不等式高级水平必备教学文稿

不等式高级水平必备目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式Ch20. 3个对称变量pqr法Ch21. 3个对称变量uvw法Ch22. ABC 法 Ch23. SOS 法 Ch24. SMV 法 Ch25. 拉格朗日乘数法 Ch26. 三角不等式 Ch27. 习题与习题解析Ch1. 伯努利不等式1.1若实数i x （i 12n ,,...,=）各项符号相同，且i x 1>-，则：12n 12n 1x 1x 1x 1x x x ()()...()...+++≥++++ 1()1()当12n x x x x ...====时，1()式变为：n 1x 1nx ()+≥+ 2() Ch2. 均值不等式2.1若12n a a a ,,...,为正实数，记：⑴n Q =，为平方平均数，简称平方均值；⑵ 12nn a a a A n...+++=，为算术平均数，简称算术均值；⑶n G =，为几何平均数，简称几何均值； ⑷ n 12nnH 111a a a ...=+++，为调和平均数，简称调和均值.则：n n n n Q A G H ≥≥≥ 3()iff 12n a a a ...===时，等号成立. （注：iff if and only if =当且仅当.）Ch3.幂均不等式3.1设12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，实数r 0≠，则记：1r r rr12n r a a a M a n ...()⎛⎫+++= ⎪⎝⎭4()4()式的r M a ()称为幂平均函数.3.2若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，则：r s M a M a ()()≤ 5()当r s ≤时，5()式对任何r 都成立，即r M a ()关于r 是单调递增函数.5()3.3设12n m m m m (,,...,)=为非负实数序列，且12n m m m 1...+++=，若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，则：1m rrr rr1122n n M a m a m a m a ()(...)=+++ 6()6()式称为加权幂平均函数.3.4若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，对m r M a ()则：m m r s M a M a ()()≤即：11rrr sss sr1122n n 1122n n m a m a m a m a m a m a (...)(...)+++≤+++ 7() 当r s ≤时，7()式对任何r 都成立，即m r M a ()关于r 是单调递增函数.7()Ch4. 柯西不等式4.1若12n a a a ,,...,和12n b b b ,,...,均为实数，则：222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b (...)(...)(...)++++++≥+++ 8()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立.（注：iff if and only if =当且仅当.）4.2柯西不等式还可以表示为：222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≥ 9()简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方” 我们将1122n na b a b a b n...+++简称为积均值，记：n D =则：224n n n Q a Q b D ab [()][()][()]≥n D ab ()≥ 10() 4.3推论1：若a b c x y z ,,,,,为实数，x y z 0,,>，则：2222n 12n 1212n 12na a a a a ab b b b b b (...)......++++++≥+++ 11() iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 11()式是柯西不等式的推论，称权方和不等式4.4推论2：若12n a a a ,,...,和12n b b b ,,...,均为实数，则：...++≥12()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 4.5推论3：若a bc x y z ,,,,,为正实数，则：x y zb c c a a b y z z x x y()()()+++++≥+++ 13() Ch5. 切比雪夫不等式5.1若12n a a a ...≤≤≤；12n b b b ...≤≤≤，且均为实数.则：12n 12n 1122n n a a a b b b n a b a b a b (...)(...)(...)++++++≤+++ 14()iff 12n a a a ...===或12n b b b ...===时，等号成立. 12()由于有12n a a a ...≤≤≤，12n b b b ...≤≤≤条件，即序列同调， 所以使用时，常采用WLOG 12n a a a ...≤≤≤…… (注：WLOG Without Loss Of Generality =不失一般性) 5.2切比雪夫不等式常常表示为：12n 12n 1122n na a ab b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≤ 15()简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.即：两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 则：2n n n A a A b D ab ()()[()]≤n D ab ()≤ 16() Ch6. 排序不等式6.1若12n a a a ...≤≤≤；12n b b b ...≤≤≤为实数，对于12n a a a (,,...,)的任何轮换12n x x x (,,...,)，都有下列不等式：1122n n 1122n n n 1n 121n a b a b a b x b x b x b a b a b a b .........-+++≥+++≥+++ 17()17().其中，1122n n a b a b a b ...+++称正序和，n 1n 121n a b a b a b ...-+++称反序和，1122n n x b x b x b ...+++称乱序和. 故17()式可记为：18()6.2推论：若12n a a a ,,...,为实数，设12n x x x (,,...,)为12n a a a (,,...,)的一个排序，则：22212n 1122n n a a a a x a x a x ......+++≥+++ 19()Ch7. 琴生不等式7.1定义凸函数：对一切x y a b ,[,]∈，01(,)α∈，若函数f a b R :[,]→是向下凸函数，则：f x 1y f x 1f y (())()()()ααα+-≤+- 20()20()式是向下凸函数的定义式.注：f a b R :[,]→表示区间a b [,]和函数f x ()在a b [,]区间都是实数.7.2若f a b R :(,)→对任意x a b (,)∈，存在二次导数f x 0''()≥，则f x ()在a b (,)区间为向下凸函数；iff x a b (,)∈时，若f x 0''()>，则f x ()在a b (,)区间为严格向下凸函数. 7.3若12n f f f ,,...,在a b (,)区间为向下凸函数，则函数1122n n c f c f c f ...+++在在a b (,)区间对任何12n c c c 0,,...,(,)∈∞也是向下凸函数.7.4若f a b R :(,)→是一个在a b (,)区间的向下凸函数，设n N ∈，12n 01,,...,(,)ααα∈为实数，且12n 1...ααα+++=，则对任何12n x x x a b ,,...,(,)∈，有：1122n n 1122n n f x x x f x f x f x (...)()()...()αααααα+++≤+++ 21()21()简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”. Ch8. 波波维奇亚不等式8.1若f a b R :[,]→是一个在a b [,]区间的向下凸函数，则对一切x y z a b ,,[,]∈，有：x y z f x f y f z 2x y y z z xf f f f 333222()()()()[()()()]++++++++≥++ 22() 22()8.2波波维奇亚不等式可以写成：x y z f x f y f z x y y z z xf f f f 3322223()()()()()()()++++++++++≥23() 简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.3若f a b R :[,]→是一个在a b [,]区间的向下凸函数，12n a a a a b ,,...,[,]∈，则：12n 12n f a f a f a n n 2f a n 1f b f b f b ()()...()()()()[()()...()]++++-≥-+++ 24()其中：12n a a a a n...+++=，i j i j 1b a n 1≠=-∑（对所有的i ） 24()当1a x =，2a y =，3a z =，n 3=时，x y z a 3++=，1y z b 2+=，2z x b 2+=，3x yb 2+= 代入23()式得：x y z y z z x x yf x f y f z 3f 2f f f 3222()()()()[()()()]++++++++≥++ 即：x y z f x f y f z 2x y y z z xf f f f 333222()()()()[()()()]++++++++≥++ 25() 25()式正是22()式.Ch9. 加权不等式9.1若i a 0(,)∈∞，i 01[,]α∈（i 12n ,,...,=），且12n 1...ααα+++=，则：n 1212n 1122n n a a a a a a ......αααααα≤+++ 26()26()26()式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值.Ch10. 赫尔德不等式10.1若实数a b 0,>，实数p q 1,>且111p q+=，则：p q a b ab p q ≤+ 27() iff p q a b =时，等号成立.27()10.2若12n a a a ,,...和12n b b b ,,...为正实数，p q 1,>且111p q+=，则： 11p p pqqq pq1122n n 12n 12n a b a b a b a a a b b b ...(...)(...)+++≤++++++ 28()28()iff p p pn 12q q q 12na a ab b b ...===时，等号成立.10.3赫尔德不等式还可以写成：11p p p q q q p q1122n n 12n 12n a b a b a b a a a b b b n n n.........()()+++++++++≤ 29()即：2n p q D ab M a M b [()]()()≤n D ab ()≥ 30() 简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”.（注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是111p q+=，切比雪夫要求是同调；赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.）10.4若12n a a a ,,...、12n b b b ,,...和12n m m m ,,...为三个正实数序列，p q 1,>且111p q+=，则：11nnnpqp qi i i i i i i i 1i 1i 1a b m a m b m ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 31() 31()iff p p pn 12q q q 12na a ab b b ...===时，等号成立.10.5若ij a (i 12m ,,...,=;j 12n ,,...,=)，12n ,,...,ααα为正实数且...12n 1ααα+++=，则：()()jj m mnn ij ij j 1j 1i 1i 1a a αα====≤∏∏∑∑ 32()32()10.6推论：若123a a a N ,,+∈，123b b b N ,,+∈，123c c c N ,,+∈，则：3333333333123123123111222333a a a b b b c c c a b c a b c a b c ()()()()++++++≥++ 33()简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方”. Ch11.闵可夫斯基不等式11.1若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,为正实数，且p 1>，则：111nnnp p p pppi i i i i 1i 1i 1a b a b (())()()===+≤+∑∑∑ 34()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 34()11.2若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,为正实数，且p 1>，则：11nnn pp p p p pi i i i i 1i 1i 1a b a b ()()()===⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭∑∑∑ 35()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 35()11.3若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,；12n m m m ,,...,为三个正实数序列，且p 1>，则：111nnnp p p pppi i i i i i i i 1i 1i 1a b m a m b m (())()()===+≤+∑∑∑ 36()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 36()Ch12.牛顿不等式12.1若12n a a a ,,...,为任意实数，考虑多项式：n n 112n 01n 1n P x x a x a x a c x c x c x c ()()()...()...--=+++=++++ 37()的系数01n c c c ,,...,作为12n a a a ,,...,的函数可表达为：0c 1=；112n c a a a ...=+++；21213n 1n i j c a a a a a a a a ...-=+++=∑；（i j n <≤） 3i j k c a a a =∑；（i j k n <<≤） ……n 12n c a a a ...=.对每个k 12n ,,...,=，我们定义k k k k n c k n k p c C n !()!!-== 38() 则37()式类似于二项式定理，系数为：kk nk c C p =. 12.2若12n a a a ,,...,为正实数，则对每个k 12n 1,,...,=-有：2k 1k 1k p p p -+≤ 39()iff 12k a a a ...===时，等号成立.39()Ch13.麦克劳林不等式13.1若12n a a a ,,...,为正实数，按38()定义，则：111kn212k n p p p p ......≥≥≥≥ 40()iff 12k a a a ...===时，等号成立.40()Ch14.定义多项式14.1若12n x x x ,,...,为正实数序列，并设12n ,,...,ααα为任意实数.记：n 1212n 12n F x x x x x x (,,...,)...ααα=；12n T [,,...,]ααα为12n F x x x (,,...,)所有可能的积之和，遍及12n ,,...,ααα的所有轮换.14.2举例说明⑴ T 100[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是1，第2和第3个参数的指数是0.故：[,,]()!()()100100100T 10031x y z y x z z y x 2x y z =-⋅++=++.⑵ T 11[,]：表示共有2个参数的所有积之和，共有22!=项.第1个和第2个参数的指数是1.故：[,]()!()11T 1121x y 2xy =-⋅=.⑶ T 12[,]：表示共有2个参数的所有积之和，共有22!=项.第1个参数的指数是1，第2个参数的指数是2.故：[,]()!()121222T 1221x y y x xy x y =-⋅+=+.⑷ T 121[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是1，第2个参数的指数是2，第3个参数的指数是1.故：[,,]()222T 1212xy z x yz xyz =++.即：[,,][,,]T 121T 211=⑸ T 210[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是2，第2个参数的指数是1，第3个参数的指数是0.故：222222T 210x y x z y x y z z x z y [,,]=+++++.⑹ T 300[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是3，第2个和第3个参数的指数是0.故：333T 3002x y z [,,]()=++.⑺ [,,]T a b c ：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是a ，第2个参数的指数是b ，第3个参数的指数是c .故：[,,]a b c a c b b c a b a c c a b c b a T a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++.由于[,,][,,][,,][,,][,,]...T a b c T b c a T c a b T c b a T b a c =====表达式比较多，所以我们规定：[,,]T a b c （a b c ≥≥）.Ch15.舒尔不等式15.1若R α∈，且0β>，则：[,,][,,][,,]T 200T 2T 0αβαββαββ++≥+ ()41()4115.2 解析()41式[,,]()222T 2002x y z αβαβαβαβ++++=++；[,,]()T 2x y z x y z x y z αβββαβββααββ=++；[,,]T 0x y x y y z y z x z x z αβββαβαβββαββαβαββαββ+++++++=+++++将上式代入()41式得：222x y z x y z x y z x y z αβαβαβαβββαβββα++++++++x y x y y z y z x z x z αβββαβαβββαββαβαββ++++++≥+++++即：222y x y z z x y x z x y z αβααββαβαβββββα++++++++y x y y z x y x z 0z x z βαβββααββαβββαβαββ++++++------≥即：()()22x x y z x y x z y y x z x y y z αβββββββαβββββββ++--+--()2z z x y y z x z 0αβββββββ++-≥-即：()()()()()()x x y x z y y z y x z z x z y 0αββββαββββαββββ--+--+--≥ ()42()42式与()4115.3若实数,,x y z 0>，设t R ∈，则：()()()()()()t t t x x y x z y y z y x z z x z y 0--+--+--≥ ()43iff x y z ==或,x y z 0==及轮换，等号成立.按照()41式写法，即：t α=，1β=，则：[,,][,,][,,]T t 200T t 112T t 110++≥+ ()44()43式是我们最常见的舒尔不等式形式.15.4推论：设实数,,x y z 0>，实数,,a b c 0>且a b c ≥≥或a b c ≤≤，则：()()()()()()a x y x z b y z y x c z x z y 0--+--+--≥ ()45()43式中，t x a =，t y b =，t z c =，就得到()45式.15.5推论：设实数,,x y z 0>，则：[()()()]3333332223xyz x y z 2xy yz zx +++≥++ ()4615.6推论：若(,]k 03∈，则对于一切,,a b c R +∈，有：()()()2222k 3k k abc a b c 2ab bc ca -++++≥++ ()47Ch16. 定义序列16.1设存在两个序列()(,,...,)n i i 112nββββ==和()(,,...,)n i i 112n αααα==，当满足下列条件： ⑴ ......12n 12n βββααα+++=+++ ①⑵ ...12n βββ≥≥≥且...12n ααα≥≥≥ ②⑶ ......12s 12s βββααα+++≤+++ ③对一切[,]s 1n ∈，③式都成立.则：()n i i 1β=就是()n i i 1α=的优化值，记作：()()i i βα<.注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较.Ch17.缪尔海德不等式17.1若,,...,12n x x x 为非负实数序列，设()i α和()i β为正实数序列，且()()i i βα<，则：[][]i i T T βα≤ ()48iff ()()i i αβ=或...12n x x x ===时，等号成立.()4817.2解析()48式若实数123a a a 0≥≥≥，实数123b b b 0≥≥≥，且满足11a b ≥，1212a a b b +≥+，123123a a a b b b ++=++；设,,x y z 0>，则：满足序列(,,)(,,)123123b b b a a a <条件， 则：[,,]333333121221211221b b b b b b b b b b b b b b b b b b 123T b b b x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++[,,]333333121221211221a a a a a a a a a a a a a a a a a a 123T a a a x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++ 即()48式为： [,,][,,]123123T b b b T a a a ≤用通俗的方法表达即：331212a b a a b b sym sym x y z x y z ≥∑∑ ()49()49.17.3例题：设(,,)x y z 为非负变量序列，考虑(,,)221和(,,)311.由16.1中的序列优化得：(,,)(,,)221311< 由缪尔海德不等式()48式得：[,,][,,]T 221T 311< ①[,,]()222222T 2212x y z x yz xy z =++ ②[,,]()333T 3112x yz xy z xyz =++ ③将②③代入①得：222222333x y z x yz xy z x yz xy z xyz ++≤++即：222xy yz zx x y z ++≤++ ④由柯西不等式：()()()2222222x y z y z x xy yz zx ++++≥++即：()()22222x y z xy yz zx ++≥++即：222x y z xy yz zx ++≥++ ⑤ ⑤式④式等价，这就证明了④式是成立的，而缪尔海德不等式直接得到①式是成立的. ⑤式可以用[,,][,,]T 200T 110≥来表示，这正是缪尔海德不等式的()48式.Ch18.卡拉玛塔不等式18.1设在实数区间I R ∈的函数f 为向下凸函数，且当,i i a b I ∈（,,...,i 12n =）两个序列()n i i 1a =和()n i i 1b =满足()()i i a b >，则：()()...()()()...()12n 12n f a f a f a f b f b f b +++≥+++ ()50()5018.2若函数f 为严格向下凸函数，即不等取等号，()()i i a b ≠，且()()i i a b >，则：()()...()()()...()12n 12n f a f a f a f b f b f b +++>+++ ()51若函数f 为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式反向.Ch19.单调函数不等式19.1若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为单调增函数，则当x y ≥时，有()()f x f y ≥；若f 在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为严格单调增函数，当x y >时，有()()f x f y >.19.2若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为单调减函数，则当x y ≥时，有()()f x f y ≤；若f 在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为严格单调减函数，当x y >时，有()()f x f y <.19.3若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 为可导函数，当对一切(,)x a b ∈，'()f x 0≥，则f 在区间(,)a b 为单调递增函数；当对一切(,)x a b ∈，'()f x 0≤，则f 在区间(,)a b 为单调递减函数.19.4设两个函数:[,]f a b R →和:[,]g a b R →满足下列条件：⑴ 函数f 和g 在[,]a b 区间是连续的，且()()f a g a =；⑵ 函数f 和g 在[,]a b 区间可导；⑶ 导数'()'()f x g x >对一切(,)x a b ∈成立，则对一切(,)x a b ∈有：()()f x g x > ()52()52Ch20.3个对称变量pqr 法20.1设,,x y z R +∈，对于具有变量对称形式的不等式，采用下列变量代换：p x y z =++；q xy yz zx =++；r xyz =，则,,p q r R +∈.代换后的不等式(,,)f p q r ，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法称为pqr 法.20.2常用的代换如下：⑴ 22cycx p 2q =-∑⑵ ()32cycx p p 3q 3r =-+∑⑶ 222cycx y q 2pr =-∑⑷ ()()()x y y z z x pq r +++=-⑸ ()()2cycx y y z p q ++=+∑⑹ ()cycxy x y pq 3r +=-∑⑺ ()()()1x 1y 1z 1p q r +++=+++⑻ ()()cyc1x 1y 32p q ++=++∑⑼()()2cyc cycx y z xy x y pq 3r +=+=-∑∑20.3常用的pqr 法的不等式若,,x y z 0≥，则：⑴ 3p qr 4pq +≥⑵ pq 9r ≥⑶ 2p 3q ≥⑷ 3p 27r ≥⑸ 32q 27r ≥⑹ 2q 3pr ≥⑺ 32p 9r 7pq +≥⑻ 322p 9r 7pqr +≥⑼ 22p q 3pr 4q +≥Ch21.3个对称变量uvw 法21.1在,,a b c R ∈的不等式中，采用下列变量代换：3u a b c =++；23v ab bc ca =++；3w abc =.上述变换强烈含有“平均”的意味：u 对应“算术平均值”；v 对应“积均值”；w 对应“几何平均值”.21.2当,,a b c 0≥时，则：u v w ≥≥ ()53()53即：“算术平均值”≥“积均值”≥“几何平均值”.21.3若,,a b c 0≥，则,,23u v w 0≥ ()54()5421.4若,,23u v w R ∈，任给,,a b c R ∈，则当且仅当22u v ≥，且[32323w 3uv 2u 3uv 2u ∈---+时， 则：3u a b c =++，23v ab bc ca =++，3w abc =等式成立.这称为uvw 定理.Ch22.ABC 法22.1 ABC 法即Abstract Concreteness Method设p x y z =++；q xy yz zx =++；r xyz =.则函数(,,)f x y z 变换为(,,)f r q p .这与Ch20.3个对称变量pqr 法类似.22.2若函数(,,)f r q p 是单调的，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值. 22.3若函数(,,)f r q p 是凸函数，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值. 22.4若函数(,,)f r q p 是r 的线性函数，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值. 22.5若函数(,,)f r q p 是r 的二次三项式，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值.Ch23.SOS 法23.1 SOS 法即Sum Of Squares23.2本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式：()()()222a b c S S b c S a c S a b =-+-+- ()55其中，,,a b c S S S 分别都是,,a b c 的函数.⑴ 若,,a b c S S S 0≥，则S 0≥；⑵ 若a b c ≥≥或a b c ≤≤，且,,b b a b c S S S S S 0++≥，则S 0≥； ⑶ 若a b c ≥≥或a b c ≤≤，且,,,a c a b c b S S S 2S S 2S 0++≥，则S 0≥； ⑷ 若a b c ≥≥，且,,22b c b a S S a S b S 0+≥，则S 0≥；⑸ 若a b S S 0+≥或b c S S 0+≥或c a S S 0+≥，且a b b c c a S S S S S S 0++≥，则S 0≥. 23.3 常用的形式⑴ ()22cyc cyc cyc1a ab a b 2-=-∑∑∑ ⑵ ()32cyccyc cyc 1a 3abc a a b 2-=⋅-∑∑∑ ⑶ ()223cyc cyc cyc1a b ab a b 3-=-∑∑∑ ⑷ ()()322cyc cyc cyc1a a b 2a b a b 3-=+-∑∑∑ ⑸ ()333cyc cyccyc cyc 1a b ab a b a 3-=⋅-∑∑∑∑ ⑹ ()()42222cyc cyc cyca ab 2a b a b -=+-∑∑∑ Ch24.SMV 法24.1 SMV 法即Strong Mixing Variables Method本法对多于2个变量的对称不等式非常有用.24.2 设(,,...,)12n x x x 为任意实数序列，⑴ 选择,{,,...,}i j 12n ∈使min{,,...,}i 12n x x x x =，max{,,...,}j 12n x x x x =； ⑵ 用其平均数i j x x 2+代替i x 和j x ，经过多次代换后各项i x （,,...,i 12n =）都趋于相同的极限...12n x x x x n+++=. 24.3 设实数空间的函数F 是一个对称的连续函数，满足(,,...,)(,,...,)12n 12n F a a a F b b b ≥ ()56其中，(,,...,)12n b b b 序列是由(,,...,)12n a a a 序列经过预定义变换而得到的.预定义变换可根据当前的题目灵活采用，如a b 2+. 24.4 例题说明例题：设实数,,a b c 0>，证明：a b c 3b c c a a b 2++≥+++. 解析：采用SMV 法. 设：(,,)a b c f a b c b c c a a b =+++++ ① 则：(,,)t t c 2t c f t t c t c c t t t t c 2t =++=+++++ ② 其中，a b t 2+=. 由②得：(,,)()()2t c 112t c t 113f t t c 2t c 2t 22t c 2t 222+=++-=+-≥-=++ 由()56式得：(,,)(,,)3f a b c f t t c 2≥≥证毕. Ch25.拉格朗日乘数法25.1 设函数(,,...,)12n f x x x 在实数空间的I R ∈连续可导，且(,,...,)i 12n g x x x 0=，其中（,,....i 12k =），即有k 个约束条件，则(,,...,)12n f x x x 的极值出现在I 区间的边界或偏导数（函数为ki i i 1L f g λ==-∑）全部为零的点上.Ch26.三角不等式26.1 设,,(,)0αβγπ∈，且αβγπ++=，则,,αβγ就是同一个三角形的内角. 26.2 若,,αβγ为同一个三角形的内角，则有下列不等式：⑴ sin sin sin αβγ++≤； ⑵ cos cos cos 32αβγ++≤；⑶ sin sin sin αβγ≤⑷ cos cos cos 18αβγ≤； ⑸ sin sin sin 22294αβγ++≤； ⑹ cos cos cos 22234αβγ++≥；⑺ tan tan tan αβγ++≥；⑻ cot cot cot αβγ++≥ ⑼ sin sin sin 32222αβγ++≤；⑽ coscos cos 2222αβγ++≤； ⑾ sin sin sin 12228αβγ≤；⑿ cos cos cos 2228αβγ≤； ⒀ sin sin sin 22232224αβγ++≥； ⒁ cos cos cos 22292224αβγ++≤；⒂tan tantan222αβγ++≥⒃cotcotcot222αβγ++≥Ch27.习题27.1 设,,...,(,]12n x x x 01∈，求证：()()...()321111x x x n 12n 1x 1x 1x 2+++≥.27.2 设,,...,12n x x x 0≥，且...12n 1x x x 2+++=，求证：()()...()12n 11x 1x 1x 2---≥. 27.3 设,,...,12n a a a R +∈，且...12n a a a 1=......12n a a a +≤+++. 27.4 设,,a b c 0>，且abc 1=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++. 27.5 设,,,a b c d 0>，求证：a b c d 2b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3+++≥++++++++.27.6 设,,a b c 0>，求证：222a bc b ca c aba b c b c c a a b+++++≥+++++. 27.7设,a b 0>，n N ∈，求证：()()n n n 1a b112b a++++≥.27.8 设,,...,12n x x x R +∈，且...22212n x x x 1+++=，若n N ∈，n 2≥，求(,,...,)...()()()555n 1212n nnni 1i 2i ni 1i 1i 1x x x f x x x x x x x x x ====+++---∑∑∑的最小值.27.9 设,,a b c R +∈，且a b c abc ++=32++≤. 27.10 设,,a b c R ∈≥27.11设,,a b c R +∈，且ab bc ca 3++=,求证：()()()2221a 1b 1c 8+++≥.27.12设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：()()3332226a b c 15a b c +++≥++. 27.13设,,a b c 0≥，且a b c 2++=，求证：444333a b c abc a b c +++≥++.27.14设,,a b c 0>，求证：()()()()3333338a b c a b b c c a ++≥+++++. 27.15设,,a b c 0≥，求证：()33331a b c abc a b c 7+++≥++. 27.16设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：2224a b c 3abc 9+++≥. 27.17设,,...,12n a a a 0>，求证：()()...()()()...()222n 1212n 231a a a 1a 1a 1a 111a a a +++≤+++.27.18设,,,a b c d 0>，且abcd 1=，求证：()()()()2222111111a 1b 1c 1d +++≥++++.27.19设,,,a b c d 0≥，且a b c d 4+++=，求证：()()()()2222abc bcd cda dab abc bcd cda dab 8+++++++≤.27.20设,,a b c 0≥，且222a b c 3++=，求证：222222a b b c c d a b c ++≤++.27.21设,,a b c R ∈，求证：()()()2222223333333a ab b b bc c c ca a a b b c c a -+-+-+≥++.27.22设,,,a b c d 0>，且a b c d abcd 5++++=，求证：11114a b c d+++≥.27.23设不等式：()()()()2222222222ab a b bc b c ca c a M a b c -+-+-≤++对一切实数,,a b c 都成立，求M 的最小值.27.24设,,a b c 0≥，且a b c 3++=，求证：()()222a b b c c a ab bc ca 9++++≤.Ch27.习题解析27.1 设,,...,(,]12n x x x 01∈，求证：()()...()321111x x x n 12n 1x 1x 1x 2+++≥.解析：设：n 11x x +=，则：因为i x 01(,]∈，所以i11x [,)∈+∞ （i 12n ,,...,=） 由伯努利不等式2()：当i x 1>-且i 1[,)α∈+∞时，i i i i 1x 1x ()αα+≥+ ①iff i x 0=或i 1α=时，①式等号成立.由均值不等式3()：i i 1x α+≥ ②iff i i x 1α=时，②式等号成立.由①②式得：i i 1x ()α+≥ ③iff i i x 1α==时， ③式等号成立.设：i i 11x α+=，则由③式得：i 11x i 1x ()++≥ ④则：21x 11x ()+≥31x 21x ()+≥11x n 1x ()+≥上面各式相乘得：321111x x x n 12n 1x 1x 1x 22()()...()+++≥=. 证毕.27.2 设,,...,12n x x x 0≥，且...12n 1x x x 2+++=，求证：()()...()12n 11x 1x 1x 2---≥. 解析：因为i x 0≥，ni i 11x 2==∑，所以i 1x 02[,]∈ 设i i y x =-，则i 1y 012[,]∈->-由伯努利不等式1()：12n 12n 1y 1y 1y 1y y y ()()...()(...)+++≥++++ ① 将i i y x =-代入①式，并代入...12n 1x x x 2+++=得： 12n 12n 111x 1x 1x 1x x x 122()()...()(...)---≥-+++=-=. 证毕.27.3 设12n a a a 0,,...,>，且...12n a a a 1=......12n a a a +≤+++. 解析：因为12n a a a 0,,...,>，且...12n a a a 1=，所以由均值不等式3()n ...+=1≥ ①iff 12n a a a 1...====时，①式等号成立.由柯西不等式8()：2222222111...](...)...++++++≥即：212n a a a n (...)...+++⋅≥即：12n a a a (...)...+++≥+ ②iff 12n a a a 1...====时，②式等号成立.将①式代入②式得：12n a a a ......+++≥+ ③iff 12n a a a 1...====时， ③式等号成立. 证毕.27.4 设,,a b c 0>，且abc 1=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++. 解析：因为,,a b c 0>，且abc 1=，所以由均值不等式3()：222222222a b b c c a a b c ab bc ca 222+++++=++≥++ ① iff a b c 1===时，①式等号成立.由均值不等式3()：a b c 3++≥=，即：a b c13++≥ ② iff a b c 1===时，②式等号成立.WLOG ，设a b c ≤≤，则因为,,a b c 0>，所以222a b c ≤≤由切比雪夫不等式14()：222222a b c a b c 3a a b b c c ()()()++++≤⋅+⋅+⋅ 即：333222a b ca b c a b c 3()++++≥⋅++ ③ iff a b c 1===时，③式等号成立.将①②代入③式得：333a b c ab bc ca ++≥++ ④iff a b c 1===时， ④式等号成立. 证毕.27.5 设,,,a b c d 0>，求证：a b c d 2b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3+++≥++++++++.解析：记A b 2c 3d =++，B c 2d 3a =++，C d 2a 3b =++，D a 2b 3c =++则：aA bB cC dD 4ab ac ad bc bd cd ()+++=+++++ ① 待证式为：a b c d 2A B C D 3+++≥ ② 由柯西不等式8()：2a b c daA bB cC dD a b c d A B C D()()()++++++≥+++ 即：2a b c d a b c d A B C D aA bB cC dD ()++++++≥+++ ③由②③式，只需证明2a b c d 2aA bB cC dD 3()+++≥+++ ④ 设多项式：P x x a x b x c x d ()()()()()=++++43201234c x c x c x c x c =++++则： 1c a b c d =+++ ⑤2c ab ac ad bc bd cd =+++++代入①式得：2aA bB cC dD 4c +++= ⑥ 根据定义38()：k k k nc p C =得：11114c c p C 4==，即：11c 4p =；22224c c p C 6==，即：22c 6p =则：2221112222c 16p p 24c a b cd aA bB cC 6p 3D p d 4()==⋅++⋅+++=+ ⑦ 由麦克劳林不等式40()：1212p p ≥，即：212p 1p ≥代入⑦式得：2a b c d aA bB c dD 23C ()++++≥++，④式得证. iff a b c d ===时，等号成立. 证毕.27.6 设,,a b c 0>，求证：222a bc b ca c aba b c b c c a a b +++++≥+++++.解析：不等式左边=222a b c b c c b c c b c a c a a b ba a ab +++++++++++ 不等式右边=()()()a c ab a bc b c a b c c a a b b c +++++=+++++222ab a ac b c c a b c c a a b b c ca b b =+++++++++++ 则不等式其实就是：222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++ ① 由于是对称不等式，WLOG ，假设a b c ≥≥，则222a b c ≥≥ ②且b c a c a b +≤+≤+，即：111b c c a a b ≥≥+++③ 则有排序不等式()18：222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 其中，222a b c b c c a a b +++++为正序和；222c a b b c c a a b+++++为乱序和. iff a b c ==时，等号成立. 证毕.27.7设,a b 0>，n N ∈证：()()n n n 1a b112b a++++≥.解析：当n 0=时，()()00a b112b a+++=，0122+=，不等式成立；当n 1=时，()()11a b a b1124b a b a+++=++≥，1124+=，不等式成立；当n 2≥时，构建函数()n f x x =. 则函数的导数'()n 1f x nx -=；二次导数''()()n 2f x n n 1x 0-=-≥，故在x 0>时函数为向下凸函数. 由琴生不等式()20：()()()1212f x f x x x f 22++≥ ①将()()n 1a f x 1b =+，()()n 2bf x 1a=+ ，()()()[][()]n n n 12b a 11x x 1b a a b f 12222a b++++==++≥ 带入①式得：()()n nn a b11b a 22+++≥，即：()()n n n 1a b 112b a ++++≥ 综上，当n 0=、n 1=和n 2≥时， ()()n n n 1a b112b a ++++≥都成立,即n N ∈时，()()n n n 1a b112b a++++≥成立. 证毕.27.8 设,,...,12n x x x R +∈，且...22212n x x x 1+++=，若n N ∈，n 2≥，求(,,...,)...()()()555n 1212n nnni 1i 2i ni 1i 1i 1x x x f x x x x x x x x x ====+++---∑∑∑的最小值.解析：记ni i 1S x ==∑，（,,...,i 12n =）.则(,,...,) (555)n 1212n 12nx x x f x x x S x S x S x =+++---①WLOG 假设...12n x x x ≥≥≥，则...44412n x x x ≥≥≥ ② 由于ni i 1S x ==∑，所以()nk i k i 1S x x x =-=-∑与k x 无关，则kkx S x -与k x 同单调性. 即：...n 1212nx x x S x S x S x ≥≥≥--- ③ 由切比雪夫不等式14()：若(,,...,)12n a a a 与(,,...,)12n b b b 同单调性，则有：12n 12n 1122n n a a a b b b n a b a b a b (...)(...)(...)++++++≤+++ ④设：4i i a x =，ni nx b S x =-，（,,...,i 12n =），则满足{}i a 与{}i b 同单调性. 代入④式得：(...)(...)(...)4444n n 111n 1n 1n 1nx x x x x x n x x S x S x S x S x ++++≤⋅++⋅----即：......()(...)5445n 1n n 111n 1n x x x x x xf S x S x n S x S x ++=++≥⋅++---- ⑤由均值不等式()3：n n Q A ≥...221n x x 1n n ++≥=故：...441n 1x x n++≥ ⑥ 构建函数：()xg x S x=- ⑦ 则导函数：'()()2S g x S x =-，''()()32Sg x 0S x =>- 故()g x 为向下凸函数.由琴生不等式21()：(...)()()...()1122n n 1122n n g x x x g x g x g x αααααα+++≤+++ 取加权i 1nα=（,,...,i 12n =）时，上式变为： ...()()...()()12n 12n x x x g x g x g x g n n++++++≤ ⑧即：...()()...()()12n12n x x x g x g x g x n g n++++++≥⋅即：.........12n n 112n 1nx x x Sx x n n n n n x x x S S x S x n 1S S n n +++++≥⋅=⋅=+++-----⑨ 将⑥和⑨式代入⑤式得：...()55n 11n x x 11n 1f S x S x n n n 1n n 1=++≥⋅⋅=---- 故：(,,...,)12n f x x x 的最小值是()1n n 1-.27.9 设,,a b c R +∈，且a b c abc ++=32++≤. 解析：在圆锥曲线里，椭圆方程为：2222x y 1ab+=时，常常采用的参数方程是：cos x a θ=，sin y b θ=，因为将它带入方程时满足cos sin 221θθ+=，这个三角函数的基本关系. 对于三角形的内角,,A B C ，同样有关系A B C π++=和tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=. 而本题初始条件a b c abc ++=.设tan a A =.tan b B =，tan c C =，因为,,a b c R +∈，所以,,(,)A B C 02π∈ ①则当,,A B C 为三角形的内角时，A B C π++=， tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=满足条件. 带入不等式左边得：=cos cos cos A B C =++ ②构建函数()c o s f x x=-，则在(,)x 02π∈区间函数()f x 为向下凸函数， 故由琴生不等式21()得：函数值的均值不小于均值的函数值.1122n n 1122nf x x x f x f x f x (...)()()...()αααααα+++≤+++ ③当加权...12n 1nααα====时，③式变为： ()()...()...()12n 12nf x f x f x x x x f n n++++++≥即：()()()()f A f B f C A B Cf 33++++≥ ④即：c o s c o s c o s c o s ()c o s A B C A B C 13332π++++-≥-=-=-即：c o s c o s c o s 3A B C 2++≤ ⑤32≤. 证毕.27.10 设,,a b c R ∈2≥.解析：因为,,a b c R ∈，由柯西不等式12()式...+≥=≥==.≥证毕. 27.11设,,a b c R +∈，且ab bc ca 3++=,求证：()()()2221a 1b 1c 8+++≥. 解析：对赫尔德不等式32()：jjm nn mijij i 1j 1j 1i 1aa ()()αα====≤∑∏∏∑ 32()当 n 4=，m 4=，123414αααα====时，32()式为： ()()()()1111444411121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a +++[()()()()]1411213141122232421323334314243444a a a a a a a a a a a a a a a a ≤++++++++++++即：()()()()11213141122232421323334314243444a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++[()()()()]11114444411121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ≥+++ ①设：11a 1=，221a a =，231a b =，2241a a b =；12a 1=，2222a c a =，232a c =，242a a =； 13a 1=，223a c =，2233a b c =，243a b =；14a 1=，24a 1=，34a 1=，44a 1=.代入①式得：()()()()2222222222221a b a b 1c a c a 1c b c b 1111+++⋅+++⋅+++⋅+++[()()()()]1111222222222222444441111a c a c 1b c b c 1a b a b 1≥⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ()41ac bc ab =+++ ②②式就是赫尔德不等式.()()()2222221a 1b 1c +++()()()()()()2222221a 1b 1c 1a 1b 1c =++⋅++⋅++()()()2222222222221a b a b 1c a c a 1b c b c =+++⋅+++⋅+++()()()()222222222222222211a b a b 1c a c a 1b c b c 11114=+++⋅+++⋅+++⋅+++ ()()()()222222222222222211a b a b 1c a c a 1c b c b 11114=+++⋅+++⋅+++⋅+++ 将②式代入上式得：(())()()2222224111a 1b 1c 4ac bc ab ++++++≤开方出来即：()()()()222211a 1b 1c 21ac bc ab ++++++≤③ 将ab bc ca 3++=代入③式得：()()(())222211a 1b 1c 8213++++=≤. iff a b c 1===时等号成立. 证毕.27.12设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：()()3332226a b c 15a b c +++≥++. 解析：采用pqr 法.设：p a b c =++，q ab bc ca =++，r abc =，则：p 1=⑴22cycx p 2q=-∑； ⑵ ()32cycx p p 3q 3r =-+∑则：2222a b c p 2q ++=-；()3332a b c p p 3q 3r 13q 3r ++=-+=-+于是，待证式变为：()()2613q 3r 15p 2q -++≥-即：28q 18r 0-+≥，即：14q 9r 0-+≥，即：3p 4pq 9r 0-+≥ ①⑴ 3p qr 4pq +≥，即：3p 4pq 9r 0-+≥ 故：①式成立，即待证式成立. 证毕.27.13设,,a b c 0≥，且a b c 2++=，求证：444333a b c abc a b c +++≥++. 解析：由舒尔不等式()43：()()()()()()t t t x x y x z y y z y x z z x z y 0--+--+--≥ ①即：()()()t 2t 2t 2x x xy xz yz y y yz xy zx z z zx yz xy 0--++--++--+≥ 即：()()()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1x x yz y y zx z z xy x y z y z x z x y ++++++++≥+++++ 即：()()()t 2t t 2t t 2t t 1t 1t 1x x yz y xy z z xyz x y z y z x z x y +++++++++++≥+++++ 即：()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1t 1t 1t 1x y z x y z xyz x y z y z x z x y +++---++++++++≥+++++ 两边都加t 2t 2t 2x y z +++++得：()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1t 1t 1t 12x y z x y z xyz x y z x y z +++---++++++++≥++++ ② ②式就是舒尔不等式.设t 2=，代入②式得：()()()()4443332x y z x y z xyz x y z x y z +++++≥++++ 将a b c 2++=代入上式得：()()4443332x y z 2xyz 2x y z +++≥++ 即：444333a b c abc a b c +++≥++ ③ ③式就是我们要证明的不等式. 证毕.。