空间向量之--建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧

．

一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系

例1 已知直四棱柱AB ＣD －Ａ1B 1C 1Ｄ1中，ＡA 1＝2,底面ＡＢCD 是直角梯形,∠A 为直角，AB ∥CD ，AB =4,AD ＝２,DC ＝1,求异面直线B Ｃ1与ＤC 所成角的余弦值.

解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、ＤD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0，1,2）、Ｂ（2，4,0)，

∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，

，. 设1BC 与CD 所成的角为θ, 则11317

cos 17

BC CD BC CD

θ=

=

． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系

例２ 如图２,在三棱柱ＡBC －Ａ1B １C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点,EA ⊥ＥB 1．已知2AB =，B Ｂ1=2,BC =１，∠BCC 1＝3

π

．求二面角Ａ-EB 1－Ａ１的平面角

的正切值．

解析:如图2，以B 为原点，分别以BB 1、B Ａ所在直线为y 轴、z 轴，过Ｂ点垂直于平面A

Ｂ1的直线为x 轴建立空间直角坐标系.

由于BC =１，ＢB 1＝2，AB =2，∠BCC １＝

3

π， ∴在三棱柱ABC -A 1B １C １中,有B (０,０,０）、A （０，0,2）、B 1(０，2，０）、3102c ⎛⎫

-

⎪ ⎪⎝⎭

，，、13302C ⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

，，.

设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，，且1322a -<<, 由E Ａ⊥ＥＢ1,得10EA EB =,

即33

22022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪

⎪

⎝⎝⎭

，，，， 233(2)2044a a a a =

+-=-+=，∴13022a a ⎛

⎫⎛

⎫--= ⎪

⎪⎝⎭⎝

⎭，

即12a =

或3

2a =（舍去）．故3102E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥,故二面角A -E Ｂ1-A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角.

因11(0

02)B A BA ==，，,31

22EA ⎛

⎫=-- ⎪ ⎪⎝，， 故1111

2

cos 3

EA B A EA B A θ==

，即2tan 2θ=

三、利用面面垂直关系构建直角坐标系

例3 如图3，在四棱锥V －ＡBC Ｄ中，底面ＡB ＣD 是正方形,侧面VAD 是正三角形，平面V ＡD ⊥底面ABC Ｄ． （1)证明AB ⊥平面VAD ;

（2）求面V ＡD 与面V ＤB 所成的二面角的余弦值.

解析:（1)取ＡD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系． 设ＡD =2,则A (1,０，０）、D (-1,0，0）、B (1,2,０)、 V （0,０，3)，∴AB =（０,2,0）,VA ＝(１，０，-3).

由(020)(103)0AB VA =-=，

，，，，得

AB ⊥VA .

又ＡＢ⊥A Ｄ，从而AB 与平面V ＡD 内两条相交直线VA 、A Ｄ都垂直,∴ AB ⊥平面V ＡD ； （2）设E 为DV 的中点，则1

3022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

，，

∴3302EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，,3322EB ⎛⎫

=- ⎪ ⎪⎝⎭

，，,(103)DV =，，. ∴332(103)02EB DV ⎛⎫

=-= ⎪ ⎪⎝⎭

，，

，，, ∴EB ⊥DV ．

又EA ⊥DV ,因此∠AEB 是所求二面角的平面角.

∴21

cos 7

EA EB EA

EB EA EB

==

，． 故所求二面角的余弦值为

217

. 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系

例4 已知正四棱锥Ｖ-ABC Ｄ中，E 为ＶC 中点,正四棱锥底面边长为２a ,高为h . （1)求∠DEB 的余弦值；

(２）若BE ⊥VC ，求∠D ＥＢ的余弦值．

解析:（1）如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O ｘ∥

ＢＣ，O ｙ∥ＡB ,则由A Ｂ=2a ,O Ｖ=h ,有B (a ,a ，0）、Ｃ（-ａ，a ，0）、D (-a ，-ａ,０）、Ｖ(０,0,ｈ)、222a a h E ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，，

∴3222a h BE a ⎛⎫=-

- ⎪⎝⎭，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，，．

∴22

22

6cos 10BE DE

a h BE DE a h BE DE

-+==+，，

即22

22

6cos 10a h DEB a h

-+=+∠; (２）因为E 是VC 的中点，又ＢE ⊥VC ，

所以0BE VC =,即3()0222a h a a a h ⎛⎫-

---= ⎪⎝⎭

，，，，, ∴22230222

a h a -

-=，∴2h a =. 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+，,即1cos 3

DEB =-

∠.

五、利用图形中的对称关系建立坐标系

图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等）,利用自

身对称性可建立空间直角坐标系．

例５已知两个正四棱锥Ｐ-ＡBCD 与

Ｑ-ABCD 的高都为2,AB =4.

(1）证明:P Ｑ⊥平面ABC Ｄ； (2)求异面直线AQ 与ＰB 所成的角; （3）求点Ｐ到平面Q ＡＤ的距离.

（2）由题设知，AB ＣD 是正方形，且ＡC ⊥BD .由（1）,PQ ⊥平面A ＢCD ,故可分别以直线

CA DB QP ，，为x ，y ,ｚ轴建立空间直角坐标系(如图1)，易得