高一数学数列全章知识点

数列

①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n

②112

-+⋅=n n n

a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )

(4)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨

⎧≤≥+0

1m m a a 的项数m 使

得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+001

m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对

值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

数列通项的常用方法： ⑴利用观察法求数列的通项.

⑵利用公式法求数列的通项：①⎩⎨

⎧≥-==-)

2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. ⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+

⑶构造等差、等比数列求通项：

① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.

题型1 利用公式法求通项 基础篇：

1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。

例1已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式：

⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=n

n S .

总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)

2()

1(11n S S n S a n n n 若1

a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项

例2⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；

⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2

，求数列{}n a 的通项公式.

总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ⋅=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：

① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 11

22332211a a a

a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

----- .

题型3 构造等比数列求通项

例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： ①令)(1λλ-=-+n n a p a ；

② 在q pa a n n +=+1中令p

q

x x a a n n -=

⇒==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+； ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a .

例4已知数列{}n a 中，n

n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.

总结：递推关系形如“n

n n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为： “q pa a n n +=+1”或“n

n n n f a a )(1+=+求解.

例5已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.

总结：递推关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，通过适当变形转化为可求和的数列. 强化巩固练习

1、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和， )2,(23≥∈+=+n N n a S n n ，求数列{}n a 的通项公式.

2、已知数列{}n a 中，)(0)1()2(,211++∈=+-+=N n a n a n a n n ，求数列{}n a 的通项公式.

小结：数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）

构造等差、等比数列求通项：①

q pa a n n +=+1；②n

n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；

④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.

课外练习：1、数列{}n a 中，)(,111n n n a a n a a -==+，则数列{}n a 的通项=

n a 。

2、数列{}n a 中，)(231++∈+=N n a a n n ,且810=a ，则=4a 。

3、、设{}n a 是首项为1的正项数列，且)(0)1(12

21+++∈=+-+N n a a na a n n n n n ，

则数列{}n a 的通项=n a . 4、数列{}n a 中，)(22,111++∈+=

=N n a a a a n

n

n ，则{}n a 的通项=n a .

5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n

n n S b 3-=，

求数列{}n b 的通项公式．

数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

3、 )1(211

+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112

++==∑=n n n k S n

k n

21

3)]1(21

[+==∑=n n k S n

k n

练习：设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *

,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

2.裂项相消法:适用于⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧

+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数

列、含阶乘的数列等。 例2 求数列

)

1(n 1

+n 的前n 项和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：