异面直线所成角 PPT
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异面直线所成的角求法课件
答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一
异面直线所成的角求法课件
解：首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 4$；
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
异面直线所成角及直线与平面所成的角的解法课件-2024届高三数学一轮复习
2
3
3
在 Rt△SOA 中，因为 AO＝ × a＝ a，
3 2
3
3
AO 3 a
3
所以 cos∠SAO＝ ＝
＝ ，
SA 2a
6
3
即侧棱和底面所成角的余弦值为 .
6
例 如图，在四棱锥P − ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO ⊥
平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点，PE = 3，B到平面PEM的距离为
∴∠PCA 即为 PC 和平面 ABC 所成的角.
1
1
PA
在 Rt△PAC 中，∵AC＝ AB＝ PA，∴tan∠PCA＝ ＝2.
2
2
AC
异面直线所成的角及直线
与平面所成的角的解法
教学目标
1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的
角.(重点)
2.掌握直线与平面所成角的求法.(难点)
异面直线所成角：
文字语言：
已知两条异面直线，，经过空间任一点O分别作直线 ’ ∥ ， ’ ∥ ，我们把
直线 ’ 与 ’ 所成的角叫做异面直线与所成的角（夹角）.
图形语言：
范围：
两条异面直线a与b所成角的范围是0°<α≤90°.
特殊情况：
当两条异面直线所成的角为90°时，称两条异面直线相互垂直.
例1
直接平移法
如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，AA1
＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
1
A.5
3
C.5
70
，求直线PB与平面PEM所成的角的正弦值.
7
1.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线D′A与BB′所成的角可以表示为
3
3
在 Rt△SOA 中，因为 AO＝ × a＝ a，
3 2
3
3
AO 3 a
3
所以 cos∠SAO＝ ＝
＝ ，
SA 2a
6
3
即侧棱和底面所成角的余弦值为 .
6
例 如图，在四棱锥P − ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO ⊥
平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点，PE = 3，B到平面PEM的距离为
∴∠PCA 即为 PC 和平面 ABC 所成的角.
1
1
PA
在 Rt△PAC 中，∵AC＝ AB＝ PA，∴tan∠PCA＝ ＝2.
2
2
AC
异面直线所成的角及直线
与平面所成的角的解法
教学目标
1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的
角.(重点)
2.掌握直线与平面所成角的求法.(难点)
异面直线所成角：
文字语言：
已知两条异面直线，，经过空间任一点O分别作直线 ’ ∥ ， ’ ∥ ，我们把
直线 ’ 与 ’ 所成的角叫做异面直线与所成的角（夹角）.
图形语言：
范围：
两条异面直线a与b所成角的范围是0°<α≤90°.
特殊情况：
当两条异面直线所成的角为90°时，称两条异面直线相互垂直.
例1
直接平移法
如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，AA1
＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
1
A.5
3
C.5
70
，求直线PB与平面PEM所成的角的正弦值.
7
1.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线D′A与BB′所成的角可以表示为
异面直线所成的角
所以—A1→G ＝(－1,0，－2)，E→F＝(－2,0,1)，
设异面直线A1G与EF所成的角为θ，
则
cos
—→ → θ＝|—A1→G ·E→F|
| A1G ||EF|
＝|－1×5－×25－2×1|＝0.
练习:如图，已知圆锥 CO 的截面△ABC 是正三角形，AB 是底面圆 O 的直 径，点 D 在A︵B上，且∠AOD＝2∠BOD，求异面直线 AD 与 BC 所成角的余 弦值为
E
方法二向量法
解:因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π， 所以∠BOD＝π3， 连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，
OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设圆 O 的半径为 2，则 A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0，2 3)，D( 3，1,0)， A→D＝( 3，3,0)，B→C＝(0，－2,2 3)，
异面直线所成的角
本节微课件主要目标:突出向量法解决异面直线所成问题
异面直线所成的角
若则c异os面θ＝直|线cols1〈，ul2，所v成〉的|＝角|u为·vθ，| 其方向向量分别是u，v， |u||v|
异面直线所成的角
例 如图，已知棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1，E，F，G 分别为 AB，
CD1，AD 的中点，求异面直线 A1G 与 EF 所成角的余弦值为
方法一,转化为相
交直线所成角,如
图所示,过程请同
M
学们自己整理
方法二向量法
如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系，
则A1(2,0,2)，G(1,0,0)，
E(2,1,0)，F(0,1,1)，
异面直线及夹角PPT教学课件
(2)定义法：判断两直线永不在同一平面内 常用反证法
练习１、判断：
(1)没有公共点的两直线叫异面直线
(2)分别在两个平面内的直线叫异面直线
练习２、说出正方体中各对线段的位置关系
1) AB,CC1 ; 2) A1C,BD1
D1
C1
A1
3) AA1,CB1; 4) A1C1,CB1
B1
5) A1B1,DC; 6) BD1,DC
法
作业
P15 4, 7 P80 4
1.下列结论正确的是（ C ）
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.两条直线不相交就平行
C.两条直线有既不相交又不平行的情况
D.一条直线和两条相交直线中的一条平 行，它也可能和另一条平行
O是空间中的任意一点 所成的锐角是否相等？
b2
点O常取在两 条异面直线中 的一条上
b
a2
.
o1
b1
a1
.
o
a M
(三)异面直线a与b所成的角
空间中过点Ｏ,作直线a1∥a, b1∥b,
则直1.直线线a和ab和所b成所的成角的。锐角(或直角)叫做.异面 1 1
bbbb11b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1ba1b1b1a1b1b1a1b1b1a1baa1b11b1a1ba1b011b01a1b,9a1b10aa1b101b11a1b1b1a111a1ao1a1a1 a1aa1a11
一、空间中两直线的位置关系
a
a
b
b
平行
相交
平行直线 相交直线
共面直线 异面直线
a b 异面 空间两条直线
异面直线所成的角 PPT课件 2 人教课标版
•
18、励志照亮人生，创业改变命运。
•
19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。
•
20、当你能飞的时候就不要放弃飞。
•
21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。
•
22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。
•
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
异面直线
授课：桂梧高中 刘瑞艳
一.异面直线的表示
定义:不同在任何一个平面内的两条直线(既不相交也不平行
1.图 在图上怎样才能表示出两直线异面的特点呢?
能画以下的图来表示吗?
a a
显然不能, 此画法立 体感不强
b
b
2.平面衬托法
b
a
虽从直观上看,a,b似乎不在 同一平面内,但有a//b的可能,
a,b可组成一个新的平面
四,异面直线的判定定理
P14,例3:
求证:过平面外一点与平面内一点的直线,和 平面内不过该点的直线是异面直线.
证明(反证法)(教材)(略)
A
B a
用反证法证明的题目:
1.唯一性问题; 2.无限性问题; 3.否定形式的问题; 4.至多.至少的问题; 5.异面直线(证明是否是异面直线的方法之一?) 6.关于从反面较易证,较明确,更简单的问题.
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
•
27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
必修2课件：异面直线所成的角
BACK NEXT
O
H E D A B F
G
C
(3)解决问题 解决问题
平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角 即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 经过空间任一点O作 异面直线所成角的定义 如图 已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 作 所成的锐角(或直角 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角 或直角 叫做异面直线所成的角 ∥ ∥ 与 所成的锐角 或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角 或夹角). 或夹角 异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
b
b′
a″ a
∠2
α
a′
O
∠1
BACK
NEXT
在求作异面直线所成的角时,O点 在求作异面直线所成的角时 点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等) 如线段的端点 线段的中点等 如线段的端点 线段的中点
例2
如图，正方体 为侧面ADHE的中心，求 的中心， 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面 中 为侧面 的中心 (1)BE与CG所成的角？ 与 所成的角？ 所成的角 (2)FO与BD所成的角？ 与 所成的角 所成的角？
这个角的大小与O点的位置有关吗 点位置不同时, 思考 : 这个角的大小与 点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时 这一角的大小 点位置不同时 是否改变? 是否改变
解答： 解答： 如图
答: 这个角的大小与O点的位置无关. 点的位置无关 这个角的大小与 点的位置无关
相交所成的角为∠ 设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 , 与 相交所成的角为 与 所成的角为∠ 公理4), ∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理 ∥ ∴ ∥ 公理 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理 等角定理) ∥ 等角定理
O
H E D A B F
G
C
(3)解决问题 解决问题
平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角 即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 经过空间任一点O作 异面直线所成角的定义 如图 已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 作 所成的锐角(或直角 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角 或直角 叫做异面直线所成的角 ∥ ∥ 与 所成的锐角 或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角 或夹角). 或夹角 异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
b
b′
a″ a
∠2
α
a′
O
∠1
BACK
NEXT
在求作异面直线所成的角时,O点 在求作异面直线所成的角时 点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等) 如线段的端点 线段的中点等 如线段的端点 线段的中点
例2
如图，正方体 为侧面ADHE的中心，求 的中心， 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面 中 为侧面 的中心 (1)BE与CG所成的角？ 与 所成的角？ 所成的角 (2)FO与BD所成的角？ 与 所成的角 所成的角？
这个角的大小与O点的位置有关吗 点位置不同时, 思考 : 这个角的大小与 点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时 这一角的大小 点位置不同时 是否改变? 是否改变
解答： 解答： 如图
答: 这个角的大小与O点的位置无关. 点的位置无关 这个角的大小与 点的位置无关
相交所成的角为∠ 设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 , 与 相交所成的角为 与 所成的角为∠ 公理4), ∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理 ∥ ∴ ∥ 公理 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理 等角定理) ∥ 等角定理
第二课时 异面直线所成的角PPT完美课件
b'
a' o'
*
知识探究（二）：两条直线垂直 第二课时异面直线所成的角PPT完美课件
思考1:我们规定两条平行直线的夹角为 0°，那么两条异面直线所成的角的取值 范围是什么？
(0, ]
2
第二课时 异面直线所成的角PPT完美课件
*
第二课时 异面直线所成的角PPT完美课件
思考2:如果两条异面直线所成的角是 90°，则称这两条直线互相垂直.两条互 相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b. 在 长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两 条棱所在的直线是互相垂直的异面直线?
2.1.2 空间中直线与直线之间的 位置关系
第二课时 异面直线所成的角
*
问题提出
1.什么叫异面直线？三线平行公理和 等角定理分别说明什么问题？
2.不同的异面直线有不同的相对位置 关系，用什么几何量反映异面直线之间 的相对位置关系，是我们需要探讨的问 题.
*
*
知识探究（一）：异面直线所成的角
思考1:两条相交直线、平行直线的相对 位置关系，分别是通过什么几何量来反 映的？
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
•
5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
异面直线所成的角课件
空间中如果两个角的两边分别平行， 4、等角定理：__________________________ ， 、等角定理： 空间中如果两个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补。 那么这两个角相等或互补。 ___________________________
问题1：正方体 问题 ：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中 为 的中 与直线AB 点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线 判断直线 、 与直线 的位置关系。 的位置关系。
b’
a
b
问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？ 问题 ：能否将上述结论推广到空间两直线？
异面直线所成角的定义： 异面直线所成角的定义： 直线a 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引 是异面直线，经过空间任意一点O 直线a’//a，b’//b，把直线a 所成的锐角（或直角） 直线a’//a，b’//b，把直线a’和b’所成的锐角（或直角） 叫直线a 所成的角。 叫直线a和b所成的角。 b a’ a
课堂小结： 课堂小结：
1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中， 异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中， 一定要紧扣定义中点O的任意性，恰当选择。 一定要紧扣定义中点O的任意性，恰当选择。 2、计算角的大小，要遵循“作——证——算——答” 计算角的大小，要遵循“ ——证——算——答 四步骤。 四步骤。 3、求解异面直线所成的角的方法是“平移法”，也即 求解异面直线所成的角的方法是“平移法” “化异面为共面”，“化空间为平面”，它突出体现 化异面为共面” 化空间为平面” 了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中， 了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若 直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于 直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离， 计算的直观性。 计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范 围的约束。 围的约束。
高二数学异面直线成的角PPT优秀课件
问题：什么叫异面直线？
想一想：我们可以从哪些方面研究两条异面 直线的位置关系？
1.异面直线所成角
2.异面直线之间距离
▪ 看书第12页，思考下列问题： ▪ 1.什么叫异面直线所成角？ ▪ 2.异面直线所成角范围是什么？ ▪ 3.书中所谓“空间点O”的位置怎样？
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
例2.在四面体S-ABC中，异面直线SA与BC所成
角为90度, E, F分别为SC、AB 的中点，SA＝2，BC ＝4，求异面直线EF 与SA 所成的角.
S
E A
D
F
C
B
S
E
AGD C NhomakorabeaF B1.求异面直线所成角的基本思想是什么？
化“异面”为“共面”，通过解三角形求 角.体现了化归的数学思想。
2.求异面直线所成角的步骤有哪些？
）
2
▪ 2. 已知两条异面直线分别平行于一个150度角的两
边，那么这两条异面直线所成角为___3_0__0 ___
练习二
正 方 体ABCD- A1B1C1D1 中 , AC、BD 交 于 O, 则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
思考题： 长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
异面直线所成角的范围是
（0，π2 ]
b′
b
O
a
a′
“空间点O”的位置 任意
例1.指出下面正方体中两条异面直线
所成角，说说理由。空间点选在哪？
（ 1） AB与 CC1 （ 2） A B与 D 1B1(3)AD1与 A1B
想一想：我们可以从哪些方面研究两条异面 直线的位置关系？
1.异面直线所成角
2.异面直线之间距离
▪ 看书第12页，思考下列问题： ▪ 1.什么叫异面直线所成角？ ▪ 2.异面直线所成角范围是什么？ ▪ 3.书中所谓“空间点O”的位置怎样？
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
例2.在四面体S-ABC中，异面直线SA与BC所成
角为90度, E, F分别为SC、AB 的中点，SA＝2，BC ＝4，求异面直线EF 与SA 所成的角.
S
E A
D
F
C
B
S
E
AGD C NhomakorabeaF B1.求异面直线所成角的基本思想是什么？
化“异面”为“共面”，通过解三角形求 角.体现了化归的数学思想。
2.求异面直线所成角的步骤有哪些？
）
2
▪ 2. 已知两条异面直线分别平行于一个150度角的两
边，那么这两条异面直线所成角为___3_0__0 ___
练习二
正 方 体ABCD- A1B1C1D1 中 , AC、BD 交 于 O, 则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
思考题： 长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
异面直线所成角的范围是
（0，π2 ]
b′
b
O
a
a′
“空间点O”的位置 任意
例1.指出下面正方体中两条异面直线
所成角，说说理由。空间点选在哪？
（ 1） AB与 CC1 （ 2） A B与 D 1B1(3)AD1与 A1B
2.1.2异面直线所成角公开课优秀课件非常好
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(1)求异面直线BC1和AC所成的
角
D1
直接C1平移法
A1
B1
D A
C B
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(2)若M、N分别是A1B1，BB1的中点，求AM与CN所
成的角
D1
（2）补形法 可扩大平移的范围
方法整理：
1、解立体几何计算题的“三步曲”：
作
证
算
2、异面直线所成角的解题思路：
异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形）
求出平面图形上对应的角θ 注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π-θ
体现了立几的“降维思想”
新课讲解：
异面直线所成角的求法
求异面直线BD1和AC所成的角
D1
C1
中位线平移法
A1 E
B1
D
C
o
A
B
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例2.已知ABCD-A1B1C1D1是长方体，AA1=AD=1, AB2 =
求异面直线BD1和AC所成的角
D1
C1
补形平移法
A1
B1
D
C
A
B
方法整理：
3、异面直线所成角的两种求法：
（1）平移法 ①常用中位线平移 ②借助于平面平移
C1
p
M
B1
R
R
N
D
C
C
A
Q
BQ
新课讲解：
异面直线所成角的求法
高中数学：《向量法求异面直线所成角》名师课件(选修)
C1
A1
FD O
A x
B1
Cy B
10
至少要有40次的重复,才能熟练！
11
A x
M
Cy B
4
变1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F
分别是A1A,B1B的中点,求CE与D1F所成
角的余弦值.
z
D1
C1
A1
ED O
A x
B1 B1C1D1中,点E,F 分别是A1B1,C1D1的一个四等分点,求BE 与DF所成角的余弦值. z
rr ra br
|a||b|
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
2
z D1
A1
D O
A x
C1 B1
Cy B
3
例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是 AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.
z
D1
C1
A1
B1
D O
向量法求两条异面直线所成的角
1
公式 复习
Auu(xur1,y1,z1) B(x2,y2,z2)
AB (x2-x1,y2-y1,z2-z1)
r
r
arr(x1, ry1, z1r),b (x2,r yr2, z2)
a b | a | | b | cos a,b
rr cos a,b
D1 A1
F E
C1 B1
D O
A x
Cy B
6
变3:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F 分别是BB1,D1B1的中点,求证EF⊥DA1.
z
D1 A1
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点o常取在两条异面直线中的一条上
例
正方体ABCD-A1B1C1D1求：
① A1B与CC1所成的角是多 少度？
A1
D1
②少③④中条B度在，？求C？与正证1与棱方:ABB体C11DBA⊥垂1B所CB直D1成-D的A1的1棱B角1C有1是D几1多棱
D A
C1 B1
C B
= + “垂直” “相交垂直” “异面垂直”
M
O是空间中的任意一点 所成的锐角是否相等？
点o常 取在两条 异面直线 中的一条 上
b2
a2
.
b1
o1
a1
b
.
o
a M
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
相交直线所成锐角 的大小，就是异面 直线所成角的大小
b
o
α
0°﹤0 相所交成异成异所直 的面 的成面线 角直 角的直？a线 的≤,角线b所 范9？0° 围？ a
A1
②直线BA1与C1C所成角的大小
D
450
A
③求异面直线A1B与C1C的距离
a
2
④求异面直线A1B与B1C1的距离 2
C1 B1
C B
a
小结：
①本节学习了立体几何中的三个重要概念： 两异面直线所成的角；两异面直线的公垂线；
两异面直线的距离。
② 两异面直线所成的角 ；满足 0°﹤0 ≤90°。 通常采用平移的方法化异面直线为相交直线所成 的角
异面直线距离的定义： 和两条异面直线都垂直的直线有多少条？ 与这两条异面直线都垂直相交的直线有 多少条？
定义：和两条异面直线都垂直相交的直线 叫异面直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的公垂线
定义：两条异面直线的公垂线在两条异面直 线间的线段的长度，叫两异面直线的距离
例：设图中的正方体的棱长为a，
①图中哪些棱所在的直线
D1
与BA1成异面直线
直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o， 分别引直线a1∥a, b1∥b, 我们把直线a1和b1 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成 的角。
. bbbb11b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1ba1b1b1a1b1b1a1b1b1a1baa1b11b1a1ba1b11b1a1ba1b1aa1b11b11a1b1b1a111a1ao1a1a1 a1aa1a11
高中数学立体几何
两异面直线 所成的角和距离
高二数学
复习提问:
1、空间两条直线的位置关系
(1)相交 （2）平行
（3）异面
2、异面直线的概念
b
b
a α
M
α
a
βb
a α
a与b是相交直线，a与c也是相交 直线，它们之间又有什么区别？
c
b
a “定量”研究相交直线，必须引入“角”的概 念
异面直线所成的角的定义
③对于两异面直线的公垂线；两异面直线的距 离，本节只是最基本的方法，今后还会有更多 的处理方法。
④ 本节解题思想:转化