二次函数在闭区间上的最值(详解)

二次函数在闭区间上的最值

一、 知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设fx a x b xc a ()()=++≠2

0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a a c b a 2

442，、对称轴为x b a =-2 当a >0

时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a

f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。

（2）当[]-∉b a

m n 2，时 若-

m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[]

m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0

时，可类比得结论。 二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨

论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）

轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在

定区间上的最值”。

例1. 函数y x x =-+-242

在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++2

1

的最值。

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数

在动区间上的最值”。

例2. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]

t t ，+1上，求f x ()的最值。

例3. 已知2()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值．

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f

当a <0时⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称

这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x a x ()=++2

3的最值。

例5. (1) 求2

f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

4. 轴变区间变

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数

在动区间上的最值”。

例6. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。

（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7. 已知函数2

()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

例8.已知函数2

()2

x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

例9. 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-

⎢⎥⎣⎦

上的最大值为3，求实数a 的值。

二次函数在闭区间上的最值专题演练

1．函数y 12++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是 （ ）

)(A 1 ,3 )

(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）41-, 3 2．函数242-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是 （ ）

)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 2

3．函数5

482+-=x x y 的最值为 （ ）

)(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8

（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值

4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________

5．已知函数f xa x ax a ()()()[]

=+---22130322≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为_____________.

6．已知函数322+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是

（ ）

(A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞

7．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值.

8. 已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围。

9. 若函数2()(2)2(2)40f x a x a x x R =-+--<∈对一切恒成立，则a 的取值范围（ ）

A.(,2]-∞

B.[2,2]-

C.(2,2]-

D.(,2)-∞- 10.. 已知函数2()442f x x ax =++∞在(-,0]内单调递减，则a 取（ ）

A.3a ≥

B.3a ≤

C.a <-3

D.a 3≤- 11. 已知函数2()f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求k 的取值范围。

12. 已知函数2()23f x x x =-+在[0,m]上有最大值是3，最小值是2，求m 的取值范围。

13. 已知函数()f x =M ，最小值为m ，则M+m=________.

14. 已知函数22()44f x x ax a =-+-2a+2在[0,2]上的最小值为3，求a 的值。

15.求函数2

()2f x x x =-++3的单调区间。

16. 已知函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：

（1）定义域为{x Z ∈︱03}x ≤≤ （2）定义域为[-2,1].

17. 已知函数2()3,f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

18. 已知函数2()f x x =，2,x a -≤≤其中2a ≥，求该函数的最大值与最小值。