地图投影复习资料

面积比公式 一般公式：
a 2 b2 m2 n2 a b mn sin '
P dF ' Hdd H dF Mrdd Mr
以经纬线长度比表示：
P
以极值长度比表示：
H Mr
EG sin ' m n sin ' Mr
P ab
微分椭圆 一微分圆投影到平面上一般情况为一个微分椭圆。 对于不同性质的投影， 微分椭圆表现 为不同的形状， 并且随区域位置不同而变化。 由于它能显示出变形特征， 所以称为变形椭圆。 它是法国数学家底索于 1881 年提出的， 所以又称为底索曲线 （指线） （Tissot Indicatrix） 。 2 2 变形椭圆的方位角 b a m

等面积投影条件： 等距离投影条件：
ds

Er

r

M
mn
H Mr
m n sin 1

09 级地理信息系统
dsm E 1 dsm M
2011 年 1 月 3 日星期一
m 1
第 2 页 共 16 页
地图投影复习参考资料
投影后经纬线交角：
√
长度比公式 一般公式：
tg 0
a
m2 b 2
第 3 页 共 16 页
09 级地理信息系统
2011 年 1 月 3 日星期一
地图投影复习参考资料
变形椭圆方位角 0： 角度变形公式 a b 投影前后两个对应方向角最大角度变形 /2： sin
2
ab
一点上的最大角度变形为 ：如果以0 和0 表示差值最大的角和 角，则：
圆锥投影(Conical Projection)
圆锥投影的概念： 设想用一个圆锥套在地球椭球体上， 然后把地球椭球面上的经纬线网按照一定条件投影 到圆锥面上，最后沿着一条母线（经线）将圆锥面切开而展成平面，就得到圆锥投影。 正轴圆锥投影的一般公式 纬线：投影为同心圆圆弧； 经线：投影为相交于一点的直线束，且夹角与经差（）成正比； 经纬线：正交。 等角圆锥投影（Lambert） 等角圆锥投影条件：m n (或a b) 或 0 等角割圆锥投影或双标准纬线等角圆锥投影（Lambert 投影）：指定投影区域中两条纬 线无长度变形 等面积圆锥投影(Albers) 等面积圆锥投影条件： P = mn = 1 正轴等面积割圆锥投影（Albers 投影）：指定投影区域中两条纬线无长度变形 等距离圆锥投影 等距离圆锥投影条件：m=1 圆锥投影的分析和应用 正轴圆锥投影的变形仅与纬度有关，而与经度无关。同一条纬线上变形相等； 单标准纬线圆锥投影在纬线 0 上 n=1，其余均大于 1；双标准纬线圆锥投影中，纬线 1、2 的长度比 n1= n2 =1，变形自 1、2 向中间和向外逐渐增加，而且在 1 、2 之 间 n<1，在 1 、2 之外，n>1； 任何圆锥投影的变形， 自标准纬线起向高纬度增长快， 向低纬度增长慢。 沿经线长度比， 则根据投影的变形性质而不同； 在同一投影区域内，割圆锥投影中变形增长的绝对值比切圆锥投影要小些。因此，前者 比后者优越，在实际应用中也较广泛 圆锥投影最适宜用作沿纬线延伸的中纬度地区的地图投影。
tg 0
变形的近似式 长度变形的近似表达式：
a b
b tg 0 a
ln ln(1 v ) v
最大角度变形的近似表达式：
v 2 2

v 3 3

v 4 4

v
sin

2

va vb 2
或
va vb
面积变形的近似表达式：
v p va vb
不同性质投影的变形特征 va vb v, 0, v p 2v 等角投影： va vb v, 2v, v p 0 等面积投影： 等距离投影（若 b=1）： v 0，v v, v, v p v b a 地图投影的分类 投影变形性质 等角投影(Conformal Projection) 等面积投影(Equivalent Projection) 任意投影(Conventional Projection) 其中包括等距离投影(Equidistant Projection) 正常情况投影的经纬网形状 圆锥投影(Conical Projection) 纬线投影为同心圆弧，经线投影为同心圆的直径，两经 线间的夹角与相应经差成正比； 圆柱投影(Cylindrical Projection) 纬线投影为平行直线，经线投影为与纬线垂直而且间 距相等的平行直线，两经线间的距离与相应经差成正比； 方位投影(Azimuthal Projection) 纬线投影为同心圆，经线投影为同心圆的直径，两经 线间的夹角与相应经差成正比。在方位投影中，又分为透视方位投影和非透视方位投影； 伪圆锥投影(Pseudo-conical Projection) 纬线投影为同心圆弧，经线投影为对称于中央 直经线的曲线； 伪圆柱投影(Pseudo-cylindrical Projection) 纬线投影为平行直线， 经线除中央经线投影 为直线外，其余经线投影为对称于中央经线的曲线； 伪方位投影(Pseudo-azimuthal Projection) 纬线投影为同心圆，经线投影为交于纬线共 同中心并对称于中央经线的曲线； 多圆锥投影(Poly-conical Projection) 纬线投影为同轴圆弧，其圆心位于投影成直线的 中央经线上，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。 投影面与地球体表面的相关位置 正轴、横轴和斜轴(Normal、 Transverse & Oblique Axis)
m2 cos2 n2 sin 2 mn cos 'sin 2
极值长度比：一点上的长度比随方向的不同而变化。其中必然存在两个特别的方向，即其一 个方向上 为极大值，另一个方向上为极小值，这两个方向上的长度比分别为极大长度比 和极小长度比。极值长度比在椭球表面处于两个互相垂直的方向上。 主方向：极大、极小长度比所在的两个方向线，它们在椭球面上正交。 主方向的特点：在椭球面上相互垂直，投影到平面上仍保持垂直。 主方向线与经纬线的关系： 地球表面上的经纬线投影到平面上不一定保持正交。 若保持正交（=90），则经纬线方向为主方向。 经纬线长度比(m,n)与极值长度比的关系：
P
角度变形：某一角度投影后的角值 与它在地面上固有的角值 之差，即

主比例尺 计算地图投影或制作地图时， 必须将地球 （椭球或球） 按一定比率缩小而表示在平面上， 这个比率称为地图的主比例尺或普通比例尺。 局部比例尺 地图上除保持主比例尺的点或线以外其它部分上的比例尺。 变形与比例尺之间的关系：变形大小与主比例尺无关。 地图投影的基本公式 地球椭球面上的线段、角度、面积[表达](PPT) 保持某一投影性质的条件 等角投影条件： ds ' H G E
2 e2 e 2 1 e2 2 1 2 2
e12
2 e2
ae2 be2 ae2 ae2 be2 be2
e12 e 1 e12
地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标 子午圈： 通过地面任一点的法线可以有无数法截面， 它们 与 椭球面相交则形成无数法截弧， 其中有一对互相垂直的法截弧， 称为主法截弧。主法截弧都是椭圆，其中一个是子午圈。 卯酉圈：与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉圈。地球椭球面 上的子午圈始终代表南北方向； 卯酉圈除了两个极点外， 代表东西 方向。 子午圈曲率半径：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最小的曲 率半径。同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增长 卯酉圈曲率半径： 地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最大的曲率半径。 同经差的 纬线弧长由赤道向两极缩短 子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径（N）之间的关系：M≤N 在赤道上：
09 级地理信息系统 2011 年 1 月 3 日星期一 第 4 页 共 16 页
地图投影复习参考资料
切、割(Tangent & Secant) 球面坐标及其变换 球面极坐标系 把地球作为球体时， 地理坐标也是一种球面坐标， 即由通过南北地极的经圈和平行于赤 道的纬圈来确定地面上任一点的位置。 现在采用另一种确定地面点位的球面坐标， 为了区别 起见，称之为球面极坐标。 球面极坐标系的建立 通常根据制图区域的形状和地理位置，选择一个新极点 Q（0，0），球面上的各点 便以新极点 Q 为原点，以方位角 和天顶距 Z 表示其位置，从而构成球面极坐标系。 垂直圈：过新极点所在的直径的所有大圆，叫做垂直圈，相当于地理坐标的经线圈。 等高圈：垂直于垂直圈的各圆，叫做等高圈，其中通过球心的为大圆，其余为小圆。 方位角：过 A 点的垂直圈与过新极点的经线圈的交角，为方位角。从形式上来看，方 位角相当于 。 天顶距： A 点至新极点 Q 的垂直圈弧长， 即天顶距。 从形式上来看， 天顶距相当于 90-。 于是，地球面上任一点 A，它既可以用地理坐标（, ）确定，也可以用球面极坐标（, Z）来确定，而且两种坐标系可以进行换算。
地图投影复习参考资料
地图投影复习资料
大地水准面与大地体（Geoid） 大地水准面设想当海水面完全处于静止状态下， 并延伸到大陆内部， 使它成为一个处处 与铅垂线 （重力线） 正交的连续的闭合曲面， 这个曲面叫做大地水准面。 由它所包围的球体， 叫做大地体。大地水准面仍然不是一个规则的曲面，而是一个起伏不平的重力等位面，即地 球物理表面。 地球椭球面与地球椭球体(Ellipsoid) 地球椭球体选择一个大小和形状同大地水准面极为接近的， 以椭圆短轴为旋转轴的旋转 椭球面。这个旋转椭球面可代表地球的形状，又称为地球椭球面或参考椭球面（原面）。由 它所围成的球体，称为地球椭球或地球椭球体。 地球椭球体的形状和大小 a be fe e 扁率(Flattening or Compression) ae 第一偏心率(First Eccentricity) 第二偏心率(Second Eccentricity) 第一偏心率和第二偏心率之间的关系：
√

ds' ds
Ed 2 Gd2 2 Fdd M 2 d 2 r 2 d2
经线长度比 (m) :
m
A' D' E d E AD Md M
Hale Waihona Puke Baidu
纬线长度比(n) ： n A' B'
AB
G d G rd r
不同点上长度比都不相同；同一点上不同方向的长度比也不相同。 任意方向长度比() 与经、纬线长度比(m、n)之间的关系式：
09 级地理信息系统 2011 年 1 月 3 日星期一 第 1 页 共 16 页
地图投影复习参考资料
曲率和曲率半径 设一曲线的直角坐标方程是 y=f(x)，且 f(x)具有二阶导数。则该曲线的曲率为：
K
y (1 y2 )3 2
曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。 地图投影的基本概念 地图投影就是将地球椭球面（或球面）上确定的点，通过一定的数学法则表示到投影面 (Projection Surface) 上，建立两面之间点的一一对应关系。 解决的矛盾：曲面（地球椭球面或球面）和平面（地图平面）之间的矛盾，变形，寻找 可展面。 地图投影的基本方法 几何透视法：利用透视线的关系，将地球面上的点描写到投影面上。 数学分析法：在原面与投影面之间建立点与点的函数关系。 一般表达式： x f1 ( , ) 经线方程： 纬线方程：
ae ae (1 e12 ) N M 2 (1 e1 sin 2 )1 2 (1 e12 sin 2 )3 2
M 0 ae (1 e12 )
在极点上：
N0 ae
M 90 N90
ae 1 e12
子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径（N）除在两极处相等外，在其它纬度相同的情 况下，同一点上卯酉圈曲率半径均大于子午圈曲率半径。
y f 2 ( , )
F1 ( x, y, ) 0 F2 ( x, y, ) 0
地图投影变形的基本概念 长度比： 地面上的一微分线段投影后的长度 ds 与它原有的长度 ds 之比， 以 表示， 即 面积比：地面上的一微分面积投影后的大小 dF与它原有的长度 dF 之比，以 P 表示， 即 长度变形： V 1 面积变形： V P 1