数学建模迭代实验报告

非 线 性 迭 代 实 验 报 告

一、实验背景与实验目的

迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。 蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。

本实验在Mathematica 平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic 映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。

二、实验材料

2.1迭代序列与不动点

给定实数域上光滑的实值函数)(x f 以及初值0x ，定义数列

)(1n n x f x =+，Λ,2,1,0=n （2.2.1） }{n x 称为)(x f 的一个迭代序列。

函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函数)(x f 的不动点。

对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。运行下列Mathematica 程序：

Clear[f]

f[x_] := (25*x - 85)/(x + 3); （实验时需改变函数） Solve[f[x]==x , x] （求出函数的不动点）

g1=Plot[f[x], {x, -10, 20}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction -> Identity];

g2=Plot[x, {x, -10, 10}, PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0], DisplayFunction -> Identity]; x0=5.5; r = {};

r0=Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, 0}, {x0, x0}}]}]; For[i = 1, i <= 100, i++,

r=Append[r, Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, x0},

{x0, f[x0]}, {f[x0], f[x0]}}] }]]; x0=f[x0] ];

Show[g1, g2, r, r0, PlotRange -> {-1, 20}, （PlotRange 控制图形上下范围） DisplayFunction -> $DisplayFunction] x[0]=x0;

x[i_]:=f[x[i-1]]; （定义序列） t=Table[x[i],{i,1,10}]//N ListPlot[t] （散点图）

观察蜘蛛网通过改变初值，你能得出什么结论？

如果只需迭代n 次产生相应的序列，用下列Mathematica 程序： Iterate[f_,x0_,n_Integer]:=

Module[{ t={},temp= x0},AppendTo[t,temp]; For[i=1,i <= n, i++,temp= f[temp]; AppendTo[t,temp]]; t ]

f[x_]:= (x+ 2/x)/2; Iterate[f,0.7,10]

设()x f 是一个定义在实数域上的实值函数，如果存在u 使得()u u f =，则称u 为()x f 的不动点。我们用u u →表示这件事。如果所有附近的点在选代过程中都趋向于某个不动点，则该不动点称为吸引点，有时也称该不动点是稳定的。如果所有附近的点在选代过程中都远离它而去，则该不动点称为排斥点，有时也称该不动点是不稳定的。

如果21)(u u f =，32)(u u f =，…，1)(u u f k =且k j u

u j

i ,,2,1,

Λ=≠,则k

u u u ,,,21Λ形成一个k 循环，用121u u u u k →→→→Λ记这个事实。1u 称为一个k 周期点，k u u u ,,,21Λ称为一个周期轨道。显然，不动点就是周期为1的周期点。类似于不动点，如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某个周期点，则该周期点称为吸引点；如果所有附近的点在迭代过程中都远离它而去，则该周期点称为排斥点。如果点u 最终落于某个循环之中，则称它是一个预周期点。例如，l 是1)(2-=x x f 的预周期点。

2.2 Logistic 映射与混沌

从形如()()x ax x f -=1的二次函数开始做迭代

()k k x f x =+1 Λ,1,0=k （2.2.2）

这里，[]4,0∈a 是一个参数。对不同的a 系统地观察迭代（2.2.2）的行为。Mathematica 程序：

IterGeo[a_, x0_] :=

Module[

{p1, p2, i, pointlist = {}, v= x0, fv= a*x0*(1 - x0)},

p1=Plot[ {a*x*(1 - x), x}, {x, 0, 1}, DisplayFunction -> Identity]; AppendTo[pointlist, {x0, 0}];

For[i = 1, i < 20, i++, AppendTo[pointlist, {v, fv}]; AppendTo[pointlist, {fv, fv}]; v= fv; fv= 4*v*(1 - v)];

p2=ListPlot[pointlist, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity];

Show[{p1, p2}, DisplayFunction -> $DisplayFunction] ]

IterGeo[2.6, 0.3]

将区间（0，4］以某个步长a ∆离散化，对每个离散的a 值做迭代（2.2.2），忽略前50个迭代值，而把点()51,x a ，()52,x a ，…，()100,x a 显示在坐标平面上，最后形成的图形称为Feigenbaum 图。Mathematica 程序：

Clear[f, a, x]; f[a_, x_] := a*x*(1 - x);

x0 = 0.5; r = {}; Do[

For[i = 1, i <= 300, i++, x0 = f[a, x0];

If[i > 100, r = Append[r, {a, x0}]] ],

{a, 3.0, 4.0, 0.01}]; ListPlot[r]

从极限分支点之后，Feigenbaum 图显得很杂乱，似乎没有任何规律。实际上，对任何初始值做迭代都会得到同样的结果。这就是所谓的混沌现象。迄今为止，混沌并没有确切的数学定义，但它具有一些基本的特性，如对初值的敏感性以及某种无序性，由此产生类似于随机的现象。

所谓一个迭代对初值是敏感的意思是，无论两个初值如何接近，在迭代过程中它们将渐渐分开。这是任何一个混沌系统都具有的特性之一，这种特性使得混沌系统会产生似乎是随机的、没有规律的现象。在Logistic 映射中，取4=a ，任取两个初值使得它们之间的差的绝对值不超过0.l ，运行下列程序，观察结果后回答问题：在迭代过程中它们逐渐分开吗？