数学物理方程的基本知识
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• 分类 –按条件中未知函数及其导数的次数分： • 线性边界条件和非线性边界条件； –线性边界条件中 • 按给出的是函数值或导数值分： –第一、二、三类边界条件； • 按所给数值是否为零分： –齐次边界条件和非齐次边界条件.
定解问题
• 定解问题的组成
–泛定方程：反映同一类现象的普遍性； –定解条件：描述具体对象的特殊性.
u |t0 (x) x
2.半无限杆上的热传导问题-Laplace变换法
第3.3节 例2, 补充 Laplace变换
uut|t0a2u0x,x ,
0 x x 0,
,
t
0,
u |x0 f (t), t 0.
四、拉普拉斯方程的格林函数法 (第四章)
1. 拉普拉肆方程边值问题的提法 (第4.1节) 2. 格林公式 (第4.2节) 3. 格林函数 (第4.3节) 4. 两种特殊区域上的格林函数及其
补充 这个方程非齐次方程的解法(Duhamel原理).
2u
t
2
a2
2u x2
f
( x, t ),
u(x, 0)
( x),
u ( x, t
0)
( x),
x ,t 0 x
三、积分变换法
1.无限杆上的热传导问题-Fourier变换法 第3.3节 例1, 补充 Fourier变换
ut a2uxx f (x,t), x , t 0
狄氏问题的解Fra Baidu bibliotek(第4.4节)
u |t0 (x), ut (x),0 x l.
2. 有限长杆上的热传导 (第2.2节)
ut a2uxx, 0 x L u |x0 0, u |xL 0
u |t0 (x)
3.拉普拉斯方程--圆形区域 (第2.3节)
2u uxx uyy 0,
u | 0 f ( ).
4. 非齐次方程的解法 (第2.4节)
–混合问题 • 同时有边界条件和初始条件.
定解问题
• 定解问题的适定性
–适定性的意义 • 定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型 能否反映实际问题的一般要求.
–适定性的内容 • 存在性 • 唯一性 • 稳定性
–不适定问题举例 • 一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数； • 条件多了，将会破坏解的存在性； • 条件少了，将会破坏解的唯一性.
数学物理方法 数学物理定解问题
数学物理方程的一般分类
• 一般分类 – 按自变量的个数，分为二元和多元方程； – 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程 和非线性微分方程； – 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、 二阶和高阶微分方程.
• 线性偏微分方程的分类 – 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程 – 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
定解问题
• 问题的提出
• 定解条件 – 初始条件 – 边界条件
• 定解问题 – 初值问题 – 边值问题 – 混合问题
初始条件
• 意义
– 反映系统的特定历史
• 分类 – 初始状态（位置），用 u |t=0 = f(x)表示； – 初始变化（速度），用 ut|t=0 = g(x)表示.
边界条件
• 意义 –反映特定环境对系统的影响
定解问题
泛定方程
演化方程 稳定方程
线性边界条件 边界条件
波动方程 输运方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一类 第二类 第三类
周期性
自然边界条件 有界性
初始条件 初始状态 初始速度
本课程的主要内容:
一、分离变量法
1.有界弦的自由振动 (第2.1节)
utt a2uxx , 0 x l,t 0, u |x0 0, u |xl 0,t 0,
2元二阶线性微分方程的分类
• 一般形式:
a uxx+ b uxy+ c uyy+ d1ux+ d2uy + e u = f(x,y) • 特征方程：
a x2 + bxy + cy2 = 0 • 判别式
= b2 － 4ac
• 分类
> 0 为双曲型，如波动方程； = 0 为抛物线型，如热传导方程； < 0 为椭圆型，如泊松方程和Laplace方程.
• 定解问题的分类
–初值问题(Cauchy Problem) • 无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计）
–边值问题 • 无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计） –第一边值问题(Dirichlet Problem) –第二边值问题(Neumann Problem) –第三边值问题(Robin Problem)
utt a2uxx f (x,t),
0 x l,t 0,
u |x0 u |xl 0, t 0,
u |t 0 (x), ut (x), 0 x l.
二、行波法
1.一维波动方程的达朗贝尔公式 (第3.1节)
utt a2uxx 0, x
u |t0 (x), ut |t0 (x)
定解问题
• 定解问题的组成
–泛定方程：反映同一类现象的普遍性； –定解条件：描述具体对象的特殊性.
u |t0 (x) x
2.半无限杆上的热传导问题-Laplace变换法
第3.3节 例2, 补充 Laplace变换
uut|t0a2u0x,x ,
0 x x 0,
,
t
0,
u |x0 f (t), t 0.
四、拉普拉斯方程的格林函数法 (第四章)
1. 拉普拉肆方程边值问题的提法 (第4.1节) 2. 格林公式 (第4.2节) 3. 格林函数 (第4.3节) 4. 两种特殊区域上的格林函数及其
补充 这个方程非齐次方程的解法(Duhamel原理).
2u
t
2
a2
2u x2
f
( x, t ),
u(x, 0)
( x),
u ( x, t
0)
( x),
x ,t 0 x
三、积分变换法
1.无限杆上的热传导问题-Fourier变换法 第3.3节 例1, 补充 Fourier变换
ut a2uxx f (x,t), x , t 0
狄氏问题的解Fra Baidu bibliotek(第4.4节)
u |t0 (x), ut (x),0 x l.
2. 有限长杆上的热传导 (第2.2节)
ut a2uxx, 0 x L u |x0 0, u |xL 0
u |t0 (x)
3.拉普拉斯方程--圆形区域 (第2.3节)
2u uxx uyy 0,
u | 0 f ( ).
4. 非齐次方程的解法 (第2.4节)
–混合问题 • 同时有边界条件和初始条件.
定解问题
• 定解问题的适定性
–适定性的意义 • 定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型 能否反映实际问题的一般要求.
–适定性的内容 • 存在性 • 唯一性 • 稳定性
–不适定问题举例 • 一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数； • 条件多了，将会破坏解的存在性； • 条件少了，将会破坏解的唯一性.
数学物理方法 数学物理定解问题
数学物理方程的一般分类
• 一般分类 – 按自变量的个数，分为二元和多元方程； – 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程 和非线性微分方程； – 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、 二阶和高阶微分方程.
• 线性偏微分方程的分类 – 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程 – 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
定解问题
• 问题的提出
• 定解条件 – 初始条件 – 边界条件
• 定解问题 – 初值问题 – 边值问题 – 混合问题
初始条件
• 意义
– 反映系统的特定历史
• 分类 – 初始状态（位置），用 u |t=0 = f(x)表示； – 初始变化（速度），用 ut|t=0 = g(x)表示.
边界条件
• 意义 –反映特定环境对系统的影响
定解问题
泛定方程
演化方程 稳定方程
线性边界条件 边界条件
波动方程 输运方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一类 第二类 第三类
周期性
自然边界条件 有界性
初始条件 初始状态 初始速度
本课程的主要内容:
一、分离变量法
1.有界弦的自由振动 (第2.1节)
utt a2uxx , 0 x l,t 0, u |x0 0, u |xl 0,t 0,
2元二阶线性微分方程的分类
• 一般形式:
a uxx+ b uxy+ c uyy+ d1ux+ d2uy + e u = f(x,y) • 特征方程：
a x2 + bxy + cy2 = 0 • 判别式
= b2 － 4ac
• 分类
> 0 为双曲型，如波动方程； = 0 为抛物线型，如热传导方程； < 0 为椭圆型，如泊松方程和Laplace方程.
• 定解问题的分类
–初值问题(Cauchy Problem) • 无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计）
–边值问题 • 无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计） –第一边值问题(Dirichlet Problem) –第二边值问题(Neumann Problem) –第三边值问题(Robin Problem)
utt a2uxx f (x,t),
0 x l,t 0,
u |x0 u |xl 0, t 0,
u |t 0 (x), ut (x), 0 x l.
二、行波法
1.一维波动方程的达朗贝尔公式 (第3.1节)
utt a2uxx 0, x
u |t0 (x), ut |t0 (x)