误差原理第二章 误差的性质
第二章：误差理论
重物的误差是多少？ 重物的误差是多少？
∆x = x ⋅ δ = 500× 0.1% = 0.5g
相对误差的特征： 相对误差的特征： ⑴大小与被测量单位无关 ⑵能反映误差的大小和方向 ⑶能反映测量工作的精细程度
相对误差比较符合实际检测需要，一般地， 相对误差比较符合实际检测需要，一般地，测 量范围越小，要求的绝对误差越小。 量范围越小，要求的绝对误差越小。比如量程为 1000Kg的秤 相对误差为1％，则测量10Kg重物的 的秤， 则测量10Kg 1000Kg的秤，相对误差为1％，则测量10Kg重物的 误差为0.1Kg 而测量500Kg重物的误差为5Kg 0.1Kg， 500Kg重物的误差为5Kg。 误差为0.1Kg，而测量500Kg重物的误差为5Kg。
对残余误差进行列表或作图进行观察。 对残余误差进行列表或作图进行观察。
U U U
0
n
差 周期性系统误差
b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): 残余误差之和相减法 当测量次数较多时， 当测量次数较多时，将测量列前一半的残余误 差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。 差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。
举例说明： 举例说明： 1.测量温度的绝对误差为 例1.测量温度的绝对误差为±10C，测量水的沸点 温度100 测量的相对误差是多少？ 温度1000C，测量的相对误差是多少？
1 δ = × 100 % = 1 % 100 2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g 某电子天平的相对误差是0.5% 例2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g
学习误差的意义: 学习误差的意义: 1.正确认识误差的性质, 1.正确认识误差的性质,分析误差产生的原 正确认识误差的性质 以便消除或减小它; 因,以便消除或减小它; 2.正确处理数据,合理计算所得结果,以便在 2.正确处理数据,合理计算所得结果, 正确处理数据 一定条件下,得到更接近真实值的数据; 一定条件下,得到更接近真实值的数据; 3.正确组成检测系统, 3.正确组成检测系统,合理设计检测系统或选 正确组成检测系统 用测量仪表,正确选择检测方法, 用测量仪表,正确选择检测方法,以便在最经济 的条件下,得到理想的测量结果. 的条件下,得到理想的测量结果.
2019分析化学课件第二章误差及分析数据的统计处理
15.9
16.0 16.1
测量值
16.2
16.3
问题： 测量次数趋近于无穷大时的频率分布？
测量次数少时的频率分布？
某段频率分布曲线下的面积具有什么意义？
2021/3/3
2、正态分布：
分析化学中测量数据一般符合正态分布，即高斯分布。
yf(x) 1 e(x22)2
2
x 测量值，μ总体平均值， σ总体标准偏差
定量分析的任务：准确测定组分在试样中的含 量。
实际测定不可能得到绝对准确的结果。
2021/3/3
• 客观上误差是经常存在的，在实验过程中， 必须检查误差产生的原因，采取措施，提 高分析结果的准确度。同时，对分析结果 准确度进行正确表达和评价。
2021/3/3
一、准确度和精密度
（一）.准确度和精密度——分析结果的衡量指标。
测量值
2021/3/3
No 分组
1 15.84 2 15.87 3 15.90 4 15.93 5 15.96 6 15.99 7 16.02 8 16.06 9 16.09 10 16.12 11 16.15 12 16.18 201231/3/3 16.21
频数 频率 （ni) （ni/n)
1 0.005 1 0.005 3 0.015 8 0.040 18 0.091 34 0.172 55 0.278 40 0.202 20 0.101 11 0.056 5 0.025 2 0.010 0 0.000
化学课件第二章误差及分析数据的统计处理
基本要点： 1. 了解误差产生的原因及其表示方法； 2. 理解误差的分布及特点； 3. 掌握分析数据的处理方法及分析结果的表示。
2021/3/3
第2章 误差的基本性质与处理
第二节 系统误差
二、系统误差的分类和特征
系统误差的特征是在同一条件下，多次测 量同一测量值时，误差的绝对值和符号保 持不变，或者在条件改变时，误差按一定 的规律变化。由系统误差的特征可知，在 多次重复测量同一值时，系统误差不具有 抵偿性，它是固定的或服从一定函数规律 的误差。从广义上讲，系统误差是指服从 某一确定规律变化的误差。
征
第二节 系统误差
（一）不变系统误差
固定系统误差是指在整个测量过程中，误差 的大小和符号始终是不变的。
如千分尺或测长仪读数装置的调零误差，量 块或其它标准件尺寸的偏差等，均为不变系 统误差。它对每一测量值的影响均为一个常 量，属于最常见的一类系统误差。
第二节 系统误差
i 1
j k 1
i 1
jK 1
i 1
jK 1
测量次数足够多时,
K
n
vi ' v j ' 0
i 1
j k 1
K
n
K
n
所以得： vi v j (li x) (l j x)
i 1
jK 1
i 1
j K 1
若Δ显著不为O，则有理由认为测量列存在线性系统误差。 这种校核法又称“马列科夫准则” 。
② 周期变化的系统误差 在整个测量 过程中，系统误差随某因素周期变化。
例如，仪表指针的回转中心与刻度盘中心有一
个偏心量 e ，则指针在任一转角 处引起的
读数误差为 L e。 s此in误 差变化规律符合正
弦曲线规律，当指针在 0 和 180 时误差为 零，而在 90 和 270 时误差绝对值达最大。
在此情况下，可用统计准则进行判断.若
n1
u vivi1 v1v2 v2v3 vn1vn 2 n 1 i 1
《误差理论》课件第二章 误差的基本性质与处理
vi li 11x 22000.74mm 22000.737mm 0.003mm
i 1
用第二种规则校核，则有：
n 11 0.5 0.5 5, A 0.001mm 2 2 11 n vi 0.003mm 0.5 A 0.005mm 2 i 1
第一节 随机误差（P11-P12）
（二）算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余 误差代数和来校核。 由 i l i x v l nx，式中的 x 是直接计算得到的， 当求得的 为未经凑整的准确数时，则有： x
n n i 1 i i 1 i
x0
vi li x
0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
x 1879.65 0.01 ＝ 1879.64
l
i 1
10
i
10
0.01
v
i 1
n
i
0.01
解：任选参考值 l 0 =1879.65，计算差值 l i 和 x 0 列于表中,很容易求 得算术平均值: x ＝ 1879.64 (mm)
第二章 误差的基本性质与处理
教学目标
本章分别详细阐述随机误差、系统误 差、粗大误差三类误差的来源、性质、数 据处理的方法以及消除或减小的措施。特 别是在随机误差的数据处理中，掌握等精 度测量和了解不等精度测量的不同数据处 理方法。通过学习本章内容，使学生能够 根据不同性质的误差选取正确的数据处理 方法并进行合理的数据处理。
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
误差原理第二章 误差的性质
① 换位法/替代法
引起系统误差的条件（如被测量的位置）相互交换 --- 其他条件不变 --- 产生系统误差的因素对测量结果起相反的作用 --- 抵消 已知量替换被测量 例：等臂天平称重 --- 左右两臂长的微小差别 --- 恒值系统误差 被测物 ---X；平衡物 --- T；砝码 --- P a）X与P左右交换 --- 两次测量 的平均值 --- 消除系统误差 b）T与X 平衡 P与T平衡
二.随机误差的性质 随机误差主要有以下几方面的性质: (1)在一定测量条件下的有限测量值中,其随机误差的绝 对值不会超过一定的界限,误差所具有的这个特征,我们 称之为有界性; (2)绝对值相等的正误差和负误差出现的次数大致相等, 这一特征称之为对称性; (3)绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的 次数多,这一特性称之单峰性. (4)对同一量进行多次测量,其误差的算术平均值随着测 量次数的无限增加而趋于零,即误差平均值的极限为零.
一.等精度测量直接测量时的数据处理 (1)求算术平均值 (2)求残余误差 (3)校对算术平均值及其残余误差 (4)判断系统误差 (5)求测量列单次测量的标准差
(6)判断含粗大误差的坏值,并剔除
若存在粗大误差的坏值,剔除之后,又需要重新求算术 平均值和标准差等,重复(1)至(5)步的计算,到不含 粗大误差为止.
两次测量所得的周期系统误差数值相等正负相反取平均值自动检测检测的时间间隔为周期克服随时间周期变化因素的影响有影响的因素定值较窄范围系差稳定修正值测量变化周期传感器信号转换选频放大器滤波器滤色片截断删除无用频带只让有用信号频带通过减轻校正补偿难度措施恒温稳压或稳频1判别方法整个测量完毕之后2粗大误差的减少办法和剔除准则2剔除准则拉依达准则3准则格拉布斯准则显然与事实不符歪曲测量结果主观避免剔除发现不符合实验条件环境突变突然振动电磁干扰等统计方法处理数据超过误差限判为坏值剔除随机误差在一定的置信概率下的确定置信限测量值x剔除测量值x肖维勒系数查表确定测量值查表确定计算算术平均值x剩余误差均方误差剔除坏值随时发现随时剔除重新测量
化学分析 第二章 误差(第五版)
R E % =20.01100% 0.1% V
V20mL
h
22
[例]以K2Cr2O7标定0.02mol/L 的Na2S2O3要使VNa2S2O3 = 25 mL，称 mK2Cr2O7=?
[解] (1) Cr2O72++6I -+14H+=2Cr3++3I2+7H2O
I2+2S2O32-=2I -+S4O62 -
S = i=1 n -1
h
35
正态分布与 t 分布区别
1．正态分布——描述无限次测量数据 t 分布——描述有限次测量数据
2．正态分布——横坐标为 u ，t 分布——横坐标为 t
u = x-m s
m为总体均值 s为总体标准差
t= x-m s
s为有限次测量值的标准 差
3．两者所包含面积均是一定范围内测量值出现的概率P
2. 哪些操作影响准确度?
3. 哪些操作影响精密度?
h
25
实验四 明矾的含量测定
操作步骤：
精密称取明矾样品约1.4 g于50 ml烧杯中，用适量蒸馏水溶解后 转移至100 ml容量瓶中，稀释至刻线，摇匀。用移液管吸取 25.00 ml上述溶液于250 ml锥形瓶中，加蒸馏水25 ml，然后精密 加入EDTA标准液（0.05 mol/L）25.00 ml，在沸水浴中加热10分 钟，冷至室温，再加蒸馏水10 ml及HAc – NaAc缓冲液5 ml，二 甲酚橙指示剂4 ~ 5滴，用ZnSO4标准液滴定至溶液由黄色变为橙 色，即为终点。 1. 为什么用容量瓶配制样品溶液?
(5) 为使 RE<0.1%，加大称样，扩大10倍，配置
250mL(取25mL即为0.024g的量)
误差的性质及其产生的原因
误差的性质及其产生的原因应用光电直读光谱分析方法测定试样中元素含量时，所得结果与真实含量通常是不一致，总是存在着一定的误差。
这里所讲的误差是指每次测量的数因，误差可分为系统误差、偶然误差和过失误差3种。
(1)系统误差也叫可测误差，它是由于分析过程中某些经常发生的比较固定的原因所造成的，它是可以通过测量而确定的误差。
通常系统误差偏向一方，或偏高，或偏低。
例如光谱标样，经过足够多次测量，发现分析结果平均值与该标样证书上的含量值始终有一差距，这就产生一个固定误差即系统误差，系统误差可以看作是对测定值的校正值，它决定了测定结果的准确度。
(2)偶然误差是一种无规律性的误差，又称不可测误差，或随机误差，它是由于某些偶然的因素(如测定环境的温度、湿度、振动、灰尘、油污、噪音、仪器性能等的微小的随机波动) 所引起的，其性质是有时大，有时小，有时正，有时负，难以察觉，难以控制。
它决定了测定结果的精密度。
(3)过失误差是指分析人员工作中的操作失误所得到的结果，没有一定的规律可循，只能作为过失。
不管造成过失误差的具体原因如何，只要确知存在过失误差，就将这一组测定值数据以异常值舍弃。
在光电直读光谱分析过程中，从开始取样到最后出分析数据，是由若干个操作环节组成的，每一环节都产生一定的误差。
当无过失误差时，光谱分析的总误差主要是系统误差和偶然误差的总和，便决定了光电直读光谱分析方法的正确度。
分析正确度包含二方面内容,正确性和再现性。
正确性表示分析结果与真实含量的接近程度，系统误差小，正确性高。
再现性(精密度)表示多次分析结果的离散程差和偶然误差或系统误差和偶然误差都很小时，精密度就等于正确度。
1误差的来源分析为了使分析结果更准确，必须尽量减小误差。
要减小误差必须要对光电直读光谱分析时的系统误差和偶然误差的来源进行探讨，从而更有针对性的寻找减少误差的方法，来提高分析结果的准确度。
1.1系统误差的来源(1)分析试样和标准样品的组织状态不同。
误差理论及数据处理第二章-误差的基本性质与处理
第二章 误差的基本性质与处理2-1．试述标准差 、平均误差和或然误差的几何意义。
答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解为 N 条线段的平均长度； 2-2．试述单次测量的标准差 和算术平均值的标准差 ，两者物理意义及实际用途有何不同。
【解】单次测量的标准差σ表征同一被测量n 次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。
2n δσ++=算术平均值的标准差xσ-是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准xσ-=在n ，当测量次数n 愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。
2-3试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率 【解】（1）误差服从正态分布时2222(2)(2)()P ed ed δδσσδδ--==引入新变量t:,t tδσδσ==,经变换上式成为： 22()2()20.41950.8484%t t P edt t -==Φ=⨯==⎰（2）误差服从反正弦分布时因反正弦分布的标准差为：σ=，所以区间[],,a a ⎡⎤=-⎣⎦,故:1()1aaP δπ+-==⎰（3） 误差服从均匀分布时因其标准差为：σ=,⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故111()20.8282%22P d a a δπ==⨯==⎰2-4．测量某物体重量共8次，测的数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，是求算术平均值以及标准差。
0.05(0.03)0.11(0.06)(0.01)0.080.070236.48236.43x +-++-+-+++=+=0.0599σ=0.0212x σ==2-5用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4，并比较2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。
误差的基本性质与处理解析
2
e
2 2 2
第一节 随机误差
第二章 误差的基本性质与处理
f ()
不同形状的分布曲线所 表征的含义是不同的。曲线 越陡，随机误差的分布就越 集中，表明测量精度就越高。
2 2 e 2
根据 可得
f ( )
1
2
f max
1
2
由此可知，当σ↑， f↓ max 曲线就平坦，随机误差的 分布就分散，测量精度低。
第一节 随机误差
2、或然误差ρ 将整个测量列的 n 个随机 误差分为个数相等的两半。 其中一半随机误差的数值落 在-ρ ~ +ρ范围内，而另一半 落在-ρ ~ +ρ范围以外。
第二章 误差的基本性质与处理
f ( ) d 0.5
2 0.6745 3
第一节 随机误差
第一节 随机误差
3、标准差的其它算法 (1) 别捷尔斯法
由
第二章 误差的基本性质与处理
v
2 i
n1
n
2 i
n n 2 i vi i vi n1 n1
1 n
将②式两边平方得 当n充分大时，
0 因此有
i 1 j 1 i j
n 1 n
x2 ③2 i
1 n
2
将①式平方后再相加， i 2 vi 2 n x 2
④
第一节 随机误差
③、④联立消去 x 2
x2
1 n2
2
第二章 误差的基本性质与处理
1 1 D ( x ) 2 nD ( l ) D ( l ) n n
第二章《误差理论与数据处理》
n
i2
i 1
n
n
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
x
n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n 的标准差是单次测量标准差 n ， ， x 。但 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法， 最大误差法等。
（4）别捷尔斯（Peters）法
1.253
v
i 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
n
i
n n 1
x 1.253
v
i 1
i
n
n 1
（4）极差法
等精度多次测量被测值 x1 ,x2 ,x3 ,......,xn 服从正态分布，在其中选取最大值 xmax 与最小 值 xmin，则两者之差称为极差：n xmax xmin 标准差的无偏估计： n
n1 n2
x1
i 1
1i
n1
n1
, x2
n2
i 1
2i
n2
,..., xm
m
l
i 1
nm
mi
nm
x ( l1i l2i ... lmi ) / ni
i 1 i 1 i 1 i 1
误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理考试重点
1、随机误差产生的原因（装环人）2、随机误差具有统计规律性对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数相等。
单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限。
抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。
3、算术平均值非X=X1+X2+...+XiVi(残余误差)=Xi-非X4、标准差（1）单次测量的标准差（δi）标准差=根号下（δi平方和/n）标准差的估计值=根号下（Vi平方和/n-1）（贝塞尔公式）评定单次测量不可靠的参数或然误差p=2/3标准差的估计值平均误差θ=4/5标准差的估计值（2）算术平均值的标准差标准差非x=标准差/根号下n或然误差R=2/3算术平均值标准差非x平均误差T=4/5标准差非x5、极差法Wn=Xmax-Xmino=Wn/dn6、最大误差法真值可代替o=|δi|/Kn真值未知o=|Vi|/Kn'7、权的确定方法:按测量的次数确定权8、单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。
9、系统误差产生的原因（装环方人）10、系统误差的特征（服从某一确定规律变化的误差）不变的系统误差线性变化的系统误差周期性变化的系统误差复杂规律变化的系统误差11、系统误差的发现方法实验对比法残余误差观察法残余误差校核法不同公式计算标准差比较法计算数据比较法秩和检验法t检验法12、系统误差的减小和消除（1）从产生误差的根源上消除系统误差（2）用修正方法消除系统误差（3）不变系统误差消除法（代替法抵消法交换法）（4）线性系统误差消除法（对称法）（5）周期性系统误差消除法（半周期法）13、粗大误差产生的原因测量人员的主观原因客观外界条件的原因14、防止与消除粗大误差的方法（1）设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除（2）加强测量者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作（3）保证测量条件的稳定（4）采用不等精度测量方法（5）互相之间进行校核的方法15、判别粗大误差的准则3o准则（莱以特准则）罗曼诺夫斯基准则格罗布斯准则狄克松准则计算题测量某电路电流共5次，测得数据（单位位mA）为168.41 168.54 168.59 168.40 168.50 试求算术平均值及标准差或然误差和平均误差。
误差的基本性质与处理
误差的基本性质与处理第1章绪论1-1 研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义（1）正确认识误差的性质，分析误差产⽣的原因，以消除或减⼩误差。
（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在⼀定条件下得到更接近于真值的数据。
（3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选⽤仪器和测量⽅法，以便在最经济的条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：（1）讨论形成误差的原因；（2）各类误差的特征及处理⽅法；（3）对测量结果进⾏评定。
1-2 试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答1：测量误差的定义：误差＝测得值－真值。
测量误差的分类：随机误差、系统误差和粗⼤误差。
各类误差的特点：（1）随机误差：服从统计规律，具有对称性、单峰性、有界性和抵偿性；（2）系统误差：不服从统计规律，表现为固定⼤⼩和符号，或者按⼀定规律变化；（3）粗⼤误差：误差值较⼤，明显地歪曲测量结果。
答2：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗⼤误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循⼀定的规律变化（⼤⼩和符号都按⼀定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定⽅式变化；粗⼤误差的特点是可取性。
1-3 试述误差的绝对值与绝对误差有何异同，并举例说明。
答1：相同点：都是测量值与真值之差。
不同点：误差的绝对值都是正值，⽽绝对误差有正、有负，反映了测得值与真值的差异。
例：某长度的绝对误差为－0.05mm，⽽该误差的绝对值为|－0.05|mm＝0.05mm。
答2：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺⼨和标准尺⼨差别的⼤⼩数量，不反映是“⼤了”还是“⼩了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺⼨和标准尺⼨的差值。
+多少表明⼤了多少，-多少表⽰⼩了多少。
(2)就测量⽽⾔,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本⾝标准值未定。
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm ，已知其最大绝对误差为1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L ＝L －L 0已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
第二章误差与不确定度
m 1.5%
使用说明：选择量程，使被测量
x xm m x xm m x x xm
x xm x min xm m m xm
满量程。
而
（3）分贝误差 定义:电压电流类参量: 近似公式： 功率类参量： 近似公式：
A 20 lg( 1
xm －相应档的满度值
说明： (1) m 实际上给出的是一个绝对误差 m 一定 → x m xm (2)仪表各量程 x 可以不同 i－第i个量程 (3)我国电工仪表的分七级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、 常用S表示 S＝1.5
x xm mi
2.5、5.0
v Us t t v
c、按复杂规律变化的系差
0.1％
0
45
0
90
0
-0.1％
2、随机误差（偶然误差）：相同条件下多次 测量同一量时，误差大小、符号发生变化，且无确 切规律，也不可预测。 相同条件：测量仪器精度，工作环境，测试方 法，操作人员等。 产生原因：热骚动，噪声干扰，电磁场变化等。 特点：单次测量无规律，大量测量时其数据分布 服从一定统计规律。 性质：大部分具有单峰性，对称性，有界性， 抵偿性
给出形式： 数值
曲线 公式或数表
（2）相对误差
x A 100% A x x 100% x
① 实际相对误差
② 标称（示值）相对误差 ③ 满度（引用）相对误差
x m 100% xm
③ 满度（引用）相对误差
x m 100% xm
x －代表某档的最大误差
几何意义： P(x)
M ( x)
x
面积重心横坐标
2 ( x)（离散特征） （2）、方差
《误差理论与数据处理(苐7版)》费业泰第2章误差的基本性质与处理剖析.
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正态分布的分布密度 f ( ) 与分布函数F( ) 为
f ( )
1
e 2 /(2 2 )
2
(2-2)
F ( ) 1
e d 2 (2 2 )
2
(2-3)
式中：σ——标准差（或均方根误差） e——自然对数的底，基值为2.7182……。
它的数学期望为
就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）
被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，
因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。
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第一节 随机误差
一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随
机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的
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重点与难点
三大类误差的特征、性质以及减小各 类误差对测量精度影响的措施
掌握等精度测量的数据处理方法 掌握不等精度测量的数据处理方法
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第一节 随机误差
一、随机误差产生的原因
当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列 不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些 误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下 一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统 计规律。
第一节 随机误差
二、正态分布
随机误差的分布可以是正态分布，也有在非正态分布，而多数随 机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的 特性。
误差
i
设被测量值的真值为 可表示为：
第二章 误差的基本性质与处理
n
2 i
n 1
II. 测量列算术平均值的评定标准
在相同条件下对同一量值作多组重复的系列 测量，每一系列测量都有一个算术平均值。 标准差 x 则是表征同一被测量的各个独立测 量列算术平均值分散性的参数，可作为算术 平均值不可靠性的评定标准。
l1 l2 ln 已知算术平均值：x n
12 22 n2
n
2 i i 1
I.
n
正态分布的随机误差分布密度
1 f ( ) e 2
2 2 2
坦。
值越小 ，曲线变陡 ；反之 ，曲线越平
可作为测量列中单次测量不可靠性的评 定标准。
当被测量的真值为未知时，不能求得标 准差。实际上，在有限次测量情况下，可用残 余误差 v i 代替真值误差，而得到标准的估计 值。
II. 权的确定方法
最简单的方法是按测量的次数来确定权，即 测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量 次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可 由测量的次数来确定权的大小，即 pi ni 。 假定同一个被测量有m组不等精度的测量结 果，这m组测量结果是从单次测量精度相同 而测量次数不同的一系列测量值求得的算术 平均值。因为单次测量精度皆相同，其标准 差均为 ，则各组算术平均值的标准差 为： xi , i 1,2, m ni
算术平均值的极限误差： lim x t x
作业：P53-2-2,2-4,2-5
六
不等精度测量
为了得到更精确的测量结果，如在科学研究 或高精度测量中，往往在不同的测量条件下， 用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测 量次数以及不同的测量者进行测量与对比， 这种测量称为不等精度测量。 在一般的测量工作中，常遇到的不等精度测 量在两种情况：
第二章误差的基本性质与处理
解法二：
x 20.0000
(0.0005 0.0004 0.0003 0.0006 0.0002)
i 0
5
5
20.0000
10
算术平均值的计算校核
1.残差代数和 ① ②
x为准确数时， v 0 x为不准确数时， v 为正，其等于余数 v 为负，其等于亏数
i 1 i n i 1 n i 1 i i
x x0
p (x
i 1 i m i 1
m
i
x0 )
i
p
27
3.单位权化
非等精度 等精度 任何一个非等精度随机变量乘以自身 权数的平方根，得到的新变量的权数为1。 即： z y p y
pz 1
pi
i
4.加权算术平均值的标准差 M组不等精度测量 x x
p
i 1
m
i
p
i 1
m
i
28
由残差来计算
pv
i 1
m
m
2
i xi
m 1
则：
x
pv
i 1
2
i xi m
( m 1) pi
i 1
(m要求足够大）
29
例：1m的米尺经三种方法检定，其结果
如下：
x1 1000.045mm
x 5m
1
x2 1000.015mm x 2 20m x3 1000.060mm x 3 10m
③得
x l 0
l
i 0
n
i
n
9
例：求20.0005，19.9996，20.0003，19.9994， 20.0002五个测得值的算术平均值。
误差的基本性质-随机误差
它的数学期望为：E（δ）＝ 0 它的方差为：
3
3
它的标准偏差为： a
三、三角分布 三角分布的概率密度函数为：
a a2 f ( ) a 2 a
当 a 0 当0＜ a
数学期望： E（δ）＝ 0 它的方差为：
2
a2 6
v i 两个重要特性。 （一）残余误差具有低偿性——残余误差 代数和等于零； （二）残余误差平方和为最小 。
v1 v 2 v n 0
v v v min
2 1 2 2 2 n
第四节
测量的标准偏差
1
1 2 3
一、正态分布 随机误差概率分布密度 函数表达式为：
f ( ) 1
2
2 2 2 e
数学期望：E（δ）＝0 方 差：D（δ）＝σ2 标准偏差： D( )
二、均匀分布
均匀分布又称等概 率分布，其概率密度函 数为：
1 f ( ) 2a 0 当 a 当 a
它的标准偏差为：
a 6
四、反正弦分布 反正弦分布的概率 密度函数为：
1 f ( ) e 2 2 0
e e
数学期望： E（δ）＝ 0
2 e 它的方差为： 2 2 e 它的标准偏差为： 2
五、χ2 分布
设随机变量 X1， X2， …， Xυ相互独立，且都服从 标准正态分布N（0，1），则随机变量：
如果这组数据是来自于某测量总体的一个 样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标 准差的一个估计，称其为样本标准差，又称为 实验标准差。
贝塞尔公式 极差法
最大误差法
二、标准偏差的基本估计——贝塞尔公式
误差的基本性质-系统误差
例：激光数字波面干涉仪的系统误差来源
激光波长系统漂移； 标准镜面局部缺陷的固定电噪声； 干涉视场的系统噪声； 波差多项式模型误差。
三、系统误差的分类与特征
1、分类 （ 1）根据系统误差在测量过程中所具有的不 同变化特性分类： 恒定（常量）； 可变（线性、周期性、其他复杂规律）。 （2）根据对系统误差的掌握程度分类：
用标准器具（物质）检定步骤
现对被检量重复测量n 次，假设测量服从正态分布。
1、计算均值 x ，按贝塞尔公式计算标准差
s
2、提出一个原假设（通常是希望拒绝的）。
x x0
x t s/ n
即认为算术平均值与真值之间有差异
x x0 s/ n
3、构造统计量
~ t (n 1)
t
~ t (n 1)
(1) nx , ny 10
查表，若 T T T 则无根据怀疑两组间 存在系统误差（显著度0.05）。
(2) nx , ny
10
秩和T 近似服从正态分布: N a,
式中: n1 (n1 n2 1) a , 2 n1n2 (n1 n2 1) 12
各类特征系统误差图示
曲线a是恒定系统 误差； 曲线b是线性变化 系统误差； 曲线c是非线性变 化系统误差； 曲线d是周期性变 化系统误差； 曲线e是复杂规律 变化系统误差。
a c
b
e d t1 t2 t3 t4 t
已定系统误差和未定系统误差
已定系统误差 指误差的大小和符号均已确切掌握了的， 因此在处理和表征测量结果时，是属于可修正 的系统误差。 未定系统误差 指这类系统误差的大小和符号不能完全 确切掌握的，因此在处理和表征测量结果时， 是属于不可修正的系统误差。
测量误差分析
如：某个量的准确值x01=1000，其近似值
x1=999，
另一个量的准确值x02=10，相应近似值x2=9
这两个量的绝对误差都是1，但显然x1的近似
程度比x2好。为反应这种近似程度，需引入如
下相对误差
er
e x0
x0 x0
x
为近似值x的相对误差。
相对误差的绝对值越小，近似程度越高
例如，前面两个量x1和x2，它们相对误差分 别为e1r=0.001和e2r=0.1，因为|e1r|<|e2r|，所以 x1比x2逼近程度好。同样，由于准确数x0通 常是未知的，导致相对误差不能计算出来，
轴是数据分布中心 x x0 抵偿性－由于对称性，令随机误差的算术
平均值为0，
lim
n
xi
0
2.1.3 概率积分 对于 p(x) 1
，即 e
(
x x0 ) 2 2
2
2
p(x; x0 , )
经n次测量计算
繁琐，提出特例（ x0 0, 1），称为标准
正态分布函数
误差限一般是可以求出的，例如用具有毫米 刻度的皮尺去测量某个物件的长度，测量的数 据与物件的实际长度不会超过半个毫米，这半 个毫米就是物件长度的误差限。 误差限ε给出了准确值x0的所在范围为
x-ε≤x0≤x+ε，显然误差限ε越小，近似值x的 近似值越精确。
绝对误差不能反映近似值x的近似程度，例
因而产生估计相对误差的相对误差限概念
|
er
||
x0 x0
x
||
r x0
|
r
正数εr为x的相对误差限。
相对误差限不如绝对误差限容易得到，使
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n
n
(2)测量列算术平均值的标准差 如果在相同条件下对同一量值作为多组重复的系列 测量,每一个系列测量都有一个算术平均值.由于随机误 差的存在,各个测量列的算术平均只也不相同,他们围绕 着被测量的真值有一定的分散,此分散说明了算术平均值 的不可靠性,而算术平均值的标准差则是表征同一被测量 的各个独立测量列算术平均值分散性的参数,可作为算术 平均值不可靠性的判定标准. 算术平均值的标准差: x
2.残余误差判别法 对于有规律变化的系统误差,可根据测量列的各个残 余误差大小和符号的变化规律,由误差数据或者误差曲线 图形来判断有无系统误差. 3.残差和判别法 如果测量残差前后两部分和之差值显著的不为零,则可 以判别测量列含有线性系统误差. 4.标准差比较法 若
| u | 2 n 1
则怀疑测量列中存在系统误差.
第二章 误差的性质
测量误差的基本理论
实验结果 --- 实验数据 --- 与其理论期望值不完全相同
1、测量误差的定义：
测量所得数据与其相应的真值之差 --- 1）绝对误差
测量误差 = 测得值 - 真值 x = x – x0 客观真实值（未知）
① 约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值
四。系统误差的消除
1.从根源上消除系统误差
这是最根本的方法,它要求测量人员对测量过程中 可能产生的系统误差的环节作仔细分析,并在测量前就将 误差从产生根源上加以消除. 2.采用修正方法消除系统误差 这种方法基于事先查明系统误差产生的来源及确 定其数值的大小,取与误差数值相等而符号相反的值作 为修正值,并以单个值、计算式、表格或曲线方式表示, 用来对测量数据作相应的修正,消除系统误差.
2.1 随机误差
一.随机误差产生的原因 随机误差是由为数众多而影响微小的因素造成,这些因 素对于测量结果的影响关系,人们还没有认识,或者还没有完 全认识. 这些因素表现在: (1)实验或者测量环境的微小波动:如温度、湿度、气压、 气流、磁场等因素； (2)实验或者测量手段工作状态的微小的波动:设备或者仪 器内部机械结构中运动副间的摩擦润滑作用力弹性变形; (3)测量者生理状况变化引起的感觉判别能力的波 动.
二.系统误差的种类 (1)不变的系统误差 在整个测量过程中,误差的量值和符号始终是固 定不变的系统误差. (2)线形变化的系统误差 在整个测量过程中,误差的量值随时间或空间延 续而成线性增减的误差. (3)多项变化的系统误差 有的系统误差变化的特性可用多项式描述.
(4)周期性变化的系统误差
在整个测量过程中,系统误差的出现值随时间或空间 的延续而具有周期性变化. (5)复杂规律变化的系统误差 整个测量过程中,系统误差难以用数学解析式来描 述,而一般采用经验公式来描述其变化规律的误差. 三.系统误差的发现 1.实验对比法 通过改变产生系统误差的条件而进行不同的条 件测量,来发现系统误差.
n
(3)别捷尔斯法 此法得到的算术平均值的标准差为:
1.253
x
| v
i 1
n
i
|
n n 1
lim x
ta
x
(4)极差法
设多次独立测得测量列为 l1, l2 ,, ln 测量列中最大及 最小测量值为 xmax 及 xmin ,它们的差值称为极差 wn ,即
wn xmax xmin
6、确定测量误差的方法
与被测对象有关的专业知识 --- 物理过程、数学手段 1）逐项分析法 对测量中可能产生的误差进行分析、逐项计算出其值，并对其中主要
项目按照误差性质的不同，用不同的方法综合成总的测量误差极限 反映出各种误差成分在总误差中所占的比重 --- 产生误差的主要原因 --- 减小误差应主要采取的措施 最严重情况 --- 结果和实际差别 --- 误差极限偏大 适用： ① 拟定测量方案 ② 研究新的测量方法、设计新的测量装置和系统 2）实验统计法
5.计算数据比较法 对同一量进行多组比较测量,得到很多数据,通过多 组计算数据比较,若不存在系统误差,其比较结果应满足 随机比较条件,否则可认为存在系统误差. 6.秩和检验法 7.用t分布判别法 8.误差发现方法分类 第一类,用于发现各组测量列组内的系统误差: 实验对比法、残余误差判别法、 残差和判别法、标准差比较法 第二类,用于发现各组测量之间的系统误差: 计算数据比较法、秩和检验法、 用t分布判别法
一.等精度测量直接测量时的数据处理 (1)求算术平均值 (2)求残余误差 (3)校对算术平均值及其残余误差 (4)判断系统误差 (5)求测量列单次测量的标准差
(6)判断含粗大误差的坏值,并剔除
若存在粗大误差的坏值,剔除之后,又需要重新求算术 平均值和标准差等,重复(1)至(5)步的计算,到不含 粗大误差为止.
极差法就是找出极差和测量列的均方根差之间的 关系,根据它来确定测量列的均方根差. (5)最大误差法
| i | max
' kn
一般情况下,被测量的真值为未知,不能按上式求 标准差,应按最大残余误差进行计算,其公式为:
| vi | max
' kn
四.测量的极限误差 1.单次测量的极限误差 当测量列的测量次数足够多和单次测量误差为 正态分布时,根据概率论的知识,可求得单次测量的极 限误差.
① 换位法/替代法
引起系统误差的条件（如被测量的位置）相互交换 --- 其他条件不变 --- 产生系统误差的因素对测量结果起相反的作用 --- 抵消 已知量替换被测量 例：等臂天平称重 --- 左右两臂长的微小差别 --- 恒值系统误差 被测物 ---X；平衡物 --- T；砝码 --- P a）X与P左右交换 --- 两次测量 的平均值 --- 消除系统误差 b）T与X 平衡 P与T平衡
x x0
m
p (x
i 1 i m i 1
i
x0 )
i
p
4.单位权的概念 单位权化的实质,是使任何一个量值乘以自身权数 的平方根,得到新的量值权数为1. 5.加权算术平均值的标准差
x
m
i 1
pi v 2
xi m
( m 1) pi
i 1
2.2 系统误差
lim x t
2.算术平均值的极限误差
lim x
ta
x
五.不等精度测量 1.权的概念
对各测量结果的可靠程度用一数值来表示,这数 值即称为该测量的“权”,记为p. 2.权的确定
每组测量结果的权仅与其相应的标准差平方成 反比,如果已知各组算术平均值的标准差,则可确定相 应权的大小. 3.加权算术平均值
X L2 T L1
P
L2 T L1
换位/替代法
测量结果 ② 抵消法 --- 异号相消法 改变测量条件（如方向）--- 两次测量结果的误差符号相反 --- 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差 例：千分尺 --- 空行程（刻度变化，量杆不动）--- 系统误差 正反两个方向对准标志线 不含系统误差－a，空程引起误差－ 正确值 --- a (d d ' ) / 2 顺时针 --- d a 逆时针 --- d ' a
n
| vi |
i 1
n
n A 2
当n为奇数时:
n n 1 | vi | ( 0.5) A ( )A 2 2 i=1
(3)各残余误差的平方和为最小. 3.等精度测量数据精度的评价 作为测量列精度的评价,有以下几种: (1)测量列中单次测量的标差 在等精度测量列中,单次测量的标准差按下式计算:
三.随机误差的评价 1.算术平均值 由于一切实验和测量过程中不可避免的存在随机误差, 因此,我们无法求得测量的真值,于是不得不对真值进行估计, 通过参数估计的方法得出估计值,用它作为被测量真值的近 似. 2.残余误差 我们来讨论残余误差的两个有用的性质: (1)各残余误差的代数和为零; (2)残余误差代数和绝对值应符合: 当n为偶数时:
一.系统误差产生的原因 (1)测量装置方面 在设计上采用近似的测量原理设计仪器,在仪器 制造上存在误差.
(2)测量方法方面 采用近似的测量方法或计算公式而导致的误差产生.
(3)测量环境方面 如温度、湿度、海拔等随时间或者空间变化而做 规律变化,受此影响产生的规律性变化的误差. (4)测量人员方面 如由于观测者的读数、记数时的误差、环境误差、方法误差、人员误差
按掌握程度：已知误差、未知误差 按变化速度：静态误差、动态误差 按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差
① 系统误差（System error） --- 有规律可循 由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生 装置、环境、动力源变化、人为因素 再现性 --- 偏差（Deviation） 理论分析/实验验证 --- 原因和规律 --- 减少/消除 ② 随机误差（Random error） 因许多不确定性因素而随机发生 偶然性（不明确、无规律） 概率和统计性处理（无法消除/修正） ③ 粗大误差（Abnormal error） 检测系统各组成环节发生异常和故障等引起 异常误差 --- 混为系统误差和偶然误差 --- 测量结果失去意义 分离 --- 防止
1、系统误差的消除
① 找出规律 --- 修正值 ② 测量方法 --- 避免出现系统误差 1）分析系统误差产生的原因 --- 防止系统误差出现的最基本办法 测量前 --- 对可能产生的误差因素进行分析，采取相应措施 2）引入修正值进行校正 --- 已出现的系统误差 理论分析/专门的实验研究 --- 系统误差的具体数值和变化规律 --- 确定修正值（温度、湿度、频率修正等） --- 修正表格、修正曲线、修正公式 --- 按规律校正 3）检测方法上消除或减小 --- 实际测量中，采取有效的测量方法 --- 现有仪器设备取得更好的效果（提高测量准确度）