初三数学锐角三角比
沪教版九年级上册数学第二十五章 锐角的三角比 含答案
沪教版九年级上册数学第二十五章锐角的三角比含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是A.1B.2C.3D.42、已知在Rt△ABC中，∠C=90°．若sinA=，则cosA等于（）A. B. C. D.13、如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（）.A.2B.C.D.14、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（）A.45B.5C.D.5、如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝7米，则树高BC为(用含α的代数式表示（）A.7sin 米B.7cos 米C.7tan 米D. 米6、在中，，AB=15，sinA=，则BC等于（）A.45B.5C.D.7、如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（）A. B. C.2 D.8、点关于x轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.9、sin30°的相反数（）A. B.﹣ C. D.10、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）A. B. C. D.11、如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB．则cos∠AOB的值等于（）A. B. C. D.12、的值等于（）A. B. C. D.13、如图，在Rt△ABC中，BC 2，∠BAC 30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA ；②C，O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为.其中正确的是（）A.①②B.①②③C.①③④D.①②④14、已知∠B是△ABC中最小的内角，则sinB的取值范围是（）A.0＜sinB＜B.0＜sinB＜C.0＜sinB＜D.0＜sinB≤15、如图，为了对一颗倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度：在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，（参考数据：≈1.414，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）．则这颗古杉树AB的长约为（）A.7.27B.16.70C.17.70D.18.18二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在边长为的菱形中，，点分别是上的动点，且与交于点.当点从点运动到点时，则点的运动路径长为________.17、如图是一个仰卧起坐健身器侧面示意图，、是支架，是坐垫，为靠背（可绕点旋转），，，当时，点到地面的距离为________ ．（，，，，）18、小明为测量校园里一颗大树的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪竖直放在与B相距的位置，在D处测得树顶A的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为________．（结果精确到．参考数据：）19、计算：|1﹣|+ ﹣•tan30°＝________.20、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos∠B=________．21、如图，BD和CE是△ABC的高，点M为BC的中点，连接DE，过点M作DE 的垂线，垂足为点P．若PM=5，DE=6，tan∠DBC= ，则CD的长为________．22、计算“2sin30°-（π- ）0+| -1|+（）-1”的结果是 ________.23、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC长为________．24、用科学计算器计算：8+sin56°≈________ ．（精确到0.01）25、如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：（－2）－1－+cos600+( )0+82019×(－0.125)2019.27、如图，铜亭广场装有智能路灯，路灯设备由灯柱AC与支架BD共同组成（点C处装有安全监控，点D处装有照明灯），灯柱AC为6米，支架BD为2米，支点B到A的距离为4米，AC与地面垂直，∠CBD=60°．某一时刻，太阳光与地面的夹角为45°，求此刻路灯设备在地面上的影长为多少？28、先化简，再求值：b2﹣÷（a﹣），其中a=tan45°，b=2sin60°．29、一辆汽车在处测得东北方向（北偏东）有一古建筑，汽车向正东方向以每小时40公里的速度行驶1小时到达处时，又观测到古建筑在北偏东方向上，求此时汽车与古建筑相距多少公里？（，，，）30、如图，点B是双曲线y＝（k≠0）上的一点，点A在x轴上，且AB＝2，OB⊥AB，若∠BAO＝60°，求k的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、A4、B5、C6、B7、B8、D9、C10、B11、B12、B13、D14、D15、D二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。
沪教版初三上册397914锐角的三角比 知识讲解
沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习锐角的三角比 知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即.同理；；；要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A ，cot 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、、常写成、、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA ＞0 cotA ＞0.要点二、特殊角的三角函数值C a b要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商的关系：要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【高清课堂：《锐角三角函数》专题第一讲：锐角三角函数---例1（1）】【变式】在Rt△ABC中，，若a=3，b=4，则，，，，．【答案】5 ，，，，．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模）+cot30°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==﹣．(2)原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=+2．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【高清课堂：《锐角三角函数》专题第一讲：锐角三角函数---例1（3）】【变式】在Rt△ABC中，，若∠A=45°，则，，，，．【答案】45°，，，，．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC，∵ AB是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴．又∵ CD＝6，AB＝10，∴在Rt△PAC中，．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，，PC、PA均为未知，而已知CD＝6，AB＝10，可考虑利用△PCD∽△PAB得．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA＜2；(3)如图2所示，延长AC到D，使AD＝AB，连接BD．设AD＝AB＝5a，由得BC＝3a，∴，∴ CD＝5a-4a＝a，，∴．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC 的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。
沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第14讲 锐角的三角比章节复习培优 (解析版)
锐角的三角比是九年级数学上学期第二章的内容．本章的基本要求是理解锐角三角比的概念，会求特殊锐角的三角比的值，会解直角三角形，需理解仰角、俯角、方向角、坡度和坡角等概念，并能解决有关的实际问题．重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关的几何计算．难点是解直角三角形的应用．已知锐角，求三角比已知锐角的三角比，求锐角锐角的三角比的概念已知一边和一个锐角已知两边直角三角形中 的边角关系解 直 角 三 角 形解直角三角形 的应用单元练习：锐角的三角比内容分析知识结构步同级年九2 / 19【练习1】 下列不等式成立的是（ ）A ．sin60sin45sin30︒<︒<︒B ．cos60cos45cos30︒>︒>︒C ．tan60tan45tan30︒<︒<︒D ．cot60cot 45cot30︒<︒<︒【答案】D【解析】通过计算特殊角的锐角三角比的值，可以判断D 正确．【总结】当锐角的度数逐渐增大时，正切值和正弦值也逐渐增大，而余切值和余弦值反而逐渐减小．【练习2】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，下列条件中不能解直角三角形的是（ ）A ．已知c 和aB ．已知b 和A ∠C ．已知a 和bD ．已知A ∠和B ∠ 【答案】D【解析】考查解直角三角形的条件．【总结】要解直角三角形，必须至少知道一条边．【练习3】 已知AD 是Rt ABC ∆的斜边BC 边上的高，BC = a ，B β∠=，那么AD 等于（ ） A ．2sin a βB ．2cos a βC ．sin cos a ββD ．sin tan a ββ【答案】C【解析】解：在ABC Rt △中，BCAB=βcos ，∴βcos a AB =． 在ABD Rt △中，ABAD=βsin ∴βββsin cos sin a AB AD ==． 【总结】本题主要考查利用锐角三角比解直角三角形．选择题【练习4】 如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6厘米，则这个三角形的面积为（ ）A ．4.5平方厘米 B． C．平方厘米D ．36平方厘米【答案】B【解析】解：根据题意解直角三角形可得：等腰三角形的高为3，底边长为36，则三 角形的面积为3933621=⨯⨯．【总结】本题主要考查30°角的锐角三角比的值．【练习5】 如图，设点A （m ，n ）是锐角α的一条边上的任意一点，则mn的值（ ） A ．只与角α的大小有关B ．只与点A 在角α的边上的位置有关C ．与角α的大小及点A 在角α的边上的位置有关D ．与角α的大小及点A 在角α的边上的位置无关 【答案】A【解析】=cot mn α，所以只与角α的大小有关．【总结】本题主要考查锐角三角比的概念及相关性质．【练习6】 等腰三角形的两条边分别为5和6，关于底角A 下列等式中成立的是（ ）A ．3sin 5A =B ．3cos 5A =C ．3sin 5A =或512D ．3cos 5A =或512【答案】D【解析】①等腰三角形的两腰为5，底为6时，3cos 5A =； ②等腰三角形的两腰为6，底为5时，5cos 12A =． 【总结】本题主要考查锐角三角比的概念，注意要分类讨论．【练习7】 如图，CD 是平面镜，光线从点A 出发经CD 上点E 反射后照射到点B ，若入步同级年九4 / 19射角为α，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC = 3，BD = 6，CD = 11，则tan α的值为（ ）A ．113B ．311C ．911D ．119【答案】D【解析】解：由光线反射定律可知：BED AEC ∠=∠．则BED AEC ∠=∠tan tan ． ∴DE BDCE AC =． ∴CE CE -=1163，解得：311=CE ． ∴9113311tan tan ====AC CE A α．【总结】本题主要是跟物理知识相结合，注意反射角等于入射角的运用．【练习8】 菱形的边长为4，有一个内角为40°，则较短的对角线是（ ）A ．4sin40︒B ．4sin20︒C ．8sin20︒D ．8cos20︒【答案】C【解析】考查菱形对角线平分一组内角和解直角三角形基础知识．【练习9】 如图，在ABC ∆中，30A ∠=︒，E 为AC 上一点，且AE : EC = 3 : 1，EF ⊥AB于点F ，连接FC ，则cot CFB ∠的值为（ ）A 136B 132C 433D 134【答案】DABCDαE【解析】过C 作CG ⊥AB ．∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴EF ∥CG ∴43===AG AF GC EF AC AE ． 设a FE 3=，则a CG 4=． 在AEF Rt △中，AF EF A =tan ，∴AFa333=，∴a AF 33=． ∵43=AG AF ，∴a GF 3= ∴在GFC Rt △中，4343cot ===∠a a CG FG CFB ． 【总结】本题主要考查通过添加辅助线将所要求的锐角放到直角三角形中求解．【练习10】 在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，且AD BD ==CD = 1，那么BAC ∠的大小可能是（ ） A ．15° B ．75° C ．15°，75° D ．105°【答案】C【解析】解：在ABD Rt △中，133tan ===∠AD BD BAD ，∴︒=∠45BAD ． 在ACD Rt △中，3331tan ===∠AD CD CAD ，∴︒=∠30CAD ． ∴①︒=︒+︒=∠+∠=∠753045DAC BAD BAC ； ②︒=︒-︒=∠-∠=∠153045DAC BAD BAC ． 【总结】本题主要考查解直角三角形，注意分类讨论．步同级年九6 / 19A B CDABCDE【练习11】 如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上一点B ，取145ABD ∠=︒，BD = 500米，55D ∠=︒，要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）米 A ．500sin55︒ B ．500cos55︒C ．500tan55︒D ．500cot55︒【答案】B【解析】解：∵145ABD ∠=︒，∴︒=∠35CBD ．∵55D ∠=︒，∴︒=∠90E ．在BED Rt △中，BD EDD =cos ，∴︒=55cos 500ED ．【总结】本题主要考查解直角三角形的运用，注意分析题目中的条件．【练习12】 如图，四边形ABCD 中，=135A ∠︒，90B D ∠=∠=︒，23BC =，AD = 2，则四边形ABCD 的面积是（ ） A ．42B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】延长CD 和BA 交于点E ．∵=135A ∠︒，90B D ∠=∠=︒，∴45C EAD ∠=∠=．∴()4221322121212222=⨯-⨯=-=AD BC S ABCD 四边形．【总结】本题主要考查通过解直角三角形求几何图形的面积．【练习13】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC ⊥AB ，AD = CD ，4cos 5DCA ∠=， BC = 10，则AB 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．9【答案】BA BCABC D EF 【解析】解：∵AD = CD ，∴DCA DAC ∠=∠．∵AD // BC ，∴ACB DAC ∠=∠， ∴ACB DCA ∠=∠． ∴BCA DCA ∠=∠cos cos 在ABC Rt △中，BCACACB =∠cos ， ∴1054AC =，解得：8=AC ． ∴68102222=-=-=AC BC AB ．【总结】当两个锐角相等时，它们的相应的锐角三角比的值也相等．【练习14】 如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB = 1.8米，要在窗子外面上方安装水平当光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，则挡光板的宽度AC 为（ ） A ．1.8sin80︒B ．1.8cos80︒C ． 1.8sin80︒D ．以上都不对【答案】D【解析】正确答案为︒80cot 8.1．【总结】本题主要考查锐角三角比的准确运用．【练习15】 如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4 : 5，E 是AB 上的一点，沿CE 将EBC ∆向上翻折，若点B 恰好落在边AD 上的点F ，则tan AEF ∠等于（ ）A ．34B ． 43C ．35D ． 53 【答案】B【解析】解：设x DC 4=，x BC 5=．∵△CBE ≌△CFE ， ∴x CF 5=．在DFC Rt △中，()()x x x DC FC DF 3452222=-=-=．∵︒=∠+∠90AFE AEF ，︒=∠+∠90DFC AFE ， ∴DFC AEF ∠=∠， ∴4343tan tan ===∠=∠x x DF DC DFC AEF ． 【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查等角的锐角三角比的相关性质．【练习16】 菱形的两条对角线长为23和6，则菱形较小的内角为______． 【答案】60°．【解析】∵菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组内角， ∴最小内角一半的正切值是33， ∴最小内角一半为30°，∴最小内角为60°．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及菱形的性质．【练习17】 如果24cos 8cos 30αα-+=，那么锐角α= ______． 【答案】60°．【解析】解方程可得：23cos =α或21cos =α，∵1cos 0<<α，∴21cos =α，∴︒=60α．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【练习18】 校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．【答案】13．【解析】如图，AB =8，CD =13，BD =12．过A 作AE ⊥DC ， 则四边形ABDE 为矩形． ∴AB =DE =8，BD =AE =12，∴135122222=+=+=CE AE AC ．【总结】本题主要考查根据题目中的已知条件求直角三角形的斜边．填空题ABC D【练习19】等腰三角形ABC中，AB = AC，BC = 10，ABCS∆=，那么A∠=______．【答案】120°．【解析】∵12ABCS BC h∆=⋅⋅=，BC = 10，∴335=h．∴33533521tan===BChB，∴︒=∠30B．∴︒=∠-︒=∠1202180BA．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及等腰三角形的性质．【练习20】ABC∆中，90C∠=︒，斜边上的中线CD = 6，sin A =13，则ABCS∆= _____．【答案】【解析】∵90C∠=︒，斜边上的中线CD = 6，∴AB = 2CD = 12．∵sin A =13，∴31=ABBC．∴4=BC．∴284122222=-=-=CBABAC．∴11422ABCS AC BC==⨯⨯=【总结】本题主要考查解直角三角形以及直角三角形的性质．【练习21】如图，在C处测得铁塔AB的塔顶A的仰角为30°，向塔前进10米到达D处，在D处测得A的仰角为45°，则铁塔的高为______．【答案】535+．【解析】由题意，可设xBDAB==．在ABCRt△中，33tan==BCABC，∴xCB3=．∴xx310=+，解得：535+=x．【总结】本题主要考查解直角三角形与仰角结合的应用．【练习22】某拦水坝的横截面为梯形ABCD，其中斜面AB的坡比为1 : 3，如果自A向B 走了米，那么升高的高度为______米．【答案】10．【解析】设斜面AB 的垂直高度为x ，则水平高度为x 3， ∴()101010322==+x x x ，解：10=x∴升高的高度为10米．【总结】本题主要考查解直角三角形在坡比问题中的应用．【练习23】 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4米．如果在坡度为1：34的山坡上种树，也要求株距为4米，则相邻两树间的坡面距离是______．【答案】5．【解析】考查坡度的定义．【练习24】 用高为h 的测角仪测得铁塔AB 的顶点A 的仰角为α，测角仪到铁塔距离为m ，那么铁塔高度为____________．【答案】αtan m h +． 【解析】考查仰角的定义．【练习25】如图，某人从A 点沿西南方向行了B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为______．【答案】04⎛+⎝，．步同级年九12 / 19ABP'A'P【解析】由题意可知：︒=∠45A ，︒=∠60AOB ，24=AB ． 过B 作BC ⊥AO ．在ABC Rt △中，22sin ==BA CA A ， ∴4=CA ，4=BC ． 在OBC Rt △中，3tan ==∠OC CB AOB ， ∴334=CO ． ∴3344+=OA ．∴A 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+33440，． 【总结】本题主要考查通过添垂线将特殊角放在直角三角形中，然后进行求解．【练习26】 如图，如果APB ∆绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到''A P B ∆，且BP = 2，那么'PP 的长为______．（62sin15-︒=） 【答案】26-．【解析】联结'PP ，过B 作BD ⊥'BP ． ∵︒=∠30'PBP ，'BP BP =， ∴︒=∠15PBD ．∴在BPD Rt △中，PB DP PBD =∠sin ，∴2426DP =-，∴226-=PD ． ∴262'-==PD PP ．【总结】本题主要考查通过添垂线将特殊角放在直角三角形中，然后进行求解，另外还考查 了旋转的性质．【练习27】 ABC ∆中，AB = 5，AC = 8，30C ∠=︒，则ABC ∆的面积是______． 【答案】638±．【解析】过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ．ABCDM在ACD Rt △中，421==AC AD ． ∴34482222=-=-=AD AC CD ．在Rt ABD △中，3452222=-=-=AD AB BD ．()63843342121+=⋅+⋅=⋅⋅=AD BC S ABC △； ②()638433421211-=⋅-⋅=⋅⋅=AD C B S ABC △．【总结】本题主要考查根据已知条件解直角三角形，另外要注意进行分类讨论．【练习28】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A B ∠<∠，沿ABC ∆的中线CM 将CMA ∆折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tan A 的值为______．【答案】33． 【解析】∵△AMC ≌△DMC ，∴D A ∠=∠，DCM ACM ∠=∠． ∵CM 为Rt ABC ∆的中线， ∴ACM A ∠=∠． ∵CD 恰好与MB 垂直，∴︒=∠+∠90DCB B ． 又∵︒=∠+∠90A B ， ∴A DCB ∠=∠． ∴DCM ACM DCB ∠=∠=∠．∵︒=∠+∠+∠90DCM ACM DCB ， ∴︒=∠30ACM ．∴︒=∠30A ，∴33tan =A ． 【总结】本题综合性较强，主要考查翻折的性质以及直角三角形的性质和特殊角的锐角三角 比的值．解答题步同级年九14 / 19【练习29】 计算：cos 45sin 301cos60tan 452︒-︒︒+︒．【答案】212-． 【解析】解：原式=212121212122-=⨯+-． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值及代数式求值．【练习30】 已知α为锐角，且11tan α-无意义，求()()2cos 15615sin ααα+︒-︒的值．【答案】21-． 【解析】∵α为锐角，且11tan α-无意义．∴1tan =α，∴︒=45α．∴原式=212223621245sin 30cos 660cos 2-=⨯⨯-⨯=︒︒-︒． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及分式无意义的条件．【练习31】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = BC ，BD 为AC 边上的中线．求sin ABD ∠和tan ABD ∠的值．【答案】1010，31．【解析】过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ． 设AE =DE =x ，则x AD 2=．∵BD 为AC 边上的中线， ∴x AC 22=．∴x AC AB 42==． ∴x BE 3=． ∴x BE DE BD 1022=+=．∴101010sin ===∠xx DB DE ABD ，313tan ===∠x x EB DE ABD ． 【总结】本题主要考查解直角三角形以及锐角三角比的概念．【练习32】 如图，等腰梯形ABCD ，AD // BC ，45DBC ∠=︒，翻折梯形ABCD ，使点B重合于点D ，折痕分别交AB 、BC 于点F 、E ，若AD = 2，BC = 8．求：（1）BE 的长；（2）CDE ∠的正切值．【答案】（1）5；（2）53．【解析】∵EF 垂直平分BD ， ∴DE BE =． ∴︒=∠=∠45BDE DBC ， ∴︒=∠90DEB ． 过A 作AG ⊥BC ，由等腰梯形的性质可得：3==EC BG ． ∴538=-=-=EC BC BE ． ∴5==BE DE ．∴在DEC Rt △中，53tan ==∠DE CE CDE ． 【总结】本题综合性较强，主要考查翻折的性质以及等腰梯形的性质和特殊角的锐角三角 比的值．【练习33】 如图，已知梯形ABCD 中，AD // BC ，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，BE ⊥CD 于点E ，AD = 1，CD =．求BE 的长．【答案】223．【解析】过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则可得四边形ABFD 为矩形．A B CDE FG AB CDEF∵在DCF Rt △中，DC DFC =sin ，∴2222DF =，∴2=FD ． ∴2=CF ． ∴2=AB ，1==AD BF ． ∴3=BC ．∵在BCE Rt △中，BC BEC =sin ，∴322BE =，∴223=BE ． 【总结】本题主要考查解直角三角形，注意通过添加垂线，将特殊角放到直角三角形中．【练习34】 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°．在 离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．【答案】34+．【解析】过A 作AG ⊥CD ，垂足为G ． 由题意可得：︒=∠30CAG ，︒=∠60CED ，6==BD AG ．∵在ACG Rt △中，AG CGCAG =∠tan ，∴633CG =，∴32=CG ， ∴2332+=CD ．∵在CED Rt △中，CECDCED =∠sin ， ∴CE233223+=，∴34+=CE ．【总结】本题主要考查解直角三角形在仰角问题中的应用．【练习35】 如图，有一朝向为正南方向的居民楼CD ，该居民楼的一楼是高6米的超市， 超市以上是居民住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼AB ，当冬季正午阳光与水平线的夹角为30°时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？ （2）若要超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ 【答案】（1）不受影响，理由见解析；（2）320．EAB CEFG【解析】（1）由题意可知：︒=∠30AEF ，15=EF ．在CED Rt △中，∵FE AF AEF =∠tan ，∴1533AF=，∴35=AF ． ∵636.113520>≈-==BF EC ，∴超市以上的居民住房采光不受影响．（2）当︒=∠30ACB 时，超市采光不受影响，在ACB Rt △中，BCABACB =∠tan ， ∴BC2033=，∴320=BC ． ∴两楼至少相距320米． 【总结】本题主要考查解直角三角形在实际生活中的应用．【练习36】 如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6米，坝高为3.2米，为 提高拦水能力，需要将水坝加高2米，并保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但背水坡坡度由原来的1 : 2变成1 : 2.5．求加高后的坝底HD 的长为多少？【答案】29.4米． 【解析】解：∵BH =3.2， ∴加高后MF =EN =5.2，MN =EF =BC =6，在HMF Rt △和EDN Rt △中，5.21=HM FM ，21=DN EN ∴HM =2.5MF =13， DN =2EN =10.4 ，∴HD =13+6+10.4=29.4．【总结】本题主要考查解直角三角形在坡度问题中的应用．【练习37】 近日A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正西300公里的B 处，并以107 公里/小时的速度向南偏东60°的BF 方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域．（1）A 市是否受到本次沙尘暴的影响？（2）若A 市受沙尘暴影响，求受影响的时间有多长？ 【答案】（1）是；（2）10小时．【解析】如图，点C 为台风离A 市最近的地方． D 为A 市是开始受到沙尘暴影响，E 为A 市不受沙尘暴影响．在ABC Rt △中，20015021<==AB AC ．∴A 市会受到本次沙尘暴影响．（2）由题意可知：AD =AE =200． 在ADC Rt △中，7501502002222=-=-=CA DA DC ，∴71002==DC DE ．∴107107100==t ．【总结】本题主要考查解直角三角形在方位角问题中的应用．【练习38】 如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AB = 10，【答案】143． 【解析】解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ， 过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ．∵120BAC ∠=︒，∴︒=∠=∠60EAB DAC ．在ABE Rt △中，521==AB AE ，∴355102222=-=-=AE BA EB ．在ADC Rt △中，2521==AC AD ．∴2352552222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=AD CA DC ．在CBE Rt △中，()7510352222=+=+=CE BE CB ，∴在BDC Rt △中，72375325sin ===BC DC B ． 在BEC Rt △中，737535sin ===BC BE C ；∴33sin sin =142B C ． 【总结】本题主要考查解直角三角形的应用，综合性较强，要注意去寻找包含所求锐角的直角三角形．。
锐角三角比的意义
锐角三角比的意义（一）古松学校顾卫标教学设计说明一、教材的地位与作用本节课是学生在学习了直角三角形和相似三角形有关性质后，通过研究直角三角形中的边、角关系建立锐角三角比的概念。
锐角三角比是初三数学中的重要数学概念，概念的形成不仅为研究直角三角形提供了有用的工具，而且在数学学习与生活生产实际中都有广泛应用。
二、教学内容的编排1．概念的形成由于本课时是锐角三角比概念形成的第一节课，主要教学目标是掌握锐角的正切、余切的概念及相互关系，因此我把锐角正切、余切的概念形成作为本节课的重点及难点。
在问题解决过程中不断反馈和分析信息，做到适时点拨，引导学生自己从问题解决过程中提炼出超越问题情景的思想，并在前一章“相似形”所学知识的基础上寻找出新知识的生长点，即直角三角形一个锐角大小确定后，其直角边的比值也确定，从而建立起新的数学概念——锐角的正切、余切的概念，并让学生感知学习这两个概念的实际意义。
这样既能突出重点、难点，又能符合学生的普遍接受能力。
2．概念的应用为了加强学生对锐角正、余切概念及相互关系的应用，本节课设计不同层次的例题和习题，并通过归纳和总结，帮助学生从知识到能力的迁移，进一步优化知识结构。
此外，从总体上这两组题目的内容是由浅入深、循序渐进的。
三、教学方法本节课的课堂教学主要采用问题解决教学的方法。
在概念学习时并没有把知识直接传授给学生，而是让学生从问题解决过程中去发现、去探求，并通过教师适当、必要的引导对结论进行归纳。
在教学过程中还运用各种手段，从各个方面来帮助学生理解，使形象思维与抽象思维充分地、有机地结合起来，旨在学生对新概念的现解更深入、更准确、更有效。
四、教学策略1．以问题评价为主要形式，及时调控教学进程。
在教学过程的各环节中，通过设置富有开放性、挑战性且层层深入的问题来暴露学生思维进程，教师通过学生回答问题的积极性、主动性、正确性来灵活调控教学进程。
2．以多种训练形式为途径，增加教学反馈的层面。
九年级数学上册《锐角三角比》教案、教学设计
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的表现，如参与度、提问、合作等，鼓励学生积极参与课堂活动。
（2）总结性评价：通过课后作业、单元测试等方式，评估学生对知识点的掌握程度。
（3）反馈机制：及时给予学生反馈，指出学生的优点和不足，指导学生进行针对性的学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以生活中的实例作为导入，例如，教师可以展示一张斜拉桥的图片，并提问：“同学们，你们知道这座桥是如何建成的吗？在建造过程中，工程师是如何确定桥的各部分尺寸和角度的呢？”通过这个问题，引导学生思考三角形在实际应用中的重要性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：锐角三角比的定义、计算方法以及特殊角度的正弦、余弦、正切值。
2.难点：
（1）理解正弦、余弦、正切函数的图像和性质，尤其是周期性、奇偶性等。
（2）将锐角三角比知识应用于解决实际问题，尤其是非直角三角形的求解。
（）教学设想
1.对于重点内容的教授：
（1）采用生动的实际例子引入锐角三角比的概念，如测量旗杆高度、计算三角形面积等，让学生感受到数学的实用价值。
（3）开展探究活动，让学生在尝试和犯错中学习，鼓励学生提出不同解题思路，培养学生的创新思维。
3.教学策略：
（1）差异化教学：针对不同学生的学习能力，提供不同难度的学习材料，确保每个学生都能在原有基础上得到提升。
（2）情境教学：创设与实际生活相关的教学情境，提高学生的学习兴趣和参与度。
（3）合作学习：鼓励学生进行小组合作，通过讨论和互助，共同解决问题，提高团队协作能力。
作业要求：
1.学生独立完成作业，注重作业质量，要求字迹工整、步骤清晰。
2.学生在完成作业过程中，如遇到问题，可主动向同学或老师请教，及时解决问题。
锐角的三角比
锐角的三角比一、介绍在数学中，三角比是指三角函数中的比值，用于描述三角形的各个边与角之间的关系。
锐角是指小于90度的角，因此在本文中，我们将讨论关于锐角的三角比。
三角比一共有六个，分别是正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)。
这些三角比在数学和物理等科学领域中都有广泛的应用，例如解决三角函数方程、测量角度和距离等。
二、正弦(sin)在锐角三角形中，正弦表示三角形的对边与斜边之间的比值。
数学表达式如下：sin(A) = 对边 / 斜边其中，A表示锐角的大小。
正弦的取值范围是-1到1之间，当A接近0度时，正弦的值接近0；而当A接近90度时，正弦的值接近1。
三、余弦(cos)余弦代表锐角三角形的邻边与斜边之间的比值。
数学表达式如下：cos(A) = 邻边 / 斜边同样地，余弦的取值范围也是-1到1之间。
在锐角三角形中，当A接近0度时，余弦的值接近1；当A接近90度时，余弦的值接近0。
四、正切(tan)正切是锐角三角形中对边与邻边之间的比值。
数学表达式如下：tan(A) = 对边 / 邻边正切的取值范围是无穷，当A接近0度时，正切的值接近0；当A接近90度时，正切的值趋于无穷大。
五、余切(cot)余切是锐角三角形中邻边与对边之间的比值。
数学表达式如下：cot(A) = 邻边 / 对边余切的取值范围也是无穷，当A接近0度时，余切的值趋于无穷大；当A接近90度时，余切的值接近0。
六、正割(sec)正割表示斜边与邻边之间的比值。
数学表达式如下：sec(A) = 斜边 / 邻边正割的取值范围是大于等于1的实数。
当A接近0度时，正割的值趋于无穷大；当A接近90度时，正割的值接近1。
七、余割(csc)余割代表斜边与对边之间的比值。
数学表达式如下：csc(A) = 斜边 / 对边余割的取值范围也是大于等于1的实数。
当A接近0度时，余割的值接近无穷大；当A接近90度时，余割的值趋近于1。
【初三数学】九年级暑假 第10讲：锐角三角比的意义
九年级暑假数学（学生版）最新教案acABCb锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．锐角三角比的概念是以相似三角形为基础建立起来的，本讲主要讲解锐角的正切和余切、正弦和余弦的概念，重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备．1、 正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b===锐角的对边锐角的邻边．2、 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A 的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a===锐角的邻边锐角的对边．锐角的三角比的意义内容分析知识结构模块一：正切和余切知识精讲PNMQABCPNMQ【例1】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A ∠的对边是______，A ∠的邻边是______；B ∠的对边是______，B ∠的邻边是______．【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） 在Rt MNP ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______；在Rt MPQ ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______．（2） 在Rt ∆____中，N ∠的对边是MP ；在Rt ∆____中，N ∠的邻边是NQ ． （3） MPQ ∠的邻边是______，NPQ ∠的对边是______．【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） ()()tan NPM MQ==． （2）PQ QN =______，=MPPN______．（用正切或余切表示） 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析ABCDOyxABO 【例4】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，BC = 5，求tan A 、cot A 、tan B 、cot B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例5】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，AB = 5，求tan A 、cot A 、tan B 、cot B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例6】 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知OA = 2，AB = 3，求tan OAD ∠和cot ODC ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图，已知正比例函数2y x =的图像上有一动点A ，x 轴上有一动点B ，求tan AOB ∠和cot AOB ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 9，tan A =34． 求：（1）AB 的长；（2）tan B 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】acABCbPNMQ1、 正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ． sin A BC aA AB c===锐角的对边斜边．2、 余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c ===锐角的邻边斜边．【例9】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） ()()sin NPM MP==． （2）PQ PN =______，=MQMP______．（用正弦或余弦表示） 【难度】★ 【答案】 【解析】【例10】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，AB = 5，求sin A ，cos A ，sin B ，cos B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】模块二：正弦和余弦知识精讲例题解析xyPO【例11】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，BC = 5，求sin A ，cos A ，sin B ，cos B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例12】 如图，在直角坐标平面内有一点P （2，3）．求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正弦和余弦的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例13】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 9，sin A =34． 求：（1）AB 的长；（2）sin B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例14】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin A =23，求sin B 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCABC1、 锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．【例15】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 4，求A ∠的四个三角比的值． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例16】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，tan A =34，求B ∠的四个三角比的值． 【难度】★ 【答案】 【解析】定义 表达式 取值范围 相互关系正 切 tan A A A ∠=∠的对边的邻边tan a A b= tan b B a=tan 0A > （A ∠为锐角） 1tan cot A A=余 切 cot A A A ∠=∠的邻边的对边cot b A a=cot a B b=cot 0A > （A ∠为锐角）正 弦 sin A A ∠=的对边斜边sin aA c =sin bB c=0sin 1A << （A ∠为锐角） ()sin cos 90A A =︒-∠ ()cos sin 90A A =︒-∠余 弦cos A A ∠=的邻边斜边cos b A c=cos a B c=0cos 1A << （A ∠为锐角）模块三：锐角的三角比知识精讲例题解析ABC DABCD【例17】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin B =34，求sin A 、cos A 、tan A 和cot A ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例18】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求sin A 、cos A 、tan A和cot A ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例19】 已知等腰ABC ∆中，底边BC = 20 cm ，面积为40 cm 2，求sin B 和tan C ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例20】 如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，若AB = 9，BC = 12，求sin A 、cos α、tan β、cot C 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在边BC 上，AD = BD = 5，4sin 5ADC ∠=，求cos ABC ∠和tan ABC ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABO xyAB CD E68【例22】 在直角坐标平面内有一点A （3，1），点A 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角为α，求sin α、cos α、tan α和cot α．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 已知一次函数y = 2x -1与x 轴所夹的锐角为α，求tan α和sin α的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为（10，0），点B 在第一象限内，BO = 5，3sin 5BOA ∠=．求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC ∆如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE ，求sin CBE ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEABCDAB CA BC【例26】 如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 10，B ∠为锐角，sin B =45，1tan 2ACB ∠=，求AD 、AC 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】 如图，在ABC ∆中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求ACB ∠的四个三角比的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】 已知ABC ∆中，sin A = 513，tan B = 2，且AB = 29．求ABC ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例29】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，AB = 12，4cot 3ADB ∠=，求：（1）DBC ∠的余弦值；（2）DE 的长．【难度】★★★ 【答案】 【解析】11/ 17A BCDA BCDCABMO xy【例30】如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，CD⊥AB于点D，DCBα∠=，若AD : BC = 16 : 15，求sinα、cotα的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例31】如图，在ABC∆中，45ABC∠=︒，3sin5A=，AB= 14，BD是AC边上的中线．求：（1）ABC∆的面积；（2）ABD∠的余切值．【难度】★★★【答案】【解析】【例32】如图，在等腰Rt ABC∆中，90BAC∠=︒，已知A（1，0），B（0，3），M为BC中点，求tan MOA∠．【难度】★★★【答案】【解析】12 / 17ABCAD【习题1】已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，AC = 4．则：（1）sin A = ______，cos A = ______，tan A = ______，cot A = ______； （2）sin B = ______，cos B = ______，tan B = ______，cot B = ______．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，cos A =25，则AB = ______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 已知90A B ∠+∠=︒，则sin A – cos B 的值为______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】如图，在ABC ∆中，AB = BC = 20，410AC =，求sin A 和tan A 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题5】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD ⊥AB 于D ．已知AC = 8，BC = 15．求随堂检测13/ 17A BCDEAxyODCA∠的三角比．【难度】★★【答案】【解析】【习题6】如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，sin A = 23，点D、E分别在边AB、AC上，DE⊥AC，DE = 2，DB = 9，求DC的长．【难度】★★【答案】【解析】【习题7】已知，锐角α的顶点在坐标原点，一边与x轴正半轴重合，另一边经过点P（15）．求α的三角比．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】已知一次函数y = 43x – 4的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，P是14 / 17ABCD线段AB 的中点，求sin POB ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCA α∠=，AD : BC = 7 : 12，求sin α、tan α的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题10】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = AB = CD = 4，1cos 4C ∠=． （1）求BC 的长； （2）求tan ADB ∠的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】15 / 17ABC【作业1】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠的对边是a 、b ，则ba（ ）A ．A ∠的正弦值B ．B ∠的余弦值C ．A ∠的余切值D ．B ∠的余切值【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则下列关系不成立的是（）A ．b = c ·cos AB ．a = b ·tan BC ．c =cos aBD ．tan A ·tan B = 1【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 16，cos A =34． 求：（1）AC 的长；（2）tan B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】已知ABC ∆的三边a 、b 、c 满足a : b : c = 5 : 12 : 13，则sin A + cos A=______．【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业16 / 17ABCABCD EABC【作业5】若α是锐角，且1cot 3α=，则()cos 90α︒-=______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】已知ABC ∆中，BC = 10，cos C =18，AC = 8．求AB 的长和B ∠的正切值．【难度】★★【答案】 【解析】【作业7】如图，在ABC ∆中，AB = BC = 10，210AC =sin B 和tan B 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD 是斜边AB 上的高．若点E 在线段DB 上，联结CE ，24sin 25AEC ∠=．求CE 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】17 / 17【作业9】已知ABC ∆中，C ∠是锐角，BC = a ，AC = b ．求证：1sin 2ABC S ab C ∆=．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 已知，在平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（2，1），点B 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（8，3），求sin ACB ∠和tan ABC ∠的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】。
02新初三数学自主招生进度一 锐角三角比与特殊角的三角比(教师)
对边锐角三角比的意义与特殊角的三角比(最后一题难度较大)【知识点归纳】1． 直角三角形中锐角的邻边与对边。
锐角α的邻边指与角α相邻的直角边。
2．锐角α的三角比： 锐角α的正弦弦对边=， 如图 caAB BC A ==sin ； 锐角α的余弦弦邻边=， 如图 c bAB AC A ==cos ； 锐角α的正切邻边对边=， 如图 b aAC BC A ==tan ； 锐角α的余切对边邻边=， 如图 abBC AC A ==cot 。
3．特殊角（30°，45°， 60°）的三角比值：4. 互为余角的两个角的三角比规律：ααcos )90sin(=-︒；ααsin )90cos(=-︒；ααcot )90tan(=-︒；ααtan )90cot(=-︒。
5． 锐角三角比值随着角度变化的规律：（观察知识点3的表格）当锐角α逐渐增大时, 正弦αsin 逐渐 增大 ; (1sin 0<<α)当锐角α逐渐增大时, 余弦αcos 逐渐 减小 ; (1cos 0<<α) 当锐角α逐渐增大时, 正切αtan 逐渐 增大 .6. 同一个角的不同三角比之间的关系：观察知识点3的表格，分别计算30°，45°，60°时的α2sin 和α2cos 值。
你发现了什么规律？ .)1cos (sin 22=+αα【例 题】例1．已知在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，12=AC ，5=BC ，求A ∠的四种三角比值。
解：13=AB ，135sin =A；1312cos =A ，125tan =A ，512cot =A . 例2．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，6=BC ，AC 为对角线，AC DE ⊥于点E 。
求ADE ∠cot 和CDE ∠sin 的值。
解：易知2∠=∠ADE ,4∠=∠CDE . ADE ∠cot 222cot ==∠=BC AB ; CDE ∠sin 334sin ==∠=AC AB .一、填空题： 1. 已知α为锐角，如果31cos =α，那么;tan ;sin ==αα=αcot 。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 25.1锐角三角比的意义教案
§25.1(1) 锐角三角比的意义(1)教学目标：知道直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，由此理解锐角的正切和余切的几何意义；会根据直角三角形的两条直角边的长度求锐角的正切、余切值；经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的体会，体会数学与生活的联系.教学重点：理解直角三角形中锐角的正切、余切的意义，会建立直角三角形这一模型.教学难点：体会锐角与边的比值的联系. 教学设计： 教学过程 设计意图 一、情景引入问题1 (1) 学校的操场有一个旗杆垂直于地面，现有一根皮尺，你能设计一个方案，测量旗杆的高度AB 吗？ (学生言之有理即可)(2)一名学生这样测量：某日的下午，让同伴测量他的身高和影长，当他的影长等于身高时，马上让同伴测出旗杆的影长，此时的影长就是旗杆的高度，你认为他的方法确切吗？为什么？(3) 思考：我们能不能在任意时刻用上述方法测出旗杆的高度？为什么？如图，阳光AC 与DF 可以看成AC//DF ，则∠C=∠F. ∴△ABC ∽△DEF ，得EFBC DEAB ，只要测得DE 、EF 、BC 的长，就可以求出AB 的长.(4) 从固定时刻到任意时刻，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化？(5) 古希腊著名数学家泰勒斯曾用这个方法测得了埃及金字塔的高度. 二、探索新知小组合作探究1：（1）在学习单上取定一个锐角∠MAN利用实际问题引入一个直角三角形的两条边的比值与锐角之间的联系，体验数学与生活的联系.通过小组探究活动，获得直角三角形的两条直角边之比是一个定ABCDEF（2）在射线AM 上取一点B ，过点B 向射线AN 引垂线，垂足为C ，（3）问：ACBC的值是确定的吗？为什么？ 要求：1、小组合作探究； 2、汇报数据，交流、展示；3、师生共同简述理由.4、∠A 不变，虽然两条直角边长发生了变化，但它们的比值不变探究2：如果改变∠A 的大小，这个角的 对边与邻边的比会改变吗？为什么？ 要求：1、运用几何画板直观感受； 2、举反例说明； 3、归纳：在Rt △ABC 中，∠C=90°一个定值的邻边锐角的对边锐角=A A .规定∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c定义：(1) 直角三角形中，锐角A 的对边与邻边的比叫做锐角A 的正切，记为tanA..tan baAC BC A A A ===的邻边锐角的对边锐角说明：tanA 的值与∠A 的度数或直角边的比值有关. 思考：当∠A 确定时，的对边锐角的邻边锐角A A 是否是定值？为什么？(2) 直角三角形中，锐角A 的邻边与对边的比叫做锐角A 的余切，记为cotA. .cot abBC AC A A A ===的对边锐角的邻边锐角(AA cot 1tan =或1cot tan =⋅A A )三、课堂练习例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，求tanA 、tanB 、cotA 、cotB 的值.要求：1、要求学生画草图，教师规范格式求tanA ； 2、学生独立完成tanB 、cotA 、cotB ；3、归纳、小结：当∠A+∠B=90°时，tanA=cotB.值这一事实.理解直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，并引入正切、余切的概念.同一个锐角的正切值与余切值是一对倒数，让学生掌握.让学生知道互余的两个角，一个角的正切值等于另一个角的余切值.aC A B c bB 3B 1B 2C 3C 1 A C 2 MN CED AMNP例 2 在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AB=5，求tanA 、cotA 的值.要求：1、学生独立完成；2、归纳、小结：求锐角的三角比时， 常会用到勾股定理.书本P63—练习25.1(1)四、课堂小结(1) 通过今天的学习，你有什么收获和体会？ (2) 一个锐角的正切或余切的值与这个锐角的大小有确定的依赖关系；(3) 初中阶段锐角的三角比是在直角三角形里研究的，如果没有适当的直角三角形，可以构造直角三角形解决. 五、作业必做题 练习册 习题25.1(1) 选做题 已知：如图，在△ABC 中， tanB=1，cotC=2，BC=6，求△ABC 的 面积. 课堂小结，对本节课内容作简要回顾.作业分层，满足不同层次的学生；并渗透构造直角三角形的方法.教学设计说明：《锐角的三角比》是初三第一学期的几何教学内容，它在解决实际问题中有着重要的作用。
初三数学锐角三角比试题
初三数学锐角三角比试题复习提纲 |复习计划一、教材内容九年级第一学期：第二十五章锐角的三角比(11课时)二、“课标”要求1.理解锐角三角比的概念，会求特殊锐角的三角比值。
2.理解解直角三角形的意义，会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题。
[来源：学科网]说明：锐角三角比只涉及正弦、余弦、正切、余切，注重建立直角三角形的边角关系，对三角比之间的关系不作要求。
三、“考纲”要求考点要求40、锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值 II41、解直角三角形及其应用 III图形与几何(7)(锐角的三角比)一、选择题(6×4/ =24/ )1.在中，∠ ，，，则的值是( )(A) ; (B) ; (C) ; (D)2.2.如果中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠ 的三角比的值( )(A) 都扩大到原来的2倍; (B) 都缩小到原来的一半;(C) 没有变化; (D ) 不能确定.3.等腰三角形的底边长10cm，周长36cm，则底角的余弦值为……( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .4.在中，∠ ，，则的值为……( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a，已知∠A和边a，求边c，则下列关系中准确的是……………………………………………………………… …( )(A) ; (B) ; (C)a=b×tanA; (D) .6.在△ABC中，若，，则这个三角形一定是……( )(A)锐角三角形; (B) 直角三角形; (C)钝角三角形; (C)等腰三角形.二、填空题(12×4/ =48/ )7.在RtΔABC中，∠ , 若AB=5,BC=3,，则 = ，，，[来源：Z|xx|]8.在中，∠ ，∠ =30°，AC=3,则BC= .9. 在△ABC中，∠C=90°，，则sinB的值是________.10.有一个坡角，坡度，则坡角11.在中，∠ , ,则∠ .12.已知P(2，3)，OP与x轴所夹锐角为a，则tana=_______ .13.如图，DABC中，ÐACB=90°，CD是斜边上的高，若AC=8，AB=10，tanÐBCD=___________.14.如图，若人在离塔BC塔底B的200米远的A地测得塔顶B的仰角是30°，则塔高BC=___ ___( )15.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：3的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为_________m.16.一个楼梯的面与地面所成的坡角是30°，两层楼之间的层高3米，若在楼梯上铺地毯，地毯的长度是米( =1.732，精确到0.1米).[来源：学科网]17.如图，已知正方形的边长为 1.如果将对角线绕着点旋转后，点落在的延长线上的点处，联结，那么cotÐBAD/__________.18.矩形一边长为5，两对角线夹角为60°，则对角线长为 .三、解答题(3×10/ =30/ )19.计算： .20.已知直线交x轴于A，交y轴于B，求ÐABO的正弦值.21.如图，将正方形ABCD的边BC延长到点E，使CE=AC，AE与CD相交于点F. 求∠E的余切值.四、解答题(4×12/=48/ )22.某人要测河对岸的树高，在河边A处测得树顶仰角是60°，然后沿与河垂直的方向后退10米到B处，再测仰角是30°，求河对岸的树高。
初中数学：锐角的三角比知识清单
初中数学：锐角的三角比知识清单1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即tan A A A ∠=∠的对边的邻边；余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即cot A A A ∠=∠的邻边的对边；正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即sin A A ∠=的对边斜边；余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即cos A A ∠=的邻边斜边；2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；②若90A B ∠+∠=︒，则tan ;cot cos sin B B A A ==；③1tan cot A A ⋅=.3.特殊角的三角比30α=︒60α=︒45α=︒tan α3331cot α3331sin α123222cos α3312224.锐角的三角比.⎧⎨⎩已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.2.直角三角形的边角关系（ABC ∆中，90C ∠=︒）222;90;tan ;cot ;sin .a b c A B a b a b A A A A b a c c ⎧⎪+=⎪∠+∠=︒⎨⎪⎪====⎩①三边关系：②锐角关系：③边角关系：3.解直角三角形的应用（1）仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；（2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度，记作i ，即hi l=；坡度表示形式：1:i m =.坡面与水平面的夹角叫坡角，记为α；坡度i 与坡角α的关系：tan hi l==α一、锐角的三角比1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边．2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．===A BC a sinA AB c角的斜锐对边边．（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．===A AC b cosA AB c角的斜锐邻边边．（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．===A BC a tanA A AC b角的角的锐对边锐邻边．（4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．===A AC bcotA A BC a角的角的锐邻边锐对边．【记忆技巧】正（正对）弦（斜边）：对边比斜边；余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边．二、特殊角的三角比1．特殊角的锐角三角比：【记忆技巧】1．图形推导法2．表格记忆法α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133三、解直角三角形1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．2．在Rt △ABC 中，C ∠=90°，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系：（1）锐角之间的关系：=A B ∠+∠90°；（2）三边之间的关系：222a b c +=；（3）边角之间的关系：A sinA ∠=的斜对边边；A cosA ∠=的斜邻边边；A tanA A ∠=∠的的对边邻边；A cotA A ∠=∠的的邻边对边．3．解直角三角形的类型与解法：类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）四、解直角三角形的应用1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=.坡度通常写成1:m 的形式，如i =1︰1.5．5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系:hi tan lα==.1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）*度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤< .。
青岛版九年级上册数学锐角三角比知识点
青岛版九年级上册数学锐角三角比知识点1. 锐角三角比的定义在锐角三角形中，我们定义以下三个比值：•正弦比（sin）：在直角三角形中，正弦比被定义为对边与斜边的比值。
在锐角三角形中，正弦比同样被定义为对边与斜边的比值。
•余弦比（cos）：在直角三角形中，余弦比被定义为邻边与斜边的比值。
在锐角三角形中，余弦比同样被定义为邻边与斜边的比值。
•正切比（tan）：在直角三角形中，正切比被定义为对边与邻边的比值。
在锐角三角形中，正切比同样被定义为对边与邻边的比值。
2. 锐角三角比的计算方法在计算锐角三角比时，我们可以利用以下公式：•正弦比（sin）：sinθ = 对边 / 斜边•余弦比（cos）：cosθ = 邻边 / 斜边•正切比（tan）：tanθ = 对边 / 邻边3. 锐角三角比的性质锐角三角比具有以下性质：•在锐角三角形中，正弦比、余弦比和正切比都是相对于锐角本身的函数，而不是相对于三角形的边的长度。
•正弦比和余弦比的值域在[-1,1]之间；正切比的值域是整个实数集。
•锐角三角比的值与三角形的大小无关，只与角度的大小有关。
•对于一个锐角来说，它的正弦比、余弦比和正切比都是随着角度增大而增大的。
•两个互余角（和为90°的两个角）的正弦比相等，余弦比互为相反数，正切比互为倒数。
4. 锐角三角比的应用锐角三角比在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：•高度测量：通过测量物体与地面角度的正弦比，可以计算出物体的高度。
•斜坡角度计算：在工程领域中，可以利用正切比来计算斜坡的角度，以便确定斜坡的合理度。
•三角测量：在地理测量中，可以利用三角形边长和角度的关系，来计算地球上任意两点之间的距离。
5. 总结本文介绍了青岛版九年级上册数学中关于锐角三角比的知识点，包括定义、计算方法、性质和应用。
锐角三角比是数学中重要的概念，在实际生活中有着广泛建模和解决问题的应用。
掌握锐角三角比的知识，可以帮助我们解决各种与角度相关的计算和测量问题。
青岛版九年级上册数学《锐角三角比》教案
《锐角三角比》教案 探究版教学目标 知识与技能1．探索直角三角形中锐角三角比与三边之间的关系． 2．掌握锐角角A 的三角比：sin A =A ∠的对边斜边，cos A =A ∠的邻边斜边，tan A =A A ∠∠的对边的邻边．过程与方法让学生在探究直角三角形中锐角三角比与三边之间的关系的过程中，培养学生的数形结合的能力和分析论证的能力．情感与态度培养学生对数学的学习兴趣及激发学生的求知欲． 教学重点锐角三角比定义的理解． 教学难点直角三角形中锐角三角比与三边之间的关系及求锐角三角比． 教学过程 一、情景导入 教师可用多媒体出示如图是两个自动扶梯，甲、乙两人分别乘1、2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶？如果AB 和A'B'相等而∠α和∠β大小不同，那么它们的高度AC 和A'C'相等吗？AB 、AC 、BC 与α∠，A'B'、A'C'、B'C'与∠β之间有什么关系呢？2号1号C设计意图：通过生活中的具体实例，初步感受直角三角形中的三边与锐角之间的关系，激发学习的兴趣，为后面的锐角三角比概念的引出做好铺垫．二、探究新知 实验与探究（1）有一块长2.00 m 的平滑木板AB ，小亮将它的一端B 架高1m ，另一端A 放在平地上（如下图），在木板上分别取点B 1，B 2，B 3，B 4，分别量得它们到A 点的距离AB 1，AB 2，AB 3，AB 4，以及它们距地面的高度B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3，B 4C 4，数据如下表所示：利用上述数据，分别计算比值BCAB，111B C AB ，222B C AB ，333B C AB ，444B C AB ，你有什么发现？ 师生活动：让学生亲自动手计算，并要求学生思考“比值为什么会相等？是巧合吗？”以启发学生进一步探究．（2）如下图①，A ∠是锐角，在A ∠的一边上任意取两个点B ，B '，经过这两个点分别向A ∠的另一边做垂线，垂足分别为点C ，C '，由问题（1）你猜测比值BC AB 与B C AB '''相等吗？能证明你的结论是正确的吗？①C'B'CB A师生活动：教师可以引导学生自己画出图，然后独立思考，合作交流，让学生说出点B 与点B '在A ∠的同一条边上，根据相似三角形的性质，当点B 在该边的位置改变时，比值BCAB的大小并不改变．教师板书完整证明：因为A ∠=A ∠，90BCA B C A ''∠=∠=，所以Rt △ABC ∽Rt △AB'C'，因此BC AB =B C AB'''．（3）如果设比值B C AB '''=k ，由问题（2）你发现当锐角A 的大小确定后，k 的大小与点B '在AB 边上的位置有关吗？师生活动：引导学生通过（2）的证明得出结论，当锐角A 的大小确定后，两个三角形的相似关系就确定了，k 的大小与点B '在AB 边上的位置无关．教师强调：比值的大小与点B 在AB 边上的位置无关．（4）如下图②，以A 为端点，在锐角A 的内部（或外部）作一条射线，在这条射线上取点B ''，使AB AB '''=，这样又得到了一个锐角B AC ''∠．过B ''作B C AC ''''⊥，垂足为点C ''．比值B C AB ''''''与k 相等吗？为什么？由此你得到怎样的结论？ ②C''C'B''B'CB A师生活动：要使学生认识到，图②中，ABAB '''=，过B ''作B C AC ''''⊥，可知B C B C ''''''≠．因为假设=B C B C ''''''，那么Rt B AC ''∆≌Rt B AC ''''∆，则BAC B A C ''''∠=∠．这与B AC B AC ''''''∠>∠矛盾．因此B C B C AB AB ''''''≠'''，这就是说，当∠A 变化时，相应的边的比值会发生变化．因此比值k 与∠A 的大小有关．师强调：对于确定的锐角A 来说，比值k 与点B '在AB 边上的位置无关，只与锐角A 的大小有关．（5）根据上面的探索，引出锐角三角比． 如图，在Rt △ABC 中，∠A 的邻边∠A 的对边斜边CBA把比值k 记作A ∠的对边斜边，当锐角A 确定后，不论以∠A 为锐角的直角三角形的大小如何，这个比值也就随之确定．把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sin A ，即sin A ＝斜边的对边A ∠．类似地，当锐角A 的大小确定后，比值A ∠的邻边斜边和比值A A ∠∠的对边的邻边也随之确定，把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cos A ，即cos A ＝A ∠的邻边斜边．把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tan A ，即tan A ＝A A ∠∠的对边的邻边．锐角A 的正弦、余弦和正切统称锐角A 的三角比．师生活动：（1）要借助直角三角形图形，使学生明确∠A 的邻边是指顶点A 所在的直角边．（2）要求学生能结合直角三角形图形，记住∠A 的正弦、余弦、正切的定义，师强调定义的本质是直角三角形中相应边的比值，且当锐角A 的大小确定后，不论∠A 所在的直角三角形各边的边长是否发生变化，三个比值的大小都随之确定．（3）引入锐角三角比的符号时，应要求学生会读、会写，并会把锐角三角比定义中的对边、邻边、斜边进一步换为小写字母a ，b ，c 表示．在Rt ABC ∆中，∠C =90º，如果用a ，b 表示∠A 的对边和邻边，c 表示斜边，那么sin A =ac，cos A =b c ，tan A =a b． （4）在引入了锐角三角比的符号后，师要强调sin A ，cos A ，tan A 都是一个完整的记号．当角只用一个大写字母或小写字母表示时，习惯上在记号中省去角的符号“∠”，不能理解成sin ·A ，cos ·A ，tan ·A ．设计意图：通过多个探究问题的逐步深入，使学生明确锐角三角比只与锐角A 的大小有关，从而比较自然的得出锐角三角比的相关概念．在问题的探究过程中，利用了三角形相似的有关知识及数形结合的思想，培养了学生进行严谨推理的能力．三、例题精讲例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，a =2，b =4，求∠A 的正弦、余弦、正切的值．师生活动：由勾股定理求出c 的长度，再根据直角三角形中锐角三角比与三边之间的关系求出各三角比的值．师可让学生独立思考，交流结果，举手板演．解：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°．因为a =2，b =4，所以c ==． sin A=a c ==,cos A=b c ==tan A =2142a b ==． 设计意图：例1是锐角三角比的意义的直接应用．例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，sin A =35，求cos A ，tan B 的值．6CB A分析：先利用sin A 求出AB ，再利用cos A ，tan B 的意义求值． 解：因为sin A =BC AB，所以AB=sin BC A =56103⨯=．又8AC ，所以cos A =45AC AB =，tan B =43AC BC =． 设计意图:锐角三角比的简单应用． 四、课堂练习1．在△ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列关系式中错误的是（ ）．A ．b=c sinB B ．b=a tan BC ．a=c sin AD ．a=b cos B 2．在△ABC 中，∠C =90°，AB =2，AC =1，则sin B 的值是（ ）． A ．12 B．2 CD ．2 3．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）．D'DCBAA ．1B ．2C ．22D ．22 4．如果Rt △ABC ∽Rt △A'B'C'，∠C =∠C'=90º，sin A 等于sin A '吗？为什么？cos A 与cos A '呢？5．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90º， c =3，a =2，求∠A 的正弦、余弦、正切的值．CBA参考答案： 1．D 2．A 3．B4．sin A =sin A '，cos A =cos A '． 因为Rt △ABC ∽Rt △A'B'C'，所以BC AB AC B C A B A C ==''''''，即BC B C AB A B ''=''，AC A C AB A B ''=''． 5．sin A =23，cos Atan A．设计意图：通过练习巩固锐角三角比的概念，加深学生对概念的理解与掌握． 五、课堂小结在Rt △ABC 中，设∠C =900，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则 ∠α的正弦sin α=α∠的对边斜边，∠α的余弦cos α=α∠的邻边斜边，∠α的正切tan α=αα∠∠的对边的邻边．设计意图：通过课题小结，使学生加深对锐角三角比概念的理解与掌握，对本节知识有一个完整的回顾，便于形成知识体系．六、目标检测1．在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．不变化 B ．扩大3倍 C ．缩小31D ．缩小3倍 2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sin A ＝_______，cos A ＝_______，sin B ＝_______，cos B ＝________．CBA3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝9a ，AC ＝12a ，AB ＝15a ，tan B=___，cos B=___， sin B =____．CBA4.在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，求（1）cos A ；（2）当AB ＝4时，求BC 的长． 参考答案： 1．A ． 2．513，1213，1213，513． 3．43，35，45． 4．（1；（2） 设计意图：通过练习巩固锐角三角比的意义，加深学生对概念的理解与掌握．。
九年级数学上册《由锐角三角比求该锐角》教案、教学设计
在本章节的教学过程中，教师应注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的方法，提高学生的数学素养。学生应能够：
1.通过实际操作，观察、分析锐角三角比与锐角之间的关系，培养学生的观察能力和发现问题的能力。
2.学会运用数学符号、公式进行推理，培养学生的逻辑思维能力。
3.运用类比、归纳等方法，从特殊到一般，掌握锐角三角比的求解方法，提高学生的抽象思维能力。
九年级数学上册《由锐角三角比求该锐角》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解锐角三角比的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及性质。
2.能够根据给定的锐角三角比，运用计算器或计算方法求出对应锐角的大小。
3.能够运用锐角三角比解决实际问题，如测量物体的高度、计算角度等。
4.掌握在直角三角形中，锐角三角比与边长之间的关系，能够根据边长求解锐角。
2.学生分享已知的求解方法，如勾股定理、角度和为180°等，为学习锐角三角比求解锐角做铺垫。
3.提问：除了这些方法，还有没有其他更简便的方法求解锐角？引出本节课的主题——由锐角三角比求该锐角。
（二）讲授新知
1.讲解锐角三角比的定义，以正弦、余弦、正切为例，阐述它们在直角三角形中的含义。
2.通过动态图示和实物模型，演示锐角三角比与锐角之间的关系，让学生形象地理解三角比的含义。
1.基础作业：针对本节课的基础知识，设计必做题，使学生巩固锐角三角比的定义、性质及计算方法。例如：
（1）计算以下直角三角形中，给定锐角的正弦、余弦、正切值。
（2）已知一个锐角的正弦、余弦、正切值，求该锐角的大小。
（3）利用锐角三角比解决实际问题，如测量学校旗杆的高度、计算物体与地面的夹角等。
2.提高作业：设计一定数量的选做题，供学有余力的学生挑战，培养他们的探究能力和创新思维。例如：
初三数学锐角三角比
初三数学锐角三角比（本卷满分：120分，完卷时间：120分钟）一、填空题（本大题共16题，每题2分，满分32分）1.在△ABC 中,∠A 与∠B 互余,并且sinA +cosB =3，那么ctgA 的值为________.2.直角三角形中,一锐角的正切值为34,周长为24,则斜边长为_________. 3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,ab则c = .4.若α为锐角,且tg (α-10°)-1=0，则α=_______.5.若tg α=3,则233sin cos sin cos αααα-+的值为_________. 6.已知α与β互为余角,且tg α=3-1则tg β=__________.7.矩形的一条对角线与一边所夹的角为60°,如果该对角线长为42cm ,则矩形的一组邻边的长分别 是_____cm ,______cm8.若等腰三角形的腰长为2,底边长为则顶角的为 度9.若等腰梯形下底长4cm ,底角的余弦为35,高为2cm ,则上底长为 cm 10.若矩形两条对角线所夹锐角为60°,它的短边长为4cm,则长边长为 cm11.当m = 时,方程2(5)(25)120m x m x +--+=两根为一个直角三角形两锐角的余弦12.在△ABC 中,AB =15,AC =20,BC 边上的高AH =12,则BC =13.菱形ABCD 的对角线AC =10,面积为30,则2A ctg= 14.如图,△ABC 中,PC ⊥AC ,∠BCP 的正切值为13,P 是AB 的中点， 则∠A 的正弦值为 . 二、 选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）【每题列出的四个答案中,有且只有一个是正确的,请你把正确答案的代号填入括号内】15.在△ABC 中,若cosB =sinA ，则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定的三角形16.已知α为锐角,cos α=23，那么ctg α的值为( ) A.35 B.52 C.255 D.5317.Rt △ABC 中,∠C =90°,a 、b 满足a 2-ab -b 2=0,则tgA 等于( )A.1B.152+ C.152- D.152± P B C A 第14题图18.△ABC中,∠C=90°,周长为60cm, tgB=125,则△ABC的面积是( )A.30cm2B.60cm2C.120cm2D.240cm2三、（本大题共4题，每题7分，满分28分）19.(160)tg︒+20.计算：ctg tgtg30303045163045306454522°°°°°²°°°²°----cos sincos sin coscos21.已知tg ctgαα+=,求锐角α22.已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,DE⊥AB于E,1,72tgB AE==,求DE的长EDCBA四、（本大题共4题，每题10分，满分40分）23.已知,如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD =BC ,DC =12,cosD =35,高为4,求AD 、AB 的长24.已知,如图,在□ABCD 中,∠BAB = 4, BC = 5 , 求AC 、BD 的长25.已知,如图,在△ABC 中,AB =AC ,CD ⊥AB 于D ,且sin ∠BCD =58. (1)求BC AB的值 (2)若△ABC 的周长为26,求S △ABC 的值D CB A D CB A DCB A26.已知,在□ABCD 中,BE ⊥CD 于E ,BF ⊥AD 于F ,CE =2,DF =1,∠EBF =60°,求S □ABCD 的值五、（本大题只有1题，(1)、(2)、(3)题，每题4分，满分12分）27. 如图：已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN ＝∠POQ ＝α（α为锐角），当∠MAN 以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平行移动，设OM ＝x ，ON ＝y （y ＞x ≥0），若αcos 、OA 是方程02522=+-z z 的两个根。
锐角三角比练习题及答案
锐角三角比练习题及答案锐角三角比练习题及答案三角比是数学中的重要概念之一，它描述了三角形中各个角度的关系。
其中，锐角三角比是指三角形中锐角的三角比。
锐角三角比的研究对于解决实际问题以及几何推理都有着重要的意义。
本文将给出一些锐角三角比的练习题，并提供答案和详细解析。
1. 问题：在一个锐角三角形ABC中，已知角A的正弦值为0.6，求角B的余弦值。
解析：根据三角比的定义，正弦值是指对边与斜边的比值。
已知正弦值为0.6，即sin(A) = 0.6。
由此可得，对边与斜边的比值为0.6。
设对边为x，斜边为1，根据勾股定理可得：x^2 + 1^2 = (0.6)^2x^2 = (0.6)^2 - 1x^2 = 0.36 - 1x^2 = -0.64由于x为长度，因此不能为负数，所以这个三角形不存在。
因此，无法求得角B的余弦值。
2. 问题：在一个锐角三角形ABC中，已知角A的余弦值为0.8，求角C的正切值。
解析：根据三角比的定义，余弦值是指邻边与斜边的比值。
已知余弦值为0.8，即cos(A) = 0.8。
由此可得，邻边与斜边的比值为0.8。
设邻边为x，斜边为1，根据勾股定理可得：x^2 + 1^2 = (0.8)^2x^2 = (0.8)^2 - 1x^2 = 0.64 - 1x^2 = -0.36由于x为长度，因此不能为负数，所以这个三角形不存在。
因此，无法求得角C的正切值。
3. 问题：在一个锐角三角形ABC中，已知角A的正弦值为0.5，角B的余弦值为0.6，求角C的正切值。
解析：根据已知条件，我们可以得到以下两个等式：sin(A) = 0.5cos(B) = 0.6根据三角比的定义，正弦值是指对边与斜边的比值，余弦值是指邻边与斜边的比值。
设对边为x，邻边为y，斜边为1，根据勾股定理可得：x^2 + 1^2 = (0.5)^2y^2 + 1^2 = (0.6)^2由上述两个等式可以解得：x^2 = (0.5)^2 - 1x^2 = 0.25 - 1x^2 = -0.75y^2 = (0.6)^2 - 1y^2 = 0.36 - 1y^2 = -0.64由于x和y为长度，因此不能为负数，所以这个三角形不存在。
沪教版数学九年级上册25.1《锐角三角比的意义》教学设计
沪教版数学九年级上册25.1《锐角三角比的意义》教学设计一. 教材分析《锐角三角比的意义》是沪教版数学九年级上册第25.1节的内容。
本节主要介绍锐角三角比的定义和性质，以及它的应用。
通过学习本节内容，学生能够理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，并能运用锐角三角比解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对三角函数有一定的理解。
但是，对于锐角三角比的概念和性质，学生可能还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，帮助学生理解和掌握锐角三角比的概念和性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，能够运用锐角三角比解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角比的定义和性质。
2.难点：锐角三角比的计算方法和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过具体的案例，让学生理解和掌握锐角三角比的性质；通过小组合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具准备：笔记本、尺子、三角板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些实际问题，如测量 flag 的倾斜角度，引导学生思考如何解决这个问题。
通过这个问题，引入锐角三角比的概念。
2.呈现（15分钟）通过具体的案例，介绍锐角三角比的定义和性质。
例如，通过测量三角板上的角度，引导学生发现锐角三角比的规律。
3.操练（15分钟）让学生利用三角板和尺子，自己动手测量锐角三角比。
学生可以分组进行，互相交流和讨论，培养团队合作意识。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固锐角三角比的计算方法。
九上数学-第25章-锐角三角比-知识点
小初高个性化辅导，助你提升学习力！1九上数学-第25章-锐角三角比-知识点1、锐角三角比：sinA=斜边对边，cosA=斜边邻边，tanA=邻边对边,cotA=对边邻边 。
其中 tanA和 cotA 是倒数关系， sinA 和 cosA 的值都在0与1之间。
2、sin30°= 21,sin45°= 22,Sin60°=23;cos30°=23,cos45°=22,cos60°=21,tan30°=33;tan45°= 1 ;tan60°=3;cot30°= 3;cot45°= 1 ;cot60°= 33.3、求锐角三角比，需要在直角三角形中求，如果没有，可考虑①找等角，②构造RT △ 。
4、写出9组勾股数：1:3:2; 1:1:2; 3:4:5; 5:12:13; 7:24:25; 1:2:5; 1:3:10;8:15:17; 1:2:3.5、图感培养：①等边对等角，大边对 大角 ，小边对 小角 ；等角对等边，大角对 大边 ，小角对 小边 。
②两短边平方和等于最长边平方，则是 直角 三角形，两短边平方和大于最长边平方，则是 锐角 三角形，两短边平方和小于最长边平方，则是 钝角 三角形；以上结论反之也成立。
6、解直角三角形：除了直角外，5个要素中，告诉其中 2 个要素（至少 一条边 ），求剩余 3 个要素的过程。
7、sinA= c a，其两个变形式为：① A c a sin = ，②A c sin a =。
cosA= cb，其两个变形式为：① A c b cos = ，② A b c cos =。
tanA=b a，其两个变形式为：①A b a tan ⋅=，②A a b tan =。
8、仰角是指向 上 的视线与 水平线 的夹角，俯角是指向 下 的视线与 水平线_的夹角。
坡角是指斜坡与水平面的夹角，坡度也叫 坡比 ，是指 竖直高度 与 水平宽度 的比值，就等于坡角的 正切值。
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初三数学锐角三角比
（本卷满分：120分，完卷时间：120分钟）
一、填空题（本大题共16题，每题2分，满分32分）
1.在△ABC 中,∠A 与∠B 互余,并且sinA +cosB =3，那么ctgA 的值为________.
2.直角三角形中,一锐角的正切值为34
,周长为24,则斜边长为_________. 3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,ab
则c = .
4.若α为锐角,且tg (α-10°)-1=0，则α=_______.
5.若tg α=3,则233sin cos sin cos αααα
-+的值为_________. 6.已知α与β互为余角,且tg α=3-1则tg β=__________.
7.矩形的一条对角线与一边所夹的角为60°,如果该对角线长为42cm ,则矩形的一组邻边的长分别 是_____cm ,______cm
8.若等腰三角形的腰长为2,
底边长为则顶角的为 度
9.若等腰梯形下底长4cm ,底角的余弦为35
,高为2cm ,则上底长为 cm 10.若矩形两条对角线所夹锐角为60°,它的短边长为4cm,则长边长为 cm
11.当m = 时,方程2(5)(25)120m x m x +--+=两根为一个直角三角形两锐角的余弦
12.在△ABC 中,AB =15,AC =20,BC 边上的高AH =12,则BC =
13.菱形ABCD 的对角线AC =10,面积为30,则2A ctg
= 14.如图,△ABC 中,PC ⊥AC ,∠BCP 的正切值为
13,P 是AB 的中点， 则∠A 的正弦值为 . 二、 选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）
【每题列出的四个答案中,有且只有一个是正确的,请你把正确答案的代号填入括号内】
15.在△ABC 中,若cosB =sinA ，则△ABC 是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定的三角形
16.已知α为锐角,cos α=23
，那么ctg α的值为( ) A.35 B.52 C.25
5 D.53 17.Rt △ABC 中,∠C =90°,a 、b 满足a 2-ab -b 2=0,则tgA 等于( )
A.1
B.152+
C.152-
D.152
± P B C A 第14题图
18.△ABC中,∠C=90°,周长为60cm, tgB=12
5
,则△ABC的面积是( )
A.30cm2
B.60cm2
C.120cm2
D.240cm2
三、（本大题共4题，每题7分，满分28分）
19.
(160)
tg︒+
20.计算：
ctg tg
tg
3030
3045
16304530
64545
2
2
°°
°°
°·°°
°·°
-
-
-
-
cos sin
cos sin cos
cos
21.
已知tg ctg
αα
+=,求锐角α
22.已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,DE⊥AB于E,
1
,7
2
tgB AE
==,求DE的长E
D
C
B
A
四、（本大题共4题，每题10分，满分40分）
23.已知,如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD =BC ,DC =12,cosD =
35,高为4,求AD 、AB 的长
24.已知,如图,在□ABCD 中,∠B
AB = 4, BC = 5 , 求AC 、BD 的长
25.已知,如图,在△ABC 中,AB =AC ,CD ⊥AB 于D ,且sin ∠BCD =
58. (1)求BC AB
的值 (2)若△ABC 的周长为26,求S △ABC 的值
D C
B A D C
B A D
C
B A
26.已知,在□ABCD 中,BE ⊥CD 于E ,BF ⊥AD 于F ,CE =2,DF =1,∠EBF =60°,求S □ABCD 的值
五、（本大题只有1题，(1)、(2)、(3)题，每题4分，满分12分）
27. 如图：已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，
且∠MAN ＝∠POQ ＝α（α为锐角），当∠MAN 以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平行移动，设OM ＝x ，ON ＝y （y ＞x ≥0），若αcos 、OA 是方程02522
=+-z z 的两个根。
（1）当∠MAN 旋转30º（即∠OAM ＝30º）时，求点N 移动的距离；
（2）求证：MN ON AN ⋅=2
（3）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；
α
α
P N M O A
Q
F E D C B A。