概率论与数理统计第5讲

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例2* 已知甲,乙两袋中分别装有编号为 1,2,3,4的四个球. 今中甲,乙两袋中各取出 一球, 设A={从甲袋中取出的是偶数号 球}, B={从乙袋中取出的是奇数号球}, C={从两袋中取出的都是偶数号球或都 是奇数号球}, 试证A,B,C两两独立但不相 互独立.
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证明 由题意知, P(A)=P(B)=P(C)=1/2. 以 i,j分别表示从甲,乙两袋中取出球的号数, 则试验的样本空间为S={(i,j)|i=1,2,3,4; j=1,2,3,4}. 由于S包含16个样本点, 事件 AB包含4个样本点(2,1),(2,3),(4,1),(4,3), 而AC,BC都各包含4个样本点, 故
Ai1 Ai2 Aik Aj1 Aj2 Ajn−k
其中
i1,i2,,ik
是取遍
1,2, ,n
中的任意
k 个数(共有Cnk种取法), j1,j2,,jn−k 是取
走 i1,i2,,ik 后剩下的 n=k 个数.
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Ai1 Ai2 Aik Aj1 Aj2 Ajn−k
(共有Cnk 种取法),根据独立性及 P(Ai)=p, 有
p1=p2+2p2(1−p)
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采用五局三胜制, 甲最终获胜, 至少需比 赛3局(可能赛3局, 也可能赛4局或5局). 且最后一局必需是甲胜, 而前面甲需胜二 局. 例如, 共赛4局, 则甲的胜局情况是:" 甲乙甲甲","乙甲甲甲","甲甲乙甲", 且这 三种结局互不相容. 由独立性得在五局三 胜制下甲最终获胜的概率为
P(D) = 1− P(D) = 1− 87.60% = 12.40%.
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例4* 如图是一个串并联电路系统, A,B,C,
D,E,F,G,H都是电路中的元件. 它们下方
的数字是各自正常工作的概率, 求电路系
统的可靠性. C
F 0.70
AB
D
0.75 H
0.95 0.95 0.70 E
0.70
G 0.95
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定理3(伯努利定理) 设在一次试验中, 事 件A发生的概率为p(0<p<1), 则在n重伯努 利试验中, 事件A恰好发生k次的概率为
b(k;n, p) =Cnk pk (1− p)n−k ,(k =0,1,, n).
证明 记“第 i 次试验中事件 A 发生”这
一事件为
Ai,
i=1,2, ,n,
故 A 与B相互独立. 由此易推得 A与 B, A 与 B 相互独立.
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例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取 一张, 记A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色 的}, 问事件A,B是否独立? 解一 利用定义判断. 由
P( A=) 4= 1 , P(B=) 2=6 1 ,
52 13
52 2
P( AB=) 2= 1 52 26
P( AB=) P( AC=) P(BC=) 4= 1 . 16 4
于是P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 因此A,B,C两两独立.
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又因为ABC=∅, 所以P(ABC)=0, 而 P(A)P(B)P(C)=1/8, 显然, P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 故A,B,C不是独立 的.
p2 = p3 + C32 p3(1 − p) + C42 p3(1 − p)2
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而 p2−p1=p2(6p3−15p2+12p−3) =3p2(p−1)2(2p−1).
当p>1时 2
p2>p1;
当
p
=
1 2
时
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p=2
p=1
1. 2
故当 p > 1 时, 对甲来说采用五局三胜制 2
为有利. 当 p = 1 时两种赛制甲,乙最终获 2
2
一, 两个事件的独立性 定义1 若两事件A,B满足
P(AB)=P(A)P(B) 则称A,B独立, 或称A,B相互独立. 注: 两事件互不相容与相互独立是完全 不同的两个概念, 它们分别从两个不同的 角度表达了两事件音的某种联系. 互不相 容是表述在一次随机试验中两事件不能 同时发生, 而相互独立是表述在一次随机 试验中一事件是否发生与另一事件是否 发生有无影响.
5
定理 2 设事件 A,B 相互独立, 则事件 A 与
B, A与 B, A与B也相互独立.
证= 明 由 A A= (B B) AB AB, 得


= P( A) P( AB = AB) P( AB) + P( AB)
= P( A)P(B) + P( AB)
P( AB) = P( A)[1− P(B)] = P( A)P(B).
其中 P(C D E) = 1− P(C)P(D)P(E) = 0.973 P(F G) = 1− P(F )P(G) = 0.9375
代入得 P(W)=0.782
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例5 甲,乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜 的概率为p, p≥1/2. 问对甲而言, 采用三局 二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立. 解： 采用三局二胜制, 甲最终获胜, 其胜 局的情况是:“甲甲”,或“乙甲甲”或“甲乙 甲”. 而这三种结局互不相容, 于是由独立 性得甲最终获胜的概率为
得到P(AB)=P(A)P(B), 故事件A,B独立.
7
解二 利用条件概率来判断. 由
P( A=) 1 , P( A | B=) = 2 1 ,
13
26 13
得到P(A)=P(A|B), 故事件A,B独立.
注: 从例1可见, 判断事件的独立性, 可 利用定义或通过计算条件概率来判断, 但在实际应用中, 常根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立.
§6 事件的独立性
1
由上节例子可见, 一般情况下, P(B)≠P(B|A); 亦即事件A,B中某个事件发 生对另一个事件发生的概率是有影响的. 但在许多实际问题中, 常会遇到两个事件 中任何一个事件发生都不会对另一个事 件发生的概率产生影响. 此时, P(B)=P(B|A), 由乘法公式可写成
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B). 由此导出了事件间的相互独立.
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二, 有限个事件的独立性 定义2 设A,B,C为三个事件, 若满足等式
P( AB) = P( A)P(B),
P( AC) = P( A)P(C), P(BC) = P(B)P(C),
(5.2)
P( ABC) = P( A)P(B)P(C),
则称事件A,B,C相互独立.
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对 n 个事件的独立性, 可类似地定义: 设 A1,A2,,An 是 n(n>1)个事件, 若对任意 k(1<k≤n) 个 事 件 Ai1 , Ai2 ,, Aik (1≤i1<i2<< ik≤n)均满足等式 P( Ai1 Ai2 Aik ) = P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ),(5.3) 则称事件 A1,A2,,An 相互独立.
事件A在第k次试验中才首次发生的概率
为
p(1−p)k−1, (k=1,2, ).

注意到"事件A第k次试验才首次发生"等
价于在前k−1次试验组成的k−1重伯努利
试验中事件A均不发生, 而在第k次试验中
事件A发生", 再由伯努利定理即推得.
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例6* 一条自动生产线上的产品, 次品率 为4%, 求解下列问题: (1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的 概率; (2) 一次取1件, 无放回地抽取, 求当取到 第二件次品时, 之前已取到8件正品的概 率.
胜的概率是相同的, 都是 50%.
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四, 伯努利概型 设随机试验只有两种可能的结果: 事件A 发生或者事件A不发生, 则称这样的试验 为伯努利(Bernoulli)试验. 记 P( A) = p, P( A) =1− p =q,(0 < p < 1, p + q =1),
将伯努利试验在相同条件下独立地重 复进行n次, 称这一串重复的独立试验 为n重伯努利试验, 或简称为伯努利概 型.
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事实上, 我们可以证明: 结论: 设A,B为两个随机事件, 且P(A)>0, P(B)>0, 则有 (1) 当A与B相互独立时, 则A与B相容. (2) 当A与B互不相容时, 则A与B不独立.
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定理1 设A,B是两事件, 若A,B相互独立, 且P(B)>0, 则P(A|B)=P(A). 反之亦然. 证明 由条件概率和独立性的定义.
P(A1A2An)=1−(1−p1)(1−p2)(1−pn).
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类似地, "A1,A2,,An至少有一个不发生" 的概率为
P( A1 A2 An )= 1− p1 p2 pn.
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例3 加工某一零件共需经过四道工序, 设 第一,二,三,四道工序的次品率分别是 2%,3%,5%,3%, 假定各道工序是互不影响 的, 求加工出来的零件的次品率.
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例如, 甲,乙两人向同一目标射击, 记事件 A={甲命中}, B={乙命中}, 因"甲命中"并 不影响"乙命中"的概率, 故A,B独立. 又如, 一批产品共n件, 从中抽取2件, 设事 件Ai={第i件是合格品},(i=1,2). 若取是有 放回的, 则A1与A2独立. 因第二次抽取的 结果不受第一次抽取的影响. 若抽取是无 放回的, 则A1与A2不独立.
P( Ai1 Ai2 Aik Aj1 Aj2 Ajn−k )
=
P( Ai1
)P( Ai2
)
P(
Aik
)P( Aj1
)P( Aj2
)
P
(
Ajn−k
)
= pkqn−k
故有 b(k;= n, p) P= (Bk ) Cnk pk qn−k .
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推论1 设在一次试验中, 事件A发生的概
率为p(0<p<1), 则在伯努利试验序列中,
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解 设A1,A2,A3,A4分别为四道工序发生次 品事件, D为加工出来的零件为次品的事 件, 则D为产品合格的事件, 故有
D = A1A2 A3 A4 , P(D) = P( A1)P( A2 )P( A3)P( A4 )
= (1− 2%)(1− 3%)(1− 5%)(1− 3%) 8= 7.59779% 87.60%
则“事件 A 恰好
发生 k 次”(记作 Bk)是下列Cnk个两两不
相容事件的并：
Ai1 Ai2 Aik Aj1 Aj2 Ajn−k
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证明 记“第 i 次试验中事件 A 发生”这
一事件为
Ai,
i=1,2, ,n,
则“事件 A 恰好
发生 k 次”(记作 Bk)是下列Cnk个两两不
相容事件的并：
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性质3 设A1,A2,,An(n≥2)相互独立, 则 A1,A2,,An两两独立. 但反之不成立. 注: 即相互独立性是比两两独立性更强的 性质, 事实上, 因为n个事件A1,A2,,An相 互独立, 则其中任何一个或多个事件的发 生都不会对其余事件发生的概率产生影 响, 反之不然, 下面举一些反例说明之.
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注: 若事件间具有相互独立性, 则将使概 率的计算变得简单. 设A1,A2,,An相互独立, 则 (1) P( A1 A2 An )= 1− P( A1 A2 An )
= 1− P( A1A2 An ) = 1− P( A1)P( A2 )P( An ) 由此, 若n个独立事件A1,A2,,An发生的概率 分别为p1,p2,,pn, 则"A1,A2,,An"至少有一 个发生"的概率为
0.75
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解 以W表示电路系统正常工作, 因各元
件独立工作, 故有
P(W)=P(A)P(B)P(C D E)P(F G)P(H)
C
0.70
AB
D
F
0.75
H
0.95 0.95 0.70 E
0.70
G 0.95 0.75
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解 以W表示电路系统正常工作, 因各元 件独立工作, 故有 P(W)=P(A)P(B)P(C D E)P(F G)P(H)
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定义3 设A1,A2,,An是n个事件, 若其中任 意两个事件之间均相互独立, 则称 A1,A2,,An两两独立.
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三, 相互独立的性质 性质1 若事件A1,A2,,An(n≥2)相互独立, 则其中任意k(1<k≤n)个事件也相互独立. 证明 由独立性定义可直接推出.
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性质2 若n个事件A1,A2,,An(n≥2)相互独 立, 则将A1,A2,,An中任意m(1≤m≤n)个事 件换成它们的对立事件, 所得的n个事件 仍相互独立. 注: 对n=2时, 定理2已作证明, 一般情况可 利用数学归纳法证之, 此处略.