10.7总体特征值估计
估计总体的数字特征
从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
解:用计算器计算可得:
x甲 = 25.4005, x乙 = 25.4008, S甲 = 0.038, S乙 = 0.074,
从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的更接近 内径标准(25.40mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于
-
-
s甲 < s乙 ,因此甲生产的零件内径比乙生产的稳定程度
1996年美国亚特兰大奥运会 上中国香港风帆选手李丽珊， 以惊人的耐力和斗志，勇夺 金牌，为香港的体育史揭开 了“突破零”的新一页，前五 名在前五场的比赛积分如图 所示
排名 运动员 1 1 李丽珊 3 2 2 3 2 4 2 5 4 比赛场次 6 2 7 7 8 9 10 11 22 总分
2
简度
2
坐标.
平均数：近似等于每个小长方形面积乘以其
平均数易受一些极端情况的影响，而这些极端情况显
然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概括样本数据 的实际状态． 如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每 次命中的环数如下： 甲: 7 乙: 9 8 5 7 7 9 8 5 7 4 6 9 8 10 6 7 7 4 7
甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对 两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20 件,量得其内径尺寸如下(单位:mm)
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42
25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44
5.2 估计总体的数字特征
1、会用频率分布直方图和频率分布折线图估计总体的分布
10.7总体特征数的估计(2)
平均数、中位数、众数都是描述数据的“集中趋势” 的“特征数”，它们各自特点如下：
用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它 与这组数据中的每一个数都有关系．对这些数据所包 含的信息的反映最为充分，因而应用最为广泛，特别 是在进行统计推断时有重要作用，但计算较繁琐，并 且易受极端数据的影响．
用众数作为一组数据的代表，可靠性较差，但众数不 受极端数据的影响，并且求法简便，当一组数据中个 别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的 “集中趋势”．
复习回顾：
一、众数、中位数、平均数的概念
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间 位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做 这组数的中位数（median）．
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数 的众数（mode）．
算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观
测值个数所得的商，简称平均数或均数．
从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
解:用计算器计算可得:
x甲 25.4005, x乙 25.4008;
s甲 0.038, s乙 0.074
由于s甲 s乙，因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度
高得多。于是可以作出判断， 甲生产的零件的质量
比乙的高一些。
例3 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一 段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在 必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平 均使用寿命和标准差．
x甲 7
x乙 7
两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个
人的水平就没有什么差异吗?
频率 0.3
0.2
0.1 频率
4 5 6 7 8 9 10
(甲)
0.4 0.3 0.2 0.1
最新3对总体特征值的估计
）、活动设计：进入青春期，中学生的生理、心理都产生很大的变化，性意识也随之觉醒。
他们乐意与异性同学交往。
热心与异性同学一起参与学习、讨论、班级活动等。
男生在女生面前，往往表现出健壮、刚强、宽容大度；女生在男生面前，则表现出温柔、亲切、热情，这是正常的性心理的表现。
但我们有些同学不能正确认识性心理、性意识的产生，不能正确处理与异性同学之间的关系。
有的同学在异性同学面前过分夸张地说话、做事，以引起异性同学对自己的注意；有的同学不能很好地控制自己对异性同学的好感，陷入感情的旋涡；有的同学为自己性意识的产生感到困惑，甚至以为自己变坏了，因而忧心忡忡。
……这些，严重影响了同学的身心健康，影响同学之间的交往，影响学习和工作。
而过去，学校对学生这方面的帮助教育远远不够，学生只能从书本或其他渠道偷偷了解有关的知识。
因此，有必要让学生从公开的渠道了解有关性意识、性道德的知识，了解青春期的性意识的特点，学会与异性同学正常交往。
教学内容：一是让学生了解青春期性意识的特点；二是懂得如何与异性同学正常交往。
教学目标：让学生了解性意识的产生是青少年成长过程中出现的正常现象，正确对待性意识，培养正确的性道德，与异性同学正常交往。
教学难点与重点：因青春期学生特有的羞涩，学生大多不敢公开议论这个话题，所以要事先做好部分学生的工作，让学生有思想准备，并收集资料准备上课。
1、青春期性意识产生的特点。
2、与异性同学正常交往。
教学形式：老师讲课与学生讨论发言结合教学准备：1、学生：请三、四个同学事先找有关男女同学交往的典型事例，有关的语录、格言，并且每人准备2分钟的说话，或谈典型事例，或谈自己的体会。
2、老师：准备有关男女同学交往的正反两方面的典型事例，有关的语录三、四条。
教学过程：(一)故事引入(2分钟)有一位男生，上高中以后，感到自己产生了一些奇怪的变化。
他特别喜欢坐在他后面的一个女生，每天都忍不住想回头看她几眼，听到这位女生大声的说笑声，他心里就发颤；有一种异样的感觉。
10.7总体特征值估计
频率！
1 6 5 10 1 另解： x 2200 250 220 200 100 23 23 23 23 23 300
加权平均数
例2 若取值为 某校学生日睡眠时间抽样频率分布表如下，试估算该校学生 x1 , x2 ,, xn的频率分别为 p1 , p2 , , pn，
试估算哪个班的技能成绩较好。
解：分别计算两班的平均成绩得
xA 1 (67 72 93 69 86 84 45 77 88 91) 10 77.2
xB
1 (78 96 56 83 86 48 98 67 62 70) 10 74.4
例：用求和符号表示：
① ap1 ap2 ap3 apn ② a1 p1 a2 p2 a3 p3 an pn
例1 从A、B两个班中各抽10名学生参加技能测试，成绩如表
A班 67 72 93 69 86 84 45 77 88 91
B班 78 96 56 83 86 48 98 67 62 70
的日平均睡眠时间. n 则其平均数为 x x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi
睡眠时间
6～6.5 6.5～7 7～7.5
人数
5 17 33
频率
0.05 0.17 0.33
i 1
7.5～8
8～8.5
37
6
0.37
0.06
8.5～9
合计
2
100
0.02
1
解：采用中间值进行计算，日平均睡眠时间为：
二、样本方差 方差
若一组样本数据 x1，x2， ，xn的平均数为 x，
2 2 2 1 则s x1 x x2 x xn x n 2
特征值估计
特征值估计一、特征值的概念在线性代数中，特征值是矩阵运算中一个重要的概念。
对于一个n 阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个标量，那么k就是矩阵A的特征值，x就是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的变换规律和性质。
特征值估计是通过数值计算的方法，来估计矩阵的特征值。
特征值估计的基本原理是利用矩阵的特征向量和特征值之间的关系，通过迭代计算的方式逼近矩阵的特征值。
特征值估计的过程中，需要选择一个合适的迭代方法和初始向量，以便得到较为准确的特征值估计结果。
三、特征值估计的常用方法1. 幂法幂法是一种最简单和最常用的特征值估计方法。
幂法的基本思想是通过不断迭代矩阵和向量的乘积，来逼近矩阵的特征向量和特征值。
幂法的迭代公式为：x(k+1) = A * x(k)其中x(k)为第k次迭代的向量，A为待估计特征值的矩阵。
幂法通常需要对向量进行归一化处理，以防止迭代过程中向量趋于无穷大或无穷小。
2. 反幂法反幂法是幂法的一种变形方法，用于估计矩阵的最小特征值。
反幂法的基本思想是通过计算矩阵的逆，然后按照幂法的迭代公式进行迭代，最终得到矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
3. QR算法QR算法是一种迭代方法，用于计算矩阵的所有特征值和特征向量。
QR算法的基本思想是通过矩阵的QR分解，将原矩阵迭代转化为上三角矩阵的迭代过程，从而逐步求得矩阵的特征值和特征向量。
四、特征值估计的应用特征值估计在科学计算和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，特征值估计可以用于计算量子力学中的波函数和能量本征值；在机器学习和数据分析中，特征值估计可以用于降维和特征提取；在网络分析和图像处理中，特征值估计可以用于图的聚类和分割等。
特征值估计的准确性和稳定性是评价其性能的重要指标。
在实际应用中，我们需要选择合适的特征值估计方法，并进行数值计算来得到较为准确的结果。
此外，特征值估计的计算复杂度也是需要考虑的因素，因为对于大规模矩阵，特征值估计可能需要耗费大量的计算资源和时间。
中等职业数学(第六版下册)课件-3-6-1-总体特征值的估计
方差与标准差
概念
（一）方差的定义
样本中各数据与样本平均数的差的平方 和的平均数叫做样本方差。
假设样本数据是 x1, x2 , xn , 平均数是 x
方差（标准差的平方）公式为：
s2
1 n
[(x1
x)2
( x2
x)2
( xn
x)2 ]
方差与标准差
概念
（二）标准差的定义
* 作业
完成习题册第49页的习题3.6的A组 的第1-8题
谢谢观赏
总体特征值的估计
生活中的数学
与总体特征值的估计有关的生活
从某市某年参加毕业考试的学生中，随机抽查了 20名学生的数学成绩，分数如下： 90 84 84 86 87 98 73 82 90 93 68 95 84 71 78 61 94 88 77 100
这里的总体是“某市某年所有参加毕业考试学生 的数学成绩”，上面所抽取到的20个数是总体一 个容量为20的样本的一组观察值．如何反映学生 的总体情况呢？
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
解 首先比较甲乙两种钢筋的抗拉平均强度
x甲 1 (110 120 10
x乙 1 (115 125 10
125) 125 145) 125
1 100
小计
23 6900
试计算该厂全体人员这一周的平均工资。
解：x 6900 300(元) 23
频率！
另解：x 2200 1 250 6 220 5 200 10 100 1
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第1章集合1.1集合与元素1.2集合的表示法1.3集合之间的关系1.4集合的运算1.5充要条件第2章不等式2.1不等式的基本性质2.2区间2.3一元二次不等式2.4含绝对值的不等式第3章函数3.1函数的概念3.2函数的表示法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5函数的实际应用第4章指数函数与对数函数4.1实数指数幂4.2幂函数4.3指数函数4.4对数的概念4.5对数的运算4.6对数函数4.7利用计算器求对数值4.8指数函数、对数函数的实际应用第5章三角函数5.1角的概念推广5.2弧度制5.3任意角的三角函数5.4同角三角函数的基本关系5.5三角函数的诱导公式5.6正弦函数的图像与性质5.7余弦函数的图像与性质5.8已知三角函数值求角第6章数列6.1数列6.2等差数列6.3等比数列6.4数列的实际应用第7章平面向量7.1平面向量7.2平面向量的加法、减法和数乘向量7.3平面向量的坐标表示4平面向量的内积第8章直线与圆的方程8.1两点间距离公式及中点公式8.2直线的倾斜角和斜率8.3直线的方程8.4 点到直线的距离公式8.5两条直线的位置关系8.6圆的方程8.7直线与圆的位置关系8.8 直线与圆的方程的实际应用第9章立体几何9.1平面的基本性质9.2空间两条直线的位置关系9.3直线和平面的位置关系9.4平面和平面的位置关系9.5柱、锥、球及其组合体第10章概率统计10.1计数原理10.2随机事件和概率10.3概率的简单性质10.4 等可能事件的概率10.5 总体、样本和抽样方法10.6 总体分布估计10.7总体特征值估计10.8一元线性回归第11章逻辑代数初步11.1 二进制及其转换11.2 命题逻辑与条件判断11.3 逻辑变量与基本运算11.4 逻辑式与真值表11.5 逻辑运算律11.6 逻辑函数的卡诺图化简法第12章算法与程序框图12.1 算法的概念12.2 程序框图12.3 算法与程序框图应用举例第13章数据表格信息处理13.1 数据表格、数组13.2 数组的运算13.3 数据的图示13.4 散点图及其数据拟合13.5 用excel处理数据表格第14章编制计划的原理与方法14.1 编制计划的有关概念14.2 关键路径法14.3 网络图14.4 横道图14.5 计划的调整与优化第15章三角计算及其应用15.1 两角和与差的正弦、余弦公式15.2 二倍角公式15.3 正弦函数15.4 正弦定理、余弦定理第16章坐标变换与参数方程16.1 坐标轴平移16.2 坐标轴旋转16.3 参数方程第17章复数及其应用17.1 复数的概念17.2 复数的代数计算17.3 复数的几何意义及三角形式17.4 棣莫弗定理与欧拉公式第18章线性规划初步18.1 线性规划问题的有关概念18.2 二元线性规划问题的图解法18.3 用表格解线性规划问题18.4 用Excel解线性规划问题第19章圆锥曲线、极坐标系19.1 椭圆的标准方程和性质19.2 双曲线的标准方程与性质19.3 抛物线的标准方程与性质19.4 *极坐标系第20章排列、组合、二项式定理20.1 排列20.2 组合20.3 二项式定理阶段复习：专题1 集合、充要条件专题2 不等式、线性规划专题3 函数专题4 三角专题5 数列专题6 平面向量专题7 复数专题8 平面解析几何专题9 立体几何专题10 排列、组合与概念统计专题11 数据表格信息处理专题12 编制计划的原理与方法专题13 算法与程序框图专题14 逻辑代数初步第21章函数（续）21.1 函数概念21.2 反函数21.3 初等函数。
总体特征值的估计
总体特征值的估计
总体特征值是统计中一个重要的概念，是应用统计学研究中常用的一类参数，它提供了关于总体本身的全面信息，包括总体位置参数和离散程度参数，例如均值、方差、百分位数、偏度和峰度等，因此总体特征值的估计变得尤为重要。
一、总体特征值估计的重要性
总体特征值估计可以帮助了解一个总体的某些特性，如均值、方差、偏度和峰度，这些特征值的参数可以帮助研究人员了解样本数据的结构和变化特征，以及和其他总体的比较。
此外，均值、方差等特征值可以用来估计总体参数，从而为研究开展提供线索和启示。
二、均值的估计
均值是总体特征值之一，它表示样本数据的中心位置，是衡量一组数据的整体水平的重要参数。
常用的均值估计方法有：最大似然法、最小二乘法、贝叶斯估计法和蒙特卡洛估计法等。
三、方差的估计
方差也是总体特征值之一，它表示样本数据的离散程度，是衡量一组数据波动程度的重要参数。
常用的方差估计方法有：无偏样本方差估计、偏权无偏方差估计、最大似然估计和蒙特卡洛估计法等。
四、偏度和峰度的估计
偏度和峰度是总体中的重要特征值，它们分别描述了样本数据的分布偏移程度和波动程度。
常用的偏度和峰度估计方法有：最大似然估计、最小二乘估计、贝叶斯估计、正态分布模型估计等。
五、小结
总体特征值估计是统计学研究中重要的一环，是评价样本数据分布状况和总体特征值的重要参考，通常利用最大似然法、最小二乘法、贝叶斯估计法和蒙特卡洛估计法等方法估计总体的均值、方差、偏度和峰度等参数。
能够有效、准确的估计总体参数，是做出正确统计研究判断和决策的关键所在，也是实现成功研究的一大条件。
特征值的估计
值，于是
n
n
n
| i |2
| tii |2
| tii |2
| tij
|2
T
2．
F
（7.1.2）
i 1
i1
i1
i j
由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，所以
n
| i |2 T
2 F
A2． F
i 1
由（7.1.2）式知结论中等号成立当且仅当
| tij |2 0 ．
i j
即 T 为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当 A 酉相似于对角阵， 即 A 为正规矩阵．
例 7.1.1 已知矩阵
3 i 2 3i 2i
A 1
0 0
0
1
0
的一个特征值为 2，估计其它两个特征值的上界．
解 记 1 2 ，A 的其它两个特征值为 2 ，3 ，由定理 7.1.1 得
n
n
| k
|2
| i
i 1
|2
| aij
i, j 1
|2
n2 max i, j
| aij
|2 ，
即
|
k
|
n max | i, j
aij
|．
由舒尔定理，存在酉矩阵U 使得
U H AU T ， U H AHU T H ， 其中T 为上三角矩阵，T 的对角线元素 tii (i 1,2,n) 为 A 的特征值，
定理 7.1.2 效果好得多． 例 7.1.2 设矩阵
0 0.2 0.1 A 0.2 0 0.2
0.1 0.2 0
估计特征值的实部与虚部的范围．
特征值估计和表示
则称A按列(弱)对角占优。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
二、特征值旳包括区域
1. 定义5.3 设A=(aij)Cn×n，称区域 Gi: |z-aii|Ri 为 矩阵A旳第i个盖尔圆，其中 Ri=ji|aij| 称为盖尔 圆Gi旳半径(i=l，…，n)。
向量系x1，…，xn称为按B原则正交化向量系。 2. 按B原则正交化向量系旳性质： • 性质1 xj0 (j=1, 2, …, n) (j=1，…，n)； • 性质2 x1，…， xn线性无关。
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§5.3 对称矩阵特征值旳极性
一、实对称矩阵旳Rayleigh商旳极性
Ax
|
x
Vk
,
||
x
||2
1}
k
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二、广义特征值旳极小极大原理
1. 定义 ：设A，B为n阶实对称矩阵，且B正定， xRn．称R(x)=(xTAx)/(xTBx)， x0为矩阵A相对 于矩阵B旳广义Rayleigh商． ．
2. 广义Rayleigh商能够只在椭球面SB={x|xRn, xTBx =1}上讨论。
j 1
|2
2
|
j
|
max
1i, jn
|
aij
|
n
2
n
|| B ||m
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
4. 定理5.2：设ACn×n，则A旳任一特征值 满足 (1) ||||A||m (2) |Re()|0.5||A+AH||m (3) |Im()| 0.5||A－AH||m。
总体特征值的估计
总体特征值的估计总体特征值是指总体中的一些特征的数值。
例如，人口年龄分布中的平均年龄、产品的平均销售量等。
由于我们无法对整个总体进行测量，我们通常通过从总体中抽取样本来进行估计。
总体特征值的估计就是通过样本数据来推断总体特征值的方法。
最简单的总体特征值估计方法是使用样本均值进行估计。
样本均值是样本观察值的算术平均数。
我们可以假设样本均值近似于总体均值，并用样本均值来估计总体均值。
这是因为中心极限定理告诉我们，当样本大小足够大时，样本均值的抽样分布将接近正态分布，且以总体均值为中心。
这就允许我们使用样本均值来估计总体均值。
除了使用样本均值进行估计外，我们还可以使用样本中位数来估计总体中位数。
样本中位数是样本数据按照大小排列后处于中间位置的数值。
在总体分布不满足正态分布的情况下，样本中位数可能更适合作为估计总体中位数的方法。
此外，我们还可以使用样本百分位数来进行总体特征值的估计。
百分位数是指在有序的观察值中，一些特定百分比的观察值所对应的数值。
例如，第25百分位数是指将观察值按照大小排序后，处于第25%位置的数值。
通过计算样本的百分位数，我们可以对总体的分布进行描述，并推断总体特征值。
除了以上提到的方法，还存在其他一些方法可以用于总体特征值的估计。
例如，最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）和贝叶斯估计（Bayesian Estimation）等。
总体特征值的估计是统计学中一项重要的任务，它可以帮助我们对未知总体的一些特征进行推断。
然而，需要注意的是，估计的准确性取决于样本的大小和抽样方法的合理性。
当样本足够大且抽样方法得当时，我们可以更有效地估计总体特征值。
所以，在进行总体特征值的估计时，我们应该在理论和实践上都要进行合理的选择与判断。
总体特征数的估计
核密度估计基于核函数，通过加权平均的方式对数据进行平滑处理，以获得未知 密度函数的估计。常用的核函数包括高斯核、多项式核等。核密度估计具有稳健 性和适应性，能够处理复杂的数据分布。
最近邻估计
总结词
最近邻估计是一种非参数回归估计方法，通过找到与观测点 最近的训练点来估计未知的函数值。
详细描述
依据。
THANKS
感谢观看
通过估计总体特征数，可以预测未来的趋势。例如，通过分析过去几年的销售数据，可 以估计未来几年的销售趋势。
总体特征数估计的常见方法
点估计
用样本统计量直接作为总体特征 数的估计值，如用样本均值估计 总体均值。
区间估计
用样本统计量来估计一个区间， 该区间包含了真实的总体特征数。 例如，通过样本方差来估计总体 方差的一个置信区间。
详细描述
分位数估计基于分位数概念，通过找到与观测点相同分位数的训练点来估计未知的函数值。这种方法 能够处理各种分位数回归问题，尤其适用于数据分布不均匀的情况。分位数估计具有稳健性和适应性 ，能够处理异常值和离群点。
04
估计方法的比较与选择
估计方法的比较
样本大小
不同的估计方法对样本大小的要求不同，有些方法需要大样本才能获 得准确估计，而有些方法在小样本下也能有较好的表现。
机器学习模型评估
总结词
机器学习模型评估中，总体特征数的估计用于衡量模型的性能和预测能力。
详细描述
在机器学习中，模型的性能通常通过一些指标来评估，如准确率、召回率、F1分数等。 这些指标的计算需要基于总体特征数的估计。通过估计训练集和测试集中的正负样本数 量、混淆矩阵等数据，可以全面了解模型的性能和预测能力，为模型的优化和改进提供
特点
统计---总体特征数的估计
9.78 9.72 9.93
9.84 9.90
9.94
怎样根据这些数据对重力加速度进行估计呢？
平均数
总体平均数的估计
2、依据：离差的最小值
离差的平方和为： (x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2
2 =nx2-2(a1+a2+…+an)x+a12+a22+…+an（二次函数）
a1 a2 ... an 显然，当 x 时，离差的平方和最小 n
平均数的求法二：
各区间中值×区间频率之和
各区间中值 区间频数之和 总频数
（单位：元） 练习1:某单位月收入与所占职工人数比如下图，试估 计该单位职工的月平均收入。
职工年收入范围 1000~1500 1500~2000 2000~2500 2500~3000 3000~3500 3500~4000 4000~5000 所占职工比例 10% 15% 20% 25% 15% 10% 5%
问题:
某班同学用单摆进行测试，以检验重力加速度。每2 人一组在相同的条件下进行测试，得到下列实验数 据（单位：m/s2): 9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32
9.76 9.45 9.99 9.81 9.56
9.65 9.79 9.42 9.68 9.70
身高:cm
平均数的求法三：
各矩形面积×矩形区间中值之和
课堂小结： 这节课我们学习的是数据处理之方法二
特征数的求法及应用 1、平均数 给出条件 所有数据 频率分布表 频率分布直方图 条形图
平均数
2、中位数 3、众数 4、方差 5、标准差
总体特征数的估计
总体特征数的估计
一般来说，总体特征数的估计可以分为两种情况：离散型总体和连续型总体。
对于离散型总体，可以采用频数估计法进行估计。
这种方法是通过从总体中随机抽取一个样本，统计样本中特征的个数，然后将这个统计结果与总体中的样本容量相乘，得到总体特征数的估计值。
例如，如果从总体中抽取了100个样本，且样本中特征的个数的平均值为5个，那么总体特征数的估计值就是100*5=500个。
对于连续型总体，可以采用面积估计法进行估计。
这种方法是通过从总体中随机抽取一个样本，统计样本中特征的平均值和标准差，然后根据正态分布的性质，将样本平均值加减几个标准差得到置信区间，将置信区间的面积与总体样本容量相乘，得到总体特征数的估计值。
例如，如果从总体中抽取了100个样本，样本中特征的平均值为50，标准差为10，选择95%的置信度，那么置信区间的宽度为2*1.96*10=39.2，总体特征数的估计值就是100*50±39.2=5060。
需要注意的是，总体特征数的估计只是一个预估值，其准确度受到样本容量和抽样方法的影响。
当样本容量越大、抽样方法越随机时，估计值越接近真实值。
另外，不同的估计方法也会有不同的精度和置信度，需要根据实际情况选择适合的方法。
高中数学总体特征数的估计和线性回归方程
总体特征数的估计和线性回归方程思考过程在统计学中，我们想了解某个总体的某些特征量，比如今年某省高考的数学平均成绩，根据近些年某地区的1月份的平均气温来估计今年1月份的平均气温等问题，这里的“数学平均成绩”“平均气温”就是我们所要了解的总体特征量，通常我们是从总体中先抽取一个样本，通过样本的特征量来反映总体的相应特征量，即用样本来估计总体，这是统计学的一个基本思想.所谓的总体特征量就是能反映总体某些特征的量.如总体平均数、方差、标准差等.对数据的刻画，一般从两个方面：一种是数据的集中趋势，如数据的平均数、中位数、众数等统计量；另一种是数据的离散性度量，如数据的极差、方差及标准差等统计量.根据实际问题的需求合理地选取一个样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、方差等），并能作出合理的解释，这是学习统计的基本目标之一.在本节中，我们要学会从所抽取的样本数据中提取数据信息的能力，即会求数据的平均数、方差、标准差等，还要会用这些数据特征量去估计总体的相应的特征量.1.平均数： 若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，则平均数x =n1∑=n i 1x i （i =1，2，3，…，n ），通常用样本平均数来估计总体平均数.2.平均数的性质： （1）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x ；（2）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的平均数为a x +b ；（3）若给定的一组数据x 1，x 2，…，x n 较大，直接求平均数较为烦琐时，可以将每个数据都减去常数a ，得到一组新数据x ′1，x ′2，…，x ′n ，计算出新数据组的平均数为x '，则原数据组的平均数为x '+a .3.方差：若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，则n1∑=n i 1（x i －x ）2称作样本方差，记作s 2，它的算术平方根称作标准差，记作s ，即s =21)(1x x n i ni -∑=. 4.方差的性质：（1）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，方差为s 2，则ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2；（2）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，方差为s 2，则ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的方差为a 2s 2；特别地，当a =1时，则有x 1+b ，x 2+b ，…，x n +b 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；（3）方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度；对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；（4）方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响.5.线性回归（1）统计相关 变量之间虽然存在着密切的关系，但从一个变量的每一个确定的值，不能求出另一个变量的确定的值，可是在大量的试验中，这种确定的联系，具有统计规律性，这种联系称作统计相关性.（2）线性回归方程 通过收集现实生活中两个有关联的变量的数据作出散点图，如果所有的散点分布成或近似成一条直线，我们说这两个变量有线性关系（否则就说两个变量不具有线性关系），然后运用最小二乘法的思想，用一条直线来拟合两个变量之间的关系：y =a +bx . 要求所有点相对于该直线的偏差的平方和尽可能达到最小.我们把y =a +bx 称作线性回归方程，其中b =x b y a x xn y x y x ni n i i n i ini i n i i i n i -=--∑∑∑∑∑=====，22121111)())((.（*） 求线性回归方程的一般步骤： ①根据两组数据计算x ，y ，∑=n i 1x i ，∑=n i 1y i ，∑=n i 1x i 2，∑=n i 1x i y i ； ②代入（*）计算得a ，b 的值； ③代入y =a +bx .。
中职数学教案：总体特征值估计-样本平均数
备课组别
数学组
上课
日期
主备教师
授课教师
课题：
§10.7.2总体特征值估计-样本平均数
教学
目标
1理解样本平均数；
2会计算样本的平均数；
3形成对数据处理过程进行初步评价的意识；
重点
正确理解样本数据平均数的意义和作用，学会计算数据的平均数；
难点
会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；
问（１）根据抽样是何种抽样方法？
（２）估计甲乙两车间包装重量的均值与方差，并说明哪个均值的代表好？哪个车间包装重量较稳定？
教
学
内
容
例2有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
［12.5，15.5］，6；［15.5，18.5］，16；［18.5，21.5］，18；［21.5，24.5］，22；
（3）加权平均数：如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（f1+f2+…+fk=n），那么
= .
三 例题讲解
例 1、某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔１小时抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录．抽查数据如下：
甲车间：102,101,99,98,103,98,99; 乙车间：110,105,94,95,109,89,98．
［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计数据小于30.5的概率
四 练习巩固
1．已知数据 的平均数为 ，则数据 ， ，…， 的平均数为.
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一 知识梳理，基本概念的理解
1.平均数的计算方法
（1）如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x =
n
1
（x 1+x 2+…+x n ）叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”.
（2）当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a ，那么，x =x ' +a .
（3）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（f 1+f 2+…+f k =n ），那么
x =n
f x f x f x k k +++ 2211.
6.方差的计算方法
（1）对于一组数据x 1，x 2，…，x n ，s 2=n
1
［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］
叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差.
（2）公式s 2=n
1
［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］.
（3）当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a .
则s 2=n
1［（x 1′2+x 2′2+…+x n ′2）－n 2x '］.
2总体平均值和方差的估计
人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确. 范例解析
例 1、某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔１小时抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录．抽查数据如下：
甲车间：102,101,99,98,103,98,99; 乙车间：110,105,94,95,109,89,98． 问（１）根据抽样是何种抽样方法？ （２）估计甲乙两车间包装重量的均值与方差，并说明哪个均值的代表好？哪个车间包装重量较稳定？
例2有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下： ［12.5，15.5］，6；［15.5，18.5］，16；［18.5，21.5］，18；［21.5，24.5］，22； ［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.
（1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计数据小于30.5的概率
例3、.某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：求全班的平均成绩和标准
差.
课堂练习
1.在方差计算公式])20()20()20[(10
1
21022212-++-+-=
x x x s 中，数字10和20分别
7 8 9 9
4 4 6 4 7 3
表示 （ ） A ．数据的个数和方差 B ．平均数和数据的个数 C ．数据的个数和平均数 D ．数据组的方差和平均数
2.从鱼塘捕得同时放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是______
3.x 1是1x ，2x ，3x ，……，40x 的平均值，2x 为41x ，42x ，43x ，……，100x 的平均值，x 是1x ，2x ，
3x ，……，100x ．则x ＝
12
4060100
x x +
4.已知一组数据x ，－1，0，3，5的方差为S 2=6.8，则x= ．
5.已知一组数据x 1，x 2，…，x 10的方差是2，且(x 1-3)2+(x 2-3)2+…+(x 10-3)2=380，求x ．
基础练习
1．已知数据12n x x x ，，，的平均数为5x =，则数据137x +，237x +，…，37n x +的平均数为 .
2．若M 个数的平均数是X, N 个数的平均数是Y,则这M+N 个数的平均数是______
3．数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2
，则数据2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为 . 4
则下列说法正确的是 .
①甲的样本容量小 ②乙的样本容量小 ③甲的波动较小 ④乙的波动较小 5．右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评 委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个4 最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ． 课堂小结
1 理解样本平均数的计算方法
2 理解样本方差的计算方法 课后作业
1 书上
2 练习册。