数列文科专题复习
高考文科数列知识点总结
高考文科数列知识点总结数列是数学中的一个重要概念，在高考文科数学中也是一项必考内容。
数列是由一系列按照某个规律排列的数字或数学表达式组成的，它有着广泛的应用。
本文将对高考文科数列知识点进行总结，包括数列的基本概念、常见类型的数列及其性质、数列的求和公式等。
一、数列的基本概念数列是指按照一定的规律将一系列数字或数学表达式排列在一起形成的序列。
其中，每一项被称为数列的项，用$a_n$表示。
数列还具有首项($a_1$)、公差($d$)和项数($n$)等重要概念。
首项是数列中的第一项，公差是指相邻两项之间的差值，项数是数列中项的个数。
二、等差数列及其性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
其通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$为数列的第$n$项，$a_1$为首项，$d$为公差。
等差数列有一系列重要的性质，例如，相邻两项之间的差值是常数，任意三项的中项等于前后两项的平均值等。
三、等比数列及其性质等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。
其通项公式为$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$，其中$a_n$为数列的第$n$项，$a_1$为首项，$r$为公比。
等比数列也具有一些重要的性质，例如，相邻两项之间的比值是常数，任意三项之间的比值等于公比的平方等。
四、斐波那契数列及其性质斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$。
斐波那契数列有着许多有趣的性质，例如，相邻两项之间的比值越来越接近黄金分割比例。
五、数列的求和公式数列的求和是数列研究中的一个重要内容。
对于等差数列和等比数列来说，我们可以通过求和公式得到数列的和。
等差数列的求和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$S_n$为数列的前$n$项和。
2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题(微专题)(解析版)
数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.4(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5,S 9=81，数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n a n +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .5(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．2【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；log，求数列{b n}的前n项和T n．(2)若b n=-1n⋅2a2n+12【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.n n+13(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.2(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n前n项和满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n的通项公式；和数列b n(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数 ，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。
高三文科数学第一轮复习数列专题.docx
数列专题姓名： _____________ （一）数列求和学号： _____________1．公式法。
（直接用等差、等比数列的求和公式求和）n(a 1a n )n(n 1)na 1 (q 1)na 1 ； S nn ) (q 1)S n22da 1 (1 q公比含字母时一定要讨论1 q例 1（1）：已知等差数列．．．． { a n } 满足 a 1 1, a 23 ，求前 n 项和 S n ．例 1（2）：已知等比数列．．．． { a n } 满足 a 11, a 2 3 ，求前 n 项和 S n ．练习 1（ 1） .设 f (n)2 2427210L23 n 10 ( nN ) ，则 f (n) 等于（）A. 2(8n1) B.2 (8n 1 1) C.2(8n 3 1)D. 2 (8n 41)777 7练习 1（ 2） . 求和： 1+ 3 + 7 + 9 + K + (2 n - 1)2．分组求和法c n = a n + b n ， a n 、 b n 是等差或等比数列，则采用分组求和法1111 例 3：求数列1， 2+， 3+ ， 4++⋯ + nn 1 的前 n 项和 S n ．2 482练习 2（1）：已知数列 { a n } 是 3＋ 2－1,6＋ 22－ 1,9＋ 23－ 1,12＋24 －1，⋯，写出数列 { a n } 的通项公式并求其前 n 项和 S n ．练习 2（ 2）：求和： (2 - 3? 5- 1 ) (4 - 3? 5- 2 ) L + (2 n - 3? 5- n ) ．3．错位相减法：（乘以式中的公比q ，然后再进行相减） a n等差 , b n等比 , 求 a1b1 a 2b2a n b n的和 .例 3．求和S n 1 2x 3x2L nx n 1（ x 1 0 ）（提示：分类讨论， x1和 x 1 两种情况）练习 3（ 1）化简：S n 1 21 2 2 2n2n123n练习 3(2) ．求和：S n23na a a a练习3(3). 设{ a n}是等差数列，{b n } 是各项都为正数的等比数列，且a1b1 1 ， a3b521 ，a5 b3 13 （Ⅰ）求 { a n} ， { b n } 的通项公式；（Ⅱ）求数列a n的前 n 项和S n．b n4．裂项相消法 ( 把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项)常见拆项：1 11；1 1 ( 1 1 ) 1= 1 ( 1- 1 )n(n 1) nn 1n(n2)2 n n 2 ； n(n + k) k n n + k11111111]()[(2n 1)( 2n 1) 2 2n 1 2n 1 ； n(n 1)( n2) 2 n(n 1) ( n 1)(n2)例 4（1）．数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a n1，则 S 5 等于（ ）n(n 1)A ． 1B ．5C ．1D ．16630例 4（2） . 已知数列 { a n } 的通项公式为 a n1，求前 n 项的和．nn11，求前 n 项的和．练习 4（ 1）．已知数列 { a n } 的通项公式为 a nn(n 1)练习 4（ 2）．若数列的通项公式为 b n1n 项和为 _________．,则此数列的前 (2n1) (2n 1)练习 4（ 3）已知数列a n: 1 ,12 , 1 23 , ⋯ , 1 2 3 L 9, ⋯ , 若 b n 1，23 34 4410 10 1010a nan 1那么数列 b n 的前 n 项和 S n 为（）A ．n B． 4n C.3n D． 5n n1n 1n 1n 1练习 4（ 4）．已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝n1，设 T n11 L1 ，求 T n ．2a 1 a 3a 2 a 4a nan 2练习 4（ 5）．求 11 1 14 1,(n N * ) 。
高三数列知识点文科版
高三数列知识点文科版数列是数学中常见的一种数学对象，是由一系列按照一定规律排列的数字所构成的序列。
在文科学科中，数列的概念及其相关知识点也是不可忽视的一部分。
本文将介绍高三数列知识点的相关内容。
一、数列的概念与性质数列是由一系列按照一定规律排列的数字所构成的序列。
其中，每个数字称为数列的项，用an表示。
数列的通项公式表示了数列中各项之间的关系，常用的有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是一种公差为常数的数列，即数列中每一项与它的前一项之差都相等。
通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列等比数列是一种比值为常数的数列，即数列中每一项与它的前一项之比都相等。
通项公式为an = a1 × r^(n - 1)，其中，a1为首项，r为公比，n为项数。
数列的性质包括有限数列和无限数列、单调性、有界性和极限等。
二、数列的应用数列作为一种基本的数学工具，在文科学科中有着广泛的应用。
下面列举几个常见的数列应用场景。
1. 金融领域在金融领域中，数列常用于计算复利增长问题。
例如，银行的定期存款利率为6%，每年计算一次利息，那么每一年的本息总量可以用等比数列来表示。
2. 人口统计在人口统计工作中，数列可以用来描述人口的增长或减少情况。
通过分析数列的特征，可以预测未来的人口发展趋势。
3. 历史研究在历史研究领域，数列可以用来揭示历史事件发展的规律。
通过构建适当的数列模型，可以将历史事件与时间、地点等因素联系起来，帮助研究人员深入了解历史的发展过程。
三、数列的解题方法解题是数列学习中的重要环节，只有掌握了解题方法，才能在高考中灵活运用数列知识。
1. 数列的推导数列的推导是指根据已知的数列条件，推导出数列的通项公式。
对于等差数列，通过观察数列中相邻项的关系，可以得出公差；对于等比数列，通过观察数列中相邻项的比值，可以得出公比。
2. 数列的和求解求解数列的和是数列学习中的常见问题。
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
全国卷文科数列-复习
数列（文） 复习【知识梳理】一、数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
（对于不是等差数列又不是等比数列的数列的通项公式只能找第n 项与n 的规律）例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：514131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k -=-⎧∈⎨+=⎩；/③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，，，，……二、数列{na }的前n 项和nS 与通项na 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥三、等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(1)n n a a d n +-=≥或1(2)n n a a d n --=≥。
2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；—说明：1、等差数列的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
2、(),(为常数B A BAn a n +=⇒{}n a 是等差数列 )例：1.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）2. 等差数列12-=n a n ，=--1n n a a3.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6703、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
高三文科数学数列知识点
高三文科数学数列知识点一、等差数列等差数列是指一个数列中，每一项与其前一项之差都相同的数列。
常用的表示方法为：a1，a2，a3，...，an。
1. 公式：通项公式：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 求和公式：部分和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
3. 性质：a) 第n项：an = a1 + (n - 1)db) 公差：d = an - an-1c) 前n项和：Sn = (n/2)(a1 + an)二、等比数列等比数列是指一个数列中，每一项与其前一项之比都相同的数列。
常用的表示方法为：a1，a2，a3，...，an。
1. 公式：通项公式：an = a1 * r^(n - 1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
2. 求和公式：部分和公式：Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。
3. 性质：a) 第n项：an = a1 * r^(n - 1)b) 公比：r = an/an-1c) 前n项和：Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1)三、数列的性质与应用1. 数列的有界性如果数列的所有项都有一个共同的上界M或下界m，即对于所有的n，有an≤M或an≥m，则称数列是有界的。
2. 数列的极限当数列的通项公式在n趋于无穷大时，极限存在且有限，记作an→a。
其中，a为常数。
3. 数列数列的收敛与发散当数列满足an→a（a为常数），则称该数列是收敛的；反之，称该数列是发散的。
4. 数列的应用数列在不同领域有广泛的应用，如金融领域中的复利计算、物理领域中的运动学问题等。
通过数列的性质与公式，可以对各种实际问题进行建模与求解。
总结：高三文科数学中的数列知识点包括等差数列和等比数列。
对于等差数列，我们需要掌握通项公式、求和公式以及相关的性质。
文科数列知识点归纳总结
文科数列知识点归纳总结一、等差数列1. 定义：如果一个数列 {an} 满足 an＋1 - an = d（d ≠ 0），则称该数列为等差数列，其中d 为公差。
2. 性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差。
（2）前 n 项和公式：Sn = (a1+an)n/2。
即 Sn = (n/2)(a1+an)，其中 a1 为首项，an 为第 n 项。
（3）任意三项的关系：an + an-2 = 2an-1。
即等差数列中任意三项的中项等于其余两项的平均数。
3. 应用：（1）日常生活中的应用：等差数列可以描述很多日常生活中的现象，比如每天存款增加一定金额、每天走路速度等等。
（2）经济学中的应用：在经济学领域中，等差数列常常用来描述固定利率下的贷款或存款的变化规律。
二、等比数列1. 定义：如果一个数列 {an} 满足 an＋1 / an = q（q ≠ 0），则称该数列为等比数列，其中q 为公比。
2. 性质：（1）通项公式：an = a1*q^(n-1)，其中 a1 为首项，q 为公比。
（2）前 n 项和公式：Sn = a1*(q^n - 1) / (q - 1)。
即 Sn = a1*(q^n - 1) / (q - 1)，其中 a1 为首项，q 为公比。
（3）求和公式的推导：Sn*q = a1*q^n - an+1，两式相减得到 Sn*(q - 1) = a1*q^n - an+1，进而可以得出前 n 项和公式。
3. 应用：（1）生活中的应用：等比数列可以用来描述一些成倍增长的现象，比如细菌的繁殖、利息的增长等。
（2）工程中的应用：在工程领域中，等比数列常常用来描述一些按比例递增或递减的参数，比如传热系数随着材料厚度的变化等。
三、其他特殊的数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列的第一项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
2023年高考备考三年 数列(含答案)
an 1
2，
an
n 1
n
所以，数列 an 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 an 2 2 2 ，
ak 1 ak 2 ak 10
ak 1 1 210
1 2
2k 1 1 210
1 2
2k 1 210 1 25 210 1 ，
所以 S3n S2 n S2 n Sn 729 ，
即
3n(9 27n ) 2n(9 18n ) 2n(9 18n ) n(9 9n )
729
2
2
2
2
即 9n 2 729 ，解得 n 9 ，
所以 S3n S27
27(9 9 27)
3402 .
圆形石板(称为天心石)，围绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第—环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第
—环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729
块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)〔 〕
高考材料
高考材料
A．3699 块
B．3474 块
C．3402 块
（详解）
设第 n 环天石心块数为 an ，第—层共有 n 环，
则 {an } 是以 9 为首项，9 为公差的等差数列， an 9 (n 1) 9 9n ，
设 S n 为 {an } 的前 n 项和，则第—层、第二层、第三层的块数分
别为 S n , S 2 n S n , S3n S 2 n ，因为下层比中层多 729 块，
∴ S2 4 ， S4 S2 6 4 2
高三文科数学数列专题复习共17页文档
12（1）变式
本次统考理9：已知等差数列 an 的前n项和为 S n ， 若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且 ONa15OM a6OP
（直线MP不过点O),则 S 20 等于(B )
A.15 B.10 C.40 D. Nhomakorabea0本次统考理20：已知数列
bn 满足
第一课时 等差数列与等比数列 一、基础自测
二轮P47 1、2、3、4、5 P51 1、2、3、4、7、8
小结： 1、基本量 a1、d(q) 2、准确运用通项公式、求和公式
注：等差等比求和公式的运用条件与特点 3、等差等比数列的性质
二、典例分析 二轮P49 例2 变式训练 例3 变式训练
三、体验高考 巩固提高
三、体验高考 巩固提高
二轮P59 6、7 P60 10 二轮P63 2 P64 5
小结： 1、 2、
3、
END
bn1
11 2bn 4
且 b1
7 2
，Tn
为 bn 的前n项和。
求证：数列
b
n
1 2
是等比数列，并求
bn
、T n
第二课时 数列通项与求和
一、基础自测 二轮P53 1、2、3、4
二轮P59 1、2、3、4 二轮P60 9、10 二、典例分析 二轮P55 例1 变式训练
高考文科数列必考知识点
高考文科数列必考知识点一、什么是数列数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在高中数学教学中，数列通常是以一般项的形式给出，即 $a_n$。
二、数列的性质1. 有界性：数列可能是有上界或下界的，也可能是有上下界的。
有界数列的一种特殊情况是收敛数列。
2. 单调性：数列可能是递增的、递减的或保持不变的。
3. 极限性：数列可能会趋于某个有限的常数，也可能发散。
如果数列不趋于常数，那么它就是发散的。
三、等差数列1. 概念：等差数列是指数列的相邻两项之间的差值都是相等的。
常用的等差数列的一般项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$ 为首项，$d$ 为公差，$n$ 为项数。
2. 性质：等差数列的前 n 项和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 +a_n)$，其中 $S_n$ 为前 n 项和，$a_1$ 为首项，$a_n$ 为第 n 项。
四、等比数列1. 概念：等比数列是指数列的相邻两项之间的比值都是相等的。
通常等比数列的一般项公式为 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$，其中$a_1$ 为首项，$r$ 为公比，$n$ 为项数。
2. 性质：等比数列的前 n 项和公式为 $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中 $S_n$ 为前 n 项和，$a_1$ 为首项，$r$ 为公比。
五、斐波那契数列1. 概念：斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的一般项公式为 $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$，其中 $f_1 = 1$，$f_2 = 1$。
2. 性质：斐波那契数列有许多有趣的性质，如黄金分割比例等。
六、递归数列1. 概念：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都依赖于前几项。
常见的递归数列有斐波那契数列和阶乘数列等。
2. 方法：递归数列可以通过递推关系式或初始值来求解。
递推关系式表示当前项和前几项的关系，初始值为已知的几个项。
数列知识点归纳总结文科
数列知识点归纳总结文科一、数列的概念数列是指按照一定的规律依次排列的一组数字，这个规律可以是加减乘除或其他数学运算，也可以是一种特定的模式或者规律。
数列在数学中起着非常重要的作用，它不仅是数学的基础，也是数学的重要研究对象。
二、数列的分类1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻的两项之差是一个常数的数列，这个常数称为公差，通常用字母d表示。
比如1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
2. 等比数列：等比数列是指数列中任意两项之比都是一个常数的数列，这个常数称为公比，通常用字母q表示。
比如2，4，8，16，32就是一个等比数列，公比为2。
3. 调和数列：调和数列是指数列中相邻的两项的倒数依然是一个数列的数列。
三、数列的通项公式1. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d,其中n表示该等差数列的第n项。
2. 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，那么等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1),其中n表示该等比数列的第n项。
四、数列的性质1. 等差数列的性质：等差数列中的任意三项，满足中项等于前项与后项的算术平均数。
即对于等差数列a₁，a₂，a₃，有a₂=(a₁+a₃)/2。
2. 等比数列的性质：等比数列中的任意三项，满足中项等于前项与后项的几何平均数。
即对于等比数列a₁，a₂，a₃，有a₂=√(a₁*a₃)。
五、常见数列1. 级数：级数是指数列的前n项之和。
级数在数学中有着非常重要的地位，它被广泛应用于微积分、代数、微分方程等诸多领域。
2. 斐波那契数列：斐波那契数列是指从第三项开始，每一项都等于前两项之和的数列，通常表示为1，1，2，3，5，8，13…。
斐波那契数列广泛应用于计算机算法、金融理论等领域。
3. 等级数：等级数是指级数中每一项都是常数的级数，通常表示为a+2a+3a+…+na+(n+1)a。
等级数在数学分析中有着重要的应用，它是微积分的基础之一。
高三数列专题复习
高三（文科数学）第二轮专题复习数列及其应用一、基本概念：1. 数列的定义及表示方法.2. 数列的项与项数.3. 有穷数列与无穷数列.4. 递增（减）、摆动、循环数列.5. 数列{a n }的通项公式a n .6. 数列的前n 项和公式S n .7. 等差数列、公差d 、等差数列的结构.8. 等比数列、公比q 、等比数列的结构.9. 无穷递缩等比数列的意义及公比q 的取值范围.二、基本公式：1. 一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n s s n s a n nn . 2.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ， a n =a k +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数.3.等差数列的前n 项和公式： (1)d n n na s n 2)1(1-+=, (2)2)(1n n a a n s +=. 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式.4.等差中项公式：2b a A +=（有唯一的值）. 5.等比数列的通项公式：（1）a n = a 1 q n-1 , （2）a n = a k q n-k . .(其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0).6.等比数列的前n 项和公式：（1）当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；（2）当q ≠0时，（1）qq a s n n --=1)1(1, (2)q q a a s n n --=11. 7.等比中项公式： ab G ±=(ab>0,有两个值).三、有关等差、等比数列的结论1.等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则 q p n m a a a a +=+.2. 等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a •=•. 3.等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列.4.等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列.5.两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n +b n }、{a n -b n }仍为等差数列.6.两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ·b n } 、 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1 ，仍为等比数列. 7.等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.8.等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.9.三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d .10.三个数成等比的设法：q a , a, aq ；四个数成等比的错误设法：3qa , q a , aq, aq 3 . 四、数列求和其他方法1.拆项法求数列的和，如a n = 2n+3n ;2.错位相减法求和，如a n = (2n-1) 2n ;3.分裂项法求和，如a n = )1(1 n n ; 4.反序相加法求和，如a n =n n C 100;5.公式法求和;6.观察规律求和.五.数列的综合应用数列的综合应用主要归结为等差、等比和递推数列的应用.主要题型有：产量的增减、价格的升降、细胞的繁植、求利率、增长率等.解决此类问题的关键是数列的建模问题.六、数列实际应用例题1.从盛满a 升(a >1)纯酒精的容器里倒出一升酒精,然后用水填满后搅匀,再倒出一升混合溶液后再用水填满,如此继续进行下去.(1)每次用水填满后的酒精浓度是否依次成等差数列或等比数列?试证明你的结论.(2)若a =2,至少倒几次后(每次倒过后都用水加满搅匀)才能使酒精浓度低于10％?例题2.资料表明,2000年我国荒漠化土地占国土陆地总面积960万平方公里的17％,近二十年来,我国荒漠化土地每年以2460平方公里的速度扩展,若这二十年间我国治理荒漠化土地的面积占前一年荒漠化土地面积的1％,试问:二十年前我国荒漠化土地的面积有多少平方公里?( 精确到1平方公里)例题3.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1150万元.购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率1％.(1)若交付150万元后的第一个月算开始分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月应该付多少钱?(2)全部款项付清后,买这40套住房实际花了多少钱?。
高三数列文科复习资料
数列【兴趣导入】【知识梳理】(一)数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .Ⅰ.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差. 2.等比数列相关公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. ⑶等差数列判断：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；Ⅱ.等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11. ⑶等比数列的判定方法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑷),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑸若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；【典型例题】A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则n n a b =（ ）5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
2023年高考数学(文科)一轮复习——等差数列及其前n项和
第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0且关于n 的二次函数.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是n 的二次函数.2.(2022·南宁一模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝92，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A.nB.n ＋12C.2n －1D.3n －12答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3＋3d ＝92，解得d ＝12，∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.3.(2021·宝鸡二模)已知{a n }是等差数列，满足3(a 1＋a 5)＋2(a 3＋a 6＋a 9)＝18，则该数列的前8项和为( )A.36B.24C.16D.12答案 D解析 由等差数列性质可得a 1＋a 5＝2a 3，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6，所以3×2a 3＋2×3a 6＝18，即a 3＋a 6＝3，所以S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 3＋a 6）2＝12. 4.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则a 5＋a 6＝( )A.10B.20C.25D.30答案 C解析 等差数列{a n }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d ，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则d ＝15－5＝10，因此a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)＋d ＝15＋10＝25.5.一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面.答案 20解析 设物体经过t 秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.6.(易错题)在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________.答案 5或6解析 ∵|a 3|＝|a 9|，∴|a 1＋2d |＝|a 1＋8d |，可得a 1＝－5d ，∴a 6＝a 1＋5d ＝0，且a 1＞0，∴a 5＞0，故S n 取最大值时n 的值为5或6.考点一 等差数列的基本运算1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A.a n ＝2n －5B.a n ＝3n －10C.S n ＝2n 2－8nD.S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n . 2.(2022·太原调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝a 8＝8，则公差d ＝( )A.14B.12C.1D.2 答案 D解析 ∵S 8＝a 8＝8，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 8，∴S 7＝7a 4＝0，则a 4＝0.∴d ＝a 8－a 48－4＝2. 3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________.答案 25解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2×(－2)＋6d ＝2.解得d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a5.(1)若 a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.解 (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5可知9a 5＝－a 5，所以a 5＝0.因为a 3＝4，所以d ＝a 5－a 32＝0－42＝－2，所以a n ＝a 3＋(n －3)×(－2)＝10－2n ，因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 5＝0，因为a 1>0，所以等差数列{a n }单调递减，即d <0，a 1＝a 5－4d ＝－4d ，S n ＝n （n －9）d 2， a n ＝－4d ＋d (n －1)＝dn －5d ，因为S n ≥a n ，所以nd （n －9）2≥dn －5d ， 又因为d <0，所以1≤n ≤10.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二 等差数列的判定与证明例1 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n }是等差数列；②数列{S n }是等差数列；③a 2＝3a 1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解 ①③⇒②.已知{a n }是等差数列，a 2＝3a 1.设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝3a 1＝a 1＋d ，得d ＝2a 1，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2a 1. 因为数列{a n }的各项均为正数， 所以S n ＝n a 1， 所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a 1－n a 1＝a 1(常数)，所以数列{S n }是等差数列. ①②⇒③.已知{a n }是等差数列，{S n }是等差数列.设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝12n 2d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 因为数列{S n }是等差数列，所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1 (2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n ≥2时，S n ＝b n b n －1， 代入2S n ＋1b n ＝2可得，2b n －1b n ＋1b n＝2， 整理可得2b n －1＋1＝2b n ，即b n －b n －1＝12(n ≥2).又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2，所以b 1＝32， 故{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解 由(1)可知，b n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，则2S n ＋2n ＋2＝2，所以S n ＝n ＋2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1－n ＋1n ＝－1n （n ＋1）. 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，－1n （n ＋1），n ≥2. 考点三 等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质例2 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且4＋a 5＝a 6＋a 4，则S 9等于( )A.72B.36C.18D.9 (2)在等差数列{a n }中，若a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A.10B.20C.40D.2＋log 25答案 (1)B (2)B解析 (1)∵a 6＋a 4＝2a 5，∴a 5＝4，∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝36. (2)由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝a 4，则2a 1···2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20. 角度2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A.35B.42C.49D.63(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案 (1)B (2)C解析 (1)在等差数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7，14，S 15－21成等差数列，所以7＋(S 15－21)＝2×14，解得S 15＝42.(2)设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3 402(块).角度3 等差数列前n 项和的最值例4 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解 法一 设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大.法二 易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称. 由解法一可知A ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大.法三 设公差为d .由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0， 解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.法四 设公差为d .由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0， 又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大.感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .(3)依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列.3.求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，A ≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2 (1)(2021·洛阳质检)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝272，则a 3＋a 9＋a 15＝( )A.24B.36C.48D.64(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023等于( )A.2 023B.－2 023C.4 046D.－4 046(3)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________. 答案 (1)C (2)C (3)121解析 (1)因为数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，所以S 17＝272＝a 1＋a 172×17＝2a 92×17＝17a 9，∴a 9＝16，所以a 3＋a 9＋a 15＝3a 9＝48.(2)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′， 则S 2 020 2 020－S 2 0142 014＝6d ′＝6，∴d ′＝1，首项为S 11＝－2 020，∴S 2 0232 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，∴S 2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.(3)设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，∴22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，把a 1＝1代入求得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2，∴S n ＋10a 2n ＝（n ＋10）2（2n －1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2n －1）＋2122n －12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121.∴S n ＋10a 2n 的最大值是121.1.在等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7，则此数列中一定为0的是() A.a 1 B.a 3 C.a 8 D.a 10答案 A解析 设{a n }的公差为d (d ≠0)，∵3a 5＝2a 7，∴3(a 1＋4d )＝2(a 1＋6d )，得a 1＝0.2.(2021·重庆二模)已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝a 6，a 9＝a 26，则a 10＝( )A.52B.5C.10D.40答案 A解析 设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝a 1＋5d ，a 1＋8d ＝（a 1＋5d ）2，由于d ≠0，故a 1＝d ＝14，所以a 10＝14＋14×9＝52.3.已知数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝() A.－3 B.3 C.－13 D.13答案 A解析 数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是等差数列，公差为2.∵a 2＋a 4＋a 6＝9，∴3a 4＝9，a 4＝3.∴a 1＋3×2＝3，解得a 1＝－3.∴a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3×(－3＋6×2)＝27，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1333＝－3.故选A.4.(2022·太原一模)在数列{a n }中，a 1＝3，a m ＋n ＝a m ＋a n (m ，n ∈N *)，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝135，则k ＝( )A.10B.9C.8D.7 答案 B解析 令m ＝1，由a m ＋n ＝a m ＋a n 可得a n ＋1＝a 1＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝3， 所以{a n }是首项为a 1＝3，公差为3的等差数列，a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝k （a 1＋a k ）2＝k （3＋3k ）2＝135. 整理可得k 2＋k －90＝0，解得k ＝9或k ＝－10(舍).5.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A.65B.176C.183D.184答案 D解析 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.则第八个孩子分得斤数为184.6.(2021·全国大联考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( )A.15B.16C.17D.14答案 C解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值，∴等差数列{a n }为递减数列， 又a 10a 9<－1，∴a 9>0，a 10<0， ∴a 9＋a 10<0，又S 18＝18（a 1＋a 18）2＝9(a 9＋a 10)<0， 且S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9>0. 故使得S n >0成立的正整数n 的最大值为17.7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 6＝1，S 12＝4，则S 18＝________. 答案 9解析 在等差数列中，S 6，S 12－S 6，S 18－S 12成等差数列，∵S 6＝1，S 12＝4，∴1，3，S 18－4成公差为2的等差数列，即S 18－4＝5，S 18＝9.8.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于________. 答案 3727解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 9.(2021·西安一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝32，a 2＝2，2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1，则数列{a n }的前16项和S 16＝________.答案 84解析 将2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1变形为(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )＝12，即a n ＋2－a n＋1＝12，又a 1＝32，a 2＝2，∴a 2－a 1＝12符合上式，∴{a n }是首项a 1＝32，公差d ＝12的等差数列，∴S 16＝16×32＋16×152×12＝84.10.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由.解 (1)设公差为d .∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d ＞0，∴a 2＜a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ， 假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列. 由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ， 得1＋k ＋15＋3k ＝26＋2k ，解得k ＝1. ∴S n ＋kn ＝2n 2＝2n ，当n ≥2时，2n －2(n －1)＝2，为常数，∴数列{S n ＋kn }为等差数列.故存在常数k ＝1，使得数列{S n ＋kn }为等差数列. 11.设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项.(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值.(1)证明 由已知可得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1.当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，所以a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2).故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)可知a n ＝n ，设c n ＝a n ·b n ，则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋254， 因为n ∈N *，所以n ＝2或3，c 2＝c 3＝6，因此当n ＝2或n ＝3时，{a n ·b n }取最大项，且最大项的值为6.12.(2020·新高考山东卷)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为__________.答案 3n 2－2n解析 法一(观察归纳法) 数列{}2n －1的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n －2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列， 则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故其前n 项和为S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋6n －5）2＝3n 2－2n . 法二(引入参变量法) 令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数.令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1，2，3，…).a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5.以下同法一.13.(2022·衡水模拟)已知在数列{a n }中，a 6＝11，且na n －(n －1)a n ＋1＝1，则a n ＝______；a 2n ＋143n 的最小值为________.答案 2n －1 44解析 na n －(n －1)a n ＋1＝1，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝1，两式相减得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，∴数列{a n }为等差数列.当n ＝1时，由na n －(n －1)a n ＋1＝1得a 1＝1，由a 6＝11，得公差d ＝2，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 2n ＋143n ＝（2n －1）2＋143n＝4n ＋144n －4≥24n ·144n －4＝44， 当且仅当4n ＝144n ，即n ＝6时等号成立.14.等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8，a 3a 5＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)记T n 为数列{b n }前n 项的和，其中b n ＝|a n |，n ∈N *，若T n ≥1 464，求n 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8， ∴a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝－8，又∵a 3a 5＝7，∴a 3，a 5是一元二次方程x 2＋8x ＋7＝0的两个根，且a 3＞a 5， 解方程x 2＋8x ＋7＝0，得a 3＝－1，a 5＝－7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－1，a 1＋4d ＝－7，解得a 1＝5，d ＝－3. ∴a n ＝5＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋8.(2)由(1)知{a n }的前n 项和S n ＝5n ＋n （n －1）2×(－3)＝－32n 2＋132n . ∵b n ＝|a n |，∴b 1＝5，b 2＝2，b 3＝|－1|＝1，b 4＝|－4|＝4， 当n ≥3时，b n ＝|a n |＝3n －8.当n ＜3时，T 1＝5，T 2＝7；当n ≥3时，T n ＝－S n ＋2S 2＝3n 22－13n 2＋14.∵T n ≥1 464，∴T n ＝3n 22－13n 2＋14≥1 464，即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥100，3∴n的最小值为34.。
高三数列知识点与题型总结(文科)(最新整理)
例 8. 数列{ an }满足 a1 0 , an1 an 2n ,求数列{an}的通项公式.
例 9.
已知数列{an }满足
a1
3, an
an1
(1)n , (n N * )
2
,求此数列的通项公式.
第二部分 数列求和
一、公式法
1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式，注意等比数列
2．分组转化求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别
求和而后相加减．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用
此法来求，等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．
4．裂项相消法
an1 p an 1 即： q n1 q q n q ,
bn
令
an qn
bn1
,则可化为
p q
bn
1 q
.然后转化为类型 5 来解，
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设 a n1 q n1 p(an p n ) .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效。
数列考点总结
第一部分 求数列的通项公式
一、数列的相关概念与表示方法（见辅导书） 二、求数列的通项公式
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。 等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
高中文科数列部分知识整理有答案
高中文科数列部分知识整理数列（一）等差数列1.等差数列的概念：若数列{a n }从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{a n }叫等差数列.常数叫做公差。
2.等差中项：若a 、b 、c 成等差数列，则b 称a 与c 的等差中项，且 a 、b 、c 成等差数列是2b =a +c 的充要条件.3.通项公式：a n =a 1+（n －1）d ，推广：a n =a m +（n －m ）d .变式：a 1=a n －（n －1）d ，d =1-a a n ，d =mn a a mn --.4.前n n ·a n －21（n －1）nd .变式：21n a a +=n S n =na a a n +⋅⋅⋅++21=a 1+（n －1）·2d =a n +（n －1）·（－2d）.【练习】1.等差数列{a n }中，已知a 1=31，a 2+a 5=4，a n =33，则n 是 （ ） A.48B.49C.50D.512.在等差数列{a n }中，公差为21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2+a 4+a 6+…+a 100=_________.3.已知{a n }为等差数列，前10项的和S 10=100，前100项的和S 100=10，求前110项的和S 110.解：设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10=30，a 20=50.（1）求通项{a n }； （2）若S n =242，求n .6.设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nSn }的前n项和，求T n .数列（二）等比数列1.定义数列{a n }从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.等比中项：若a 、b 、c 成等比数列，则b 为a 、c 的等比中项，且b =±ac .3.通项公式：a n =a 1q n －1，推广形式：a n =a m q n －m .4.前n5.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证nn a a 1+=常数； （2）用中项性质：只需a n +12=a n ·a n +2或n n a a 1+=12++n n a a . 【例题】1.已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.2.数列{a n }中，a 1=1，a n =21a n －1+1（n ≥2），求通项公式a n . 数列（三）差比数列知识点归纳一、等差数列1、等差数列及等差中项定义注：根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、d a a n n =--212、d a a n n =--1、d a a n n =--111、211-++=n n n a a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。
高考文科数列知识点总结
数列知识点二．知识点(一)数列的该概念和表示法、（1）数列定义: 按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作, 在数列第一个位置的项叫第1项（或首项）, 在第二个位置的叫第2项, ……, 序号为的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式: , , , ……, , ……, 简记作。
（2）通项公式的定义: 如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示, 则这个公式就叫这个数列的通项公式说明：①表示数列, 表示数列中的第项, = 表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
③不是每个数列都有通项公式。
例如, 1, 1.4, 1.41, 1.414, ……（3）数列的函数特征与图象表示:序号: 1 2 3 4 5 6项: 4 5 6 7 8 9（4）上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看, 数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……, , ……．通常用来代替, 其图象是一群孤立的点数列分类:①按数列项数是有限还是无限分: 有穷数列和无穷数列；（5）②按数列项与项之间的大小关系分: 单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列（二）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项）, 且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示, 则这个公式就叫做这个数列的递推公式（三）等差数列1.等差数列的定义: （d为常数）（）；2. 等差数列通项公式:, 首项: , 公差:d, 末项:推广：. 从而；3. 等差中项（1）如果, , 成等差数列, 则叫做与的等差中项．即：或（2）等差中项: 数列是等差数列4. 等差数列的前n项和公式:1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A.B 是常数, 所以当d ≠0时, Sn 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地, 当项数为奇数 时, 是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 乘以中间项）5. 等差数列的判定方法（1） 定义法: 若 或 (常数 ) 是等差数列. （2） 等差中项：数列 是等差数列 .（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
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数列文科专题复习高三数学（文科）第一轮复习专题之数列二、方法技巧1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。
(2)通项公式法：①若 = +（n-1）d= +（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列； ②若 ，则{}n a 为等比数列。
(3)中项公式法：验证中项公式成立。
2. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当1a >0,d<0时，满足100m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得m S 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足100m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
三、注意事项1．证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或11-+=n n n n a a a a 而得。
2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
3．注意n s 与n a 之间关系的转化。
如：n a =1100n n S S S -≤⎧⎨-≥⎩ 21≥=n n ， n a =∑=--+n k k k a a a 211)(．一、选择题:1.已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是( A )A.15B.30C.31D.642.等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为( B )A.81B.120C.168D.1923.已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上 是“}{n a 为等差数列”的 ( A )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于( B )A .122n +-B . 3nC . 2nD .31n -5.数列ΛΛ,43211,3211,211++++++的前n 项和为( A ) A.12+n n B. 1+n n C. 222++n n D. 2+n n6.在等差数列}{n a 中，24)(3)(2119741=++++a a a a a ，则此数列的前13项之和等于( B )A.13B.26C.52D. 1567.北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ C ）A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%8．已知ABC ∆的三个内角分别是A 、B 、C ，B=60°是A 、B 、C 的大小成等差数列的（ C ）A ． 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D.既非充分也非必要条件9．已知)*n a n N =∈，则1210a a a +++L 的值为（ A ） A1- B1 C1 D ．2二、填空题:13.在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =＿123n +-＿＿＿.14.设等比数列}{n a 的首项为8，前n 项和n S ，有人算得65,36,20432===S S S ，后来发现其中一个数算错了，则错误的是＿3S ＿＿＿.15.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂成二个)经过3h 这种细菌由一个可繁殖成___512__个.16.已知整数对排列如下()()()()()()()()()()()()Λ,4,2,5,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,3,2,23,1,1,2,2,1,1,1，则第60个整数对是_______(5,6)________.17.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为__3_，且这个数列的前n 项和S n 的计算公式为5;253;2{n n n n n S -=为偶数为奇数18. 数列{}n a 中，12,a =12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩ 是奇是偶 ，则5a = 20 。
三．解答题：附：高考数学数列大题训练1.已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥（1）求数列n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。
4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{nn a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a .（1）求2a ，3a ，4a ；（2）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。
6.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T7.22,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证：⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列；⑵n a n n 221-=+；⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ.8.已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项.（1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前；（2）若数列}1{,3),(}{11nn n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n . 9.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，123,22a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中*2,n n N ≥∈. ① 求证数列{}1n a -是等比数列 2 求数列{}n a 的前n 项和n S .10.已知n S 是数列{n a }的前n 项和，并且1a =1，对任意正整数n ，241+=+n n a S ；设Λ,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）.（I ）证明数列}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式； （II ）设}log log 1{,32212++⋅=n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T高考数列大题参考答案1.解析：(AABABA,BCCA)(1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=-∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121,2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2n n n n n T n n n n -⎧≤≤∈⎪⎪=⎨-⎪-≥∈⎪⎩**N N 2.解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a（2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a)1(211+=+-n n a a {}1+∴n a 构成以211=+a 为首项以2为公比的等比数列；112)1(1-⋅++∴n n a a ；,21n n a =+∴.12-=∴n n a 为所求通项公式（3）12-=n n a Θ123......n n S a a a a ∴=++++123(21)(21)(21)......(21)n =-+-+-++-123(222......2)n n =++++-n n ---=21)21(2.221n n --=+ 3.解：由11335(2)n n n n S S a a n ---=-≥，12n n a a -∴=，又12a =Q ，112n n a a -=， {}n a ∴是以2为首项，12为公比的等比数列，122112()()222n n n n a ---∴=⨯== 2(21)2n n b n -=-，1012123252(21)2n n T n --∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L L （1）012111232(23)2(21)22n nn T n n ---=⨯+⨯++-⋅+-⋅L L （2）（1）—（2）得0121122(222)(21)22n n n T n ---=++++--⋅L L 即：1111112[1(2)]2(21)26(23)2212n n nn T n n ------=+--⋅=-+⋅- ，212(23)2n n T n -∴=-+⋅4．解：（Ⅰ）622212=+=a a ，2022323=+=a a ．（Ⅱ）),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且Θ， ∴),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且， 即),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥=---且． ∴数列}2{n n a 是首项为21211=a ，公差为1=d 的等差数列． （Ⅲ）由（Ⅱ）得,211)1(21)1(212-=⋅-+=-+=n n d n a n n ∴n n n a 2)21(⋅-=．)2(2)21(2)211(2252232212)1(2)21(2252232211432321+⋅-+⋅--++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n S n S ΛΛΘ1322)21(2221)2()1(+⋅--++++=--n n n n S Λ得 12)21(2222132-⋅--++++=+n n n Λ 12)21(21)21(21-⋅----=+n n n 32)23(-⋅-=n n ． ∴32)32(+⋅-=n n n S ． 5.解： （1）79,57,35432===a a a （2）证明：由题设可知N n a a n n ∈≠≠,10且 1211-=--n n n a a a Θ()()()()111111--=---⇒--n n n n a a a a 111111=---⇒-n n a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴11n a 是以21为首项，1为公差的等差数列 故2112111-=-+=-n n a n 12121122-+=+-=∴n n n a n 6.解：（Ⅰ）12n n a S +=Q ，12n n n S S S +∴-=，1n nS S +∴= 又111S a ==Q ，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==g≥， 21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩g， ，，≥． （Ⅱ）12323n n T a a a na =++++L ， 当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++gg L g ，…………① 12133436323n n T n -=++++g g L g ，………………………②-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-L g 213(13)222313n n n ---=+--g g 11(12)3n n -=-+-g1113(22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥ 又111T a ==Q 也满足上式，7.解： ⑴ )2(221+=++n n b b 2221=++∴+n n b b 2121=-=a a b 62222=+=b b数列{b n +2}是首项为4公比为2的等比数列； ⑵由⑴知 112242+-=⨯=+n n n b221-=∴+n n b2211-=-++n n n a a22212-=-∴a a22323-=-a a……221-=--n n n a a上列（n-1）式子累加：n a n n 2)222(232-+++=-Λn a n n 221-=∴+ ⑶2)1(2)222(13221+-+++=++++n n a a a n n ΛΛ. 4)1(2221-+-=+++∴+n n a a a n n Λ 8.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧+=+=+21111)5()20(,60156d a d a a d a 解得⎩⎨⎧==.5,21a d32+=∴n a n . )4(2)325(+=++=n n n n S n （2）由).,2(,111*--+∈≥=-∴=-N n n a b b a b b n n n n n n112211121112,()()()(1)(14)3(2).3,n n n n n n n n b b b b b b b b a a a b n n n n b -----≥=-+-++-+=++++=--++=+=L L 当时对也适合))(2(*∈+=∴N n n n b n ).211(21)2(11+-=+=∴n n n n b n )211123(21)2114121311(21+-+-=+-++-+-=n n n n T n Λ )2)(1(4532+++=n n n n9.解：①Q 113210n n n S S S +--++=⇒112()1n n n n S S S S +--=-- ⇒121(2)n n a a n +=-≥ 又123,22a a ==也满足上式，∴*121()n n a a n N +=-∈⇒112(1)n n a a +-=-（*n N ∈）∴数列{}1n a -是公比为2，首项为1112a -=的等比数列（2）由①，1211222n n n a ---=⨯=221n n a -⇒=+于是12...n n S a a a =+++()()()()1012212121...21n --=++++++++()1012222...2n n --=++++212n n -=+ 10.解析：（I ）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n nn n Θ两式相减：),2(4411≥-=-+n a a a n n n*),(2)2(2,2)(42,2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+,21=∴+n n b b}{n b ∴是以2为公比的等比数列，,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而Θ *)(231N n b n n ∈⋅=∴-（II ）,231-==n n n b C ,)1(12log 2log 1log log 11222212+=⋅=⋅∴+++n n C C n n n n 而,111)1(1+-=+n n n n.111)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n Λ。