第三章 三角函数、解三角形 质量检测

第三章 三角函数、解三角形

(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．cos(－17π4)－sin(－17π

4)的值是 ( )

A.2 B ．－ 2 C ．0 D.22

解析：原式＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π

4)

＝cos(－π4)－sin(－π

4)

＝cos π4＋sin π

4＝ 2.

答案：A

2．已知sin α＝2m －5m ＋1，cos α＝－m

m ＋1，且α为第二象限角，则m 的允许值为( )

A.52＜m ＜6 B ．－6＜m ＜52 C ．m ＝4 D ．m ＝4或m ＝3

2 解析：由sin 2α＋cos 2α＝1得，(2m －5m ＋1)2＋(－m m ＋1)2＝1，

∴m ＝4或3

2，又sin α＞0，cos α＜0，把m 的值代入检验得，

m ＝4. 答案：C

3．已知sin(x ＋π4)＝－3

5，则sin2x 的值等于 ( )

A ．－725 B.725 C ．－1825 D.18

25

解析：sin(x ＋π4)＝22(sin x ＋cos x )＝－35，

所以sin x ＋cos x ＝－32

5

，

所以(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ＝1825，故sin2x ＝－7

25.

答案：A

4．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin17°＋cos17°，则下列各式中正确的是 ( ) A ．a ＜a 2＋b 22＜b B ．a ＜b ＜a 2＋b 2

2

C ．b ＜a 2＋b 22＜a

D ．b ＜a ＜a 2＋b 2

2

解析：a ＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°， b ＝2sin(17°＋45°)＝2sin62°，b ＞a .

a 2＋

b 2

2＝sin 260°＋sin 262°＞2sin60°sin62°＝3sin62°， ∴a 2＋b 22＞b ＞a .

答案：B

5．(2010·惠州模拟)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π

6)的图象，则φ等于 ( )

A.π6

B.11π6

C.7π6

D.5π6

解析：依题意得y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋11π

6)，将y ＝sin x 的图象向左平

移11π6个单位后得到y ＝sin(x ＋11π6)的图象，即y ＝sin(x －π

6)的图象． 答案：B

6．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，则△ABC 的形状是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 解析：cos A ＝sin(π2－A )＞sin B ，π2－A ，B 都是锐角，则π2－A ＞B ，A ＋B ＜π2，C ＞π2.

答案：C

7．(理)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π

3对称．则下列四个函数中，

同时具有性质①②的是 ( ) A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝sin(2x ＋π

6)

C ．y ＝sin|x |

D ．y ＝sin(2x －π

6

)

解析：∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.对于选项D ，又2×π3－π6＝π2，所以x ＝π

3为对称轴．

答案：D

8．(文)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( ) A.518 B.34 C.32 D.78

解析：设等腰三角形的底边为a ，顶角为θ，则腰长为2a . 由余弦定理得cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.

答案：D

(理)△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为1

3，则其外接圆的半径为( )

A.922

B.924

C.928 D ．9 2

解析：由余弦定理得：三角形第三边长为

22＋32－2×2×3×1

3

＝3，

且第三边所对角的正弦值为 ＝223，

所以2R ＝322

3⇒R ＝92

8.

答案：C

9．在△ABC 中，角A ，B 所对的边长为a ，b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件

解析：a ＝b ⇒A ＝B ⇒a cos A ＝b cos B ，条件是充分的；a cos A ＝b cos B ⇒sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin2A ＝sin2B ⇒2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π

2，故条件是不

必要的． 答案：A

10．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R)图象的一条对称轴方程为x ＝π

12

，则a 的值为

( )

A.12

B. 3

C.3

3

D ．2 解析：函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝kπ＋π

2，k ∈Z ，f (x )＝a 2＋1sin(2x ＋φ)，其中

tan φ＝1a ，故函数f (x ) 的对称轴方程为2x ＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，而x ＝π

12是其一条对称轴

方程，所以2×π12＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，解得φ＝kπ＋π3，k ∈Z ，故tan φ＝1

a

＝tan(kπ