矩阵理论第3章习题解答
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，
所以矩阵 至少有一个正的特征值。
11求下列矩阵的最大秩分解式。
，
解：（1）对矩阵 实行行初等变换，得
取
， ，
则 就是矩阵 的最大秩分解。
（2）同理对矩阵 进行行初等变换，可得
取
， ，
则 就是矩阵 的最大秩分解。
12设矩阵为
试问： 与 是正规矩阵吗？若是，通过酉变换把它们化成相似对角矩阵.
解：由于
所以矩阵 是正规矩阵。
即
所以，可得
即 结论成立。
9求矩阵 的谱分解式，并给出 的表达式。
解：矩阵 的特征值： 所以矩阵 的特征值为
。
对应的特征向量分别为
，
令
则 的谱分解为 。
所以
10证明：如果一个实对称矩阵 的主对角元都大于零，则 至少有一个正的特征值。
证：设矩阵 ，由于矩阵 是对称矩阵，则其特征值 都是实数，根据矩阵特征值与矩阵迹的关系，可得
矩阵 的特征值为 ；其对应的特征向量构成的矩阵为
则酉变换为
13设矩阵 的最大秩分解为 ，证明：
证：充分性显然。
必要性：（反证法）如果存在向量 使得 ，但 ，令 ，则 。由于 是矩阵 的最大秩分解，则矩阵 的列向量是线性无关的，如果 ，则 ，从而 ，与题设矛盾，所以 。
15设 ， 均为正定矩阵的Hermite矩阵，则 为正定的Hermite矩阵的充要条件是 .
即 的特征值为 ，同理可证 也是 的特征值。
4设 是 阶的实对称矩阵，并且 你能用几种方法证明
证：（1）设 是矩阵 的一个特征值， 是对应于 的一个非零特征向量，即 所以 即 所以矩阵 的特征值全为零，又 酉相似与对角矩阵 所以
（2）设 则 与题设矛盾，所以结论成立。
5试证：对于每一个实对称矩阵 ，都存在一个 阶方阵 ，使 。
证：矩阵 是一个对称矩阵，则 酉相似于一个对角矩阵，即
令 ，则
又由 令 则 。
7证明：一个正规矩阵若是三角矩阵，则它一定是对角矩阵.
证明参考课本101页引理3必要性的证明.
8证明：正规矩阵是幂零阵 的充要条件是
证：充分性： 则结论显然。
必要性：若 ，由题设矩阵 是正规矩阵，则 酉相似于一个对角矩阵，即
证：必要性：设 为正定的Hermite矩阵，根据定义有 ，即 ，同时有 所以
充分性：设 ，则 ，则矩阵 是Hermite矩阵。由于矩阵 是正定Hermite矩阵，存在一个正定的Hermite矩阵 ，使得 则有 对矩阵 施行相似变换： 则矩阵 与矩阵 有相同的特征值，且 是Hermite矩阵.
对 可得 即 是正定的Hermite矩阵，所以其所有的特征值为正，从而矩阵 所有的特征值为正，即矩阵 为正定的Hermite矩阵.
第三章习题解答
1．求矩阵
的谱分解.
解：(1)求特征值 ，所以特征值为 .
(2)求特征向量： 对应的特征向量为
对应的特征向量为 .
（3）谱分解：令 ，则
令
故谱分解式为
2求单纯矩阵
的谱分来自百度文库式.
3.设 是正规矩阵 的特征值，证明： 是 与 的特征值.
证：根据题设矩阵 ，则 酉相似与对角矩阵，即
其中 为酉矩阵，则
所以矩阵 至少有一个正的特征值。
11求下列矩阵的最大秩分解式。
，
解：（1）对矩阵 实行行初等变换，得
取
， ，
则 就是矩阵 的最大秩分解。
（2）同理对矩阵 进行行初等变换，可得
取
， ，
则 就是矩阵 的最大秩分解。
12设矩阵为
试问： 与 是正规矩阵吗？若是，通过酉变换把它们化成相似对角矩阵.
解：由于
所以矩阵 是正规矩阵。
即
所以，可得
即 结论成立。
9求矩阵 的谱分解式，并给出 的表达式。
解：矩阵 的特征值： 所以矩阵 的特征值为
。
对应的特征向量分别为
，
令
则 的谱分解为 。
所以
10证明：如果一个实对称矩阵 的主对角元都大于零，则 至少有一个正的特征值。
证：设矩阵 ，由于矩阵 是对称矩阵，则其特征值 都是实数，根据矩阵特征值与矩阵迹的关系，可得
矩阵 的特征值为 ；其对应的特征向量构成的矩阵为
则酉变换为
13设矩阵 的最大秩分解为 ，证明：
证：充分性显然。
必要性：（反证法）如果存在向量 使得 ，但 ，令 ，则 。由于 是矩阵 的最大秩分解，则矩阵 的列向量是线性无关的，如果 ，则 ，从而 ，与题设矛盾，所以 。
15设 ， 均为正定矩阵的Hermite矩阵，则 为正定的Hermite矩阵的充要条件是 .
即 的特征值为 ，同理可证 也是 的特征值。
4设 是 阶的实对称矩阵，并且 你能用几种方法证明
证：（1）设 是矩阵 的一个特征值， 是对应于 的一个非零特征向量，即 所以 即 所以矩阵 的特征值全为零，又 酉相似与对角矩阵 所以
（2）设 则 与题设矛盾，所以结论成立。
5试证：对于每一个实对称矩阵 ，都存在一个 阶方阵 ，使 。
证：矩阵 是一个对称矩阵，则 酉相似于一个对角矩阵，即
令 ，则
又由 令 则 。
7证明：一个正规矩阵若是三角矩阵，则它一定是对角矩阵.
证明参考课本101页引理3必要性的证明.
8证明：正规矩阵是幂零阵 的充要条件是
证：充分性： 则结论显然。
必要性：若 ，由题设矩阵 是正规矩阵，则 酉相似于一个对角矩阵，即
证：必要性：设 为正定的Hermite矩阵，根据定义有 ，即 ，同时有 所以
充分性：设 ，则 ，则矩阵 是Hermite矩阵。由于矩阵 是正定Hermite矩阵，存在一个正定的Hermite矩阵 ，使得 则有 对矩阵 施行相似变换： 则矩阵 与矩阵 有相同的特征值，且 是Hermite矩阵.
对 可得 即 是正定的Hermite矩阵，所以其所有的特征值为正，从而矩阵 所有的特征值为正，即矩阵 为正定的Hermite矩阵.
第三章习题解答
1．求矩阵
的谱分解.
解：(1)求特征值 ，所以特征值为 .
(2)求特征向量： 对应的特征向量为
对应的特征向量为 .
（3）谱分解：令 ，则
令
故谱分解式为
2求单纯矩阵
的谱分来自百度文库式.
3.设 是正规矩阵 的特征值，证明： 是 与 的特征值.
证：根据题设矩阵 ，则 酉相似与对角矩阵，即
其中 为酉矩阵，则