2-2 谱线加宽与线型函数

g( ,
0
)d 1
(2-2-3)
它说明，图2-2-1中线性函数曲线与横轴所围的面积等于1。 由线性函数的定义，可以看出它的量纲为秒。
光谱线的宽度（线宽） 一般说来，线性函数曲线是以中心频率ν0处为中心的对 称曲线，ν=ν0处的函数值g(ν, ν0)最大，设在ν=ν1和ν=ν2处 线性函数值降至最大值的一半：
2-2 谱线加宽与线型函数
光谱线的线性函数及线宽对激光器的工作特性有很大的 影响，本节讨论这两个概念以及自然加宽的线性函数和线 宽。
一、线型函数 线型函数的引入：将光源所发出的光通过光谱仪，在照相 地板上的不同位置便可得到由若干条亮度不等的线所组成 的光谱。其中每一条线称光谱线，它代表光源发光中的某 一波长成分，不同光源所发光的波长成分不一样，也就是 有不同的光谱。
2
2 2
(2-2-8)
讨论自然加宽的线型函数： 1. 当v=v0时，函数值取最大值
g m g N v0 , v0
2

（2-2-9）
当
v v0 2
v N
时，函数值降至最大值的一半，故线性函数的线宽为： （2-2-10）
2 2
将上式代入
g N v v0
Pt P0e2t
可得到：
A21 2
（2-2-17）
由第一章所知，自发辐射的跃迁几率A21与发光原子处在 上能级的寿命τN互为倒数，因此有：

1 2 N
（2-2-18）
将它代入（2-2-10）式中，便可得到自然线宽为：
v N 1 2 N
（2-2-19）
我们称由（2-2-12）式与（2-2-13）式所描述的线性函数 为洛伦兹型。
Pv F[ E (t )]
2 2 2 ( ) v v 0 2
1
(2-2-7)
将(2-2-7)式代入
Pv g( , 0 ) P
(2-2-1)
(2-2-2)
P Pv dv


可求出这种自然加宽的线性函数为：
g N v v0
2 v v0 2
1 g( 1 , 0 ) g( 2 , 0 ) g( , 0 ) 2
(2-2-1)
我们就称v1与v2之差等于Δν= v2-v1为光谱线的宽度，或 称线宽。
二、自然加宽 定义：处于激发态的发光粒子，在自发辐射的发光过程中， 辐射功率不断衰减，导致光谱线有一定的宽度。发光粒子 的这种谱线加宽是不可避免的，称作自然加宽。 现在我们从经典电子论的观点出发，推导自然加宽的 线性函数及其线宽。 经典电子论认为一个原子可以看成是个偶极子，它由 一个正电中心和一个负电中心组成，当正电中心与负电中 心之间的距离r按照简谐振动的规律变化时，此原子便发 射出同频率的电磁波。用ν0表示振动频率，则r可以表示成：
Pv g( , 0 ) P
(2-2-1)
Pv g( , 0 ) (2-2-1) P 式中：P——总发射辐射功率 。
因为Pνdν可表示发光粒子在ν~ν+dν范围内的自发辐射 功率，因此总自发辐射功率为：
P Pv dv


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(2-2-2)
线性函数曲线如图所示 ：
由(2-2-1)式与（2-2-2）式很容易得出线性函数满足所谓 归一化条件。即
2
（2-2-12）
2 gm vN
（2-2-13）
为了推导自然加宽ΔνN的计算公式，我们先来看一下 由（1-3-9）式所描述的因自发辐射所造成的上能级粒子 数目密度随时间衰减的规律。因为自发辐射功率与粒子数 密度成正比，故自发辐射功率随时间的变化规律也可以写 成类似的形式：
P(t ) P(0)e A21t
式中：γ——称为衰减因子。
t0 t0
(2-2-6)
E e t ei 2v0t , 0 E (t ) 0,
t0 t0
(2-2-6)
上式所描述的电磁场可用图2-2-2表示。显然，发光原 子所发射的电磁波不是严格的简谐波，其中包含有许多不 同频率的简谐波。
对（2-2-6）式进行傅里叶变换，然后再去模方，便可得 到发光原子的自发辐射单色辐射频率为：
由于发光粒子处在上能级的寿命是有限的，故自发辐 射发光的功率并不是全部集中在由跃迁上、下能级所决定 的中心频率处。而是分布在此中心频率附近的很小频率范 围内。可以用单色辐射功率P来描述这一分布规律，它定 义为发光粒子在频率ν处、单位频率间隔内的自发辐射功 率，它是频率ν的函数。在中心频率ν 0处，单色辐射功率 最大。 偏离中心频率时，单色频率功率便按一定的规律衰减。 为了描述单色辐射功率随频率变化的规律，我们引入光谱 线的线型函数，它定义为：
2 v v0 2
2
(2-2-8)
有：
g N v, v0
v N 2 v v 0 2 v N 2
2
v N 2
（2-2-11）
或者改写成：
g N v, v0 gm
v N 2 v v 0 2
r r0 cos2 0 t
(2-2-5)
原子的能量在发射电磁波的过程中不断衰减，相应的 辐射电磁场也不断衰减。以发射开始的瞬间作为计时起点， 并采用复数形式表示振动，就可以将发光原子自发辐射产 生的光频电磁场随时间变化的的规律写成：
E e t ei 2v0t , 0 E (t ) 0,
(2-2-14)
另一方面，取（2-2-6）式的模平方，可得到单个发光原 子自发辐射功率随时间变化的规律为：
E t E02 e 2t
2
（2-2-15）
整个光源的自发辐射功率与它成正比，故有：
Pt P0e2t
P(t ) P(0)e A21t
（2-2-16）
比较（2-2-14）式与（2-2-16）式 (2-2-14) （2-2-16）