻炼了我们数学思维的能力。

此外，在其他学科中，数列也有被使用的机会。

比如在物理学中，数列可以用来描述运动的轨迹和速度；在经济学中，数列可以用来描述人口增长和经济增长的规律。

因此，掌握数列知识对于我们将来的学习和发展有着重要意义。

数列还有一个重要的性质是递推关系式。

递推关系式是数列中项与项之间的关系表达式。

通过递推关系式，我们可以根据前一项或前几项的值来推导后一项的值。

这种递推的思维方式培养了我们的逻辑思维和推理能力。

在解题时，我们可以通过观察数列的规律，找到递推关系式，并利用这一关系求解问题。

高一数列重点知识点总结

高一数列重点知识点总结高一数学中，数列是一个非常重要的概念和知识点。

数列不仅在数学中有着广泛的应用，还经常出现在其他学科中，如物理、经济等。

掌握数列的重要性不言而喻，下面将对高一数列的一些重点知识点进行总结与梳理。

首先，我们需要了解数列的基本概念。

数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列中的每一个数被称为数列的项，代表数列中的第几个数。

数列可以有无限多个项，也可以有有限个项。

数列中的项数可以用字母n表示。

接下来，我们来了解数列中的常见类型。

首先是等差数列，它指的是一个数列中的每一项与它的前一项之差都相同。

这个公差通常用字母d表示。

例如，2，5，8，11，14就是一个等差数列，公差为3。

等差数列可以通过确定首项和公差的关系式来求解任意一项的值。

除了等差数列，还有等比数列。

等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相同。

这个公比通常用字母q表示。

例如，2，6，18，54，162就是一个等比数列，公比为3。

等比数列可以通过确定首项和公比的关系式来求解任意一项的值。

另外，还有斐波那契数列。

斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的前两项都是1，之后的每一项都是前两项的和。

例如，1，1，2，3，5，8，13就是一个斐波那契数列。

斐波那契数列在自然界中有着重要的应用，比如植物的生长规律、蜂群的繁衍等。

在数列的应用中，我们需要了解数列的前n项和。

数列的前n项和表示数列前n个数的和。

对于等差数列和等比数列，我们可以通过公式求解前n项和。

等差数列的前n项和公式为：Sn = (a1+ an) * n / 2，其中a1表示首项，an表示第n项。

等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1表示首项，q表示公比。

此外，在数列的应用中，有时我们需要求解数列的通项公式。

通项公式表示数列中的第n项与n之间的关系。

对于等差数列和等比数列，我们可以通过观察和推导求解通项公式。

高一数学四个章节知识点

高一数学四个章节知识点1. 数列与数列的极限数列是按照一定规律排列的一组数，可以用公式表示。

数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于某个确定的数。

在高一数学中，我们主要学习了等差数列和等比数列。

1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。

我们可以通过找出公差来确定等差数列。

等差数列的通项公式是：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。

我们可以通过找出公比来确定等比数列。

等比数列的通项公式是：an = a1 * r^(n - 1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

2. 二次函数与一元二次方程二次函数是一种函数形式，其函数方程是y = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c分别为二次函数的系数。

我们可以通过二次函数的图象的开口方向、顶点坐标等特征来研究二次函数。

与二次函数紧密相关的一元二次方程也是高一数学的重点内容。

一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c同样为系数。

我们可以通过求根公式或配方法来解一元二次方程。

3. 平面向量与几何应用平面向量是指位于同一平面上的两个有大小和方向的向量。

我们可以通过向量的运算来进行相关的计算。

高一数学中，我们主要学习了平面向量的加减、数量积和向量积。

平面向量和几何应用也是密切相关的。

在几何中，我们可以利用向量的性质来解决平行、垂直、共线等几何问题。

例如，在证明平行四边形的性质时，我们可以利用向量加法和向量积的概念。

4. 导数与函数的应用导数是函数的一个重要性质，表示函数在某一点的变化率。

高一数学中，我们学习了导数的定义、导数的性质以及常见的导函数。

我们可以通过求导数来确定函数的最值、切线方程等。

函数的应用是导数的一种重要应用之一。

在实际问题中，我们可以通过建立函数模型来求解最优解、判断函数的增减性等。

高一数学必修一 - 数列知识点总结

高一数学必修一 - 数列知识点总结1. 数列的概念数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列可以分为等差数列和等比数列两种。

a. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。

如果数列的公差为d，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。

b. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。

如果数列的公比为r，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。

2. 数列的性质a. 通项公式通项公式是数列中任意一项与项数之间的关系式。

根据数列的类型，可以通过公式求解任意项。

b. 公差和公比对于等差数列，公差是指相邻两项之间的差值。

公差可以用于确定数列的特征和性质。

对于等比数列，公比是指相邻两项之间的比值。

公比可以用于确定数列的特征和性质。

c. 首项和末项首项是数列中的第一项，通常用$a_1$表示。

末项是数列中的最后一项，通常用$a_n$表示。

d. 项数项数是数列中项的个数，通常用n表示。

e. 等差数列的和等差数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$，其中$S_n$表示前n项和。

f. 等比数列的和等比数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前n项和。

3. 数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，其中一些常见的应用包括：a. 金融计算数列可以应用于金融中的利息计算、贷款计算等，帮助人们进行财务规划和计算。

b. 物理学数列可以应用于物理学中的运动学问题，如运动物体所经过的位置、速度等的计算。

c. 统计学数列可以应用于统计学中的数据分析和预测，帮助人们了解和预测事物的发展趋势。

总结数列是数学中非常重要的概念，常见的数列包括等差数列和等比数列。

高一数学每一章知识点梳理

高一数学每一章知识点梳理【高一数学每一章知识点梳理】第一章：数列与数学归纳法数列的概念和性质- 数列的定义与表示方法- 等差数列与等差中项- 等比数列及其性质- 数列的求和公式- 等差数列与等比数列的和的性质- 斐波那契数列数学归纳法- 数学归纳法的基本思想与原理- 数学归纳法的应用第二章：函数基本概念函数的定义与表示- 自变量与因变量- 函数的定义及表示方法- 函数的值域与定义域- 函数的图像与性质函数的基本性质- 函数的奇偶性- 奇偶函数的性质- 函数的单调性与最值- 函数的周期性- 函数的反函数线性函数与二次函数- 线性函数的概念与性质- 线性函数的图像与应用- 二次函数的概念与性质- 二次函数的图像与应用第三章：三角函数单位圆与三角函数的定义- 单位圆的坐标体系- 弧度与角度的互换- 正弦、余弦、正切函数的定义- 三角函数的周期性与奇偶性三角函数的诱导公式- 诱导公式的概念与推导- 角和差公式- 二倍角公式与半角公式三角函数的图像性质与变换- 正弦、余弦、正切函数的图像性质- 幅值、周期、相位的变化- 三角函数的平移与反转第四章：平面向量向量的概念与表示- 向量的定义与表示方法- 向量的模、方向与共线性- 零向量与相反向量向量的运算- 向量的加法与减法- 数乘与向量的数量积- 向量的数量积与夹角- 向量的向量积及其性质平面向量的应用- 平面向量的共线性、共面性- 利用平面向量解决几何问题第五章：解直角三角形勾股定理与三角函数- 直角三角形的性质与定义- 勾股定理的概念与应用- 单位圆上的三角函数与直角三角形的关系解直角三角形- 已知两边求夹角- 已知一边一角求其他边与角度解决初等几何问题- 利用三角函数解决初等几何问题第六章：平面几何向量向量的基本运算法则- 向量的加法、减法与数量积- 向量运算的几何意义- 平面向量与坐标的转换向量的线性相关与线性无关- 向量的线性组合- 向量的线性相关性与线性无关性平面向量的数量积- 数量积的概念与性质- 向量夹角的数量表示- 零向量与向量垂直的判定平面向量的应用- 平面向量解决几何问题- 向量平行和垂直的判定第七章：不等式与不等式组一元一次不等式- 一元一次不等式的概念与解法- 一元一次不等式的综合应用一元二次不等式- 一元二次不等式的概念与解法- 一元二次不等式的综合应用一元函数不等式- 一元函数不等式的概念与解法- 一元函数不等式的综合应用多元函数不等式组- 多元函数不等式组的概念与解法- 多元函数不等式组的应用第八章：平面几何直线与圆直线的方程与性质- 直线的斜截式与截距式- 直线的点斜式与两点式- 直线的平行与垂直关系- 直线的夹角与交点性质圆的方程与性质- 圆的一般方程与特殊方程- 圆的位置关系- 切线与切点的性质圆的切线方程- 切线的定义与判定条件- 切线方程的推导与应用- 切线长度的求解【总结】以上是高一数学每一章的知识点梳理，通过系统的学习与掌握这些知识点，可以帮助同学们打下牢固的数学基础，为后续学习提供有力支持。

高一数学数列知识点总结

高一数学数列知识点总结在高一数学课程中，数列是一个重要的概念。

数列是一种按照一定规律排列的一系列数，通过研究数列的规律和特性，我们可以掌握很多解题技巧和方法。

本文将对高一数学数列相关的知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。

常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，d为公差。

以下是等差数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 + (n-1)d，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an) =n(a1 + an)/2，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d) = (n/2)(a1 + an) ，其中Sn为前n项和；4. 等差数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的中值；5. 若m项等于n项差相等，则m至n项也是等差数列。

二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。

常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，q为公比。

以下是等比数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；4. 等比数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的几何平均数；5. 如果q的绝对值小于1，那么等比数列的前n项和存在极限，即Sn = a1 / (1 - q)。

三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。

通常用F(n)表示第n项，其中F(1) = 1，F(2) = 1。

斐波那契数列的性质有：1. F(n) = F(n-1) + F(n-2)；2. 斐波那契数列的前n项和可以通过递推公式进行求解。

高一数学总复习数列

高一数学总复习－－数列一、内容概要：1、数列的观点：依据必定序次摆列的一列数。

2、通公式：一个数列的第能用的一个表达式来表示。

推公式：一个数列的能用它前面若干的表达式来表示。

3、两特别数列的比：等差数列等比数列概从第 2 起，每一减去它前面一所得从第2起，每一与它前面一的比都的差都等于同一个常数的数列。

等于同一个常数的数列。

念个常数称公差，往常用 d 表示。

个常数称公比，往常用q 表示。

通公式前 n和公式中观点② . 第 20 ；③.第几是152例 2：已知等差数列{ a n } 的第 7 是 8，第 11是－ 20，求它的第15例 3：在等差数列{ a n } 中，a312 , a7 4 ,s20=例 4：已知三个数成等差数列，它的和12，－ 132，求三个数三、：（一）、：（1 ）、等差数列二、例解：例1：已知等差数列－1， 2，5，8，⋯ , 求：①.数列的通公式；1、数列 { a n } 的通公式a n3n 2 ， a2=()A、－4B、－ 7C、 8D、 112、数列 1， 2，4， 7， 11，⋯中， 29是数列的（）A 、第6B、第7C、第8D 、第93、以下各数列中是等差数列的是（）A 、1， 2，3，5B、－ 1，－ 2，－ 4，－ 8C 、2， 0，2，0D、－ 7，－ 5，－ 3，－ 14、 a＋c=2b 是 a,b,c成等差数列的（）A 、充足条件B、充足必需条件C、必需条件D、既不充足又不用要条件5、等差数列{ a n } 中，a n =2n－ 1,它的前 6 和s6（）A 、－36B、 30C、 38D、36（二）、填空：1、“斐波那契”数列中的第8。

2、在 1，2 3,3 5, 47,⋯中第5是。

3、等差数列 { a n } 中，a2 1 , a57 , d =,a1=4、等差数列 {a n}中， a1 1 ,d = 2 ,a n27 , n =5、52与 5 2 的等差中6、前 100 个正整数的和；前 n 个正偶数的和.7、在等差数列 { a n } 中，a312 , a7 4 , s23=（三）、解答：1、已知等差数列 { a n } 中，a111 , a5 3 ,求公差d和前10和 s102、已知三个数成等差数列，它们的和为15，各数的平方和为83，求这三个数。

高一数学第4章知识点归纳

高一数学第4章知识点归纳第4章数列的概念与数列的性质数列是指按照一定规律排列的一组数。

在高一数学的学习中，数列是一个重要的概念，它涉及到很多数学问题的解法。

本章主要介绍了数列的概念、数列的性质以及数列运算等知识点。

一、数列的概念数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。

数列可以看作是对一般函数的简化，它只涉及到自变量为正整数的情况。

数列的一般表示形式为{an}或者(a1, a2, a3, ...)，其中an表示数列的第n个数。

二、数列的性质1. 公式与通项数列可以用公式来表示，这个公式可以描述数列中的每一项与其下标之间的关系。

通项是指数列中的第n个数的一般表示形式。

通过得到数列的通项公式，我们可以方便地求出数列的任意项。

2. 递推关系数列中的每一项都与它前面的某些项有关，这种关系称为递推关系。

通过递推关系我们可以得到数列中的每一项，从而利用这些项进行数列的相关问题的求解。

3. 数列的有界性数列可以是有界的，也可以是无界的。

有界数列是指数列的所有项都在某个范围内变动的数列，无界数列则是指数列中的项无限地趋向于正无穷或负无穷。

4. 数列的单调性数列可以是单调增加的，也可以是单调减少的。

单调增加的数列是指数列的每一项都大于前一项，单调减少的数列则是指数列的每一项都小于前一项。

三、数列运算1. 数列的四则运算数列之间可以进行加减乘除运算，这与我们在初中学习的四则运算是类似的。

对于两个数列进行加减乘除运算，我们只需要对相应的项进行对应的运算即可。

2. 数列的和与积数列的和指的是数列中所有项的和，数列的积则是指数列中所有项的乘积。

求数列的和与积可以通过数列的通项公式以及数列中项的个数来计算。

四、数列的应用1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是相等的数列。

等差数列在数学中有很多应用，特别是在代数运算以及几何问题中经常会用到。

2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是相等的数列。

等比数列在数学中也有广泛的应用，特别是在比例问题和指数函数中经常会用到。

高一数学复习考点知识讲解课件28---数列的递推公式

高一数学复习考点知识讲解课件第2课时数列的递推公式考点知识1.能根据数列的通项公式解决简单的问题.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.3.进一步理解数列与函数的关系．导语同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本学案上的例1. 一、数列的通项公式的简单应用例1已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 2－n ，n ∈N *. (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列{a n }中的项，3是否为数列{a n }中的项．解(1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为1,6,15.(2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0，解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项．令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，故3不是数列{a n }中的项．反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练1已知数列{a n}的通项公式为a n＝q n，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．解(1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)当q＝3时，a n＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，a n＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项．二、数列的递推公式问题1如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为a n ，你能发现a n 与a n ＋1之间的关系吗？提示其实把n ＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n 个金属片移到2号位，需要a n 步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n 个金属片移到3号位，需要a n 步，故a n ＋1＝2a n ＋1. 知识梳理一般地，如果已知一个数列{}a n 的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．注意点：(1)通项公式反映的是a n 与n 之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项．例2若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，n ∈N *，求a 2021.解a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1，…∴{a n }是周期为4的数列， ∴a 2021＝a 4×505＋1＝a 1＝2.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．跟踪训练2已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第3项是() A ．1B.12C.34D.58 答案C解析a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.三、由递推公式求通项公式例3(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a n 等于()A.1nB.2n －1nC.n －1nD.12n 答案B解析方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为 a 1＝1，a 2＝1＋1－12＝2－12＝32， a 3＝32＋12－13＝2－13＝53，a 4＝53＋13－14＝2－14＝74， a 5＝74＋14－15＝2－15＝95，又a 1＝1，由此可得数列的一个通项公式为 a n ＝2n －1n .方法二(迭代法)a 2＝a 1＋1－12， a 3＝a 2＋12－13，…， a n ＝a n －1＋1n －1－1n (n ≥2)，则a n ＝a 1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝2－1n ＝2n －1n (n ≥2)．又a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n (n ∈N *)．方法三(累加法)a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，a 1＝1， a 2－a 1＝1－12， a 3－a 2＝12－13， a 4－a 3＝13－14， …a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2)，以上各项相加得a n ＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n .所以a n ＝2n －1n (n ≥2)．因为a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n (n ∈N *)．(2)已知数列{}a n 满足a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n ()n ∈N *，则a n 等于()A ．n ＋1B ．n C.1n ＋1D.1n 答案D解析由题意，因为数列{}a n 满足a n ＋1＝nn ＋1a n ()n ∈N *，所以a n ＋1a n ＝nn ＋1，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×23×12×1＝1n . 反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式． (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①a n ＋1－a n ＝常数，或a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②a n ＋1＝pa n (p 为非零常数)，或a n ＋1＝f (n )a n (f (n )是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； ③a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．跟踪训练3(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，求a n . 解因为a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，所以a n －a n －1＝n ＋1－n .所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(n ＋1－n )＋(n －n －1)＋…＋(3－2)＋1＝n ＋1－2＋1.又a 1＝1也符合上式，所以a n ＝n ＋1－2＋1，n ∈N *.(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，ln a n －ln a n －1＝1(n ≥2)，求a n . 解因为ln a n －ln a n －1＝1，所以ln a na n －1＝1，即a na n －1＝e(n ≥2)．所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(1)e e e n -⋅⋅⋅个·1 ＝e n －1(n ≥2)，又a 1＝1也符合上式，所以a n ＝e n －1，n ∈N *. 四、数列的函数特征问题2在数列的通项公式中，给定任意的序号n ，就会有唯一确定的a n 与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？提示函数．知识梳理通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *(或它的有限子集)为定义域的函数解析式．(2)数列还可以用列表法、图象法表示．例4已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，n ∈N *.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．解方法一a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝(9－n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10且a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.方法二根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.反思感悟求数列最值的方法(1)函数的单调性法：令a n ＝f (n )，通过研究f (n )的单调性来研究最大(小)项．(2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设a n 最大，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，解不等式组便可得到n 的取值范围，从而确定n 的值；求最小项用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)求得n 的取值范围，从而确定n 的值．跟踪训练4已知数列a n ＝n 2－6n ＋5，则该数列中最小项的序号是() A ．3B ．4C ．5D ．6 答案A解析因为a n ＝()n 2－6n ＋9－4＝()n －32－4，所以当n ＝3时，a n 取得最小值．1．知识清单： (1)数列的递推公式．(2)由递推公式求数列的通项公式．(3)数列的函数特征．2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．3．常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式．1．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8答案D解析因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，所以a 2＝a 1＋1＝2＋1＝3，a 3＝a 2＋2＝3＋2＝5，a 4＝a 3＋3＝5＋3＝8.2．在数列{}a n 中，a n ＝n ＋2n ＋1，则{}a n () A ．是常数列B ．不是单调数列C ．是递增数列D ．是递减数列答案D解析在数列{}a n 中，a n ＝n ＋2n ＋1＝1＋1n ＋1，由反比例函数的性质得{}a n是递减数列．3．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n·a n＋2＝a n＋1(n∈N*)，则a2021的值为()A．2B．1C.12D.14答案C解析a n·a n＋2＝a n＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，由a3＝2，a4＝1，得a5＝12，由a4＝1，a5＝12，得a6＝12，由a5＝12，a6＝12，得a7＝1，由a6＝12，a7＝1，得a8＝2，由此推理可得数列{a n}是一个周期为6的周期数列，所以a2021＝a336×6＋5＝a5＝12.4．323是数列{n(n＋2)}的第________项．答案17解析由a n＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．课时对点练1．已知数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝0，则此数列的第5项是()A ．15B ．255C ．16D ．63答案B解析由递推公式，得a 2＝3，a 3＝15，a 4＝63，a 5＝255.2．数列12，－14，18，－116，…的第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1的关系是()A ．a n ＋1＝2a nB ．a n ＋1＝－2a nC ．a n ＋1＝12a nD ．a n ＋1＝－12a n答案D3．在数列{}a n 中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2021等于() A.12B ．－1C ．2D ．3答案B解析当n ＝1时，a 2＝1－1a 1＝－1；当n ＝2时，a 3＝1－1a 2＝2；当n ＝3时，a 4＝1－1a 3＝12＝a 1；a 5＝1－1a 4＝－1＝a 2；a 6＝2；… 所以数列{a n }是一个周期为3的周期数列，故a 2021＝a 3×673＋2＝a 2＝－1.4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项公式a n 等于()A ．n 2＋1B ．n ＋1C．1－n D．3－n答案D解析∵a n＋1－a n＝－1.∴当n≥2时，a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝2＋11()()()1n共(-1)个－＋－＋＋－＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项公式a n＝3－n(n∈N*)．5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()A．a n＋1＝a n＋n，n∈N*B．a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2C．a n＋1＝a n＋()n＋1，n∈N*，n≥2D．a n＝a n－1＋()n－1，n∈N*，n≥2答案B解析结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2.6．已知在数列{a n}中，a n＝－2n2＋25n＋30(n∈N*)，则数列中最大项的值是()A．107B．108C．10818D．109答案B解析由已知得a n ＝－2n 2＋25n ＋30＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2542＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离254最近的正整数6时，a n 取得最大值108.∴数列{a n }中最大项的值为a 6＝108.7．已知在数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝______.答案8164解析a 1a 2…a 8＝82，①a 1a 2…a 9＝92，②②÷①得，a 9＝9282＝8164.8．数列{}a n 的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋50，则数列中的最小项是________．答案38解析数列{}a n 的通项公式a n ＝n 2－7n ＋50＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋1514，因为n ∈N *，所以当n ＝3或n ＝4时，a n 最小，此时a 3＝a 4＝38，则数列中的最小项是38.9．在数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n (不用证明)．解(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n， ∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25. (2)猜想：a n ＝2n ＋1. 10．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2021.解(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2，n ∈N *.(2)a 2021＝4×2021－2＝8082.11．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n，则数列{a n }的最大项是() A ．a 1B ．a 9C ．a 10D ．不存在答案A解析因为a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ，所以a n >0，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1<1，所以a n ＋1<a n ，所以此数列为递减数列，故最大项为a 1.12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，那么1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020等于()A ．a 2021B ．a 2022C ．a 2023D ．a 2024答案A解析由于a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，则1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 3＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 5＋a 6＋…＋a 2020＝a 2019＋a 2020＝a 2021.13．已知a n ＝n 2－21n 2，则数列{a n }中相等的连续两项是()A ．第9项，第10项B．第10项，第11项C．第11项，第12项D．第12项，第13项答案B解析假设a n＝a n＋1，则有n2－21n2＝(n＋1)2－21(n＋1)2，解得n＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．14．设{a n}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋a n＋1a n＝0(n∈N*)，则它的通项公式a n＝________.答案1 n解析方法一(累乘法)把(n＋1)a2n＋1－na2n＋a n＋1a n＝0分解因式，得[(n＋1)a n＋1－na n](a n＋1＋a n)＝0.∵a n>0，∴a n＋1＋a n>0，∴(n＋1)a n＋1－na n＝0，∴a n＋1a n＝nn＋1，∴a2a1·a3a2·a4a3·…·a na n－1＝12×23×34×…×n －1n ＝1n (n ≥2)，∴a na 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n .又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝1n ，n ∈N *.方法二(迭代法)同方法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3＝…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .方法三(构造特殊数列法) 同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1， ∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n (n ∈N *)．15．在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k 叫作这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________. 答案28解析依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.16．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数.若a 4＝4，求m 所有可能的取值．解若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，＝1，a2＝2.若a2为偶数，则a22若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝13(舍去)，若a1为偶数，a1＝2，a1＝4；2＝4，a3＝8.若a3为偶数，则a32若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝73(舍去)，＝8，a2＝16.若a2为偶数，则a22若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，若a1为偶数，则a1＝16，a1＝32.2故m所有可能的取值为4,5,32.21 / 21。

高一数学数列知识点总结

高一数学数列知识点总结一、数列的概念与表示数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的数学对象。

通常用大写字母或数字来表示数列，如数列{a_n}表示数列的第n项为a_n。

数列可以是有限的，也可以是无限的，根据数列的项是否有规律，数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等。

二、等差数列等差数列是最常见的数列类型之一，它的每一项与前一项的差是一个常数，这个常数称为公差。

等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，其中a_1是首项，d是公差。

等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)。

等差数列的性质包括：1. 等差数列中，任意两项的差是相同的。

2. 如果一个等差数列的首项不为零，那么它的所有项的符号相同。

3. 等差数列的前n项和是关于n的二次函数。

三、等比数列等比数列是每一项与前一项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。

等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n - 1)，其中a_1是首项，q是公比。

等比数列的前n项和公式为S_n = a_1(1 - q^n) / (1 - q)，当q的绝对值小于1时，S_n趋向于a_1/(1 - q)。

等比数列的性质包括：1. 等比数列中，任意两项的比值是相同的。

2. 如果公比q的绝对值小于1，那么等比数列的项会逐渐趋近于零。

3. 当公比q大于1时，等比数列的项会无限增大。

四、递推数列递推数列是指通过数列中前一项或前几项的关系来确定下一项的数列。

递推数列没有简单的通项公式，但可以通过递推公式来计算任意一项。

递推数列的例子包括斐波那契数列，其递推公式为a_n = a_(n-1) +a_(n-2)，其中a_1 = a_2 = 1。

递推数列的性质和特点：1. 递推数列的计算依赖于前面的项。

2. 递推关系可以复杂多变，需要通过具体的递推公式来分析。

3. 递推数列可能具有周期性或者无界性等特点。

五、数列的应用数列在数学和其他科学领域都有广泛的应用。

高一数学数列全章知识点

高一数学数列全章知识点数列是数学中比较重要的一个概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

在高一数学课程中，数列是一个重要的章节，它是以高中数学的理论与实践紧密结合的一门学科。

下面将介绍高一数学数列全章的知识点。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

我们用a表示首项，d表示公差。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项。

等差数列有以下几个重要的性质：1. 等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)n/2。

通过将首项和末项相加，再乘以项数的一半可以得到数列的前n项和。

2. 相邻两项之和等于常数项，即an+an+1=常数。

这是等差数列的一个重要性质，它说明了等差数列中相邻两项的和是一个常数。

3. 若数列的首项、末项和公差已知，则可通过等差数列的前n项和公式求出项数n。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。

我们用a 表示首项，q表示公比。

等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中an表示第n项。

等比数列有以下几个重要的性质：1. 等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

通过将首项乘以1与公比的n次方之差再除以1与公比之差可以得到数列的前n项和。

2. 相邻两项之比等于常数项，即an/an+1=常数。

这是等比数列的一个重要性质，它说明了等比数列中相邻两项的比值是一个常数。

3. 若数列的首项、末项和公比已知，则可通过等比数列的前n 项和公式求出项数n。

三、求和公式的推导除了等差数列和等比数列的求和公式外，我们还可以通过数学推导得到其他类型数列的求和公式。

如一个比较常见的例子是求和公式Sn=1^k+2^k+...+n^k，其中k为常数，n为项数。

我们可以通过写出Sn与Sn-1的差值来进行推导。

假设Sn-Sn-1=an，则Sn=an+Sn-1。

我们可以观察到，当n增加时，an的值具有一定的规律性。

通过观察可以得到以下结论：1. 若k=1，则an=n，所以Sn=n(n+1)/2。

知识点：高一数学数列公式大全

知识点：高一数学数列公式大全
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高一数学是高中生学好高中数学的重要组成部分，学好化学直接影响着高中三年理综的成绩。

下面是查字典数学网为大家汇总的高一数学数列公式大全。

一、高中数列基本公式：
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n 的一次式;当d=0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：Sn=
Sn=
Sn=
当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10)，Sn=na1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
当q1时，Sn=
Sn=
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、
1) 是等差数列。

13. 在等差数列
中：
(1)若项数为
，则
(2)若数为
则，
14. 在等比数列
中：
(1) 若项数为
，则
(2)若数为
则，
以上就是小编为大家整理的高一数学数列公式大全。

高一数学《数列》

考点1：数列的定义与分类1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123a a a ，，，简记为{}n a ．<教师备案>以前面的斐波那契数列为例，12341123a a a a ====，，，，，需要注意的：① 数列中每一项都和它的序号有关，数列中的数是按一定次序排列的．如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列．如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列．数列12341235a a a a ====，，，，和斐波那契数列也是不同的数列．② 数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同．因此，同一个数在数列中可以重复出现．如：1，1-，1，1-，1，…；2，2，2，2，2，…等．③ {}n a 与n a 是不同的概念．{}n a 表示数列1a ，2a ，3a ，…，n a …，而n a 仅表示数列{}n a 的第n 项．2．数列的分类① 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列．② 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．③ 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列． <教师备案>斐波那契数列是无穷数列，递增数列，无界数列．更多的例子见例1【例1】 ⑴下面数列哪些是递增数列，递减数列，常数列，摆动数列？哪些是有穷数列，无穷数列？①全体自然数组成数列：0，1，2，3，…；②某校6个班学生人数构成的数列：15，16，18，20，22，30； ③数列：5，1-，3， 2.6-， 1.5-，8； ④数列：5，5，5，5，5；2.1数列的认识经典精讲知识点睛第2讲与数列的第一次亲密接触⑤数列：100，90，80，70，60，50，…． ⑵根据数列的规律填空①1 1 2 3 5 8 ＿＿②5 3 10 6 15 12 ＿＿＿＿ ③3 5 9 17 33 ＿＿④1 2 2 3 4 6 ＿＿⑶（2010湖南文20）给出下面的数表序列：12845314311表3表2表1其中表(123)n n =，，，有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和，写出表4．【解析】 ⑴ ①递增数列无穷数列 ②递增数列有穷数列③摆动数列有穷数列 ④常数列有穷数列 ⑤递减数列无穷数列 ⑵ ①13．此数列为著名的斐波那契数列，从第三项起每一项是前两项之和． ②20，24．此数列是混合数列，奇数项为首项为5，公差为5的等差数列，偶数项是首项为3，公比为2的等比数列，按顺序应填20，24． ③65根据数列的规律每一项为21n +． ④9从第三项起每一项为前两项之和减1，所以空格应填9． ⑶<教师备案>趣味数列：（供课堂增加趣味性，活跃气氛选用）1．请写出下列数列的下一项：2，12，1112，3112，211213，______．2．按规律填空：①17＿＿ 9 100；②3 6 21 42 84 69 291 ＿＿＿＿；【解析】 1．这个数列中每一项都和前一项和读法有关，第一项是2，第二项是一个2，第三项是一个1一个2，第四项是三个1一个2，往后以此类推．所以应该填入的数列为：312213．2．①101278910-，所以应该填1；②将数列的前几项反过来写：3612244896192，，，，，，，所以，以此类推后边应该为 384768，，所以应该填483867，考点2：数列的通项公式与递推公式数列的表示方法：⑴ 图象法：数列是以正整数集*N （或它的有限子集{}12n ，，，）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是一知识点睛10865443221Ona n 12322012847531系列函数值．所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列．全体正偶数组成的数列246，，，用图象法表示为（如图）：数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点． ⑵ 列表法：与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示．如：全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列2，4，6，8，…用列表法可表示为n 1 2 3 … k …n a2 4 6 … 2k …列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，但由于受某些条件的限制，用列表的方法有时不能完整的反映一个数列，或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示． <教师备案>图象法可以比较清楚的揭示数列的变化规律，列表法表示数列能使人一目了然，但它们的缺点就是数列的项数比较多时，表示起来一般会非常费劲，比如斐波那契数列用这两种方法就不好表示．数列更多的是用下面两种方法来表示．⑶ 递推公式法：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任意一项n a 与它相邻的一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式．如：数列3，4，5，6，7，…用递推公式可这样表示：13a =，11n n a a +=+，n *∈N ．⑷ 通项公式法：数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项．如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可用一个函数关系()n a f n =来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．⑶中的数列可以用()*2n a n n =+∈N 来表示．<教师备案>理解数列的通项公式：① 数列的通项公式实际上是一个以正整数集*N 或它的有限子集{}12n ，，，为定义域的函数的表达式；② 如果知道了数列的通项公式，那么依次用12n ，，，去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项．③ 数列的通项公式形式不是惟一的，如111111---，，，，，，，它可以写成(1)n n a =-，也可以写成cos πn a n =或11n n a n -⎧=⎨⎩，为奇数，，为偶数.．④ 不是所有的数列都有通项公式，好比不是所有的函数都有解析式一样．有穷数列一定有通项公式．无穷数列不一定有．比如由全体质数组成的数列2357，，，，，目前就没有通项公式．前面提过的斐波那契数列的递推公式：121a a ==，()112n n n a a a n n +-=+∈N ≥，，通项公式为11515225n nn a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，这是一个正整数列用无理数来表示通项的例子．高中阶段只学习比较简单的递推形式的通项公式，象斐波那契这种比较复杂的递推和通项仅作为帮助了解数列的相关概念．【例2】 ⑴观察数列前几项，求出下列数列的一个通项公式① 1111--，，，，； ② 0101，，，，； ③ 1234--，，，，； ④ 1111111111，，，，； ⑤ 131793832435--，，，，，； ⑥ 11315228432，，，，，…； ⑵已知数列{}n a 满足11a =，11n n na a n -=+（*2n n ∈N ，≥），则2a =_____；5a =______．经典精讲⑶已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a -=+（*2n n ∈N ，≥）），则2a =_____；10a =______． ⑷（目标班专用）（2010西城二模理14）我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()n *∈N ，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则2425a a +=_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项．【解析】 ⑴ ①(1)nna =-或cos πn a n =（可以不讲）或11n n a n -⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数． ②()112nn a +-=或01n n a n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数； ③ 1(1)n n +-⋅；④ 1(101)9n -；⑤ 121(1)(2)n n n a n n +-=-⋅+；（观察分子觉得分子可能为13579，，，，，从而得到分母为38152435，，，，） ⑥2n nna =；（观察分母得分母都为2k ，将分母整理为2481632，，，，，得到规律）． ⑵2133，； 212233a a ==；323142a a ==；434255a a ==；545163a a ==．可以推断21n a n =+； ⑶31023，； 21213a a =+=；32217a a =+=；415a =；531a =．可以推断21n n a =-．101023a =． ⑷28；640．2412633a a a a ====，同时2525a =，因此242528a a +=；第k 个5出现在第152k -⋅项，因此第8个5是该数列的第752640⋅=项．【例3】 ⑴根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式，并分析． ① 24816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？②111124816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ③111124816----⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ④ 111124816--⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ⑵类比函数的单调性、有界性来分析数列的性质．① 数列{}n a 的通项公式是2610n a n n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？ ② 数列{}n a 的通项公式是()23.61n a n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？【解析】⑴ ① 2n n a =，最小值为首项2，没有最大值，该数列为单调递增数列． ② 12n n a =，最大值为首项12，没有最小值，该数列为单调递减数列．③ 12n n a =-，最小值为12-，没有最大值，该数列为单调递增数列．④ ()1112n n n a +=-⋅，最大值为12，最小值为14-，该数列不是单调数列．⑵ ①3n =时，n a 最小为1．该数列无最大值． ②4n =时，n a 最小为1.16．该数列无最大值．【点评】引出用函数的分析方法分析数列的取值，强调数列是一种特殊的函数，用函数的方法进行分析时，要注意其定义域是大于0{}()12n a f n n ⇔=，，，【拓展】若25n a n n λ=-+，当且仅当3n =时n a 有最小值，问λ的取值范围．【解析】函数2()5f x x x λ=-+的对称轴为2x λ=，故3x =离2λ最近，即3222λλ-<-且3422λλ-<-，解得57λ<<．考点3：数列的前n 项和n S数列{}n a 的前n 项和用n S 来表示，如果n S 与n 的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的前n 项和公式．数列的前n 项和121n n n S a a a a -=++++．于是有1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，，≥1121n n n S S n a S n --=⎨=⎩，≥，<教师备案>等差等比数列的前n 项和公式我们会在相关小节学习，数列求和的常用方法我们会在春季同步讲义时系统学习，这里可以举一些最简单的可以求和的例子：如求常数列{}n a ：5n a =的前n 项和．或者求数列111n a n n =-+的前10项的和等．如果有学生问斐波那契数列的前n知识点睛数列12a a ，，函数()f x 定义域{}12，，前n 项和减去前1n -项和第1项 12n n S a a a =+++项和公式的话，也可以提一下，它是两个等比数列的和，且1221n n a a a a ++++=-．后面的例题主要是练习给定n S 的通项公式求n a ，要注意1n n n a S S -=-只对2n ≥成立，用n S 求n a 时，1n =必须单独讨论，忽视这个很容易造成错误，见易错门诊．【铺垫】⑴已知数列{}n a 的前n 项和3n S n =，则1a =______，3a =_____，通项n a =______．⑵已知数列{}n a 的前n 项和1n n S n+=，则1a =_____，6a =______．【解析】⑴113a S ==；3323a S S =-=；2n ≥时，13n n n a S S -=-=，故对*n ∈N ，有3n a =． ⑵112a S ==；6657616530a S S =-=-=-；【例4】 ⑴已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a =＿＿；若它的第k 项满足 58k a <<，则k =＿＿．⑵已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则其通项n a =______；满足2013k a <的最大正整数k 为______．【解析】⑴ 210n -；8． 118a S ==-；2n ≥时，1210n n n a S S n -=-=-，对1n =也满足；由52108k <-<得：1592k <<，故8k =．⑵ 1211n -，；111a S ==；2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，对1n =也满足；故12n n a -=；122013k k a -=<，由101121024201320482=<<=知，满足不等式的最大的k 为11．1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+-，求n a ．【解析】当1n =，110a S ==2n ≥， 1n n n a S S -=-222(1)(1)2n n n n =+-----+2n =∴0122n n a n n =⎧=⎨⎩，，≥．2．已知数列{}n a 的前n 项和2n n S =，求n a ．【解析】 112a S ==；111222n n n n n n a S S ---=-=-=，故12122n n n a n -=⎧=⎨⎩，，≥．【点评】强调利用前n 项和求通项的时候，对首项要单独处理．<教师备案>前面我们对于一般的数列学习了一些基本概念和知识，总体而言，大部分数列是没什么规律的，小部分规律明显，接下来我们学习一类有迹可循的特殊数列．例如：自然数数列，每个数都比它后面的数小1，正偶数数列，从第二项起，每项都比它前面的数多2，等等．这一类特殊的数列就是等差数列．经典精讲2.2等差数列基本量计算考点4：等差数列的概念定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．<教师备案>先从直观上认识等差数列，通过一些具体的数列感觉等差数列，之后再学习等差数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等差数列的项数．再学习等差数列的求和公式，以及一些简单的性质．希望把概念分开讲解，分别配例题．【例5】下列数列是等差数列吗？如果是求出公差，如果不是请说明理由．①13579，，，，，；②5137--，，，，；③5555，，，，； ④222222---，，，，，，；⑤531123---，，，，，，；【解析】 ①是．2d =；②是，4d =；③是．d =0；④不是；⑤不是．考点5：等差数列的通项公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，第n 项（通项）为n a ，通项公式：()11n a a n d =+-． 1a a n d =+-<教师备案>通项公式的推导：我们可以说明第二项与第一项相差d ，第三项与第一项相差2d ，第n 项与第一项相差()1n d -，所以()11n a a n d =+-．还可以用叠加法求其通项公式．叠加法：1n n a a d --= 12n n a a d ---= 23n n a a d ---=21a a d -=将这1n -个式子左右分别相加可得1n a a -=()1n d -，故()11n a a n d =+-．知道数列的首项与末项，可以求项数，公式为11n a a n d-=+．经典精讲知识点睛知识点睛首项公差等差数列{}n a 第n 项【例6】 ⑴已知等差数列{}n a 的通项公式为73n a n =-，则公差为_______，首项为_____．⑵等差数列951，，，的第4项4a =_______，第20项20a =_______． ⑶等差数列3711103，，，，的项数n =______，第5项为_______． ⑷已知数列{}n a 是等差数列，且22a =-，510a =，则数列{}n a 的通项n a =_______．【解析】 ⑴ 3-，4．∵73n a n =-，∴1734a =-=，21a =，故3d =-（也可直接由通项公式看出）； ⑵3-，67-；()1(1)9(1)4413n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+，43a =-，2067a =-．⑶2619，；公差734d =-=，故10331264n -=+=，再写两项即得第5项为19()37111519，，，，．也可以先写出通项公式41n a n =-，于是1034261=⨯-为第26项；519a =． ⑷ 解法一：设{}n a 的公差为d ，由已知条件112410a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解出4d =，16a =-，所以1(1)6(1)4n a a n d n =+-=-+-⨯644n =-+-410n =-．解法二：52310(2)12d a a =-=--= ∴4d =，12a d +=-，∴16a =-，∴410n a n =-．<教师备案>例6给出了等差数列的通项公式与项数的常规求法，如果把数列看成特殊的函数，可以将通项公式整理成1()n a dn a d =+-，故n a 是关于n 的一次函数（在0d ≠时），从这个角度出发，给出等差数列的通项公式可以马上得出公差，即n 前的系数，给出公差也可以立刻得到一次项，再结合给出的某项的值即得到通项公式．具体见下面的练习．准确快速地求出等差数列的项数非常重要，可以结合“挑战5分钟”多练多算．【挑战5分钟】 ⑴已知43n a n =-，则d =______．⑵已知1001n a n =-，则d =______．⑶已知123a d ==，，则n a =______．⑷已知512a d ==-，，则n a =______． ⑸已知4132a d ==，，则n a =______．⑹已知315122a d ==-，，则n a =_____．⑺等差数列34575，，，，的项数为______． ⑻等差数列42026-，，，，的项数为_______． ⑼等差数列3032013-，，，，的项数为______． ⑽等差数列110824--，，，，的项数为______．【解析】 ⑴3-；⑵100；⑶31n -；n a 等于3n 加上某数，由12a =知，31n a n =-．⑷211n -+；2n a n λ=-+，则51a =知11λ=．⑸112n +；12n a n λ=+，4231a λλ=+=⇒=．⑹192n -+；12n a n λ=-+，3315922a λλ=-+=⇒=．⑺73；⑻16；⑼673；⑽35．考点6：等差数列的求和公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，通项为n a ，前n 项和为n S ．经典精讲知识点睛前n 项和n S 的公式：⑴()12n n n a a S +=；⑵()112n n n S na d -=+．1n n a d n a S ，，，，知三求二，可考虑根据公式统一转化为两个基本量．()()11122n n n a a n n S na d +-==+<教师备案>相信大家对高斯小时候算123100++++的故事耳熟能详，对于怎么算也知道的八九不离十，那对于一般的等差数列，前n 项和公式怎么求呢，类似的推导如下：若等差数列{}n a 的公差为d ，n S 为数列{}n a 前n 项和，可以用倒序相加法求和．倒序相加法：[]1231111()(2)(1)n n S a a a a a a d a d a n d =++++=+++++++-把项的顺序反过来：[]121()(2)(1)n n n n n n n n S a a a a a a d a d a n d --=++++=+-+-++--两式相加得11112()()()()n n n n n S a a a a a a a a =++++++++，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．<教师备案>从函数角度看等差数列的前n 项和公式：将前n 项和公式整理成2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故0d ≠时，n S 是关于n 的常数项为0的二次函数，从函数的角度看n S 知，当0d >时，n S 有最小值；当0d <时，n S 有最大值．可以结合下面例7的拓2理解一下这个结论，这方面的更多性质及其应用会在春季同步时展开．由等差数列求和公式的形式，我们可以直接看出公差d 的值，如29n S n n =-⇒2d =；22n S n n =-+，则4d =-；若n S 是n 的二次函数，那么这个数列一定是等差数列吗？举例22n S n n =++，则n a 不是等差数列，首项会出问题，从第二项起是公差为2的等差数列．如果n S 的表达式不含常数项，则{}n a 是等差数列．所以由前n 项和判断是不是等差数列，一定要检验一下前两项满不满足．【铺垫】⑴等差数列371179，，，，的各项的和为_______． ⑵已知数列{}n a 是等差数列，13a =，2d =，则20S =________．【解析】 ⑴ 820；∵134a d ==，，∴1120n a a n d -=+=，20379208202S +=⋅=．⑵ 440；20201920324402S ⨯=⨯+⨯=；【例7】 ⑴已知数列{}n a 是等差数列，15a =，525a =，则前n 项和n S =________．⑵已知数列{}n a 是等差数列，14a =，716a =，则使得154n S =的项数n =________．经典精讲项数首项等差数列前n 项和第n 项公差⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和236n S n n =+，则1a =_____，n a =_______．⑷（2010辽宁文14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = ． ⑸（目标班专用）（2010丰台一模理8）已知正整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,5【解析】 ⑴25522n n +；∵1425a d +=，∴5d =．2(1)5555222n n n S n n n -=+⨯=+． ⑵ 11；∵14a =，716a =，∴71612d a a =-=，∴2d =．∵1(1)(1)4215422n n n n n S a n d n --=+=+⨯=，有4(1)1540n n n +--=，即231540n n +-=，(14)(11)0n n +-=，∴11n =或14n =-（舍去）． ⑶ 963n +，；119a S ==；由32d=⇒6d =，故63n a n =+．（也可求出1n n n a S S -=-求和）．⑷ 15；316132332656242S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，∴91815a a d =+=． ⑸（目标班）C根据题中数列的规律，坐标和为k 的数有1k -个：和为2：()1,1、和为3：()1,2、()2,1、和为4：()1,3、()2,2，()3,1，和为5：()1,4，()2,3，()3,2，()4,1， ……(1)122n n n ++++=，10111112556022⨯⨯=<<，即和小于等于11的数有55个，从而第60项的和为12，前几项依次为：(111)(210)(39)(48)(57)，，，，，，，，，，……，因此第60项为()5,7．<教师备案>学过了等差数列的基本概念和简单的计算后，我们会发现等差数列只需要确定两个基本量1a d ，，然后不管条件怎么变，等差数列的题都可以由这两个数经过一定的运算求出来．不过在求解的过程中，如果只是生搬等差数列最基本的公式，有的题目的运算量就会比较大，导致计算出错的可能就会增加．如何尽可能避免很多不必要的繁琐的计算，这就要学习一点点小技巧，这些小技巧就是我们要学的等差数列的性质．2.3 等差数列性质初步O 123456654321考点7：等差数列的性质1．等差中项：若x A y ，，成等差数列，则A 称为x y ，的等差中项，2x yA +=． 2．等差数列{}n a 的简单性质（其中公差为d ）： ⑴ ()n m a a n m d =+-（*m n ∈N ，）； ⑵ 若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）；若p q m n +=+p q m n a a a a +=+⑶ 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +，，为等差数列，公差为md ；⑷{}n a 的前n 项和为n S ，则()2121n n S n a -=-． (2121n n -=-<教师备案>对于性质⑴可以举简单的例子，353a d ==，，求6a ，可以先求1a ，再由1a 和d 求6a ，也可以引入性质⑴求解．对于⑵，可以由一些简单的例子1423a a a a +=+之类的得出猜想，然后进行证明．对于性质⑶，可以从隔项取一个的等差数列进行探索，然后隔两个，隔多个进行考虑． <教师备案>这一讲对等差数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习．对性质⑵⑶⑷的简单证明如下：⑵()()()1111122p q a a a p d a q d a p q d +=+-++-=++-，同理可得()122m n a a a m n d +=++-，∵p q m n +=+，∴p q m n a a a a +=+． ⑶()11n a a n d =+-，()11n m a a n m d +=++-，()2121n m a a n m d +=++-， ∴()()1111n m n a a a n m d a n d md +-=++----=， ()()211211n m n m a a a n m d a n m d md ++-=++---+-=，∴n a ，n m a +，2n m a +，，为等差数列，公差为md ；⑷()()121211221212n n n n a a S a a a ----+=+++=，∵1212n n a a a -+=，∴()2121n n S n a -=-．这条性质是⑵的推论，性质⑵是等差数列题目中经常出现的．【铺垫】⑴在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（）经典精讲知识点睛下标和相等对应项的和相等211221n n S a a a --=+++ 项数中间项A ．5B ．6C ．8D ．10 ⑵在等差数列{}n a 中，37513a a ==，，则d =_______．11a =______．13S ＝_______．【解析】 ⑴ A ；由等差数列性质1得1952a a a +=，所以55a =；⑵221169，，；7324a a d -==；1173221a a a =-=；13713169S a ==．【例8】 ⑴①a 是42-与42+的等差中项，则a = ；②220180a ，，为等差数列，则a = ． ⑵（2010全国卷Ⅱ6）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=（）A ．14B ．21C ．28D ．35⑶设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-，99S =-，则16S = ． ⑷已知等差数列{}n a 满足244a a +=，7910a a +=，则其前10项的和10S =______．⑸（目标班专用）在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为________．【解析】 ⑴①4；()()424242a -++==；②200；1802202002a +==．⑵C ；由34512a a a ++=，得44a =，所以 12717417()7282a a a a a a +++=⨯⨯+==．⑶ 955991S a a ==-⇒=-，5121616722a a S +=⨯=-． ⑷35；2433242a a a a +==⇒=；79882105a a a a +==⇒=；1101038105()352a a S a a +=⨯=+=． ⑸16；468101281205a a a a a a ++++==，故824a =．()9118881122324163333a a a d a d a -=+-+=⨯=⨯=．<教师备案>本题可以让学生先用普通方法做一遍，然后再介绍利用等差数列性质解题的简便方法，通过这个对比说清学习等差数列性质的重要性，并说明春季我们会介绍更多的性质．【拓展】（第21届希望杯全国数学邀请赛高一16）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不经过点O 的直线上的三点A B C 、、满足32008OB a OA a OC =+，则2010S =_________．【解析】 1005A 、B 、C 三点共线，则由32008320081OB a OA a OC a a =+⇒+=．又∵{}n a 为等差数列∴120102200932008100510061a a a a a a a a +=+=+==+=∴2010122010S a a a =+++1201010051006()()a a a a =++++1005=．实战演练【演练1】写出下列数列{}n a 的通项n a ：⑴ 9999999999，，，，；⑵1313，，，；⑶24816--，，，，．【解析】 ⑴101n n a =-；⑵2(1)n n a =+-；⑶(2)n n a =--．【演练2】数列{}n a ：111234，，，，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？【解析】 1()1n a f n n ==+，n a 有最大值12，没有最小值．【演练3】已知数列{}n a 是一个等差数列，且48a =-，820a =-，则数列{}n a 的通项n a =______．【解析】34n a n =-+；解法一：设{}n a 的公差为d ，由已知条件1138720a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ 解出3d =-，11a =，()1(1)1(1)3n a a n d n ∴=+-=+-⨯-133n =-+34n =-+．解法二：84420(8)12d a a =-=---=- ∴3d =-，138a d +=-，∴11a =．∴34n a n =-+．【演练4】 ⑴已知等差数列{}n a 满足3824a a +=，则它的前10项的和10S 为________．⑵在等差数列{}n a 中，{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，则24a a += ．【解析】 ⑴120法一：∵3824a a +=，∴111272924a d a d a d +++=+=，()10111045529120S a d a d =+=+=．法二：∵3824a a +=，∴1103824a a a a +=+=，()11010101202a a S +==．⑵ 6；∵53515S a ==，∴33a =，24326a a a +==．【演练5】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，求5a 的值，当n S 取最小值时n 的值．【解析】设该数列的公差为d ，由等差数列的性质46526a a a +==-，53a ∴=-，111a =-，()5143118d a a =-=---=，解得2d =，所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值．【演练6】列的数是．【解析】2n n +．第n 行第1列的数为n ，第n 行的数构成公差为n 的等差数列，故第n 行，第1n +列的数为2(11)n n n n n ++-=+．1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n a =___________．2．等差数列{}n a 的前n 项和公式n S =_______________=_____________． 3．等差数列{}n a ，若2p q m +=，则p q a a +____2m a谷神星的发现1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学教师，把下面的数列： 3，6，12，24，48，96，192…… 的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每个数字都加上4，就得到了下面的数列： 4，7，10，16，28，52，100，196…… 再把每个数都除以10，最后得到： 0.40.71 1.6 2.8 5.21019.6，，，，，，，，令提丢斯惊奇的是，他发现这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、水星金星地球火星谷神星木星土星天王星 …计算距离 0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10 19.6 …提丢斯的朋友，天文学家波得深知这一发现的重要意义，就于1772年公布了提丢斯的这一发现，这串数从此引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯——波得定则即太阳系行星与太阳的平均距离．当时，人们还没有发现天王星、海王星，以为土星就是距太阳最远的行星．1781年，英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星，从此，人们就对这一定则深信不疑了．根据这一定则，在数列的第五项即2.8的位置上也应该对应一颗行星，只是还没有被发现．于是，许多天文学家和天文爱好者便以极大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程． 1801年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空．突然，他从望远镜里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯——波得定则中2.8的位置上．可是，当皮亚齐再想进一步观察这颗小行星时，他却病倒了．等到他恢复健康，再想寻找这颗小行星时，它却不知去向了．皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”．在高斯之前，著名数学家欧拉曾经研究出了一种计算行星轨道的方法．可是，这个方法太麻烦．高斯决心去寻找一种简便易行的方法．在前人的基础上，高斯经过艰苦的运算，以其卓越的数学才能创立了一种崭新的行星轨道计算理论．他根据皮亚齐的观测资料，利用这种方法，只用了一个小时就算出了谷神星的轨道形状，并指出它将于何时出现在哪一片天空里．1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空．果然不出所料，谷神星出现了！高斯的计算方法成功了．高斯从笔尖上寻找到的这颗行星，在隐藏了整整一年后，向人们显示了数学在科学研究中的巨大作用．概念要点回顾。

高一数列归纳知识点总结

高一数列归纳知识点总结数列是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学研究中的一个基本对象。

在高一阶段，数列的学习是数学学习的一个重要内容。

本文将从数列的定义、常见数列的特点以及数列的求和公式等方面进行归纳总结。

一、数列的定义与表示方法1. 数列的定义：数列是按照一定的顺序排列起来的数的集合，其中每个数称为数列的项。

2. 数列的表示方法：（1）通项公式表示法：数列可以通过一个解析式来表示，该解析式可以计算出数列中各项的具体数值。

（2）递推公式表示法：数列可以通过一个递推公式来表示，该递推公式利用前一项或前几项来递推求得后一项。

二、常见数列的特点与分类1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

常用通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

常用通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

通常用F(n)表示第n项，前两项分别为F(1) = 1，F(2) = 1。

4. 平方数列：平方数列是指数列中每一项都是某个整数的平方的数列。

例如1，4，9，16，25，...5. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中同时满足等差和等比条件的数列。

通常用an表示第n项，其通项公式为：an = a1 * r^(n-1) + (n-1)d。

三、数列的性质与求和公式1. 数列的有界性：数列可以是有界的，即存在一个上界或下界，也可以是无界的。

2. 数列的递增性与递减性：数列可以是递增的，即每一项都大于前一项，也可以是递减的，即每一项都小于前一项。

3. 奇数数列与偶数数列：数列中的奇数项或偶数项构成了两个新的数列，分别称为奇数数列和偶数数列。

4. 数列的求和公式：对于某些特殊的数列，可以通过递推或另外的方法得出它们的求和公式。

高一年级数学数列知识点

高一年级数学数列知识点数学是一门既让人望而却步又充满挑战的学科。

而在高一的数学课程中，数列是一个非常重要的知识点。

所以，我们有必要系统地学习和理解数列的相关概念和应用。

本文将介绍高一年级数学中与数列相关的知识点。

一、数列的定义与分类数列是由一列按顺序排列的数字组成的列表。

它为我们研究和描述数字之间的规律提供了一个有效的工具。

根据构成数列的数字的特点，数列可以分为等差数列和等比数列。

等差数列是一个常见的数列类型。

它的特点是每个相邻的数字之间的差是相同的。

我们用公式an = a1 + (n-1)d来表示等差数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，d表示公差。

例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。

相比之下，等比数列的特点是每个相邻的数字之间的比值是常数。

我们用公式an = a1 * r^(n-1)来表示等比数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，r表示公比。

例如，1，4，16，64，256就是一个公比为4的等比数列。

二、数列的求和公式在数列的研究中，我们经常需要求出数列的前n个数字的和。

根据数列的类型不同，我们可以使用不同的求和公式。

对于等差数列，求和公式是Sn = n/2(2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和。

而对于等比数列，求和公式是Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)。

在应用求和公式时，我们需要注意数列的边界条件。

特别是在使用等差数列求和公式时，我们必须确认数列的首项、公差和终项。

三、数列的应用数列作为一种有序的数字排列方式，可以在各种实际问题中发挥重要的作用。

首先，数列可以用于描述一些规律或模式。

通过观察和推理数列的数字，我们可以发现其中的规律，并利用这些规律解决问题。

例如，一个数列的通项公式可以帮助我们预测和计算数列中的任意一个数字。

其次，数列可以应用于计算和统计。

例如，我们可以使用数列的求和公式计算某个连续数列的总和。

高一数学数列知识点

高一数学数列知识点高一数学数列知识点1.数列的函数理解：①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。

图像法;c.解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不)。

数列通项公式的特点：(1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。

(2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。

3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

数列递推公式特点：(1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不。

(2)有些数列没有递推公式。

有递推公式不一定有通项公式。

注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

高一数学数列知识点1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n 个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。

高中高一数学公式知识点：高中数列基本公式

高中高一数学公式知识点：高中数列基本公式【】高中如何复习一直差不多上考生们关注的话题，下面是查字典数学网的编辑为大伙儿预备的高中高一数学公式知识点：高中数列差不多公式一、高中数列差不多公式：1、一样数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10)，Sn=na1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式：an= a1qn-1an= akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q1时，Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m -S2m、S4m- S3m、仍为等差数列。

2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m -S2m、S4m- S3m、仍为等比数列。

5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、仍为等比数列。

7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。

假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学生的水平会大有裨益。

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数列①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )(4)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

数列通项的常用方法： ⑴利用观察法求数列的通项.⑵利用公式法求数列的通项：①⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. ⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+⑶构造等差、等比数列求通项：① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.题型1 利用公式法求通项基础篇：1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

例1已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式：⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=nn S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2，求数列{}n a 的通项公式.总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”；迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ⋅=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 1122332211a a aa a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- .题型3 构造等比数列求通项例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： ①令)(1λλ-=-+n n a p a ；② 在q pa a n n +=+1中令pqx x a a n n -=⇒==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+； ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a .例4已知数列{}n a 中，nn n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“nn n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为： “q pa a n n +=+1”或“nn n n f a a )(1+=+求解.例5已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，通过适当变形转化为可求和的数列. 强化巩固练习1、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和， )2,(23≥∈+=+n N n a S n n ，求数列{}n a 的通项公式.2、已知数列{}n a 中，)(0)1()2(,211++∈=+-+=N n a n a n a n n ，求数列{}n a 的通项公式.小结：数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）构造等差、等比数列求通项：①q pa a n n +=+1；②nn n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.课外练习：1、数列{}n a 中，)(,111n n n a a n a a -==+，则数列{}n a 的通项=n a 。

2、数列{}n a 中，)(231++∈+=N n a a n n ,且810=a ，则=4a 。

3、、设{}n a 是首项为1的正项数列，且)(0)1(1221+++∈=+-+N n a a na a n n n n n ，则数列{}n a 的通项=n a . 4、数列{}n a 中，)(22,111++∈+==N n a a a a nnn ，则{}n a 的通项=n a .5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设nn n S b 3-=，求数列{}n b 的通项公式．数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n213)]1(21[+==∑=n n k S nk n练习：设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2.裂项相消法:适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

例2 求数列)1(n 1+n 的前n 项和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n3.错位相减法:可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.例：求和：.例:数列1，3x ，5x 2,…,(2n-1)x n-1前n 项的和． 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.例：已知：121x x+=()()()121,12ff f x x +==且，要求：;求,),()3()2()1(*n n S N n nnf n f n f n f S ∈+⋯+++=5.常用结论1）: 1+2+3+...+n =2)1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2n3）2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n4） )12)(1(613212222++=++++n n n n 5）111)1(1+-=+n n n n)211(21)2(1+-=+n n n n一、选择题：1．数列1，3，6，10，……的一个通项公式是（）A ．n 2－n+1B ．2)1(-n n C ．n(n －1) D ．2)1(+n n 2．已知数列的通项公式为a n =n(n －1),则下述结论正确的是（）A ．420是这个数列的第20项B ．420是这个数列的第21项C ．420是这个数列的第22项D ．420不是这个数列中的项 3．在数列{a n }中，已知a 1=1,a 2=5, a n+2=a n+1－a n ,则a 2000= （） A ．4 B ．5 C ．－4 D ．－54．设数列{a n }的首项为1，对所有的n ≥2，此数列的前n 项之积为n 2，则这个数列的第3项与第5项的和是 ( )A ．925B ．2521 C ．1661 D ．2752564、设{}n a 是等差数列，若273,13a a ==,则数列{}n a 前8项的和为( )A.128B.80C.64D.565记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（）A 、2B 、3C 、6D 、7 6设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（） A ．2B ．4C ．215 D ．217 7若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 8知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则12231n n a a a a a a ++++=( ) （A ）16（n --41）（B ）16（n --21）（C ）332（n --41）（D ）332（n--21）9常数数列}{n a 是等差数列，且}{n a 的第5、10、20项成等比数列，则此等比数列的公比为（） A ．51 B ．5 C ．2 D ．2110等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（） A ．63 B ．45 C ．36 D ．2711．已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =____________ 12．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________。

13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-, 99S =-,则16S =。