2-2 谱线加宽与线型函数
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光谱线增宽
一 经典辐射理论
1.极子阻尼振动时释放能量 —— 自发辐射现象
U
t 2
e
U 0e
t 2
cos2v0 t
其阻尼振动形式为
U U 0e
t 2
cos2v0t
(1-60)
其发射的光强 I U
2
, 可表示为 I AU 2 e 0
t
其中:τ——驰豫时间，振子的辐射寿命 当
三种跃迁中单位时间内发生跃迁的粒子数密度
dn2 ( ) sp n2 A21 (v)dv n2 A21 f (v)dv 0 0 dt n2 A21 f (v)dv n2 A21
0
dn2 ( ) st n2W21 (v)dv n2 B21 f (v) v dv 0 0 dt dn2 ( ) st n1W12 (v)dv n1 B12 f (v ) v dv 0 0 dt
CO2
D
Ne
(CO2的多普勒线宽小得多)
其它展宽
（1） 飞行时间展宽
（2） 仪器增宽
1.4.5 均匀增宽和非均匀增宽 一. 均匀增宽 Homogeneous broadening ：
自然增宽、碰撞增宽
共同特点：
• 引起加宽的物理因素对每个原子都是等同的
• 都是光辐射偏离简谐波引起的谱线加宽 在这类加宽中，每一粒子的发光对谱线内的任一频率都有贡献， 我们不能把某一发光粒子和曲线中某一频率单独联系起来
（1-53）
与
dn2 ( ) st W21n2 dt
对比有
W21 B21 f (v0 )
ρ vv
'
(1-54)
1.极子阻尼振动时释放能量 —— 自发辐射现象
U
t 2
e
U 0e
t 2
cos2v0 t
其阻尼振动形式为
U U 0e
t 2
cos2v0t
(1-60)
其发射的光强 I U
2
, 可表示为 I AU 2 e 0
t
其中:τ——驰豫时间，振子的辐射寿命 当
三种跃迁中单位时间内发生跃迁的粒子数密度
dn2 ( ) sp n2 A21 (v)dv n2 A21 f (v)dv 0 0 dt n2 A21 f (v)dv n2 A21
0
dn2 ( ) st n2W21 (v)dv n2 B21 f (v) v dv 0 0 dt dn2 ( ) st n1W12 (v)dv n1 B12 f (v ) v dv 0 0 dt
CO2
D
Ne
(CO2的多普勒线宽小得多)
其它展宽
（1） 飞行时间展宽
（2） 仪器增宽
1.4.5 均匀增宽和非均匀增宽 一. 均匀增宽 Homogeneous broadening ：
自然增宽、碰撞增宽
共同特点：
• 引起加宽的物理因素对每个原子都是等同的
• 都是光辐射偏离简谐波引起的谱线加宽 在这类加宽中，每一粒子的发光对谱线内的任一频率都有贡献， 我们不能把某一发光粒子和曲线中某一频率单独联系起来
（1-53）
与
dn2 ( ) st W21n2 dt
对比有
W21 B21 f (v0 )
ρ vv
'
(1-54)
谱线宽度、展宽
1
2012-1-21 9
自然加宽的线型函数为：
γ 1 g (ν ) = 2 2 4π γ 2 + (ν −ν 0 ) 4π
这种函数称为洛仑兹函数 当ν = ν 0时，g (ν )取最大值 g max = 4
γ
10
2012-1-21
1 谱线宽度：峰值降到 大小处所对应的波长范围。 2 自然加宽谱线宽度＝右侧半峰值波长－左侧半峰值波长 1 1 2 γ ′) = 2 g (ν = g max = 2 γ 4π γ 2 2 + (ν ′ −ν 0 ) 4π ⇒ ⇒ ⇒
−∞ +∞ +∞
= n2 A21 结论：谱线加宽对自发辐射没有影响
2012-1-21 12
（2） 受激辐射情况 爱因斯坦受激辐射系数： c3 c3 A21 (ν ) B21 = A21 = 3 8π hν 8π hν 3 g (ν ) ∴ B21 (ν ) = B21 g (ν ) 将受激辐射系数看成频率ν 的函数 受激辐射跃迁几率： W21 (ν ) = B21 g (ν )ω (ν )
2012-1-21
2
（2） 线型函数g(ν ) 以光强的相对值为纵坐标，以频率为横坐标， 所得光强分布曲线——线型函数g(ν ) 定义：总辐射功率为I0的光谱中，落在频率ν ～ν + dν 范 围内的辐射功率与总功率之比值随频率的分布情况。 g (ν ) = I (ν ) I0
+∞
归一化条件：
+∞
∴ 简并度 = 2S + 1 = 1 ∴ J = L+S = 2 ∴ 原子的状态符号为： 1s3d D2
1
2012-1-21 23
（2） 两电子自旋方向相同 1 1 S = s1 + s2 = + = 1 2 2 L = l1 + l2 = 0 + 2 = 2 ∴ 简并度 = 2S + 1 = 3 ∴ J = L + S、L + S − 1、.... L − S = 3、、 21 ∴ 原子的状态符号为： 1s3d 3 D3 、 3d 3 D2、 3d 3 D1 1s 1s
2012-1-21 9
自然加宽的线型函数为：
γ 1 g (ν ) = 2 2 4π γ 2 + (ν −ν 0 ) 4π
这种函数称为洛仑兹函数 当ν = ν 0时，g (ν )取最大值 g max = 4
γ
10
2012-1-21
1 谱线宽度：峰值降到 大小处所对应的波长范围。 2 自然加宽谱线宽度＝右侧半峰值波长－左侧半峰值波长 1 1 2 γ ′) = 2 g (ν = g max = 2 γ 4π γ 2 2 + (ν ′ −ν 0 ) 4π ⇒ ⇒ ⇒
−∞ +∞ +∞
= n2 A21 结论：谱线加宽对自发辐射没有影响
2012-1-21 12
（2） 受激辐射情况 爱因斯坦受激辐射系数： c3 c3 A21 (ν ) B21 = A21 = 3 8π hν 8π hν 3 g (ν ) ∴ B21 (ν ) = B21 g (ν ) 将受激辐射系数看成频率ν 的函数 受激辐射跃迁几率： W21 (ν ) = B21 g (ν )ω (ν )
2012-1-21
2
（2） 线型函数g(ν ) 以光强的相对值为纵坐标，以频率为横坐标， 所得光强分布曲线——线型函数g(ν ) 定义：总辐射功率为I0的光谱中，落在频率ν ～ν + dν 范 围内的辐射功率与总功率之比值随频率的分布情况。 g (ν ) = I (ν ) I0
+∞
归一化条件：
+∞
∴ 简并度 = 2S + 1 = 1 ∴ J = L+S = 2 ∴ 原子的状态符号为： 1s3d D2
1
2012-1-21 23
（2） 两电子自旋方向相同 1 1 S = s1 + s2 = + = 1 2 2 L = l1 + l2 = 0 + 2 = 2 ∴ 简并度 = 2S + 1 = 3 ∴ J = L + S、L + S − 1、.... L − S = 3、、 21 ∴ 原子的状态符号为： 1s3d 3 D3 、 3d 3 D2、 3d 3 D1 1s 1s
谱线宽度、展宽
4 2
4
2
1
(
0 )2
N 2
2
N
2
1
(
0 )2
2020/7/25
19
（2） 碰撞加宽
a、气体分子间的碰撞、气体分子与容器的碰撞
碰撞
跃迁过程中断
跃迁时间t变小
E t h
E增大，能级变宽
b、晶体中原子与相邻原子间的耦合作用，可认为是碰撞
碰撞加宽的线型函数gL ( )
gL ( )
于原子发光的中心频率（
），只要在不偏离中心频率太大的范围内，
0
都可以产生受激跃迁。只是在
0时跃迁几率最大，偏离
时，跃迁几
0
率会变小。（
=
时跃迁几率最大）
0
原子能级跃迁线型函数
准单色光（入射光）谱线
2020/7/25
16
（2） 原子与连续光辐射的作用
与上一情况相反：
g( )只在 0附近才有非零值，在此范围内可用( 0 )代替( )
系统的频率相符合辐射场，从而对原子系统进行激 励、泵浦，但辐射场的利用率比较低，大部分辐射 场都没有用上。
2020/7/25
18
§1-7 均匀加宽和非均匀加宽
一、均匀加宽
定义：在这类加宽中，每一个发光粒子所发的光对谱线
的任一频率都有贡献。
（1） 自然加宽：粒子自发辐射过程中不可避免的增宽效应
g( )
则：
dn21
dt
n2 B21
g( )( )d
n2B21( 0 ) g( )d
n2B21( 0 )
同理：
dn12 dt
n1B12( 0 )
2020/7/25
3.3谱线加宽和线型函数(精)
• 在经典模型中，原子中作简谐运动的电子由 于自发辐射而不断消耗能量，因而电子振动 的振幅服从阻尼振动规律
x(t ) x0 exp( t 2 ) exp( i 2 0t )
其中，0是原子作无阻尼简谐振动的频率， 即原子发光的中心频率，为阻尼系数。这种 阻尼运动不再是频率为0的单一频率（简谐） 振动，而是包含有许多频率的光波，即谱线 加宽了，此即形成自然加宽的原因。
深圳大学电子科学与技术学院
• 对x(t)作傅立叶变换，可求得它的频谱
x( )
0
x(t )e
i 2 t
dt x0 e e
2 0
t
i 2 ( 0 ) t
dt
2
x0 i ( 0 )2
• 辐射功率正比于电子振动振幅的平方，频率 在~+d区间内的自发辐射功率为
深圳大学电子科学与技术学院
加宽机制之一——均匀加宽
homogeneous broadening
• 如果引起加宽的物理因素对每个原子都是等 同的，则这种加宽称作均匀加宽 • 每个原子都以整个线型发射，不能把线型函 数上的某一特定频率和某些特定原子联系起 来，即每一发光原子对光谱线内任一频率都 有贡献。
• The fact that both the emission and the absorption are described by the same lineshape function can be verified experimentally, follows from basic quantum mechanical considerations.
• The separation between the two frequencies at which the lineshape function is down to half its peak value is referred to as the linewidth.
谱线加宽与线型函数课件
谱线加宽与线型函数课件
本课件将探讨线型函数的概念和谱线加宽的原理、影响和应用等内容。
线型函数的定义
定义
线型函数是具有线性关系的 函数，表现在函数图像中是 一条直线。
特点
可由函数的截距和斜率得到， 用 y = mx + b 表示。
应用
在物理、经济学和工程学等 领域有广泛应用。
线型函数的图像
斜率
斜率越大，直线越陡峭，变化越快。
3 原因
由于分子内部复杂的振动 运动所引起的自然线型与 气体分子动力学碰撞引起 的包络线型相互叠加。
谱线加宽的影响
分辨率
谱线加宽降低了仪器的分辨率。
信噪比
谱线加宽降低了信噪比。
谱线解释
谱线加宽给定谱线的形状和位 置带来更大的不确定性，增加 了谱线解释的难度。
谱线加宽的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
1
气象学
谱线加宽用于确定大气中的水蒸气含量和温度等，对天气预报具有重要意义。
2
天体物理学
利用谱线加宽分析物体的运动、形态和组成等。
3
化学分析
谱线加宽用于测定物质的结构和成分，对环境、食品和药品等领域具有广泛的应 用。
结论和总结
重要性
谱线加宽是研究物质和能量传播过程的重要手段。
影响因素
涉及物理、化学、气象学等学科知识，也与仪器的精度、分辨率等因素有关。
应用前景
谱线加宽的应用前景十分广泛，在多个学科领域具有重要地位。
截距
截距决定了函数图像与 Y 轴相交的位置。
正、负斜率
正斜率表示坐标轴方向上的增长，负斜率表示坐标 轴方向上的减少。
零斜率
零斜率表示函数不改变，在图像上描述为一条水平 线。
本课件将探讨线型函数的概念和谱线加宽的原理、影响和应用等内容。
线型函数的定义
定义
线型函数是具有线性关系的 函数，表现在函数图像中是 一条直线。
特点
可由函数的截距和斜率得到， 用 y = mx + b 表示。
应用
在物理、经济学和工程学等 领域有广泛应用。
线型函数的图像
斜率
斜率越大，直线越陡峭，变化越快。
3 原因
由于分子内部复杂的振动 运动所引起的自然线型与 气体分子动力学碰撞引起 的包络线型相互叠加。
谱线加宽的影响
分辨率
谱线加宽降低了仪器的分辨率。
信噪比
谱线加宽降低了信噪比。
谱线解释
谱线加宽给定谱线的形状和位 置带来更大的不确定性，增加 了谱线解释的难度。
谱线加宽的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
1
气象学
谱线加宽用于确定大气中的水蒸气含量和温度等，对天气预报具有重要意义。
2
天体物理学
利用谱线加宽分析物体的运动、形态和组成等。
3
化学分析
谱线加宽用于测定物质的结构和成分，对环境、食品和药品等领域具有广泛的应 用。
结论和总结
重要性
谱线加宽是研究物质和能量传播过程的重要手段。
影响因素
涉及物理、化学、气象学等学科知识，也与仪器的精度、分辨率等因素有关。
应用前景
谱线加宽的应用前景十分广泛，在多个学科领域具有重要地位。
截距
截距决定了函数图像与 Y 轴相交的位置。
正、负斜率
正斜率表示坐标轴方向上的增长，负斜率表示坐标 轴方向上的减少。
零斜率
零斜率表示函数不改变，在图像上描述为一条水平 线。
激光原理：3-1谱线加宽与线型函数
3.1谱线加宽与线型函数
二、线型函数
1、定义：
g(ν)
I(ν)
0 I(ν)d ν
第3章 辐射场与物质的相互作用
单位： s
2、性质：
0 g(ν)d ν 1
3、本质：反映发光粒子或光源光谱线形状。
3.1谱线加宽与线型函数
第3章 辐射场与物质的相互作用
三、自然加宽线型函数——洛仑兹型
自然加宽: 发光粒子在自发辐射过程中由于辐射电 磁波不断衰减而导致的谱线加宽。
第3章 辐射场与物质的相互作用
（1）均匀加宽：
每一个发光粒子（原子、离子、分子）发的 光对谱线内的任一频率都有贡献。
自然加宽、碰撞加宽、晶格振动加宽
（2）非均匀加宽： 每一个发光粒子所发的光只对谱线内的某些
确定的频率才有贡献。在非均匀加宽中，各种不 同的粒子对不同频率有贡献。
多普勒加宽 (Doppler Broadening)
由原子在激发态的有限寿命引起。
线型函数:
DνN 2
gN (ν)
D νN 2
2
2 (ν ν0 )2
gm
2 gm D νN
D νN
1 2 2
DnN:自然线宽 2:激光上能级寿命
3.1谱线加宽与线型函数
第3章 辐射场与物质的相互作用
复习原子发射电磁波的过程：
研究原子 发射电磁 波时，通 常用谐振 子持续振 动辐射电 磁波这样 的理论模 型。
I0
1
4 2 (ν ν0 )2 I02
gm
42
2 D νN
3.1谱线加宽与线型函数
第3章 辐射场与物质的相互作用
例1：He-Ne激光器和CO2激光器上能级寿命分别为10-8s 和10-4s，求(1)两激光器发光粒子所发光的自然线宽。
谱线加宽、均匀加宽学习笔记
成的。 • 量子解释：由测不准原理——不可能同
E1
时测准微观粒子的时间和能
E
量： tE ；
E2
• 由此可知，当原子能级寿命→∞时，能 级的宽度→0，原子的有限寿命会引起
/ 2
能级的展宽，从而使得发出的光子的频
率不再是单一频率，而是有一定的频率 间隔Δν。
E1
均匀加宽
•x由阻t 尼谐x振0子e模2型te可i以0t 得到其辐射场表达E式：t
E
E0
e
2
t
ei0t
E0
e
t
2
ei0t
谱线加宽与线型函数
谱线加宽与线型函数
• 光谱线的频率分布
• 前面讨论原子自发辐射时，认为原子的能级是无限窄的，此时的自发辐 射光是单色光，即全部的光强都集中在频率ν=(E2-E1)/h上；
• 实际上原子的自发辐射并
不是单色光，而是分布在
中心频率ν附近的一个很
小频率范围内-这就是谱线
I ( )
加宽。
0
谱线加宽与线型函数
• 原子自发辐射的总功率为： P
P( )d
•
•
引入谱线的线型函数g(ν,ν0)：
g( ,
其量纲为sec，其中的ν0是线型函数 的中心频率；
0
)
P(
P
P(
)
)d
• 根据线型函数的定义： g( , 0 )d
• 得出结论：线型函数是归一化的； I( )
• 其中P为气体压强； • α为实验测得的系数；
均匀加宽
• 3、均匀加宽
• 均匀加宽具有以下的特点：
• 引起加宽的因素对每个原子都相同； • 每个原子发光时，发出整个线型，即对整个分布都有贡献，
谱线加宽与线型函数
•
由于任何原子都是以相同的机率发生碰撞，因此 由碰撞引发的高能级原子寿命减少与自然加宽中 的机制是相同的，因而碰撞加宽的线型函数与自 然加宽的线型函数一样。 碰撞加宽线型函数：
碰撞线宽：
L
平均碰撞时间（发生碰撞的平均时间间隔）
均匀加宽－引起加宽的物理因素对每个原子都等 同,每个发光原子都按整个线型发光。
dn2 dn n 21 A21n2 2 dt dt s
n2 (t ) n2 0e
t
s
求得自发辐射功率为
dn21 dn2 (t ) P(t ) h h n20hA21e dt dt
t
s
P0e
t
s
比较两式可得：
1
s
洛仑兹线型（Lorentzian lineshape）
=? 设在初始时刻t=0时能级E2上有n20个原子，则自发辐 射功率随时间的变化规律可写为：
P(t ) n20 x(t ) n20x(t ) x* (t )
2
P(t ) n x e
2 t 20 0
P (t ) P0 e t
另一方面， E2能级上原子数随时间的变化规律为
c m 2 g D , 0 e 0 2 KT
1 mc2 0 2 2 2 KT 0
g D , 0
g D 0 , 0
g D 0 , 0 / 2
该线型函数具有高斯函数的形式。
0
如果不考虑均匀加宽，每个原子自发辐射的频率ν精确等 于原子的中心频率ν0’。频率处在ν~ν+dν范围内的自发辐 射光功率为：
2-2 谱线加宽与线型函数
2
（2-2-12）
2 gm vN
（2-2-13）
为了推导自然加宽ΔνN的计算公式，我们先来看一下 由（1-3-9）式所描述的因自发辐射所造成的上能级粒子 数目密度随时间衰减的规律。因为自发辐射功率与粒子数 密度成正比，故自发辐射功率随时间的变化规律也可以写 成类似的形式：
P(t ) P(0)e A21t
1 g( 1 , 0 ) g( 2 , 0 ) g( , 0 ) 2
(2-2-1)
我们就称v1与v2之差等于Δν= v2-v1为光谱线的宽度，或 称线宽。
二、自然加宽 定义：处于激发态的发光粒子，在自发辐射的发光过程中， 辐射功率不断衰减，导致光谱线有一定的宽度。发光粒子 的这种谱线加宽是不可避免的，称作自然加宽。 现在我们从经典电子论的观点出发，推导自然加宽的 线性函数及其线宽。 经典电子论认为一个原子可以看成是个偶极子，它由 一个正电中心和一个负电中心组成，当正电中心与负电中 心之间的距离r按照简谐振动的规律变化时，此原子便发 射出同频率的电磁波。用ν0表示振动频率，则r可以表示成：
式中：γ——称为衰减因子。
t0 t0
(2-2-6)
E e t ei 2v0t , 0 E (t ) 0,
t0 t0
(2-2-6)
上式所描述的电磁场可用图2-2-2表示。显然，发光原 子所发射的电磁波不是严格的简谐波，其中包含有许多不 同频率的简谐波。
对（2-2-6）式进行傅里叶变换，然后再去模方，便可得 到发光原子的自发辐射单色辐射频率为：
2
2 2
(2-2-8)
讨论自然加宽的线型函数： 1. 当v=v0时，函数值取最大值
g m g N v0 , v0
谱线加宽和线型函数
谱线加宽和线型函数谱线加宽是指在光谱图上，对于具有一定宽度的谱线进行可视化处理，以使其看起来更宽。
谱线加宽的目的是为了更好地表示谱线的形状和分布，并提供更准确的数据分析。
在实际应用中，谱线加宽常常与线型函数相结合使用。
线型函数是用数学方法表示谱线的形状和分布的函数。
不同的谱线具有不同的线型函数，常见的有高斯型、洛伦兹型等。
线型函数的参数可以用于描述谱线的峰值位置、峰值强度、峰宽等特征。
在光谱分析中，谱线加宽和线型函数是不可或缺的工具。
首先，谱线加宽可以通过增加谱线的宽度，提高谱线的稳定性和可视化效果。
这对于谱线弱或者峰位模糊的情况特别有用。
其次，线型函数可以用于对谱线进行数学拟合，以获得更准确的参数估计。
线型函数的选择要结合谱线的实际情况，比如高斯型适用于对称峰，洛伦兹型适用于非对称峰。
对于谱线加宽，常用的方法有直接加宽和卷积加宽。
直接加宽是在谱线的两侧增加一定宽度的矩形区域。
这样可以在光谱图上清晰地显示出谱线的分布范围，但是无法提供对谱线形状的详细描述。
卷积加宽是将谱线与一个适当的函数进行卷积，使谱线的宽度得到增大。
这样可以更好地反映出谱线的实际形状，但是过于复杂的卷积算法会增加计算量。
线型函数的选择应考虑谱线的实际形状和分布特点。
常见的线型函数有高斯型函数和洛伦兹型函数。
高斯型函数适用于对称峰，其形式为e^(-(某-μ)^2/2σ^2)，其中μ和σ分别是高斯峰的均值和标准差。
洛伦兹型函数适用于非对称峰，其形式为1/(1+((某-μ)/σ)^2)，其中μ和σ分别是洛伦兹峰的中心位置和半峰宽。
线型函数参数的估计可以采用最小二乘法或最大似然估计等方法。
最小二乘法通过最小化观测值与线型函数之间的差异来估计参数，最大似然估计则通过最大化观测值的可能性来估计参数。
这些方法可以给出关于谱线的位置、强度和宽度的估计值。
总之，谱线加宽和线型函数是光谱分析中常用的工具。
谱线加宽可以改善光谱图的可视化效果，线型函数可以用于对谱线进行数学拟合。
谱线加宽和线型函数
1.2 线型函数
定义光谱线的线型函数：g~
, 0
P
P
， 〔s〕
单色辐射功率 P ：发光粒子在频率v处、单位
频率间隔内的自发辐射功率。P：总自发辐射功
率。
总自发辐射功率：
P
P
d
线型函数满足归一化条件：
g~
,
0
d
1
~
g1, 0
~
g 2 , 0
1 2
~
g
, 0
光谱线的宽度〔线宽〕： 2 -1
m
2 KT
1
2
e
2
mc2
KT
2 0
0
'
0
2
dn 0 '
这是原子数按照中心频率的分布规律。 0 d0 ' 0 '
、多普勒加宽线型函数及线宽
自发辐射的光功率为：P n2 A21h 0 如果不考虑均匀加宽，每个原子自发辐射的频率ν
准确等于原子的中心频率ν0’。频率处在ν~ν+dν 范围内的自发辐射光功率为：
P(t) n20 x(t) 2 n20 x(t)x*(t)
P(t) n20 x02et
P(t) P0et
另一方面， E2能级上原子数随时间的变化规律为
dn2 dt
dn21 dt
A21n2
n2
s
求得自发辐射功率为
t
n2 (t) n20e s
P(t)
dn21 h
dt
dn2 (t) h
n1
0
'
n1
g
D
0
',
0
dn2
0 '
n2
2-3 谱线加宽
2020年3月4日星期三
理学院 物理系
§2.3谱线加宽.谱线宽度
㈡非均匀加宽 发光原子只为光谱线内某一特定频率起作用
1.多普勒增宽 发光原子相对于观察者（接收器）运动引起的谱线增宽。
⑴光的多普勒效应 定义：光源和接受器之间存在相对运动时，接受器接受
到的频率不等于光源与接受器相对静止时的频率。
2020年3月4日星期三
0 )2
(1/
2
)2
ν0 — 中心频率，即 I(ν) ～ν分布关系为：
2020年3月4日星期三
理学院 物理系
§2.3谱线加宽.谱线宽度
g N(ν) — 频率ν附近，单位频率间隔的相 对光强随频率分布，则：
gN
( )
4
2 (
A
0 )2
(1/
2
)2
g N(ν)：自然增宽的线型函数.
中，因此，激活离子的能级将受到周围基质晶体的晶格场的影 响。根据固体理论可知，晶体的晶格将随时间做周期性的振动， 处于周期性变化的晶格场的激活离子的能级能量也将会在一定 范围内发生变化，从而导致辐射场的频率范围也随之改变，引 起谱线加宽。这种加宽被称为晶格振动加宽。由于温度越高， 晶体的晶格振动越剧烈，导致激活离子的能级变化范围越大， 因此，谱线宽度也会随着工作物质温度的升高而变宽。因为晶 格振动对于所有激活离子的影响基本相同，因此，晶格振动加 宽属于均匀加宽。在固体激光器中，固体工作物质中激活离子 的自发辐射和无辐射跃迁造成的谱线加宽通常很小，引起谱线 加宽的主要因素就是晶格振动加宽。
由 gN ( )d 1 得： A=1/，因此：
0
gN
( )
4
2
谱线加宽和线型函数
谱线加宽和线型函数在原子光谱学中，谱线加宽是指光谱线在频率、波长或能量方面的展宽，是由多种因素造成的。
这些因素包括：粒子的速度分布、粒子的碰撞效应、电子和离子的相互作用、自然展宽和仪器分辨率等。
粒子的速度分布对谱线加宽的影响十分重要，它是因为大多数的粒子不是静止的，而是运动着的。
这些运动导致谱线加宽，因为由于多个速度的贡献，光谱线不再是单个频率，而是一系列频率分量。
这是因为，如果速度分布较广，则每个速度都会导致相应的谱线分量，这些分量在谱线的两边形成尾状结构，形成了谱线加宽。
另一个重要因素是粒子之间的碰撞效应。
当两个或更多的原子或分子碰撞时，它们会扰动彼此，这也会导致谱线加宽。
这是因为，在碰撞后，分子或原子把能量传递给其他分子，从而产生各种能量状态，导致谱线加宽。
这种加宽被称为压力致宽。
电子和离子的相互作用也会导致谱线加宽，因为它们可以在原子内部引起激发、电离、抵消等效应。
当这些效应发生时，原子能级之间的跃迁会产生多个频率组件，从而导致谱线加宽。
自然展宽是另一个可能导致谱线加宽的因素，这是由于量子力学的基本原理引起的。
它可以由一个例子来解释：在氢原子中，电子可以处于不同的能级。
当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，它会辐射出一个光子。
根据波粒二象性，光子的波长（或频率）是由电子跃迁之间的能量差确定的。
由于这个能量差在原子内部具有不确定性，因此谱线就会加宽。
线型函数是描述谱线形状的数学函数。
在谱线加宽的情况下，谱线的形状变得更复杂，需要使用适当的线型函数进行拟合。
线型函数通常是高斯、洛伦兹、吉布斯等函数之一。
高斯函数通常用于拟合性能很好的光谱，如雷曼或反斯托克斯线。
高斯函数呈正态分布，即在光谱线的中间达到最大值，而两端逐渐下降。
洛伦兹函数适用于拟合弱的光谱和分子吸收线。
洛伦兹线型在谱线顶部较宽、两端较狭窄，呈现慢慢递减的形式。
吉布斯线型常用于近红外区域的强谱线，特别是由于反熵效应导致的谱线对比过度强的情况。
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g( ,
0
)d 1
()
它说明，图2-2-1中线性函数曲线与横轴所围的面积等于1。 由线性函数的定义，可以看出它的量纲为秒。
光谱线的宽度（线宽） 一般说来，线性函数曲线是以中心频率ν0处为中心的对 称曲线，ν=ν0处的函数值g(ν, ν0)最大，设在ν=ν1和ν=ν2处 线性函数值降至最大值的一半：
2 v v0 2
2
(2-2-8)
有：
g N v, v0
v N 2 v v 0 2 v N 2
2
v N 2
（2-2-11）
或者改写成：
g N v, v0 gm
v N 2 v v 0 2
由于发光粒子处在上能级的寿命是有限的，故自发辐 射发光的功率并不是全部集中在由跃迁上、下能级所决定 的中心频率处。而是分布在此中心频率附近的很小频率范 围内。可以用单色辐射功率P来描述这一分布规律，它定 义为发光粒子在频率ν处、单位频率间隔内的自发辐射功 率，它是频率ν的函数。在中心频率ν 0处，单色辐射功率 最大。 偏离中心频率时，单色频率功率便按一定的规律衰减。 为了描述单色辐射功率随频率变化的规律，我们引入光谱 线的线型函数，它定义为：
2-2 谱线加宽与线型函数
光谱线的线性函数及线宽对激光器的工作特性有很大的 影响，本节讨论这两个概念以及自然加宽的线性函数和线 宽。
一、线型函数 线型函数的引入：将光源所发出的光通过光谱仪，在照相 地板上的不同位置便可得到由若干条亮度不等的线所组成 的光谱。其中每一条线称光谱线，它代表光源发光中的某 一波长成分，不同光源所发光的波长成分不一样，也就是 有不同的光谱。
Pt P0e2t
可得到：
A21 2
（2-2-17）
由第一章所知，自发辐射的跃迁几率A21与发光原子处在 上能级的寿命τN互为倒数，因此有：
1 2 N
（2-2-18）
将它代入（2-2-10）式中，便可得到自然线宽为：
v N 1 2 N
（2-2-19）
我们称由（2-2-12）式与（2-2-13）式所描述的线性函数 为洛伦兹型。
2
2 2
(2-2-8)
讨论自然加宽的线型函数： 1. 当v=v0时，函数值取最大值
g m g N v0 , v0
2
（2-2-9）
当
v v0 2
v N
时，函数值降至最大值的一半，故线性函数的线宽为： （2-2-10）
2 2
将上式代入
g N v v0
(2-2-14)
另一方面，取（2-2-6）式的模平方，可得到单个发光原 子自发辐射功率随时间变化的规律为：
E t E02 e 2t
2
（2-2-15）
整个光源的自发辐射功率与它成正比，故有：
Pt P0e2t
P(t ) P(0)e A21t
（2-2-16）
比较（2-2-14）式与（2-2-16）式 (2-2-14) （2-2-16）
Pv g( , 0 ) P
(2-2-1)
Pv g( , 0 ) (2-2-1) P 式中：P——总发射辐射功率 。
因为Pνdν可表示发光粒子在ν~ν+dν范围内的自发辐射 功率，因此总自发辐射功率为：
P Pv dv
(2-2-2)
线性函数曲线如图所示 ：
由(2-2-1)式与（2-2-2）式很容易得出线性函数满足所谓 归一化条件。即
2
（2-2-12）
2 gm vN
（2-2-13）
为了推导自然加宽ΔνN的计算公式，我们先来看一下 由（1-3-9）式所描述的因自发辐射所造成的上能级粒子 数目密度随时间衰减的规律。因为自发辐射功率与粒子数 密度成正比，故自发辐射功率随时间的变化规律也可以写 成类似的形式：
P(t ) P(0)e A21t
Pv F[ E (t )]
2 2 2 ( ) v v 0 2
1
(2-2-7)
将(2-2-7)式代入
Pv g( , 0 ) P
(2-2-1)
(2-2-2)
P Pv dv
可求出这种自然加宽的线性函数为：
g N v v0
2 v v0 2
r r0 cos2 0 t
(2-2-5)
原子的能量在发射电磁波的过程中不断衰减，相应的 辐射电磁场也不断衰减。以发射开始的瞬间作为计时起点， 并采用复数形式表示振动，就可以将发光原子自发辐射产 生的光频电磁场随时间变化的的规律写成：
E e t ei 2v0t , 0 E (t ) 0,
式中：γ——称为衰减因子。
t0 t0
(2-2-6)
E e t ei 2v0t , 0 E (t ) 0,
t0 t0
(2-2-6)
上式所描述的电磁场可用图2-2-2表示。显然，发光原 子所发射的电磁波不是严格的简谐波，其中包含有许多不 同频率的简谐波。
对（2-2-6）式进行傅里叶变换，然后再去模方，便可得 到发光原子的自发辐射单色辐射频率为：
1 g( 1 , 0 ) g( 2 , 0 ) g( , 0 ) 2
(2-2-1)
我们就称v1与v2之差等于Δν= v2-v1为光谱线的宽度，或 称线宽。
二、自然加宽 定义：处于激发态的发光粒子，在自发辐射的发光过程中， 辐射功率不断衰减，导致光谱线有一定的宽度。发光粒子 的这种谱线加宽是不可避免的，称作自然加宽。 现在我们从经典电子论的观点出发，推导自然加宽的 线性函数及其线宽。 经典电子论认为一个原子可以看成是个偶极子，它由 一个正电中心和一个负电中心组成，当正电中心与负电中 心之间的距离r按照简谐振动的规律变化时，此原子便发 射出同频率的电磁波。用ν0表示振动频率，则r可以表示成：