lv_9渐进法及超静定结构影响线
结构力学第9章__力矩分配法(新)
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。 ③各杆按各自的传递系数向远端传递。 ④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
12kN/m
i
6m
16kN
2i
3m
3m
0.4 0.6
固端弯矩 -36
第9章 渐进法及超静定力的影响线 9-1 力矩分配法的基本概念 9-2 单结点的力矩分配法 9-3 多结点的力矩分配法 9-4 计算结果的校核
9-1力矩分配法的基本概念
M
4
2 i12 1
i14
i13
3
4i12Δ1
2i12Δ1
i13Δ1 i13Δ1
3i14Δ1
M12 4i121 M13 i131 M14 3i141
M
1 M21 2 M12 M31 M13 M41 0 M14
9-1力矩分配法的基本概念
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
M ik Sik 1
4iik 远端为固定端
S ik
3iik iik
远端为铰支端 远端为平行支链杆
0 远端为自由端
2 分配系数：与转动刚度成正比
ik
96 64 → 32
-23.6 ← -47.3 -47.3 → -23.6 14.2 9.4 → 4.7
-1.2 ← 0.7 0.5 →
-2.3 -2.3 → -1.2 0.3
-0.1 -0.2
200.9 -200.9
237.3 -237.3 87.7
200.9
237.3
87.7
结构力学-渐近法和超静定影响线
M
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第十二章 渐近法和超静定影响线
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
q = 10 kN/m
A EI
4m
μ
MF
分 配 传 递
M
B
4m
EI C
6m
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第十二章 渐近法和超静定影响线
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(EI=常
数) 。q
结点 B A
1
C
B
1
C
2ql
l
Al
k
M1A 传递系数
∑ M 1i =
S1i S1k
M
= μ1i M
=
M
μ 1i
传递弯矩
k
M
C i1
=
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1i
M
μ 1i
分配弯矩
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
注 意：
① 结点集中力偶M按指定方向为正。 ② 分配系数表示近端承担结点外力偶的比率，它等于该
杆近端的转动刚度与交与结点1的各杆转动刚度之和 的比值。 ③ 只有分配弯矩才能向远端传递。 ④ 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是 杆件近端转动时产生的远端弯矩。
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算
q
变形过程想象成两个阶段进行
B
1
C
固定+放松
A
q
R1P
• 固端弯矩引 B
1
起不平衡力
固定
C
矩R1P
结构力学教程——第12章 渐进法和超静定结构的影响线
性质，可得到柱子两端弯矩。
知识点 12.5-3
柱间有水平荷载作用时的计算
I=∞
A
C
q
i1 h1
B
i2 h2 D
I=∞
A
C
q
i1 h1
i2 h2
B
+
D
A
i1 h1 B
I=∞ C
i2 h2 D
P 单跨梁计算
P 力矩分配法
知识点
12.6 用机动法绘制连续梁的影响线
力法基本方程
11 Z1 1P 0
SBA 1 5
CBA 1
例2：作图示刚架的弯矩图
解 （1）固端弯矩
M
F AB
M
F BA
1 4 kN 3.3m 2
= 6.6kN m
M
F BC
M
F CB
1 (4 8.5)kN 3.6m 2
= 22.5kN m
（2）分配系数
SBA iBA 3.5 SBC iBC 5 SBE 3iBE 162
（http://structuremechanics/index1.htm）
1. 课程导入
连续梁桥
q
多跨连续梁
2. 结点力矩下单结点力矩分配
2.1 力矩分配法概念的提出 回顾位移法
例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。
M
M
B
A
MBA MBC
M BA 4iB
B
θB
C
M AB 2iB
M BC 3iB
SCB 4 SCF 2 SCD 3
CB 0.445 CD 0.333 CF 0.222
解（1）转动刚度和分配系数
EI0=1
10(超)静定结构的影响线解析
§9-5 超静定力的影响线1、影响线的特征与求解方法1）影响线的特征静定结构——反力、内力影响线均为直线；位移影响线为曲线。
超静定结构——各量值的影响线均为曲线。
2）影响线的求作方法静力法——利用静力平衡条件求影响线方程，进而绘制影响线。
但对超静定力的影响线须解超静定问题，复杂、少用。
机动法——利用影响线与移动载荷作用点位移（挠度）图的比拟关系，快速绘制影响线轮廓。
简便、实用。
2、机动法求作超静定力影响线以图9-14连续梁（超静定梁）M K的影响线为例，说明用机动法求作超静定力影响线的方法。
1）取基本结构（超静定、几何不变体系）图b——去掉与XK 相应的约束，代之以(暴露出)约束反力XK ；A B C D EF P=1K（a）原结构A B C D EF P=1X K(M K)(下拉为正)(b)基本结构图9-14§9-5 超静定力的影响线2）建立力法典型方程k kk kp X δδ+=1()kp k pk kk kkX x δδδδ∴=-=-⋅()()pk kp x x δδ=ABCD EF P =1K ABCD E F P =1X K (M K )(下拉为正)(b)基本结构§9-5 超静定力的影响线K 截面相对转角为0式中δkk ——常数,不随X 而变化。
δpk ——载荷F P =1位置参数X 的函数，即δPK =δPK (x)，其位移图如图9-14c 所示。
互等定理图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)挠度图⏹写成更明确的形式：()()1pk kkk x x X δδ=-ABCD EK+图9-15X k (M k )的影响线结论:X k 与δpk 成正比;挠度图即为影响线轮廓线图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)作用挠度图1kM=§9-5 超静定力的影响线X k 向上为正δpk 以向下为正(与p=1同向)X k 与δpk 反向3、求做超静定力影响线的步骤⏹1）撤去与所求约束力（或量值）相应的约束，代之以反力X K ；●2）使体系沿X K 正方向发生位移，作出移动载荷作用点的挠度δPK =δPK (x)（位移）图即为影响线X K (x)的形状；●3）将δPK 图除以常数δKK 使可确定影响线的具体数值；●4）横坐标以上图形为正号，横坐标以下图形为负号。
根据位移法基本原理
-45+20 -3Pl/16
-0.07 -0.08 0.07 0.08 -0.01 -0.01 0.01 0.01
62.17 -62.17
-0.16 -0.17 0.04 -0.02 -0.02
杆端弯矩 22.97 45.94 -45.94
45.32 -45.32 40.0 -40
弯矩图：
杆端弯矩 22.97
• 图(a)所示连续梁的悬臂端可转化为图(b) （E端铰接）,进行计 算。
μDC=（4×4） /(4×4+3×6)=0.471
μDE=（3×6） /(4×4+3×6)=0.529
作用在C 的力偶荷 载进行处 理
分配系数 固端弯矩 0
24.0
0.600 0.400 0 -80.0
0.500 0.500 +40.0 -60.0
传递系数 CAB=1/2 CAB=-1 CAB=0
近端弯矩 远端（传递）弯矩 远端固定 MAB=SABθA MBA=2iAB θA 远端定向 MAB=SAB θA MBA= -iABθA 远端铰支 MAB=SAB θA MBA=0
• CAj = MjA /MAj 远端弯矩/近端弯矩
MμAj = μAj ·M
128超静定结构的特性特性静定结构超静定结构几何组成无多余约束的几何不变体系有多余约束的几何不变体系静力条件由静力平衡条件可唯一的确定结构的反力内力只满足静力平衡条件的内力解有无数多组防护能力荷载影响范围特性静定结构超静定结构刚度比较各杆刚度对结构内力分布的影响改变各杆刚度比值对结构内力分布无影响
第十二章
EI, l
• 转动刚度与远端支承情况有关
S=4i 远端固定(刚结)
SAB=MAB=3EI/l=3i
第八章 渐进法及超静定力的影响线
EI 8m 1
24kN/m
C
4m 2EI 4m ∑MCg =53
50kN
2
50kN
D
g =－128
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
－128 0.4 －128 76.8 51.2 －15.7 9.4 6.3 －0.7 0.4 0.3 86.6 －86.6 0.6
128 －75 0.4 0.6 128 －75 25.6 －31.4 －47.2 3.2 －1.3 －1.9 0.2 －0.1 －0.1 124.2 －124.2
+ +
M分
M分
MB传
M传 4、重复2、3步骤直至结果 M分 M分 收敛。 5、杆端最后弯矩：M=Mg ＋ ∑M分＋∑M传
13
+· · ·
§8-2 多结点的力矩分配
注意： ①多结点结构的力矩分配法取得的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们 之间的杆件的转动刚度和传递系数不易确定）；但是可以同时放松 所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩反号分配。
=
∑MBg
2、放松结点B，此时结构只 有一个结点角位移，按单结 MABg 点的力矩分配法计算，结点 C最终取得新的结点不平衡 力矩∑MCg +MC传 3、放松结点C，按单结点 的力矩分配法计算，结点 B又取得新的不平衡力矩 MB传 M传 MBAg∑MCg源自MBCg MCBg －∑MBg
MCDg
∑MCg +MC传 M传 －(∑MCg +MC传)
M远 C M近
∴远端弯矩可表达为： M BA C AB M AB 等截面直杆的传递系数
《结构力学》渐近法计算超静定结构-课程知识点归纳总结
《结构力学》渐近法计算超静定结构-知识点归纳总结一、转动刚度与传递系数使杆端产生单位角位移时需要在该端施加（或产生）的力矩称为转动刚度，它表示杆端对转动的抵抗能力，是杆件及相应支座所组成的体系所具有的特性。
转动刚度与该杆远端支承及杆件刚度有关。
传递系数表示近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
对等截面杆件来说，传递系数随远端支承情况不同而异，如表1所示。
这里，i 为杆的线刚度。
二、分配系数各杆端在结点A 的分配系数等于该杆在A 端的转动刚度与交于A 点的各杆端转动刚度之和的比值，即：同一结点各杆分配系数之和，这个条件通常用来校核分配系数的计算是否正确。
三、力矩分配法的基本原理其过程可形象地归纳为以下步骤：（1）固定结点在刚结点上施加附加刚臂，使原结构成为单跨超静定梁的组合体。
计算各杆端的固端弯矩，而结点上作用有不平衡力矩，它暂时由附加刚臂承担。
（2）放松结点取消刚臂，让结点转动，这相当于在结点上施加一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。
这个反号的不平衡力矩按分配系数分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩。
同时，各分配弯矩又向其对应远端进行传递，各远端得到传递弯矩。
（3）将各杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩对应叠加，可得各杆端的最后弯矩值，即：近端弯矩等于固端弯矩加上分配弯矩，远端弯矩等于固定弯矩加上传递弯矩。
四、用力矩分配法计算连续梁和无侧移的刚架多结点的力矩分配法计算步骤如下：1、固定刚结点（施加附加刚臂），计算各杆端的固端弯矩，并计算各刚臂承担的不平衡力矩值。
2、依次放松各结点每次放松一个结点（其余结点仍固定住）进行力矩分配与传递。
对每个结点轮流放Aj Aj Aj S S μ=∑1Aj μ=∑松，经多次循环后，结点逐渐趋于平衡。
一般进行2-3个循环就可获得足够精度。
3、将各次计算所得杆端弯矩（固端弯矩、历次得到的分配弯矩和传递弯矩）对应相加，即得各杆端的最终弯矩值。
五、力矩分配法和位移法的联合应用力矩分配法与位移法的联合应用就是利用力矩分配法解算无侧移结构简便的优点和位移法能够解算具有结点线位移结构的特点，在解题过程中使其充分发挥各自优点的联合方法。
《静定结构影响线》课件
静定结构具有确定的几何形 状和确定的承载能力，不会 因为受到外力而发生变形或
破坏。
静定结构在受到外力作用时， 其内力和反力可以通过静力平 衡方程求解，不需要进行复杂
的分析和计算。
02
影响线的计算方法
静力法
静力法是通过在静力平衡状态下，对 结构施加单位载荷并计算位移的方法 。
静力法计算简单，适用于简单结构， 但对于复杂结构，计算过程可能较为 繁琐。
连续梁的影响线分析
连续梁的弯矩和剪力影响线比简支梁更为复杂 ，需要考虑多个支座和跨度的共同作用。
连续梁的影响线分析有助于优化梁的截面尺寸和支座 设计，提高结构的承载能力和稳支梁的相互作用。
在连续梁中，弯矩和剪力的最大值可能出现在不 同的位置，需要根据具体情况进行分析。
框架结构的影响线分析
框架结构由多个杆件通过节点连接而 成，其影响线分析需要考虑杆件之间 的相互作用。
在框架结构中，弯矩和剪力的最大值 可能出现在不同的节点和杆件上，需 要根据具体情况进行分析。
框架结构的弯矩和剪力影响线比简支 梁和连续梁更为复杂，需要考虑多维 空间的受力分析。
框架结构的影响线分析有助于优化结 构的布局和节点设计，提高结构的承 载能力和稳定性。
05
结论
影响线在静定结构中的重要性
静定结构影响线是分析结构响应的重要工具，它能够描述结构在不同激励下的变形 和内力分布情况。
通过影响线分析，可以确定结构的薄弱环节和关键部位，为结构的优化设计和加固 提供依据。
影响线分析有助于评估结构的可靠性和安全性，为工程实践提供重要的参考价值。
未来研究方向
01
静定结构影响线
目录
• 引言 • 影响线的计算方法 • 静定结构影响线的应用 • 静定结构影响线的实例分析 • 结论
结构力学课程作业-超静定梁影响线(详解)
结构力学课程作业——连续梁的影响线、最不利荷载布置及内力包络图班级学号姓名华中科技大学土木工程与力学学院二0一三年十月结构力学课程作业一、题目EI=C K123x 1l 2l 3l二、要求1、用力法计算求得支点弯矩1M 、2M 的影响线；2、用挠度法计算求得支点弯矩1M 、2M 的影响线；3、求第二跨内截面K 的弯矩，剪力影响线及支座1反力影响线；4、在求影响线的基础上，进行均布移动荷载的最不利布置；5、连续梁承受均布活荷载18p KN m =及恒载12q KN m =时，绘出弯矩、剪力包络图。
三、计算由此可以求得2312211122122()()=,,363l l l l lEI EI EI δδδδ++===25 151212X=0.25L 3已知 115l m=212l m=312l m=30.250.25123x l m==⨯=111X l α≤≤≤≤当 0 ，即 0时()()11111112211230PP l PP l l ds M M l EI EI ds M M EIαδααδ-==⨯-⨯==⎰⎰得力法方程:2122111212321121()()()(1)(1)0366()()()063l l l l M X M X EI EI EIl l l M X M X EI EI ααα+++-+=++=解之得112175()(1)(1)1775()(1)(1)68M X M X αααααα=--+=-+大致弯矩图如下：由图可求出：1121121111211211111123()()825()(1)(1)4272()()125()(1)(1)272()()()205()=(1)(1)+272K QK R M X M X M X M X M X F X l M X M X M X F X l l ααααααααααα+==--+-==-+-=-++-+221X l α≤≤≤≤当 0 ，即 0时()()2211221123PP l l ds M M l EI EI αδαα-==⨯-⨯⎰()()2222211123P Pl l ds M M l EI EI αδαα+==⨯-⨯⎰得力法方程：212221222223221222()()()(1)(2)0366()()()(1)(1)0636l l l l M X M X EI EI EIl l l l M X M X EI EI EI αααααα+++--=+++-+=解之得1212()(1)(75)17M X ααα=--- 226()(1)(511)17M X ααα=--+大致弯矩图如下：由图可求出：21222222122212221212123,0.253()()(1)(57141)()99434()()(1)(921)()34()()()(1)(101145)()(1)(1)170K QK R X M X M X M X M X M X F X l M X M X M X F X l l αααααααααααααααα≤≤≤≤+--=+=+---=-=----=-++-=+-当 0即 0时大致弯矩图如下：由图可求出：212222221222122212121212,13()()(1)(57141)()3(1)3(1)434()()(1)(921)()(1)(1)34()()()(1)(101145)()(1)(1)170K QK R X M X M X M X M X M X F X l M X M X M X F X l l αααααααααααααααα≤≤≤≤+--=+-=+----=+-=+----=-++-=+-当 3即 0.25时331X l α≤≤≤≤当 0 ，即 0时3110PP l dsM M EIδ==⎰ ()()3322321123PP l l ds M M l EI EI αδαα-==⨯-⨯⎰得力法方程1221323223321323()()()036()()()(1)(2)0636l l lM X M X EI EIl l l l M X M X EI EI EI ααα++=+++--=解之得132312()(1)(2)1754()(1)(2)17M X M X αααααα=--=---大致弯矩图如下：由图可知：3132332313321323131312123()()9()(1)(2)434()()11()(1)(2)34()()()63()(1)(2)170K QK R X M X M X M X M X M X F X l M X M X M X F X l l αααααααααα≤≤≤≤+==----==----=-+=---当 0，即 01时下面用挠度法计算M 1(X),M 2(X)211122122313121111111111111212111213()(1)(1)6()(1)(75)24()(1)(2)248.52(20.25)66()75()(1)(1)17()12()(1)(75)17(()l y X EI l y X EI l y X EIl l EI EI EI y X M X y X M X y X M X αααααααααδδδαααδαααδ=-+=--=---'''=+=⨯+-==-=--+=-=---=-11)12(1)(2)17αααδ=-- 同理求得212122222222222322()(1)(1)68()6()(1)(511)17()54()(1)(2)17M X y X M X y X M X αααδαααδαααδ=-=-+=-=--+=-=---与力法求得值相同画出M1，M2 影响线1()()()K QK R M X F X F X 根据力法中求得的、、总长度/m置Mk(X) F Q k(X) F R1(X)第一跨0 0.0000 0.0000 0.00001.5 0.1 -0.3003 0.0455 0.17463 0.2 -0.5824 0.0882 0.34474.5 0.3 -0.8280 0.1255 0.50586 0.4 -1.0191 0.1544 0.65327.5 0.5 -1.1374 0.1723 0.78269 0.6 -1.1647 0.1765 0.889410.5 0.7 -1.0828 0.1641 0.969112 0.8 -0.8735 0.1324 1.017113.5 0.9 -0.5187 0.0786 1.0289 15 1 0.0000 0.0000 1.000016.2第二跨0.1 0.5419 -0.0817 0.945817.4 0.2 1.1901 -0.1774 0.867818 0.25 1.5510 -0.2293 0.8214 18 0.25 1.5510 0.7707 0.821418.6 0.3 1.3347 0.7167 0.771019.8 0.4 0.9656 0.6042 0.660721 0.5 0.6728 0.4890 0.541922.2 0.6 0.4461 0.3746 0.419823.4 0.7 0.2756 0.2648 0.299424.6 0.8 0.1511 0.1633 0.185925.8 0.9 0.0626 0.0738 0.0844 27 1 0.0000 0.0000 0.000028.2第三跨0.1 -0.0453 -0.0553 -0.063429.4 0.2 -0.0762 -0.0932 -0.106730.6 0.3 -0.0945 -0.1155 -0.132331.8 0.4 -0.1016 -0.1242 -0.142333 0.5 -0.0993 -0.1213 -0.139034.2 0.6 -0.0889 -0.1087 -0.124535.4 0.7 -0.0723 -0.0883 -0.101236.6 0.8 -0.0508 -0.0621 -0.071237.8 0.9 -0.0262 -0.0320 -0.036739 1 0.0000 0.0000 0.0000 求出Mk的影响线求出F Qk的影响线求出F R1的影响线我们知道，求某一截面的Mmax,Mmin，F Q max，F Q min，要先求出这一截面的M恒，F恒，这种情况下全梁布满荷载q，如下图所示然后根据此截面的弯矩、剪力影响线布置荷载，若其M影响线为Mmax的荷载布置Mmin的荷载布置F Qmax 的荷载布置F Q min 的荷载布置则M 恒=q*(S1+S2+S3+S4)Mmax=M 恒+P*（S2+S4) Mmin=M 恒+P*（S1+S3) FQ 同理求出(S 表示曲线与横轴所包围的面积,上为“+”，下为“—”，也就是对应包络图函数对坐标轴的积分）显然仅仅单跨满载组合无法计算出绝对的Mmax 、Mmin 、F Q max 、F Q min ，现在考虑每跨仅有部分布置荷载的情况！！！ 现在求某一点（K 点）的弯矩、剪力影响线的函数表达式一、集中力在第一跨时112175()(1)(1)1775()(1)(1)68M X M X αααααα=--+=-+1111111111111111175()()+(1-)(1)(1)15(1-)17()5()(1)(1)17175()()+(1)(1)(1)+15(1)17()5()(1)17K K QK K QK X l M X M X l M X F X l M X M X l M X F X l λαλλλαλαααλααααααλαλλαλαααλαα=≤≤==--++=-=--+-≤≤=-=--+-=+-=-当 K 点在第一跨时，设，则当 0时，当 时，(1)(1)(1)αααα-++-21112121111275()(1)()()(54)(1)(1)68()()125()(1)(1)272K K QK X l M X M X M X M X M X F X l λλλλαααααα==-+=--+-==-+当 K 点在第二跨时，设，则3121211375()(1)()(1)(1)(1)68()25()(1)(1)272K K QK X l M X M X M X F X l λλλαααααα==-=--+=-=--+当 K 点在第三跨时，设 ，则二、集中力在第二跨时1212()(1)(75)17M X ααα=--- 226()(1)(511)17M X ααα=--+ 1212122112()()(1)(75)17()4()(1)(75)85K K QK X l M X M X M X F X l λλλαααααα===---==---当 K 点在第一跨时，设，则22122222212220126()(1)()()+(1)(1)(1)(75)(1)(511)1717+12(1)()()(1)(921)()34K K QK X l M X M X M X l M X M X F X l λαλλλλαλαααλαααλαααααα=≤≤=-+-=------+----=-=-当 K 点在第二跨时，设，当时2122222212221126()(1)()()+(1)(1)(1)(75)(1)(511)171712(1)()()(1)(921)()(1)(1)34K QK M X M X M X l M X M X F X l λαλλλαλαααλαααλαααααα≤≤=-+-=------++----=+-=+-当时322222236()(1)()(1)(1)(511)17()1()(1)(511)34K K QK X l M X M X M X F X l λλλαααααα==-=---+=-=-+当 K 点在第三跨时，设，则三、集中力在第三跨时132312()(1)(2)1754()(1)(2)17M X M X αααααα=--=--- 1313133112()()(1)(2)17()4()(1)(2)85K K QK X l M X M X M X F X l λλλαααααα===--==--当 K 点在第一跨时，设，则23132323133201254()(1)()()(1)(1)(2)(1)(2)1717()()11()(1)(2)34K K QK X l M X M X M X M X M X F X l λαλλλλαααλαααααα=≤≤=-+=-------==---当 K 点在第二跨时，设，当时33233233312332154()(1)()+(1-)(1)(1)(2)12(1-)17()9()(1)(2)34154()(1)()+(1)(1)(1)(2)12(1)17()K K QK K QK X l M X M X l M X F X l M X M X l M F X λαλλλαλαααλααααααλαλλαλαααλα=≤≤=-=----+=--=---≤≤=--=----+-=-当 K 点在第三跨时，设，则当 0时，当 时，33()9(1)(1)(2)(1)34X l ααααα+-=--+- 现在对这些函数进行积分3221022210122211222112012013037515()(2)(1)68251()(2)6827515()(1)(1)68251()(1)(1)6829()=173()853()17()K QK K QK K Q K K Q K K M X d F X d M X d F X d M X d F X d M X d F X λλλλαλλλλαλλλαλλλλαλλαλααλ=--+-=---=--+-=--+--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当点在第一跨时10185d α=⎰1101105432220432220154322275()=(54)272125()10886212525()(7)6(1)1742212191()(10)3442236212525()(6)(7)6(1)3417422(K Q K K QK K QK K M X d F X d M X d F X d M X d F λλλαλααλλλλλλαλλλλαλλλλλλλ-==--+-++-=-+-=-++-+-++-⎰⎰⎰⎰⎰当点在第二跨时143222130130112191)(10)(1)13634422633()3411()136K Q K X d M X d F X d λαλλλλααα=--++--==-⎰⎰⎰110110120120432220432220143275()=(1)27225()108821()(1)347()136541()(1)()6(1)174911()()34425411()(1)(1744K Q K K Q K K QK K K M X d F X d M X d F X d M X d F X d M X d λλλαλααλααλλλλλλαλλλλαλλλλ-=-=--==---++-=-+-=----+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当点在第三跨时22143222)6(1)9111()()(1)34442QK F X d λλλαλλλλ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--++-⎢⎥⎣⎦⎰根据计算所需，计算下列积分K 点在第一跨时λ10()K M X d λα⎰10()QK F X d λα⎰11()K M X d λα⎰11()QK F X d λα⎰120()K M X d α⎰120()QK F X d α⎰130()K M X d α⎰0.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.4265 0.0000 -0.0353 0.0000 0.1 0.0653 -0.0065 0.4994 0.3329 -0.0529 -0.0353 0.0176 0.2 0.2227 -0.0258 0.7567 0.2522 -0.1059 -0.0353 0.0353 0.3 0.4156 -0.0576 0.8285 0.1841 -0.1588 -0.0353 0.0529 0.4 0.5901 -0.1016 0.7687 0.1281 -0.2118 -0.0353 0.0706 0.5 0.6962 -0.1572 0.6273 0.0836 -0.2647 -0.0353 0.0882 0.6 0.6893 -0.2234 0.4489 0.0499 -0.3176 -0.0353 0.1059 0.7 0.5313 -0.2994 0.2717 0.0259 -0.3706 -0.0353 0.1235 0.8 0.1920 -0.3840 0.1256 0.0105 -0.4235 -0.0353 0.1412 0.9 -0.3493 -0.4759 0.0317 0.0023 -0.4765 -0.0353 0.1588 1.0-1.1029 -0.5735 0.0000 0.0000 -0.5294 -0.0353 0.1765K 点在第二跨时λ11()KM X d α⎰ 110()QKFX d α⎰ 2()KM X d λα⎰20()QK F X d λα⎰12()K M X d λα⎰12()QKFX d λα⎰13()KM X d α⎰13()QK F X d λα⎰0.0 -1.1029 0.1149 0.0000 0.0000 -0.5294 0.5074 0.1765 -0.0809 0.1 -0.9651 0.1149 0.0333 -0.0040 -0.0315 0.4113 0.0794 -0.0809 0.2 -0.8272 0.1149 0.1220 -0.0168 0.2909 0.3242 -0.0176 -0.0809 0.3 -0.68930.11490.2435-0.03980.46060.2471 -0.1147-0.08090.4 -0.5515 0.1149 0.3691 -0.0737 0.5062 0.1810 -0.2118 -0.0809 0.5 -0.4136 0.1149 0.4660 -0.1190 0.4605 0.1264 -0.3088 -0.0809 0.6 -0.2757 0.1149 0.4998 -0.1759 0.3578 0.0832 -0.4059 -0.0809 0.7 -0.1379 0.1149 0.4368 -0.2440 0.2320 0.0513 -0.5029 -0.0809 0.8 0.0000 0.1149 0.2458 -0.3226 0.1142 0.0300 -0.6000 -0.0809 0.9 0.1379 0.1149 -0.0994 -0.4109 0.0306 0.0182 -0.6971 -0.0809 1.0 0.27570.1149-0.6176-0.50740.00000.0147 -0.7941-0.0809K 点在第三跨时λ11()KM X d α⎰110()QKFX d α⎰120()KMX d α⎰120()QKFX d α⎰3()KM X d λα⎰30()QKFX d λα⎰13()KMX d λα⎰13()QKFX d λα⎰0 0.2757 -0.0230 -0.6176 0.0515 0.0000 0.0000 -0.7941 0.5662 0.1 0.2482 -0.0230 -0.5559 0.0515 0.0282 -0.0026 -0.2029 0.4688 0.2 0.2206 -0.0230 -0.4941 0.0515 0.1097 -0.0114 0.2150 0.3776 0.3 0.1930 -0.0230 -0.4324 0.0515 0.2334 -0.0278 0.4707 0.2940 0.4 0.1654 -0.0230 -0.3706 0.0515 0.3808 -0.0529 0.5827 0.2191 0.5 0.1379 -0.0230 -0.3088 0.0515 0.5267 -0.0878 0.5763 0.1540 0.6 0.1103 -0.0230 -0.2471 0.0515 0.6399 -0.1333 0.4825 0.0995 0.7 0.0827 -0.0230 -0.1853 0.0515 0.6847 -0.1902 0.3370 0.0564 0.8 0.0551 -0.0230 -0.1235 0.0515 0.6216 -0.2590 0.1795 0.0252 0.9 0.0276 -0.0230 -0.0618 0.0515 0.4082 -0.3401 0.0524 0.0063 10.0000 -0.0230 0.0000 0.0515 0.0000 -0.4338 0.0000 0.000011112301111230=(()()())(()()())K K K QK QK QK QK M q M X d M X d M X d F q F X d F X d F X d αααααα++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰恒恒根据影响线方程，当K 点在第一跨：集中力在第一跨的时候，画出Mk 的影响线，集中力在其他跨的时候不出现零点（影响线与坐标轴横轴相交）（结点除外）；F Q 影响线图不出现零点（结点除外）。
超静定影响线
6m
6m
6m
2.依次作出每一跨分布活载作用时的弯矩图（每跨4等分）
96
66
36
6 18 24 第1跨布活载 12 6
63 111 132
2.依次作出每一跨分布活载作用时的弯矩图（每跨4等分）
96 66 36
6
第1跨布活载 63 111 132 36 18 第2跨布活载 63 108 36 6 第3跨布活载 6 12 18 24 66 54 72 18 24 12 6
1 0.3125 11/8
2a
2a
a
从上述作法可见，其过程与静定结构影响线的作法并没有不同， 只是计算麻烦，需用力法求解
例2 静力法作连续梁支座处弯矩影响线。
x P=1
1 L L
2 L
思路： 按影响线的定义，作出P=1在不同位置x处的M1表达式。 1）P=1在第一跨移动，取如下基本体系
力法基本体系
6m
6m
6m
弯矩影响线轮廓
B 1 2 C 3 1 跨截面
2 跨截面 3 跨截面
支座B 支座C
说明：
要使1跨某截面取最大值，只需把第1跨和第3跨布满活载； 要使1跨某截面取最小值，只需把第2跨布满活载；
1. 由1跨截面弯矩影响线可知：
2. 由支座B截面弯矩影响线可知：
要使截面B的弯矩最大，只需第3跨布满活载；
A
B K C D E
F
三、影响线的应用：连续梁的内力包络图
1．基本原理 连续梁的设计必须以该梁在恒载（自重等）及活载（人 群、货物等）作用下每一截面上可能出现的内力最大值及最
小值作为设计依据。
其中恒载作用下的内力是确定的； 活载作用下的内力随分布的不同有不同的值。 下面以连续梁为例说明活载分布的最不利情形的特点
结构力学第9章渐进法
1 6m
EI
2
EI
3
12 m
6m
12 m
解:
(1) 首先引用刚臂将两个刚结点1、2固定。 结点2的分配系数为
21
(2)计算结点1、2处各杆端的分配系数。 结点1的分配系数为
10 12
S S
S12
S10
(1)
4i 1 4i 4i 2
S
S 21
( 2)
4i 4 4i 3i 7 3i 3 4i 3i 7
结点２分配传递
+48.2
-193
-386 -289 +48.2
-386 -289
0
0
结点 2分配传递 结点１分配传递 结点1分配传递 结点2分配传递
+48.2
-27.5 -20.7 +48.2 +3.4
结点２分配传递 +3.4
+0.2
-13.8
+0.5
-27.5 -20.7 +3.4
-1.9 -1.5
结点１分配传递 结点 1分配传递
结点 2分配传递 结点２分配传递 最后弯矩
+3.4
+0.5 +553.9
+6.9 +6.9 -1.0 +0.5 +0.5
+0.2
-1.9 -0.1 -1.5 -0.1 +0.2
0
结点１分配传递 +0.2 结点２分配传递 最后弯矩 -173.2
-173.2
-553.9 +311.3 -311.3
9
A
B
C
静定结构影响线70页PPT
静定结构影响线
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
lv_9渐进法及超静定结构影响线解析
第九章 渐进法及 超静定结构影响线
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 1
9-1 渐近法概述
1、结构力学的渐近法
不建立方程式，直接逼近真实受力状态。
力学建立方程，数学渐近解
本章讲解第二种方法，其突出的优点是每一步都有明确 的物理意义。
2、不建立方程组的渐近解法有：
传递
50 50 → 25 16.7 ← 33.3 7.2 ← 14.3 10.7 → 5.4 -3.6 - 3.6 → 1.8 -2.7 ← -5.4 1.3 ← 2.6 1.9 → 1 - 0.6 → -0.3 0.5 -0.5 ← 0.3 100 100 40.3
计算单刚结点无侧移结构的解是精确的。
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 8
例1. 作图示连续梁弯矩图。 167.2
（1）固定B结点 MAB=
M图(kN· m) 115.7 200kN 60 20kN/m MBA= 150 kN m 2 90 20 6 300 90kN m MBC= EI EI C B 8 A 150 -90 -150 MB= MBA+ MBC= 60 kN m 3m 6m 3m （2）放松B，即加-60分配 + -60 设i =EI/l 计算转动刚度： 0.571 0.429 SBA=4i SBC=3i A -17.2 4i -34.3 B -25.7 0 C 分配系数： BA 4i 3i 0.571 0.571 A -150 -17.2 -167.2 0.429 150 B -90 -34.3 -25.7 115.7 -115.7 C 分配力矩: 0 0
分配传递 -20.8 -4.2
10(超)静定结构的影响线
§9-5 超静定力的影响线1、影响线的特征与求解方法1）影响线的特征静定结构——反力、内力影响线均为直线；位移影响线为曲线。
超静定结构——各量值的影响线均为曲线。
2）影响线的求作方法静力法——利用静力平衡条件求影响线方程，进而绘制影响线。
但对超静定力的影响线须解超静定问题，复杂、少用。
机动法——利用影响线与移动载荷作用点位移（挠度）图的比拟关系，快速绘制影响线轮廓。
简便、实用。
2、机动法求作超静定力影响线以图9-14连续梁（超静定梁）M K的影响线为例，说明用机动法求作超静定力影响线的方法。
1）取基本结构（超静定、几何不变体系）图b——去掉与XK 相应的约束，代之以(暴露出)约束反力XK ；A B C D EF P=1K（a）原结构A B C D EF P=1X K(M K)(下拉为正)(b)基本结构图9-14§9-5 超静定力的影响线2）建立力法典型方程k kk kp X δδ+=1()kp k pk kk kkX x δδδδ∴=-=-⋅()()pk kp x x δδ=ABCD EF P =1K ABCD E F P =1X K (M K )(下拉为正)(b)基本结构§9-5 超静定力的影响线K 截面相对转角为0式中δkk ——常数,不随X 而变化。
δpk ——载荷F P =1位置参数X 的函数，即δPK =δPK (x)，其位移图如图9-14c 所示。
互等定理图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)挠度图⏹写成更明确的形式：()()1pk kkk x x X δδ=-ABCD EK+图9-15X k (M k )的影响线结论:X k 与δpk 成正比;挠度图即为影响线轮廓线图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)作用挠度图1kM=§9-5 超静定力的影响线X k 向上为正δpk 以向下为正(与p=1同向)X k 与δpk 反向3、求做超静定力影响线的步骤⏹1）撤去与所求约束力（或量值）相应的约束，代之以反力X K ；●2）使体系沿X K 正方向发生位移，作出移动载荷作用点的挠度δPK =δPK (x)（位移）图即为影响线X K (x)的形状；●3）将δPK 图除以常数δKK 使可确定影响线的具体数值；●4）横坐标以上图形为正号，横坐标以下图形为负号。
静定结构的影响线
FQD的影响线
－
FQD 0
FQE的影响线
1
FP 1 位于E左侧
1
+
FQE的影响线
FQE 0 FP 1 位于E右侧 FQE 1
21/72
4-2 用静力法作静定梁的影响线 二、双伸臂梁的影响线
0 x D A FRA l FP=1 E B FRB e
5.伸臂部分弯矩影响线 考察伸臂部分D、E 截面弯矩影响线 MD的影响线
a xl
17/72
4-2 用静力法作静定梁的影响线 二、双伸臂梁的影响线
FRA 0 x
FP=1
FRB
1. 反力影响线
A 点为坐标原点，x 方向向右为正
l2
l1
1 l1 l
A
l
B
FRB FRA
－
l2 l
FRA影响线
1
+
1 x x l l 1 l x l x l l
(吊车：启闭力、刹车力，车轮在轨道接头处的冲击力) ——结构的动力计算
(2) 由于移动荷载位置变化引起结构各处量值(反力、内力、位移)的 变化。
需要研究静定结构在移动荷载作用下，其反力和内力的变化规律
求出这些量值在荷载移动过程中最大值(最大量值) 找到产生最大量值的荷载位置(最不利的荷载位置)
5/72
注意当FP位于A左侧时，x为负值。
FRB影响线
1
+
l1 － l
1
l2 l
18/72
4-2 用静力法作静定梁的影响线 二、双伸臂梁的影响线
FRA 0 x
2.跨内截面剪力影响线 考察跨内C截面剪力影响线
FP=1
FRB
12渐进线和超静定结构的影响线
AB
S AC S AD S AE 3iAB 4iAC iAD
S S AB S , AC AC , AD AD S S S
i
S
Si
, i 1
基本名词定义
三、传递系数 C
当A端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近端 的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数，记作CAB 。
渐近法 和超静定结构的影响线
12
本章提要
本章主要介绍力矩分配法求解无侧移结 构单结点分配和多结点分配
12.1 渐近法概述
提出问题
可否不解联立方程组？
12.2 力矩分配法的概念
基本名词定义
一、转动刚度 S
使AB杆的A端产生单位转动，在A端所需施加的 杆端弯矩称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。
举例
Pl
例2 计算图示梁,各杆EI=常数
EI 令i = l
0 0 0 0
Pl / 8 Pl / 8
i
1/8 -1 0
Pl / 8 Pl / 8
0 0 0
Pl
3i
4i
3/8 1/2 0 1/2 0 0
0
0 0 0
0
3Pl / 8 Pl / 2 Pl / 4
Pl 3Pl / 8 Pl / 2 Pl / 4
3/ 5 1/ 2
-100 -33.4 44 -7.4 4.4 -0.8 0.5 - 92.7
2/3 1/ 2
100 -66.7 22 -14.7 2.2 -1.5
1/ 3 0
0 -33.3 -7.3 -0.7
43.6
-43.6
92.7
41.3 -41.3
41.3
结构力学-渐近法及超静定结构的影响线
上述问题的计算方法为： (1) 按各杆的分配系数将结点A的力偶矩分配给各杆近端； (2) 将近端弯矩乘以传递系数得远端弯矩。
12-10
二、单结点力矩分配
1、计算步骤(以上述例子进行)
第一步：锁住结点A，即附加 刚臂“ ”，使结点A不能转动(位 移法基本体系)；将结构的各杆看 作具有不同远端支承的“单跨超静 定梁”；然后计算(查表)各杆件固 端弯矩mAK(当杆上有几个不同荷载 时mAK可叠加求出)；进而求出附加 刚臂上的约束力矩MA，它等于mAK 之和(图c)，以 顺时针为正。
计算分配力矩：
MmBA=mBA·(-MB)=0.571(-60)=-34.3kN·m MmBC=mBC·(-MB)=0.429(-60)=-25.7kN·m
分配力矩下面划一横线，表示结点已放松，达到平衡。
12-15
计算传递力矩(传递系数不用计算，前面已知)： MCAB=CBA·MmBA=(1/2)(-34.3)=-17.2kN·m，(CBA=1/2) MCCB=CBC·MmBC=0，(CBC=0)
12-24
解：通过此例给出多 (a) 20kN/m
SAK的物理意义：SAK表示在杆AK的A端顺时针方向产生 单位转角时在A端所需施加的力矩。
或者说：抵抗单位转动所需的力矩(表示杆端对转动的抵 抗能力)。
SAK值取决于杆件的线刚度iAK和远端(K端)的支承。 由(a)式可知，对AK杆：
远端(K端)铰支：SAK=3iAK 远端(K端)固定：SAK=4iAK 远端(K端)滑动：SAK=iAK (2) 分配系数
12-23
4、最后，将各项步骤所得的杆端弯矩(弯矩增量)叠加， 即得所求的杆端弯矩(总弯矩)。
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B
6m
4m
M/2
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
10
例4. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。
A
EI=常数
50kN·m 50kN
B
C
D
1m
5m
μ
5/6 1/6
MF
0 25
分配传递 -20.8 -4.2
1m
SBA=3i
50
SBC=0.6i
BA
3i
3i 0.6i
5 6
M -20.8 +20.8
它们都属于位移法的渐近解法，符号规定同前。
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
2
§9-2 力矩分配法的基本概念
一、转动刚度S
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
SAB=3i
1
1
SAB=i 1
SAB=0
注意：
A——近端（施力端），B——远端
A -17.2
-60 0.571 0.429 -34.3 B -25.7
+ 0
设i =EI/l 计算转动刚度：
C
SBA=4i SBC=3i
分配系数：BA
4i 4i 3i
0.571
=
A -150 -17.2
0.571 0.429 150 B -90 -34.3 -25.7
C
分配力矩:
BC
3i 7i
M AB
S AB M S
A
m0
M AD 3iAD A SAD A
M AC
M ( S AB S AC S AD ) A
S AC M S
A
A
M
MAD
MAB
MAC
A
S AB
M S AC
S ADM SAຫໍສະໝຸດ Aj S Aj S
M AD
S AD M S
A
M Aj Aj M
2020年8月1日12时37
+50 50
BC
1 6
M图
（kNm）
20.8
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
11
例5 4m
30kN/m B i=2
4m
100kN D
A
i=1.5
i=2
C
3m
2m
AB
23
23 2 4 1.5 4
0.3
AD
B EI
(结点集中力偶的处理)
20 62
C M AB M BA 12 60kN m
6m
4m
MB 60 40 100kN .m
40kN.m MB
60
约束力矩=∑固端力矩±M
M顺时针转向取“-”
例3、求图示梁的弯矩图（利用传递系数概念）
40kN.m
10kN
M
20kN.m A EI
B EI C A
0
MAB= iABA
A
A
MBA = - iAB A
B
C AB
M BA M AB
1
M M , M C M 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，
各杆远ij端弯矩分ij别等于各杆近端弯矩乘ji以传递系ij数。 ij
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
6
§9-3 单结点的力矩分配法
1
③④
1
（2）转动刚度SAB=4i有（ ）
A
i
B√① √③
A
i
A
i
④
A
i
B √②
2020年4i8>月S1日AB12>时33i7
A
i⑤ B
By Lvyanping
i
B B
4
Δ
二、分配系数μ
求MAB、MAC和MAD
如用位移法求解：
于是可得
D
iAD
MA
A
iAC
C
B iAB
M AB 4iAB A S AB A M AC iAC A S AC A
A
1 AByj Lvyanping
分配系数
5
三、传递系数C 对于等直杆，C仅与远端支承有关。
表示近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩之比。
MAB = 4 iAB A
近端 A
A l
MBA = 2 iAB A
远端 B
C AB
M BA M AB
1 2
MAB = 3iABA
A
A
B
C AB
M BA M AB
2. 放松结点
– 计算各杆分配系数；
– 分配弯矩= -约束力矩×分配系数，
– 传递弯矩=分配弯矩×传递系数；
3. 各杆杆端弯矩=固端弯矩+分配弯矩\传递弯矩。 4. 最终M图据分段叠加法绘出。
计算单刚结点无侧移结构的解是精确的。
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
8
1A67-.1250例3m13.E0作I200图1035k示m0N1连165B0续.7-梁902弯0Mk96矩图EN0mI图/(mk。N·m)C（1MMMM）ABBBABC固====M定1B5B22A000+结k088NM6点26mBC=916050kk0NNkNmm m （2）放松B，即加-60分配
0.429
0
M B A 0.571 (60) 34.3
-167.2 115.7 -115.7
0
M B C 0.429 (60) 25.7
2020年8月1日12时37
(3) 最后结果。
By Lvyanping
9
例2:求力矩分配法计算图示梁时的约束力矩
20kN / m
A EI
40kN .m
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远
端支承有关， 而与近端支承无关。
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
3
确定S：近端看位移（是否为单位转角） 远端看支承（远端支承不同，S不同）。
（1）下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB
MAB θ
√ MAB
①②
1
MAB 1
MAB
结构力学
第九章 渐进法及 超静定结构影响线
2020年8月1日12时37
By Lvyanping
1
9-1 渐近法概述
1、结构力学的渐近法
力学建立方程，数学渐近解 不建立方程式，直接逼近真实受力状态。
本章讲解第二种方法，其突出的优点是每一步都有明确 的物理意义。
2、不建立方程组的渐近解法有：
(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。
MBA =MBAF+ M B A MBC = MBCF+ M B C MAB=MABF+ M AB
2然020后年8各月1跨日1分2时别37 叠加简支梁的By 弯Lvy矩anp图ing，即得最后弯矩图。
7
计算要点
1. 固定结点
– 在刚结点加附加刚臂，得到单跨梁，计算各杆固端弯矩； – 产生的结点约束力矩 =∑固端弯矩；
一、基本思路
固端弯矩带本身符号
A MAB
A MABF
B MBA MBC
MB
+ MBAF B MBCF -MB
=
MB C
MFBA MFBC
C 固定
MB= MFBA+ MFBC -MB
M B A
M B C
A M AB
M B A B M B C
C 放松 MBA BA (MB )
0
M B C BC (M B )