矩阵理论第3章习题解答
研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题
习题3 习题3-14
#3-14: =E,则存在 则存在U #3-14:若A∈Hm×n,A2=E,则存在U∈Un×n使得 U*AU=diag(Er,-En-r). 存在U 证:存在U∈Un×n使得 A=Udiag(λ A=Udiag(λ1,…,λn)U*, , (*) 其中λ 的特征值的任意排列 任意排列. 其中λ1,…,λn是A的特征值的任意排列. , ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 =E=Udiag(1, ,1)U =Udiag(λ Udiag(λ A2=Udiag(λ1,…,λn)U*Udiag(λ1,…,λn)U* , , =Udiag(λ =Udiag(λ12,…,λn2)U* , =1,即 1,i=1,…,n,. ∴ λi2=1,即λi=±1,i=1, ,n,. 1(设共有 取λ1,…,λn的排列使特征值1(设共有r个)全排在 , 的排列使特征值1(设共有r 前面, (*)式即给出所需答案 式即给出所需答案. 前面,则(*)式即给出所需答案.
(α + β, γ ) = (α + β ) Aγ * = α Aγ * + β Aγ * = (α, γ ) + (β, γ );
(α,α) ≥ 0; (α,α) =α A > 0, ∀α ≠ 0 (因A正定). α
*
Cauchy-Schwarz不等式 不等式： ②:Cauchy-Schwarz不等式： |(α, β)|≤ α β
−1 0 3 5 −1 3 6 1 1 0 = 0 − 1 − 10 W A1 W1* 1 0 0 −1 0
习题3 习题83-3(1) 0 3
6 −1 3 6 −1 3 8 3 0 3 8 = 0 , A1 = − 2 − 5 A1 0 − 2 − 5 0
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
研究生矩阵理论课后答案3章习题
#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特 征值都是实数. 证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P-1)*BP-1=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又 因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相 同,故BA的特征值也都是实数. 证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)) =det A det(A-1-B)=0. 但det A >0,A-1正定和det(A-1-B)=0的根全为实 数(见例3.9.1的相关证明)
xa
i 1 j 1
n
n
i ij
yj
xa x ya
i ij j i j i j
n
n
n
n
i ij
yj
习题3-3(1)
#3-3(1):已知A= ,试求UUnn使U*AU=R为 上三角矩阵. 解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值. 显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵 V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则 V*AV=
习题3-19设A是正定Hermite矩阵且 AUnn,则A=E
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. A 是正定蕴含 i>0,i=1,…,n AUnn 蕴含|i|=1,i=1,…,n 因此 i=1,i=1,…,n ∴ A=Udiag(1,…,n)U*=UEU*=UU*=E.
习题3-14
#3-14:若AHnn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
矩阵分析第3章习题答案
矩阵分析第3章习题答案第三章1、 已知()ijA a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==L L 定义内积为(,)HA αβαβ=（1） 证明在上述定义下，nC 是酉空间；（2） 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。
2、 已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求()N A 的标准正交基。
提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。
3、 已知308126(1)316,(2)103205114A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HUAU是上三角矩阵。
提示：参见教材上的例子4、 试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。
5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HUAU为对角矩阵，已知133261(1)6322312623A ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01(2)10000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦11(4)11A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6、 试求正交矩阵Q ，使TQAQ为对角矩阵，已知 220(1)212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，11011110(2)01111011A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦7、 试求矩阵P ，使HPAP E=（或TPAP E=），已知11(1)01112i i A i i +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，222(2)254245A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。
反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。
线性代数第三章课后习题
习题三（A ）1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵：(1) 112332141022-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1111131320461135-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）24512122111212136363--⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-- ⎪---⎝⎭2.设A 123012425⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，010(1,2)100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E ，100(3,2(5))010051⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E .试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A .3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵：(1) A 101110012⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）A 211124347--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）A1111022200330004⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭4.用初等变换解下列矩阵方程：(1) 设A 101110120⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102102-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，且AX =B ，求X .（2）设A 220213010⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且+AX =A X ，求X .5.设矩阵A 122324111222-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，计算A 的全部三阶子式，并求()R A .6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明.7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明.8.求下列矩阵A 的秩：(1) 310211311344⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）1121224230610304-⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭（3）12211248022423336064--⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭(4) 112205123λλλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ (5)111111λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设有矩阵A101110112111022264μμ-⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，若()3R=A，求μ的值.10.判断下列命题是否正确．(1) 如果线性方程组AX=0只有零解，那么线性方程组AX=B有唯一解；(2) 如果线性方程组AX=B有唯一解，那么线性方程组AX=0只有零解．11. 解下列齐次线性方程组：（1）12312312325502303570x x xx x xx x x+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩（2）1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩（3）31243124312431242530420476023950xx x xxx x xxx x xxx x x-+-=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩（4）3124312412431242350240347045530xx x xxx x xx x xxx x x-+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨--=⎪⎪-+-=⎩12. 解下列非齐次线性方程组：（1）123123123343322323x x xx x xx x x-+=⎧⎪+-=-⎨⎪-+-=-⎩（2）12341234123443222333244x x x xx x x xx x x x+-+=⎧⎪++-=-⎨⎪---+=⎩（3）3124312431243124235324434733749xx x xxx x xxx x xxx x x+++=⎧⎪++-=⎪⎨+++=⎪⎪++-=⎩（4）31231231231224523438214496xx xxx xxx xxx x-+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩13. 确定λ的值，使下列齐次线性方程组有非零解，并求其一般解．（1）123123123x x xx x xx x xλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）123123123240356020x x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩λ14.讨论下列非齐次线性方程组，当λ取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出一般解:（1）12312321231x x xx x xx x xλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）212312312313422321x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩λλ15. 设有方程组112223334445551x axx axx axx axx ax-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩，证明方程组有解的充分必要条件是51iia==∑.（B ）1.设A 是n 阶可逆阵，互换A 的第i 行与第j 行（i j ≠）得到矩阵B ，求1-AB .2. （研2007数一、二、三）设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为___ ____. 3. （研2010数一）设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，若AB =E ，则正确的是（ ）(A) ()R m =A ，()R m =B (B) ()R m =A ，()R n =B(C) ()R n =A ，()R m =B (D) ()R n =A ，()R n =B4. （研2015数一、二、三）设矩阵A 21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合={1,2}Ω，则线性方程组Ax =b 有无穷多解的充分必要条件是（ ）(A) a ∉Ω，d ∉Ω (B) a ∉Ω，d ∈Ω (C) a ∈Ω，d ∉Ω (D) a ∈Ω，d ∈Ω5. （研2016数二、三）设矩阵111111a a a --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭与110011101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭等价，则a =____ ____.6.证明：()()R R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A O AB O B . 7.设A ，B 是n 阶非零矩阵，证明：若=AB O ，则()R n <A 及()R n <B .8.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且n m <.证明：||0=AB .。
矩阵理论习题解答等材料
西南科技大学研究生试题单（B 卷）(2014级高等工程数学A)第一部分 矩阵理论（共32分）1、(8分)填空题（1）每个n 阶矩阵都相似于一个 矩阵。
（2）n nA C⨯∈，A 为正规矩阵的充要条件是A 对角形矩阵。
（3）正交变换在规范正交基下的矩阵是 矩阵。
（4）A 的最小多项式 A 的零化多项式。
2、(6分) 求4R 的子空间1234123412341234{(,,,)|0},{(,,,)|0}V a a a a a a a a W a a a a a a a a =-+-==+++=的交V W I 的一组基。
3、(8分) 已知111111,012A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭计算5432()2822g A A A A A E =-++-。
4、（10分）求矩阵213121242A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的Doolittle 分解和LDU 分解。
第二部分 数值分析（共36分）5、 (4分）解答下列各题 设函数2015201420131()5.2015!f x x x x =++,求差商0120142015[2,2,2,2]?f =L 6、（8分）设函数4()f x x =，不直接用拉格朗日插值公式，而用拉格朗日余项公式求出以1,0,1,2x =-为插值节点的三次插值多项式3().L x7、（8分）设有求积公式2120()(0)(1)(2)f x dx af a f a f ≈++⎰试确定系数012,,a a a 使上述公式的代数精度尽量高，且指出其代数精度。
8、（8分）已知方程组123123123102212100.51.931x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ (1) 构造Jacobi 迭代法的迭代格式，迭代格式是否收敛？说明理由； (2) 取(0)(0,0,0)T x=，用上述迭代法来计算一步迭代值(保留小数点后4位)。
9、（8分）若求解初值问题为24,015(0)1x y y x y y ⎧'=-≤≤⎪⎨⎪=⎩， 试写出Euler 方法求解的迭代格式(0.2)h =,并计算(0.2),(0.4)y y 的值(保留小数点后至少8位)。
线性代数习题册(第三章 矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)
(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X） （X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0
1≤i< j≤n
1
xn
x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；
1
1 0
0
0
a11 a21
a12 a22
a13 a23
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
矩阵论(方保镕、周继东、李医民)习题1-3章
6. 解：（1）设 A 的实系数多项式 f A的全体为
f A a0 I a1 A am Am ai R, m正整数
1
显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间. （2）与（3）也都是线性空间.
(ai bi ) ai bi 2
i1
i1
i1
于是可知 L，因此 L 不是 V 的子空间.
18.
解：
Span(
' 1
,
' 2
,
' 3
)
的基为
1'
,
' 2
,
' 3
的一个最大无关组，
' 1
,
' 2
,
' 3
在基1
,
2
,
3
下的坐标依次为
(1, -2, 3) T , (2 , 3 , 2) T , (4, 13, 0 ) T
故 C =(1 , 2 , 3 , 4 ) 1 ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1 0 0 0 1 2 0 5 6
= 0100
0010
1 336 1 1 2 1
0001
1 013
2 056 1 336
= 1 1 2 1 .
1 013
⑵ 显然，向量α在基1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为 X =(1 ,2 ,3,4 ) T ,
7
（2）取
A
1 0
0 0
，B
矩阵分析与计算 (朱元国 饶玲 严涛 张军 李宝成 著) 国防工业出版社 课后答案
课
后
答
( )( ) = ������ Λ������ −1 ������ ������������ −1 = ������������,
案
( )( ) ������������ = ������ ������������ −1 ������ Λ������ −1 = ������ ������Λ������ −1 = ������ Λ������������ −1
概率与数理统计 第二, C语言程序设计教程 第 西方经济学(微观部分) C语言程序设计教程 第 复变函数全解及导学[西 三版 (浙江大学 三版 (谭浩强 张 (高鸿业 著) 中 二版 (谭浩强 张 安交大 第四版]
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2009-10-15
网
其中 ������ 和 Λ 是对角矩阵。于是有
w.
m
co m
ww
w.
2. (两个可对角化矩阵������, ������ ∈ ������ ������×������ 称为同时可对角化的，如果存在
co
m
矩阵分析与计算 第1章习题解答与提示
1
第1章 习题解答与提示
课后答案网
同一个相似变换矩阵������ ∈ ������ ������×������ ，使得������ −1 ������������ 和������ −1 ������������ 同为对角矩 阵。)
充分性 若������和������ 同时可对角化，则存在可逆矩阵������ ，使得 ������ = ������ ������������ −1 , ������ = ������ Λ������ −1 ,
是对应������的特征向量，而������是������的单特征值，所以������, ������������ 线性相关。因
矩阵论课后习题答案
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。
（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。
（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
第第三章矩阵
第三章矩阵§3.1 矩阵的运算练习题1. 如果矩阵X满足X+2A=B－X，其中A=101032302-⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭，B=321402010⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭求X。
2. 已知矩阵A=123031⎛⎫⎪⎝⎭，B=130210101⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，计算AB，AB-AB T.3. 设矩阵A=110 011 001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，计算A n,其中n为正整数。
4. 设()1,0,1Tα=-，矩阵A=T αα。
计算n aE A -，其中E 为三阶单位阵，n 为正整数。
5. 设4阶矩阵A=()234,,,αγγγ，B=()234,,,βγγγ，其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式4, 1.A B ==求A B +。
6. 设A为n阶矩阵，n为奇数，且满足AA T=E，A1=。
求A-E。
7. 设矩阵A=110011001⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭。
求3阶矩阵X，使得AX=XA。
8.设A是n阶实矩阵。
证明如果AA T=O，则A=O。
9. 设A，B是n阶实矩阵，若A2=A，B2=B，则称A，B为幂等阵。
已知A，B是幂等阵，证明A+B也是幂等阵的充要条件是AB=BA=O。
§3.2 几种特殊的矩阵练习题1. 设矩阵A=12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中12,,,n a a a 两两不同。
证明：与A 可交换的矩阵必是对角阵。
2. 设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵。
证明：AB 是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 。
§3.3 分块矩阵练习题1. 设矩阵A=3400 4300 0020 0022⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭利用分块矩阵求8A。
2. 设矩阵A=100000001000aabb⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，B=000100001000aabb⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭利用分块矩阵计算AA T，（A-B）B T。
3. 设矩阵A=1111 1111 1111 1111 --⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪--⎪--⎝⎭利用分块矩阵求A6。
矩阵分析第3章习题答案
矩阵分析第3章习题答案第三章1、已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ=（1）证明在上述定义下，nC 是⾣空间；（2）写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。
2、已知2111311101A --??=?-??，求()N A 的标准正交基。
提⽰：即求⽅程0AX =的基础解系再正交化单位化。
3、已知308126(1)316,(2)103205114A A --??=-=-??----??试求⾣矩阵U ，使得HU AU 是上三⾓矩阵。
提⽰：参见教材上的例⼦4、试证：在nC 上的任何⼀个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。
5、验证下列矩阵是正规矩阵，并求⾣矩阵U ，使H U AU 为对⾓矩阵，已知11332611(1)6322312623i i A i i ??--=--???01(2)10000i A i -=??，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--=----?+--??11(4)11A -??=??6、试求正交矩阵Q ，使TQ AQ 为对⾓矩阵，已知220(1)212020A -=---??，11011110(2)01111011A -??-?=-??-??7、试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知11(1)01112i i A i i +=-??-，222(2)254245A -??=---8、设n 阶⾣矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。
反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是⾣矩阵。
证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，⽭盾，所以矩阵E U +满秩。
矩阵理论第3章习题解答
第三章 习题解答1．求矩阵1141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的谱分解.解：(1) 求特征值()()12310E A λλλ-=-+=，所以特征值为123,1λλ==-.(2) 求特征向量：13λ=对应的特征向量为()11,2;Tp =21λ=-对应的特征向量为()21,2Tp =-.（3）谱分解：令1211(,)22P p p ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦，则1121124.1124TT P ωω-⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦令1111124,112TA p ω⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2221124,112T A p ω⎡⎤-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故谱分解式为123A A A =- 2 求单纯矩阵296182051240825A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的谱分解式.3.设()1,2,i i n λ=是正规矩阵n?n A ∈C 的特征值，证明：()21,2,ii n λ=是H A A 与HAA 的特征值.证：根据题设矩阵A ，则A 酉相似与对角矩阵，即()12diag ,,,H n A U U λλλ=其中U 为酉矩阵，则()()()()1212diag ,,diag ,,HH H H n n A A U U U U λλλλλλ=()22212diag ,,,HnU Uλλλ=即HA A 的特征值为()21,2,ii n λ=，同理可证()21,2,i i n λ=也是H AA 的特征值。
4 设A 是n n ⨯阶的实对称矩阵，并且20,A =你能用几种方法证明0.A =证：（1）设λ是矩阵A 的一个特征值，x 是对应于λ的一个非零特征向量，即,Ax x λ=220,A x x λ==所以20,λ=即0,λ=所以矩阵A 的特征值全为零，又A 酉相似与对角矩阵()12diag ,,,n λλλ所以0.A =（2）设0,A ≠则20,HA A A =≠与题设矛盾，所以结论成立。
5 试证：对于每一个实对称矩阵A ，都存在一个n 阶方阵S ，使3A S =。
线性代数(含全部课后题详细答案)3第三章矩阵习题解答.docx
习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、 ・仇 ・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。
第三章矩阵的初等变换练习题参考答案
第三章 矩阵的初等变换练习题参考答案一、判断题（ √ ）1．设A 是n 阶可逆方阵，则齐次线性方程组0Ax =只有零解。
（ √ ）2．若n 阶矩阵A 可逆，则()R A n =。
（ × ）3．n 元非齐次线性方程组Ax b =有解的充分必要条件()R A n =。
（ √ ）4. 两个n 阶矩阵A ，B 行等价的充要条件是存在n 阶可逆矩阵P 使得B PA =。
（ × ）5. 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并且化为的行阶梯形矩阵是唯一确定的。
（ × ）6. 若n 阶矩阵A 的秩为1n -，则A 的所有1n -阶子式均不为零。
（ √ ）7. 可逆矩阵A 总可以只经过有限次初等行变换化为单位矩阵E 。
（ √ ）8. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1+r 阶子式必为零。
（ × ）9.设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则Ax b =有无穷多解。
（ × ）10. 只有行等价的矩阵才具有相同的秩，列等价的矩阵不具有相同的秩.二、填空题1. 矩阵102120313043-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形矩阵为100000100001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
2. 设A 是5阶方阵，且满足2A A E +=， 则()R A E += 5 。
3．非齐次线性方程组的增广矩阵为B =21011101400000122000(1)1k k k kk --⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪--⎝⎭，则当k =0时方程组无解；当k =1时方程组有无穷解。
4．设线性方程组的增广矩阵为132331234102420210400130000a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪+--⎝⎭，则该方程组有解的充要条件是12340a a a a +--=。
5. 设矩阵A 经初等行变换可化为行阶梯形矩阵B 。
若A 的秩为3，则B 中非零行的行数为 3 。
(完整版)线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线性方程组
![(完整版)线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线性方程组](https://img.taocdn.com/s3/m/c1481ec7852458fb760b5623.png)
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵1.用初等行变换化矩阵102120313043A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为行最简形.2.用初等变换求方阵321315323A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.设412221311A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,32231-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1B=,求X使AX B=.4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.(1) 证明B可逆(2)求1AB-.习题 3-2 矩阵的秩1.求矩阵的秩:(1)310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦L2.设12312323k A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 ..()()a R A R B = .()()b R A R B <；.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-4. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4.5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 11-n .6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:()()R A R A E n +-=习题 3-3线性方程组的解1. 选择题(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).A.r m =时,方程组Ax b =有解B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则 是该方程组的解.121212121.;.;.();..22X X a X X b X X c X X d -+-+2.解下列方程组: (1)12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩(2)21 422221x y z wx y z wx y z w+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩3.设123123123(2)2212(5)42 24(5)1x x xx x xx x xλλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.4. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解.5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a,且在有解的情形,求出它的一般解.。
线性代数课后习题解答第三章习题解答
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
矩阵理论(科学出版社)习题详细解答
习题 一1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ cos sin sin cos x x x x ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++⎡⎤⎢⎥-++⎣⎦，故由归纳法知cos sin sin cos nnx nx A nx nx ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦。
（2）直接计算得4A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。
（3）记J=0 1 0 1 1 0 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 ， 112211111 () n n n nn n n n n n n n n nii n inni n nna C a C a C a C a C a A aE J Ca Ja C a a -----=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n∑。
2．设1122 (1,0),0 a A P P a A E λλ-⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则由得21112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1时,不可能。
而由2112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i P B P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
注：2A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。
3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2n 个未知数时线性方程AX -XA=0有2n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，通过直接检验即发现A 为纯量矩阵。
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4设 是 阶的实对称矩阵，并且 你能用几种方法证明
证：（1）设 是矩阵 的一个特征值， 是对应于 的一个非零特征向量，即 所以 即 所以矩阵 的特征值全为零，又 酉相似与对角矩阵 所以
（2）设 则 Βιβλιοθήκη 题设矛盾，所以结论成立。5试证：对于每一个实对称矩阵 ，都存在一个 阶方阵 ，使 。
证：矩阵 是一个对称矩阵，则 酉相似于一个对角矩阵，即
令 ，则
又由 令 则 。
7证明：一个正规矩阵若是三角矩阵，则它一定是对角矩阵.
证明参考课本101页引理3必要性的证明.
8证明：正规矩阵是幂零阵 的充要条件是
证：充分性： 则结论显然。
必要性：若 ，由题设矩阵 是正规矩阵，则 酉相似于一个对角矩阵，即
证：必要性：设 为正定的Hermite矩阵，根据定义有 ，即 ，同时有 所以
充分性：设 ，则 ，则矩阵 是Hermite矩阵。由于矩阵 是正定Hermite矩阵，存在一个正定的Hermite矩阵 ，使得 则有 对矩阵 施行相似变换： 则矩阵 与矩阵 有相同的特征值，且 是Hermite矩阵.
对 可得 即 是正定的Hermite矩阵，所以其所有的特征值为正，从而矩阵 所有的特征值为正，即矩阵 为正定的Hermite矩阵.
矩阵 的特征值为 ；其对应的特征向量构成的矩阵为
则酉变换为
13设矩阵 的最大秩分解为 ，证明：
证：充分性显然。
必要性：（反证法）如果存在向量 使得 ，但 ，令 ，则 。由于 是矩阵 的最大秩分解，则矩阵 的列向量是线性无关的，如果 ，则 ，从而 ，与题设矛盾，所以 。
15设 ， 均为正定矩阵的Hermite矩阵，则 为正定的Hermite矩阵的充要条件是 .
，
所以矩阵 至少有一个正的特征值。
11求下列矩阵的最大秩分解式。
，
解：（1）对矩阵 实行行初等变换，得
取
， ，
则 就是矩阵 的最大秩分解。
（2）同理对矩阵 进行行初等变换，可得
取
， ，
则 就是矩阵 的最大秩分解。
12设矩阵为
试问： 与 是正规矩阵吗？若是，通过酉变换把它们化成相似对角矩阵.
解：由于
所以矩阵 是正规矩阵。
第三章习题解答
1．求矩阵
的谱分解.
解：(1)求特征值 ，所以特征值为 .
(2)求特征向量： 对应的特征向量为
对应的特征向量为 .
（3）谱分解：令 ，则
令
故谱分解式为
2求单纯矩阵
的谱分解式.
3.设 是正规矩阵 的特征值，证明： 是 与 的特征值.
证：根据题设矩阵 ，则 酉相似与对角矩阵，即
其中 为酉矩阵，则
即
所以，可得
即 结论成立。
9求矩阵 的谱分解式，并给出 的表达式。
解：矩阵 的特征值： 所以矩阵 的特征值为
。
对应的特征向量分别为
，
令
则 的谱分解为 。
所以
10证明：如果一个实对称矩阵 的主对角元都大于零，则 至少有一个正的特征值。
证：设矩阵 ，由于矩阵 是对称矩阵，则其特征值 都是实数，根据矩阵特征值与矩阵迹的关系，可得