用平面向量解三角形问题

第五编 平面向量、解三角形

§5.1 平面向量的概念及线性运算

基础自测 1.下列等式正确的是 （填序号）.

①a +0=a ②a +b =b +a ③+≠0 ④=++

答案 ①②④

2.如图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论中正确的是 . ①= ②+= ③-= ④+=0

答案 ①②④

3.（2008²广东理，8）在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若=a ,=b ,则= . 答案 3

2a +31b 4.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB =a ，AD =b ，则= . 答案 b -2

1a 5.设四边形ABCD 中，有=

21，且||=||，则这个四边形是 . 答案 等腰梯形

例1 给出下列命题

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；

③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；

④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；

⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中假命题的个数为 .

答案 4

例2 如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形， AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知=a ，

=b

，

=c

，试用

a 、

b 、

c 表示，，

+.

C D

∵MN =MD ++AN ，

∴=-

21,=-,=21, ∴MN =21a -b -2

1c . +CN =+MN +CM +MN =2MN =a -2b -c .

例3 设两个非零向量a 与b 不共线，

（1）若=a +b ,=2a +8b ,=3(a -b )，

求证：A 、B 、D 三点共线；

（2）试确定实数k ，使k a +b 和a +k b 共线.

（1）证明 ∵=a +b ,=2a +8b ,=3(a -b ),

∴=+=2a +8b +3(a -b )

=2a +8b +3a -3b

=5(a +b )=5.

∴、共线，

又∵它们有公共点B ，

∴A 、B 、D 三点共线.

（2）解 ∵k a +b 与a +k b 共线，

∴存在实数λ，使k a +b =λ(a +k b ), 即k a +b =λa +λk b .

∴(k -λ)a =(λk -1)b .

∵a 、b 是不共线的两个非零向量，

∴k -λ=λk -1=0，∴k 2-1=0.

∴k =±1.

例4 （14分）如图所示，在△ABO 中，=41, =2

1,AD 与BC 相交于点M ，设=a ，=b .试 用a 和b 表示向量.

解 设OM =m a +n b ， 则=-=m a +n b -a =(m -1)a +n b .

=-=21-=-a +2

1b . 又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与AD 共线.

∴存在实数t ,使得=t ，

即(m -1)a +n b =t (-a +

21

b ). 4分 ∴(m -1)a +n b =-t a +2

1t b . ⎪⎩

⎪⎨⎧=-=-21t n t m ，消去t 得：m -1=-2n . 即m +2n =1. ① 6分

∴

又∵CM =-=m a +n b -

41a =(m -41)a +n b . =-=b -4

1a =-41a +b . 又∵C 、M 、B 三点共线，∴与共线. 10分

∴存在实数t 1,使得=t 1,

∴(m -41)a +n b =t 1⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-41, ∴⎪⎩

⎪⎨⎧=-=-114141t n t m ，

消去t 1得,4m +n =1 ② 12分

由①②得m =

71,n =73, ∴OM =

71a +73b . 14分

1.下列命题中真命题的个数为 .

①若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ;

②若=，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点；

③若a =b ,b =c ,则a =c ;

④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . 答案 1

2.在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，

使DB =31OB .DC 与OA 交于E ，设=a ，=b ，用a , b 表示向量，. 解 因为A 是BC 的中点，

所以=21(+)，即=2-=2a -b ； =-=-32=2a -b -32b =2a -3

5b . 3.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ,t b ,31(a +b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设=a ，=t b ，=31(a +b )， ∴=-=-32a +3

1b ，=-=t b -a . 要使A 、B 、C 三点共线，只需AC =

λ

即-32a +3

1b =λt b -λa a b

∴有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-t λλ3

132，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==21

32t λ ∴当t =2

1时，三向量终点在同一直线上. 4.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，

且AN =2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值.

解 方法一 设e 1=BM ,e 2=, 则=+CM =-3e 2-e 1，

=+=2e 1+e 2.

=λ=-3λe 2-λe 1，

因为A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，所以存在实数μ、λ，使

=μ=2μe 1+μe 2，∴=-=（λ+2μ）e 1+（3λ+μ）e 2， 另外=+=2e 1+3e 2，

⎩⎨⎧=+=+3322μλμλ，∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==53

54μλ， ∴=54,=53,∴AP ∶PM =4∶1. 方法二 设=λAM ， ∵=

21（+）=21+43， ∴=2λ+43λ. ∵B 、P 、N 三点共线，∴-=t (-),

∴=(1+t )-t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t λλ4

312

∴

2λ+43λ=1，λ=54，∴AP ∶PM =4∶1.

一、填空题

1.下列算式中正确的是 （填序号）.

①++=0 ②-= ③0²=0 ④λ（μa ）=λ²μ²a 答案 ①③④

2.（2008²全国Ⅰ理）在△ABC 中，=c ，=b ，若点D 满足=2

，则= （用b ,c 表示）. 答案 32b +31c