二阶等差数列及其通项公式

二阶等差数列及其通项公式

⑷1，2，4，7，11，16，22，…

⑸1，3，6，10，15，21，28，…

⑹1，3，7，13，21，31，43，…

通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处。

本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通项公式，并给出一个相关定义。

二、预备知识：

1、等差数列的定义：如果一个数列

a1，a2，a3，…，a n，…，

从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即a2 - a1 = a3 - a2=…= a n - a n-1 = d，则称此数列为等差数列，常数d 叫等差数列的公差。

2、等差数列的通项公式：a n =a1 + ( n - 1 ) d，

公差：d = a2 - a1.

三、二阶等差数列的定义及其通项公式：

a)定义：如果一个数列

a1，a2，a3，…，a n，…，（★）

从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即a2 - a1，a3 - a2，a4 - a3，…，a n - a n-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。

相应地，d =（a3 - a2）- （a2 - a1）= a3 + a1 - 2a2

称为二阶等差数列的二阶公差。

显然，依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。其二阶公差分别为1、1、2.

说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.

⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系：

二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。

b)二阶等差数列的通项公式：

设数列a1，a2，a3，…，a n，…是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列

a2 - a1，a3 - a2，a4 - a3，…，a n - a n-1，…

为b1 , b2 , b3 , …，b n-1 , …，(☆)

即记b n= a n+1 - a n，(n≥1，n∈Z)

则数列(☆) 是一个一阶等差数列。

显然，对于数列(☆)，d = b2 - b1 = a1 + a3 - 2a2，

根据等差数列的通项公式,则有

b n= a n+1 - a n = b1 + (n-1) d，（n≥1,n∈Z）

由此得，a n +1= a n + b1 + (n-1) d

依此规律，则有

a2 = a1 + b1，

a 3 = a 2 +

b 1+d ，

a 4 = a 3 +

b 1+2d ，

…………………

a n = a n-1 +

b 1 + (n-2 ) d ，

由上面各式左右分别相加，可得

此即为二阶等差数列的通项公式， 其中，b 1 = a 2 - a 1,

［注：b n = a n+1 - a n ， (n ≥1，n ∈Z)］ c) 例证：

对于数列⑷，知a 1 =1，b 1 =1，d=1，则由公式（●）可得，a n =1+

（n-1）×1+2

)2)(1(--n n =12

2+-n n ， 代入验证，正确。

同理可求知⑸、⑹的通项公式： ⑸、a n = 22

n n +

⑹、an = n 2-n+1

由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。