动态电路

(
)d
iL (0 )
iL (0 )
1 L
0 0
uL
(
)d
若(0– ～ 0+) 电感两端的电 压uL (t)为有限值 ，则有
iL(0+)= iL(0-)
L (0+)= L (0-) 磁链守恒
结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
换路定则：
qc (0+) = qc (0-) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， uC (0+) = uC (0-) 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
-
求 iC(0+)
+ i 10k - 10V
+
8V
iC
-
0+等效电路
iC(0--)=0 iC(0+)
补例2：非独立电量的初值确定
1
K 10V
4
L iL
+ t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+)
uL
-
uL(0 ) 0 uL(0 ) 0
先求
10 iL(0 ) 1 4 2A
由换路定律: iL(0+)= iL(0-) =2A
L (0+)= L (0-)
iL(0+)= iL(0-)
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
注意:
换路定则成立的条件
B．电路中其他变量初始值的确定
基本步骤：
（1）根据t = 0–的等效电路，确定uC(0–)和iL(0–)。 对于直流激励的电路，若在t = 0–时电路处于稳态，则电
＝1 0 C
iC
(0
)
同理：diL dt
0
＝
1 L
uL
(0
)
其中iC(0+)和uL(0+)可根据t = 0+时的等效电路求。
例4-1
6Ω S(t=0)
6Ω
+
iR
12V 1/24F
–
iC
(a)
电路如图 (a)所示，开关动作前电路已达稳态，t
= 0 时开关S打开。求uC(0+)、 iL(0+)、 iC(0+)、
0
U
2 0
R
(
RC 2
e
2t RC
)
|0
1 2
CU 0 2
2、RL电路的零输入响应－RL放电电路
典型电路构成：
RR00
SS((tt>=00)) RR
++ iiLL ++
UU00
--
LL
uLL
––
iL +
uL L
–
–
i L(0+) = iL (0-)
uR R
+
U0 R0
R
I0
t ≥ 0时
电路微分方程：
b. 动态电路与电阻电路的比较：
电阻电路
动态电路
电阻电路换路后状态改变
动态电路换路后产生过 瞬间完成，描述电路的方程为
渡过程 ，描述电路的方程为 代数方程。
微分方程。
K
i
i
R
+
Us
K
C uC
–
RC
duc dt
uc
US
+
R1
u3
- us R2 R3
u3 iR3
R1
US R2 //
R3
R2 R3 R2
（1）用电路参数计算 ReqC
式中Req 为从电容两端看出去的等效电阻。
R1 C
R2
R3
ReqC
( R2 R3 R2 R3
R1 )C
（2）用特征根计算
1 p
（3）用图解法确定
uc I0
次切距的长度 t2-t1 =
t1时刻曲线的斜率等于
0 t1 t2
t
uC (t2 ) 0.368uC (t1 )
i
R+
K接通电源后很长时间
Us
uC C
–
i = 0 , uC= Us
i
R+
uc
US
US
R?
i
Us
K
uC
–
C
初始状态 0
t1 新稳态
过渡状态
t
a. 动态电路：含有动态元件的电路（电感或者电容），当电路 状态发生改变时，需要经历一个变化过程才能 到新的稳态。
习惯上称为电路的过渡过程。－－
动态电路的一 个重要特征
画出t = 0＋ 时的 等效电路如图 (c)所 示，由KVL有
6iR (0 ) 6 12 0
6Ω iR(0+)
2A
iL(0+)
+ 12V
–
+ + uL(0+) 6V 3Ω
iC(0+) –
(c)
所以 iR(0+)= 1A， iC(0+)= iR(0+) –2= –1A， uL(0+)=6–3×2=0
Ae pt
0
dt
RCApe pt Ae pt 0
得 RCp+1=0 特征方程
(RCp 1)Ae pt 0
特征根
p 1 RC
则
uC Ae pt
1t
Ae RC
1t
uc Ae RC
初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0
1t
uc (0 ) Ae RC t0
A=U0
t
uc U 0e RC
uC
(t
)
uC
(t0
)
1 C
t
t0 iC ( )d
令t0= 0– ， t = 0+
若(0– ～ 0+)流过电容的电 流iC (t)为有限值 ，则有
qC (0 ) qC (0 )
0 0
iC
(
)d
uC
(0
)
uC (0
)
1 C
0 0
iC
(
)d
0 i( )d 0 0
uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-)
令 =RC , 称为一阶电路的时间常数
RC
欧法
欧
库 伏
欧 安伏秒
秒
=RC
p 1 1
RC
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 过渡过程时间的长 小 过渡过程时间的短
uc
U0
大
电压初值一定：
0 小 t
C 大（R不变） R 大（ C不变）
w=0.5Cu2
储能大 放电时间长
i=u/R 放电电流小
换路后，描述电路的方程是一阶（常系数）微分方程。～一阶电路
i
R
+
Us
K
C uC
–
i
K
+
R
+
us
C
–L
uC –
RC
duc dt
uc
US
LC
d2uC dt 2
RC
duC dt
uC
us
换路后，描述电路的方程是二阶（常系数）微分方程。 ～二阶电路
换路后，描述电路的方程是n阶（常系数）微分方程。 ～ n阶电路
duC dt
0
1 C
iC
(0
)
24
V/S
diL dt
0
1 L
uL (0 )
0
4.2 一阶电路分析
源自文库
也有例外：参 照习题4－7
一阶电路是通常指电路中仅含一个独立的动态元件 （或储能元件）的电路。当一阶电路中的动态元件为电容 时称为一阶电阻电容电路（简称为RC电路）；当动态元 件为电感时称为一阶电阻电感电路（简称为RL电路）。
duC dt
t1
U0
t
e
1
t1
uC (t1 )
按此速率，经过 秒后uc减为零
能量关系：
设uC(0+)=U0
uC+ -
C
R
C不断释放能量被R吸收, 直到全部消耗完毕.
电容放出能量
1 2
CU
2 0
电阻吸收（消耗）能量
WR
i 2 Rdt
0
(U0
e
t RC
)2
Rdt
0R
U
2 0
R
2t
e RC dt
感视为短路，电容视为开路。 （2）由换路定则得到uC(0+)和iL(0+)。 （3）画出t = 0+时的等效电路。
t=0+时的等效电路的作法：电容用电压为uC(0+)的电压源 替代，电感用电流为iL(0+)的电流源替代，电路中的独立电源 取t = 0+时的值。
（4）根据 t=0+时的等效电路求其他变量的初始值。
di L
Ri
0
t0
dt
解方程：令 i(t) Ae pt
特征方程 Lp+R=0
特征根 p = R L
R3
二.过渡过程产生的原因
a. 电路内部含有储能元件L 、M、C
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
p w t
b. 电路结构、状态发生变化 支路接入或断开； 参数变化
换路 把换路前的最终时刻记为t = 0– ，把换路后的最初时 刻记为t = 0+ ，换路经历的时间为0– ～ 0+。
三. 一阶电路与 n 阶电路
独立的初始条件 ：电容电压uC和电感电流iL —— 用换路定则求
非独立的初始条件 ：电容电流iC、电感电压uL、 电阻的电流和电压等。
二.换路定则
A. 线性电容和线性电感的uC (0+) 和iL (0+) 的确定
t
1)、线性电容 ：
qC (t) qC (t0 ) t0 iC ( )d
i+ uc- C
0+电路 1
10V
4
+
2A uL
-
uL(0 ) 2 4 8V
补例3
IS
再：
L iL + uL –
iC+
求 iC(0+) , uL(0+)
K(t=0)
R
C
uC
–
解：先求 独立变量初
值iL(0+) , uC(0+)
iL(0+) = iL(0-) = IS
0+电路 IS
+ uL – R
iC
+ R IS –
一. t = 0+与t = 0-的概念与初始条件
换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间 0+ 换路后一瞬间
f (0 ) lim f (t) t0 t0
f(t)
t 0- 0 0+
f (0 ) lim f (t) t0 t0
初始条件（初始值）：电路所求变量（电压或电流）及其 （n1）阶导数在 t = 0+时刻的值 。
uL(0+)、iR(0+)和
0.1H iL
duC dt
、diL 0 dt
的值。
0
+
u
3Ω
–C
6Ω
+ 6Ω 12V
–
iL
iR +
uC 3Ω iC –
解：作t = 0–的等效电路如图(b)
(b)
所示，有
iL (0 )
12 6 // 6 3
2
A
uC (0 ) 3iL (0 ) 6 V
由换路定则得 uC(0+) = uC(0–)=6V， iL(0+)= iL(0–)=2A
an
d ni dt n
an1
d n1i dt n1
a1
di dt
a0i
u
t0
四. 动态电路的分析方法
激励 u(t)
响应 i(t)
an
d ni dt n
an1
d n1i dt n1
a1
di dt
a0i
u
t0
经典法
拉普拉斯变换法 状态变量法 数值法
时域分析法
复频域分析法 时域分析法
2、换路定则与初始值的确定
第四章 动态电路
－－－过渡过程
作业 (1)
4-3，4-5，4-9，4-10，4-11 ,4-12 ； 4-14，4-16，4-17，4-18，4-20。
教学要点
1、动态电路的初始值确定 2、零输入响应，零状态响应，全响应 3、三要素分析法 4、二阶电路响应的三种状态 5、阶跃响应和冲激响应 6、状态和状态变量的概念，
uC(0+) = uC(0-) = RIS
uL(0+)= - RIS
iC (0 )
Is
RI S R
0
3.确定 duC
dt
与 diL
0
dt
的值
0
对于n阶电路的初值确定
还要把其（n-1)阶导数的初值也确定出来。 本书仅涉及到分析二阶电路，因此只需了解diL 和 duC 的初值
dt 0 dt 0
因为：duC dt
电荷守恒
结论 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压 （电荷）换路前后保持不变。
2)、线性电感 ：
iL
+
u
L
-
t
L (t) L (t0 ) t0 uL ( )d
iL
(t)
iL (t0 )
1 L
t
t0 uL ( )d
令t0= 0– ， t = 0+
L (0 ) L (0 )
0 0
uL
补例1
(1) 由0-电路求 uC(0-)或iL(0-)
+ 10k
+
40k
- 10V
uC
-
uC(0-)=8V
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0-)=8V
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
10 8
iC(0+)＝
0.2mA 10 1000
+ i 10k
+
- 10V
40k
k iC
uC
本节按照RC和RL电路来分析。
1、RC电路的零输入响应－－ RC放电电路
已知：电路如图 uC (0-)=U0 ，求uC (t)。
K(t=0) i
解:
uR uC 0
i C duC dt
uR= Ri
C u+C
–
+
R uR
–
RC
duC dt
uC
0
uC (0 ) U0
设 uC Ae pt
dAe pt RC
t0
i
uC R
U0 R
t
e RC
t
I0e RC
U0 uC
0
t
放电过程中电容电压uC。 发现：电压是连续的，而 非突变（跃变）的！
i I0
t0
0
t
在换路瞬间，i (0－) = 0，i (0+) = U0 / R，电流发生了跃变！ 电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于RC乘积
一个重要的参数：时间常数τ
t 0
2
3
t
uc U0e
U0
U0 e -1
U0 e -2
U0 e -3
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
5
U0 e -5 0.007 U0
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
U0
uC
0.368 U0
0
t
时间常数 τ 的求法
换路后，描述电路的方程是一阶（常系数）微分方 程。～一阶电路定义。
当电路中仅含有一个电容和一个电阻或一个电感和一 个电阻时，称为最简RC电路或RL电路。如果不是最简， 则可以把该动态元件以外的电阻电路用戴维南定理或诺顿 定理进行等效，从而变换为最简RC电路或RL电路。
4.2.1 零输入响应分析
零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由储能元件初始储 能作用于电路产生的响应。
以及状态方程的列写
目录
4.1 基本概念和换路定则 4.2 一阶电路的分析 4.3 二阶电路的分析 4.4 阶跃响应与冲激响应 4.5 状态方程 4.6 应用
4.1 基本概念和换路定则
1、动态电路的基本概念
一、什么是动态电路
t=0
i
R+
Us
K
uC C
–
稳态分析： K未动作前
i = 0 , uC = 0