数理逻辑41

第四章命题演算的一致性﹑完全性与公理的独立性

4.1 命题演算的一致性和完全性

*命题演算是一公理系统. 公理系统的作用在于, 从一些公理和推演规则出发, 把某一范围的真命题推演出来.

*一方面我们希望, 从它能推演出较多的真命题, 希望能够完全, 能够把某一范围里的真命题完全推演出来.

*另一方面, 我们也要求, 从它不能推演出我们所不要的东西, 特别是逻辑矛盾.

这是所谓的完全性和一致性问题. 是否完全和是否一致, 是公理系统的两个重要问题.

*推演和证明: 推演一词含义较广, 而证明一词含义较狭. 在第三章里, 我们引入了一些推演规则, 在 3.7节也定义了什么是证明. 一般说来, 推演的前提可以是任何公式或任何命题(如3.10节), 证明的根据则是一公理系统的公理(如:3.6―3.9节). 只有从公理可推演的公式或命题才是可证的, 才是定理.

一. 命题演算的一致性

*一个理论里如果存在逻辑矛盾, 这个理论就是不正确的. 无矛盾性, 也就是一致性, 是公理系统首先要满足的条件. 1. 一致性的几种定义:

(1) 一致性的古典定义: 一个公理系统是一致的, 当且仅当, 不存在任何公式A, A和┐A都在这系统里可证.

(2) 一致性的语义定义: 一个公理系统是一致的, 当且仅当,

在这系统里可证的公式都是真的.

*由于A和┐A不能同真, 故该系统没有逻辑矛盾.

(3) 一致性的语法定义: 一个公理系统是一致的, 当且仅当, 并非任一合式公式都在这系统里可证.

*如果任一公式都在系统里可证, 当然A和┐A也都在系统里可证, 因之系统按古典意义是不一致的.

2. 一致性定理

一致性定理一: 命题演算是语义一致的. 命题演算的定理都是重言式.

证明的主要论证是:

(1) 命题演算的公理都是重言式.

(2) 应用命题演算的推演规则, 从重言式只能得到重言式.

因之可得结论: 命题演算的定理都是重言式.

逐步说明如下:

(1) 命题演算的公理都是重言式.

由3.3节的真值表可证4个公理都是重言式.

(2) 命题演算共有三个推演规则: 代入, 分离和定义置换. 现分别加以说明.

(甲) 应用代入规则, 从重言式只能得到重言式.

设φ(p)为一重言式, 其中含有命题变项p. 由于φ(p)为重言式, 故不论p取值真或假, φ(p)皆为真. 真值表如下: p φ(p)

0 1

1 1

再设A为任一公式, 根据代入规则, 以A代入p后得φ(A), 而φ不变. 由于不论A如何复杂, 其值不外乎真或假, 而

φ(p)是重言式, 因之, φ(A)的值都是真的. 真值表如下:

A φ(A)

0 1

1 1

可以看出, φ(A)也是一重言式.

(乙) 应用分离规则, 从重言式只能得到重言式.

设A和A→B皆为重言式, 则它们的值常真, 在→的真值表中

A B A→B

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

只有在第4种情况下, A和A→B同时为真, 而在这情况下, B 也为真. 如果A和A→B为重言式, 则它们的值常真, 那么B 的值也必为常真. 因之, B也是重言式.

(丙) 应用定义置换规则, 从重言式只能得到重言式.

由2.1节例2.4的真值表(5), (6)及德•摩根律(自己验证), 可

知定义A∧B⇔┐(┐A∨┐B), A→B⇔┐A∨B,

A↔B⇔(A→B)∧(B→A)的左右两方真值相同. 置换不改变真值, 置换后所得的公式和原公式真值也相同. 所以, 如原公式为重言式, 置换后的结果还是一个重言式.

根据以上结果, 可知命题演算的定理都是重言式.

一致性定理二: 命题演算是语法一致的. 并非任一公式都是命题演算的定理.

证明: 既然一切定理都是重言式, 那么, 非重言式, 例如:

p∨q 就不是定理.

一致性定理三: 命题演算在古典意义下是一致的. 对于任一公式A, A和┐A不能都是命题演算的定理.

证明: 对任一公式A, 有时A和┐A都不是重言式, 例如:

┐p∨q和┐(┐p∨q). 则A和┐A都不是命题演算的定理. 若A是重言式, 则┐A为矛盾式, 因而不是重言式, 则A是定理, 而┐A不是定理. 因而, 命题演算是古典意义下一致的.

二. 命题演算的完全性

*关于公理系统的另一个重要问题是, 它能不能包括某一范围里的一切真命题, 是不是完全的. 虽然有些公理系统是完全的, 很多公理系统却是不完全的. 但是即使不完全, 公理化方法和公理系统仍然是数学科学的有力工具, 有重要的价值.

1. 完全性的几种定义:

(1) 完全性的语义定义: 一公理系统是完全的, 当且仅当, 一切属于某一特定范围内的真命题都是在这系统里可证的. (2) 完全性的语法定义: 一公理系统是完全的, 当且仅当, 如果把一个推演不出的公式作为公理, 其结果, 所得的系统就是不一致的.

(3) 完全性的古典定义: 一公理系统是完全的, 当且仅当, 对任一合式公式A而言, 或者A是可证的, 或者┐A是可证的. *这种意义下的完全性是针对着某种公理系统而言的, 在这种系统里, 合式公式中没有自由变项. 命题演算不是这种公理系数. 在这种意义下, 命题演算不是完全的. 例如:

┐p∨q 和┐(┐p∨q) 都在命题演算中不可证.

2. 完全性定理

完全性定理一: 命题演算在语义意义下是完全的. 一切重言式在命题演算里都是可证的.

证明: 设A为一重言式.

A有一合取范式. 设A的合取范式为B, B也是一重言式, 并且B为B1∧B2∧…∧B n

B i (1≤i≤n)是简单析取, B i必是重言式.

因之, 每一B i里必有一变项π, 并且π和┐π都作为B i的支命题出现. 每一B i都具有形式π∨┐π∨C .

由定理4, p∨┐p可证, 再由附加规则, p∨┐p∨q 可证.