武汉理工大学学年第二学期高等数学A下期中试卷
武汉市2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
武汉市2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）满分：150分时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共12小题60分，每小题只有一个选项符合题意） 1.曲线321y x x =-+，在1x =处的切线与直线1y ax =+平行，则a 的值为（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求出导数，得切线的斜率，由直线平行得a ． 【详解】232y x '=-，∴切线的斜率11k y x ='==，切线与直线1y ax =+平行，1a .故选：B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的充要条件，解题关键是利用导数几何意义求出切线斜率．2. 在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 （ ） A. 23397C CB. 2332397397C C +C C C. 514100397C -C CD.5510097C -C【答案】B 【解析】试题分析：恰好有2件次品时，取法为23397C C ⋅，恰好有3件次品时，取法为32397C C ⋅，所以总数为23397C C ⋅32397C C +⋅．考点：排列组合．3.已知函数()sin 2'(),3f x x xf π=+则'()3f π=（ ）A. 12-B. 0C.12D.3 【答案】A 【解析】()()sin 2','cos 2'33f x x xf f x x fππ⎛⎫⎛⎫=+∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令3x π=，则11'cos 2'2','3332332f ff f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+∴=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A.4.如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.5.4名男生和4名女生排成一排，女生不排在两端，则不同的排法种数为（ ）A. 2444A A ⋅B. 4444A A ⋅C. 2646A A ⋅D. 88A【答案】C 【解析】 【分析】分步完成这件事，第一步选2个男生排在两端，第二步剩下的6人在中间任意排列，由分步计数原理可得．【详解】先从4名男生中选2名排在两端，有24A 种排法，再将其余6人无限制地排在中间6个不同的位置，有66A 种排法，由分步乘法计数原理知共有6426A A ⋅种不同的排法.故选：C ．【点睛】本题考查排列的应用，解题时采取特殊元素特殊位置优先考虑的原则． 6.在曲线2yx 上切线的倾斜角为4π的点是（ ） A. （0,0） B. （2,4）C. 11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】依题意π12tan 1,42y x x '====，此时21124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选D . 7.设5250125(2)x a a x a xa x -=++，那么024135a a a a a a ++++的值为（ ）A. 244241-B. 122121-C. 6160-D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由赋值法求二项式展开式系数可得02412431222a a a ++==+，15312431212a a a -++==-，代入运算即可得解.【详解】解：由5250125(2)x a a x a x a x -=++，令1x =得：5012534(21)a a a a a a -++=+++，① 令1x =-得：5053412[2(1)]a a a a a a =--+---+，② 联立①②得：02412431222a a a ++==+， 15312431212a a a -++==-，即024135a a a a a a ++=++122121-， 故选：B.【点睛】本题考查了二项式展开式系数的求法，重点考查了赋值法，属基础题. 8.某人射击7枪，击中5枪，问击中和未击中的不同顺序情况有（ ）种. A. 21 B. 20 C. 19 D. 16【答案】A 【解析】 【分析】转化为7个位置，选2个放未击中，另5个放击中，由此可得结论．【详解】射击7枪，击中5枪，则击中和未击中的不同顺序情况共有527721C C ==种.故选：A ．【点睛】本题考查组合的应用，解题时注意元素之间有无区别，以确定是排列还是组合． 9.若函数()xf x e ax =-在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 （ ）A.0613v v = B. [)1+∞， C. [)1e ，++∞ D.()1e -+∞，【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，再由“在[0,1]内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在[0,1]上恒成立求解．【详解】∵()xf x e ax =-在[0,1]上单调递减，∴f ′（x ）＝e x ﹣a≤0，在[0,1]上恒成立， ∴a ≥e x 在[0,1]上恒成立， ∵y ＝e x在[0,1]上为增函数， ∴y 的最大值为e ， ∴a ≥e ， 故选A ．【点睛】本题主要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，当为减函数时，导数恒小于或等于零．10.如图，一环形花坛分成,,,A B C D 四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A .12B. 24C. 18D. 6【答案】C 【解析】四块地种两种不同的花共有22326C A = 种不同的种植方法，四块地种三种不同的花共有33212A = 种不同的种植方法，所以共有61218+= 种不同的种植方法，故选C.11.关于函数()31443f x x x =-+．下列说法中：①它极大值为283，极小值为43-；②当[]34x ∈，时，它的最大值为283，最小值为43-；③它的单调减区间为[]22-，；④它在点()04，处的切线方程为44y x =-+，其中正确的有（）个 A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 ∵函数()31443f x x x =-+ ∴()()()2'422f x x x x =-=-+由()()()'220f x x x =-+>，解得x >2或x <−2，此时函数单调递增， 由()()()'220x fx x =-+<，解得−2<x <2,此时函数单调递减，∴③正确；当x =−2时,函数f (x )取得极大值f (−2)=283，当x =2时,函数f (x )取得极小值f (2)=4 3-，∴①结论正确；[]34x ∈，时，()f x 单调递增，它的最大值为()3428444433f =-⨯+=，最小值为()334343433f =-⨯+=-，∴②正确；()'04f =-，∴它在点()04，处的切线方程为44y x =-+，∴④正确，故选D12.已知函数()32f x x ax =-+的极大值为4，若函数()()g x f x mx =+在()3,1a --上的极小值不大于1m -，则实数m 的取值范围是（ ） A. 159,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B. 159,4⎛⎤--⎥⎝⎦C. 15,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(),9-∞-【答案】B 【解析】∵2'()3f x x a =-，当0a ≤时，'()0f x ≥，()f x 无极值；当0a >时，易得()f x 在x =4f ⎛ ⎝=，即3a =，于是()3()32g x x m x =+-+，2'()3(3)g x x m =+-.当30m -≥时，'()0g x ≥，()g x 在(3,2)-上不存在极小值..当30m -<时，易知()g x在x =依题意有32,1,g m ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得1594m -<≤-.故选B.点睛：本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法.涉及函数导数的问题，首先要求函数的定义域，然后对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解. 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知33210n n A A =，那么n =__________．【答案】8 【解析】【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：33210n n A A = ，()()()()221221012,n n n n n n ∴--=-- ()()22152,n n -=-解得8n =. 即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.14.6个人排成一排，甲、乙两人中间恰有一人的排法有__________种. 【答案】192 【解析】 【分析】由于甲、乙两人中间恰有一人，因此完成可以先从4人中选1人站在甲乙中间，甲乙两人之间也相互排列，接着把甲乙和中间1人捆绑作为一个元素，与其他3人进行全排列．【详解】由题意排法数有124424192A A A ⋅⋅=.故答案为：192．【点睛】本题考查排列的应用，解题关键确定事件完成的方法，是分步完成还是分类完成． 15.若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】1(,)9-+∞ 【解析】【详解】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：利用导数判断函数的单调性．16.若关于x 的不等式0x e ax -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是______． 【答案】(],e -∞ 【解析】 【分析】分离参数可得不等式x e a x≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，设()xe f x x =，求出函数()f x 在()0,+∞上的最小值后可得结果．【详解】∵关于x 的不等式0x e ax -≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，∴xe a x≤对任意()0,x ∈+∞恒成立．设()(0)x e f x x x =>，则2(1)()xx e f x x-'=， ∴当(0,1)x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． ∴min ()(1)f x f e ==，∴实数a 的取值范围是(,]e -∞． 故答案为(,]e -∞．【点睛】解答不等式在某区间上的恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，即通过参数的分离，把不等式化为一边只含有参数、另一边只含有变量的形式，然后通过构造函数并求出函数的最值后可得所求．解题中常用到以下结论：()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>或()a f x <恒成立min ()a f x ⇔>，当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替．三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分，解答每题时写出必要的文字说明或演算步骤.） 17.某医院有内科医生5名，外科医生4名，现要派4名医生参加赈灾医疗队， （1）一共有多少种选法？（2）其中某内科医生甲必须参加，某外科医生乙因故不能参加，有几种选法？ （3）内科医生和外科医生都要有人参加，有几种选法？【答案】（1）49126C =（2）3735C =（3）120【解析】【详解】（1）从549+=名医生中选出4名医生参加赈灾医疗队共有：种选法；（2）因为内科医生甲必须参加，而外科医生乙因故不能参加，所以只须从剩下的7名医生中选出3名医生即可，即3735C =种选法；（3）间接法，从9名医生中选出4名有49126C =种方法，而选到的医生全部是内科医生的有455C =种，选到的医生全部是外科医生的有441C =种，所以内科医生和外科医生都要有人参加共有种选法.18.已知函数()()()2122f x x x =--． （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值．【答案】（1）极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =；（2）2b =-或5327b =-【分析】(1)直接利用导数求函数f(x)的单调区间和极值.(2) 设切点为()()00,x f x ，再根据()20006244f x x x '=-++=求得00103x x ==或，再求b 的值.【详解】(1)因为()f x ' 2624x x =-++ 令()f x '=0，得26240x x -++=，解得x =2-或x =1．所以()f x 的单调递增区间为2,13⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =． （2）因()f x ' 2624x x =-++，直线4y x b =+是()f x 的切线，设切点为()()00,x f x ，则()20006244f x x x '=-++=，解得00103x x ==或， 当00x =时，()02f x =-，代入直线方程得2b =-，当013x =时，()01727f x =-，代入直线方程得5327b =-． 所以2b =-或5327b =- .【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与曲线的切线方程有关的问题，如果不知道切点，一般设切点坐标，再解答.19.在二项式n 的展开式中，（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项． （2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和． 【答案】（1）52-;（2）1256 .【解析】试题分析：（1）由所有二项式系数之和为64，264n = 6n ∴=，根据中间项的二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令1x =计算n的大小，即可得答案.试题解析：（1）由已知得0164nn n n C C C +++=，264n = 6n ∴=，展开式中二项式系数最大的项是6331130334611520282T C x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）展开式的通项为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1,,r n =由已知：02012111,,222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成等差数列，12112124n nC C ⨯=+∴n=8,在n中令x=1，得各项系数和为1256 20.已知函数()3221()1(,)3f x x ax a x b a b R =-+-+∈，其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间，并求出()f x 在区间[]2,4-上的最大值. 【答案】（1）11a =，83b =. （2）单调递增区间是(),0-∞和()2,+∞，单调递减区间是()0,2；最大值为8. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由(1)1f '=-，(1)2f =可求得,a b ；（2）由（1）得()f x '，求出()0f x '=的根，然后列表表示出()f x '的正负，()f x 的单调性，得极值．从而可得单调区间，也能得出函数在[2,4]-上的最大值．【详解】（1）()2221f x x ax a '=-+-，()()1,1f 在30x y +-=上，()12f ∴=，()1,2∴在()y f x =上，21213a ab =-+-+∴.又()11f '=-，2210a a ∴-+=，解得1a =，83b =. （2）()321833f x x x =-+，()22f x x x '∴=-，由()0f x '=得0x =和2x =，列表如下：所以()f x 的单调递增区间是(),0-∞和()2,+∞，单调递减区间是()0,2.()803f =，()423f =，()24f -=-，()48f =，∴在区间[]2,4-上的最大值为8.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间，求函数的最值．根据几何意义，根据导数与单调性的关系直接求解即可，属于中档题．21.已知a R ∈，函数2()()xf x x ax e =-+（R x ∈，e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数()f x 在(1,1)-上单调递增，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）(（Ⅱ）32a ≥ 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得a=2的函数f(x)的导数，利用导数的正负求出原函数的单调区间；（Ⅱ）原函数()f x 在()1,1-上单调递增，即导函数在(-1,1)大于等于0恒成立，在解不等式求得a 的范围.【详解】（Ⅰ）当2a =时，()()22xf x x e '=-+.令()0f x '>，解得x <<所以，函数()f x的单调递增区间为(.（Ⅱ）方法1：若函数()f x 在()1,1-上单调递增，则()0f x '≥在()1,1-上恒成立.即()()()220x f x x a x a e =-+-+≥'，令()()22g x x a x a =-+-+.则()()220g x x a x a =-+-+≥在()1,1-上恒成立.只需()()()()11201120g a a g a a ⎧-=-+-+≥⎪⎨=-+-+≥⎪⎩，得：32a ≥方法2：()()()22x f x x a x a e '=-+-+，令()0f x '>，即()()220x a x a -+-+>，x <<. 所以，()f x的增区间为⎝⎭又因为()f x 在()1,1-上单调递增，所以()1,1-⊆22,22a a ⎛---+⎪⎝⎭即11≤-⎨⎪≥⎪⎩，解得32a ≥.【点睛】本题目考查了导函数的应用，函数单调性的求法以及二次函数恒成立问题，属于中档题.22.已知函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+在0,4x x ==处取得极值. （1）求常数k 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值；（3）设()()g x f x c =+，且[1,2]x ∀∈-，()g x 21c ≥+恒成立，求c 的取值范围. 【答案】（1）；（2）当x ＜0或x ＞4，f （x ）为增函数，0≤x≤4，f （x ）为减函数；极大值为，极小值为（3）【解析】【详解】试题分析：（1）因为函数两个极值点已知，令()()23610f x kx k x =+-='，把0和4代入求出k 即可．（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，()()244f x x x x x '=-=-大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可，把函数导数为0的x 值代到f （x ）中，通过表格，判断极大、极小值即可．（3）要使命题成立，只需()min 1f x c ≥+，由（2）得：()1f -和()2f 其中较小的即为g （x ）的最小值，列出不等关系即可求得c 的取值范围． 试题解析：（1）()()2361f x kx k x '=+-，由于在0,4x x ==处取得极值，∴()00,f '= ()40,f '=可求得13k =（2）由（1）可知()3218239f x x x =-+，()()244f x x x x x '=-=-，()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：x(),0-∞()0,44()4,+∞()f x '+－0 +()f x极大值89极小值889-∴()f x 在(,0)-∞，(4,)+∞为增函数，()f x 在(0,4)上为减函数； ∴极大值为()80,9f =极小值为()8849f =- (3) 要使命题[]1,2x ∀∈-，()g x 21c ≥+恒成立，只需使()21f x c c +≥+,即()1f x c ≥+即可.只需()min 1f x c ≥+ 由（2）得()f x 在[]1,0-单增，在[]02，单减. ()()13401299f f -=-=-， ∴()min4019f x c =-≥+，499c ≤-. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .。
最新武汉理工大学高起本高等数学(下)阶段作业一答案
一、单项选择题（共20道小题，共100.0分）1.若广义积分收敛，则（）.A.＞1B.≥1C.＜1D.≤12.若广义积分收敛，则（）.A.＞1B.≥1C.＜1D.≤13.下列关系式正确的是（）A.B.C.D.都不对4.设函数在上连续，则曲线与直线所围成的平面图形的面积等于（）A.B.C.D.5.设为连续函数，则（）A.为的一个原函数B.为的所有原函数C.为的一个原函数D.为的所有原函数6.下列向量为单位向量的是（）A.B.C.D.7.以为邻边的平行四边形的面积为（）A.B.C.D.8.函数的定义域为（）A.B.C.D.，9.下列函数为同一函数的是（）A.，B..C..D..10.二元函数的定义域为（）A.B.C.D.且11.设函数则（）A.B.C.D.12.设,则（）A.B.C.D.13.函数在处可微是在该处连续的( )条件．A.充分B.必要C.充分必要D.无关的．14.若，则称为的（）A.极大值点B.极小值点C.极值点D.驻点15.，则在处（）A.取得最大值0B.取得最小值0C.不取得极值D.无法判断是否取得极值．16.设，则=（）A.B.C.D.17.设，则=（）A.B.C.D.18.微分方程的通解为（）A.B.C.D.19.微分方程的通解为（）A.B.C.D.20.设y1, y2是二阶常系数线性齐次方程y″+P y′+q y=0的两个特解, C1、C2是两个任意常数，则下列命题正确的是（）A.C1y1+C2y2是该方程的通解B.C1y1+C2y2不是该方程的通解C.C1y1+C2y2是该方程的解D.C1y1+C2y2不是该方程的解2015年中国人民大学MPA双证复试面试题3月22日在中国人民大学公共管理学院参加了mpa复试。
因为工作的缘故，之前也就一周左右的复习时间，晚上看看专业书。
完全没有复习方向，网上关于mpa复试的资料也很少，很是痛苦。
所以打算把这次复试的内容根据记忆写下来，有些实在是想不起来了，还请大家包涵。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题(含答案解析)
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()f x 有三个极值点C ．()f x 有一个极大值4．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线()22:20C y px p =>构造了一个类似点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线C 124==PF PQ ，则p =（）二、多选题6．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，有()()20xf x f x '+>恒成立，则（）A ．()()142f f >B ．()()142f f ->-C ．()()4293f f >D ．()()4293f f ->-三、单选题四、多选题五、填空题13．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，若12a =，23a =，122n n n a a S +=+，则10S 的值为______.14．函数()33f x x x =-在区间(2,)a -上有最大值，则a 的取值范围是________．15．已知m 为常数，函数()2ln 2f x x x mx =-有两个极值点，则m 的取值范围是______.16．函数()()22e ,022,0x ax x f x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩，且0a ≠，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为______.六、解答题(1)建立适当的坐标系，设(2)求矩形桌面板的最大面积19．已知函数()(f x =(1)当0a =时，求()f x (2)讨论函数()f x 的单调性20．函数()e cos xf x x =，(1)求数列{}n x 的通项公式，并证明数列(2)若对一切*n ∈N 不等式21．已知椭圆E ：22x a +T 为椭圆E 上任意一点，(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()2,0P 的直线与椭圆（点B ，C 在直线l 的两侧）别为1S ，2S ，3S ，试问：是否存在常数求出t 的值；若不存在，请说明理由参考答案：9．BCD【分析】利用导数判断函数的单调性可知B 正确；当01x <<时，()0f x <，可知A 错误；求出函数的零点，可知【详解】因为()2ln f x x x =，该函数的定义域为当120e x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当12e x ->时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，所以111221()e e ln e 2e f x f ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值，故当01x <<时，ln 0x <，此时()2ln 0f x x x =<由()2ln 0f x x x ==，可得ln 0x =，解得1x =故选：BCD 10．ACD【分析】根据双曲线的性质可判断A,B ，利用点到直线距离公式可判断义以及基本不等式判断D.()ln 1a b ∴=+，(ln a b b -=+构造函数：()()ln 1p x x x =+-递减，当0x ＜时，()()'0,p x p x ＞单调递增，立，所以当0m ＜时，方程1bm a+=对于C ，方程1b m a+=有2个解()()12112eb b +++＞，由A 知：原方程为e am a =有2个解1,a a ()121212e e 2e ,a a a a a a ++≠ ＞，由B 知：0b ＞，(ln 1a b ∴=+只需证明122eea a +＞即可，即a 当01x ＜＜时，()()'0,k x k x ＜函数图象大致如下：()k x m =对应的2个解为1x =只需证明212x x -＞，11,x ∴ ＜所以即证()()212k x k x -＞，由证()()1120k x k x --＞，即证()()2e e 22x xk x k x x x---=--即()22e e 0x xx x ---＞，构造函数()()22e e x n x x x -=--()2'01,e e ,0,x x x n x -∴ ＜＜＜＜()()1120k x k x --＞，命题得证；对于D ，110,222a a b b ++＞＜，()()12ln 111b b b ++-+＜，令构造函数()(12ln ,w t t t t t =-+＞()w t 是减函数，()10,w w =∴故选：ACD.13．65【分析】运用1n n n a S S -=-（n 数列，进而求得{}n a 的通项公式，代入【详解】∵12a =，23a =，n a如图所示，当041m <<，即104m <<时，4y m =，个交点，记为1122(,),(,)A x y B x y .根据图像可知10x x <<时，1ln 41ln 4xm x mx x+>⇔+-1ln 41ln 40xmx mx x+⇔+-，即()0f x '>，说明1x 是()f x '的变号零点.同理可说明意.故答案为：104m <<16．2e 0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】当x ＞0时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当依题意可设抛物线方程为故点P 所在曲线段BC 设()()2,201P x x x ≤<是曲线段则在矩形PMDN 中，PM 桌面板的面积为()S x =）由已知得，BC的斜率存在，且B，C在∴，01x x <<<，。
湖北省武汉市高二下学期期中联考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知复数，是虚数单位，则（ ） ()12i 13i z +=-+i z =A ． B ． C ． D ．1i -+1i --1i +1i -【答案】D【分析】利用复数除法运算求得复数的值，然后利用共轭复数的概念求得结果. z 【详解】由，得， ()12i 13i z +=-+()()()()13i 12i 13i 1i 12i 12i 12i z -+--+===+++-所以. 1i z =-故选：D2．甲，乙，丙三人报考志愿，有，，三所高校可供选择，每人限报一所，则恰有两人报考A B C 同一所大学的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．1323791627【答案】B【分析】根据题意，利用乘法计数原理计算总的方法数，从反面计算恰有2人报考同一所院校的方法种数，根据概率公式，计算即可求解.【详解】由题意，每人报考一所学校，不同的选法总数是（种）3327=如果每一所学校都有人报考，不同的选法总数是（种）,336A =所有人都报同一所学校的方法有3种，∴恰有2人报考同一所院校的方法种数为， 276318--=概率为. 182273=故选：B.3．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若，则圆柱12O O O 122O O =的表面积为（ ）12O OA ．B ．C ．6D ．4π5πππ【答案】C【分析】根据相切情况，先求得圆柱底面半径，再用圆柱表面积公式，即可求得结果. 【详解】因为该球与圆柱的上下底面，母线均相切，不妨设圆柱底面半径为， r 故，解得，1222r O O ==1r =故该圆柱的表面积为.21222246r rO O πππππ+=+=故选：C.【点睛】本题考查球体与圆柱体相切时的几何性质，涉及圆柱表面积的求解，属综合基础题. 4．已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大a b,3a b π= c ()()0a c b c -⋅-= c r 值是（ ）A B C D1【答案】B【分析】首先设，，，画出图形，根据已知条件得到在以为直径的圆OA a = OB b = OC c =C AB 上，再结合图形求解即可. 【详解】如图所示：设，，，OA a = OB b = OC c =则，，CA a c =- CB b c =- 因为，所以，即.()()0a c b c -⋅-= 0CA CB ⋅= CA CB ⊥ 所以在以为直径的圆上.C AB 设的中点为，因为和是平面内两个单位向量，且，AB D a b,3a b π=所以，1AB =OD =所以. max12cOD =+=故选：B5．锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且ABC A ,,A B C ,,a b c ，则等于（ ） 22224cos 2cos a b c a A ac B +-=-aA ．2B ．CD ．1【答案】C【分析】利用余弦定理得到，再利用正弦定理结合两角和与差的三角函数cos 2cos cos =-b C a A c B 得到，结合外接圆半径即可求解3A π=【详解】由，22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B 得，2222cos cos 2+-⋅=-a b c b a A c B ab 由余弦定理，可得，cos 2cos cos =-b C a A c B 又由正弦定理，可得， sin cos 2sin cos sin cos =-B C A A C B 所以， sin cos sin cos sin()sin 2sin cos +=+==B C C B B C A A A得，又，所以，所以1cos 2A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =sin A =又，所以 22sin sin sin ====a b cr A B Ca =故选：C6．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA BC =E CD 中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）F PC BF PEA ．BC ．D 【答案】B【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，表示出，，然后求A BF PE出的值，即可得出答案. cos ,BF PE u u u r u u r 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， A 2AB =则，，，，， ()0,0,0A ()2,0,0B ()002P ,,()2,2,0C ()0,2,0D 则，，()1,2,0E ()1,1,1F 所以，， ()1,1,1BF =-()1,2,2PE =- 所以cos ,BF PE BF PE BF PE ⋅===u u u r u u ru u ur u u r u u u r u u r 所以，异面直线与BF PE 故选：B.7．已知过双曲线的右焦点，且与双曲线的渐近线平行的直线交双曲线()222210,0x y a b a b -=>>F l 于点，交双曲线的另一条渐近线于点（，在同一象限内），满足，则该双曲线A B A B 3FB FA =的离心率为（） A ．BC D ．243【答案】B【分析】将直线的方程分别与双曲线方程及渐近线方程联立，求出的纵坐标，再利用已知条l ,A B 件求解．【详解】双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设在第一象限， by x a=±,A B直线的方程为，与联立，得；l ()b y x c a =--22221x y a b-=32A b y ac =直线与联立，得．l b y x a =2B bcy a =由，得，即， ||3||FB FA =3B A y y =3322bc b aac=⨯得，即，则，223c b =2232c a =e =故选：B ．8．对任意的，，不等式恒成立，则正实数的取值范围是x ()0,y ∈+∞33e e 44ln x y x y x a +---++≥a （ ）A ．B ．C ．D ．(e 0,2⎛⎤⎝⎦[)e,+∞[)2e,+∞【答案】A【分析】利用指数的运算性质以及基本不等式，把双变量问题变成单变量，再利用导数来研究函数的单调性和最值.【详解】设，则问题转化为不等式可化为恒成立， 33e e 4()x y x y f x +--+++=4ln ()x a f x ≤又（当且仅当时取等号）， 33e e ()(4e e )42y x y x f x ---=++≥+0y =所以，即有在时恒成立，34ln 42ex x a -≤+3e 22ln x a x-+≤,()0x ∈+∞令，则，令，3e 2()x h x x -+=32e (1)2()x x h x x -'--=32e (1)2()0x x h x x -'--==即，令，则，3e (1)2x x --=3()e (1)x x x ϕ-=-3()e x x x ϕ-='因为，，所以，所以在单调递增， ,()0x ∈+∞3e 0x ->30()e x x x ϕ-='>()ϕx (0,)+∞又，即的根为3，(3)2ϕ=3()e (1)2x x x ϕ-=-=所以当时，单调递增，当时，单调递减，3x >3e 2()x h x x -+=03x <<3e 2()x h x x -+=所以当时，取得最小值，所以，解得3x =3e 2()x h x x -+=(3)1h =2ln 1a ≤a ≤又，所以0a >0a <≤故选：A ．【点睛】关键点睛：解答时要充分利用题设中的有效信息，先将两个变量化为一个变量，再灵活运用导数这一重要工具，通过两次求导使得函数的变化情况较为明确，最后借助不等式恒成立，从而求得参数的取值范围，使得问题简捷、巧妙获解．二、多选题9．已知直线与圆交于，两点，且（其中为坐标原y x b =+224x y +=A B OA OB OA OB +=-O 点），则实数的值可以是（ ） bA ．B ．C ．2D ．-2-【答案】BC【分析】由已知可推得，设，，则.联立直线与圆的方OA OB ⊥()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=程，得出坐标之间的关系，即可得出答案.【详解】由可得，，OA OB OA OB +=- ()()22OA OBOA OB +=- 所以，222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 所以，所以.0OA OB ⋅=OA OB ⊥ 设，，则.()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=联立直线与圆的方程可得，， 224y x bx y =+⎧⎨+=⎩222240x bx b ++-=由，可得.()()()2222424480b b b ∆=-⨯⨯-=-->b -<<且，则， 1221242x x b b x x +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩()()()212121212y y x b x b x x b x x b =++=+++所以，()222121242402b x x y y b b b b -+=⨯+-+=-=解得. 2b =±故选:BC.10．创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉.为支持“中小企业”创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）A ．年收入在万元的中小企业约有14家 [)500,600B ．样本的中位数大于400万元C ．估计当地中小型企业年收入的平均数为376万元D ．年收入的样本数据的80%分位数为480万元 【答案】AC【分析】根据频率分步直方图可计算，进而可结合选项逐一求解中位数，百分位数以及0.0014x =平均数即可求解.【详解】由频率分步直方图可知： ()0.0010.0020.002620.000410010.0014x x ++⨯++⨯=⇒=对于A, 年收入在万元的中小企业约有家，故A 正确， [)500,6000.001410010014⨯⨯=对于B ，设样本中的中位数为，则a ()()49000.0010.0021003000.00260.540013a a +⨯+-⨯=⇒=<，故B 错误，对于C ，当地中小型企业年收入的平均数为，万元，()1500.0012500.0023500.00264500.00265500.00146500.0004100376⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故C 正确，对于D ， 设年收入的样本数据的80%分位数为，则m 万元，故D 错误， ()()12000.0010.0020.00261004000.00260.8400492.313m m ++⨯+-⨯=⇒=+≈故选：AC11．如图，点M 是棱长为2的正方体中的线段上的一个动点，则下列结论正1111ABCD A B C D -1A D 确的是（ ）A ．存在点M ，使平面 //CM 11A BCB ．不存在点M 满足1CM AD ⊥C ．存在点M ，使异面直线与所成的角是60° 1C M ABD ．二面角1B C D M --【答案】AD【解析】选项A. 当为中点时可得可判断；选项B. 当点M 与点重合时可得M 1A D 1//CM A N D 可判断；选项C. 连接,由，如图2，所以为异面直线与1CM AD ⊥11,MC MD 11//AB C D 11MC D ∠1C M 所成的角，可求出其最大角可判断；选项D. 二面角即二面角，由AB 1B C D M --11B C D A --，的中点，连接,则11BD BC DC ===1111A D A C DC ===1DC H 1A H ，所以角为二面角的平面角，可求解判断. 111,BH DC A H DC ⊥⊥1A HB ∠11B C D A --【详解】选项A. 当为中点时，连接交于点，连接,如图1 M 1A D 11,BC B C N MN 所以且，则为平行四边形，所以 1//A M NC 1A M NC =1A MCN 1//CM A N 又平面，平面，所以平面，故A 正确. 1A N ⊂11A BC CM ⊄11A BC //CM 11A BC 选项B. 当点M 与点重合时，由平面, D CD ⊥11ADD A 又平面,所以，故B 不正确.1AD ⊂11ADD A 1CM AD ⊥选项C. 连接,由，如图2，所以为异面直线与所成的角. 11,MC MD 11//AB C D 11MC D ∠1C M AB 在直角中，11MC D A 111111tan 2MD MD MC D C D ∠==在正方形, 所以，即，故C 不正确. 11ADD A 2M ≤11tan 1MC D ∠≤1145MC D ∠≤︒选项D. 二面角即二面角 1B C DM --11B C D A --由，11BD BC DC ===1111A D A C DC ===取的中点，连接,如图3，则 1DC H 1A H 111,BH DC A H DC ⊥⊥所以角为二面角的平面角 1A HB ∠11B C D A --所以在中，1BH A H ==1A BH A 1A B =所以 2211116681cos 2263HB A H A B A HB HB A H +-+-∠===⨯⨯⨯所以D 正确.1sinA HB ∠===故选：AD【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的判断和线面角以及二面角的求解，解答本题的关键是作出相应的角，由，所以为异面直线与所成的角，在直角中，11//AB C D 11MC D ∠1C M AB 11MC D A ，属于中档题. 111111tan 2MD MD MC D C D ∠==12．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点ABCD ABCD ,,,E F G H ，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，作第3个正方形EFGH EFGH ,,,M N P Q ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续MNPQ ABCD 1a 各正方形边长依次为；如图（2）阴影部分，直角三角形面积为，后续各直23,,,,n a a a AEH 1b角三角形面积依次为，下列说法正确的是（ ）23,,,,n b b bA ．第个正方形面积为.3MNPQ 10B ．.14n n a -=⨯C ．使得不等式成立的的最大值为. 12n b >n 3D ．数列的前项和对任意恒成立. {}n b n 4n S <*N n ∈【答案】BCD【分析】根据图形的变化规律，结合已知条件，求得以及，再对每个选项进行逐一分析，即n a n b 可判断和选择.【详解】根据题意，，且， 2214n n n a b a +-=231324432n n n n a a b a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故，即，又，故可得， 222138n n n a a a +-=22158n n a a +=0n a >1n n a+=由题可知，故数列是首项为的等比数列， 14a ={}n a 4则，，即第三个正方形的面积为， 14n n a -=⨯42325164a =⨯=254故A 错误，B 正确；对C ：因为，， 11233535163232828n n n n b a --⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭158n n b b +=故数列是首项为，公比为的等比数列，其为单调减数列，{}n b 3258，又，故不等式成立的的最大值为，正确； 37511282b =>4375110242b =<12n b >n 3C 对：因为，对任意恒成立，正确. D 3512854445818nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⨯< ⎪⎝⎭-*N n ∈D 故选：.BCD三、填空题13．为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣8名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排2个志愿者，则不同的安排方法共有______种.（用数字作答） 【答案】2940【分析】先将8名志愿者分成（3,3,2）一组和（2,2,4）一组，再分配到三个乡村即可求出结果. 【详解】依题意，①先将8名志愿者分成（3,3,2）一组，再分配到三个乡村，则有种安排方法. 3323852322C C C A 1680A ⋅=②先将8名志愿者分成（2,2,4）一组，再分配到三个乡村，则有种安排方法. 2243864322C C C A 1260A ⋅=所以共有：种方法. 168012602940+=故答案为：.2940四、双空题14．等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的正整数的值是{}n a 59a a =0d <n n S n ______，使前项和的正整数的最大值是______. n 0n S >n 【答案】6或712【分析】根据已知可推得，且，.然后可知当时，有，即可590a a >>590a a +=70a =17n ≤≤0n a ≥得出或时，取得最大值；然后求出，即可得出. 6n =7n =n S 137130S a ==12130S a =->【详解】因为，，所以，所以， 59a a =0d <59a a >590a a >>所以，所以，所以， 59a a =-590a a +=70a =所以，当时，有；当时，， 17n ≤≤0n a ≥8n ≥0n a <所以，使前项和取得最大值的正整数的值是6或7. n n S n 又，且，()113137131302a a S a +===1312130S S a =+=所以，所以使前项和的正整数的最大值是12.12130S a =->n 0n S >n故答案为：6或7；12.五、填空题15．若对任意的、，且，，则的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-m _______________________．【答案】1e【分析】分析出函数在上为减函数，利用导数求出函数的单调递减区()ln 2x f x x+=(),m +∞()f x 间，即可求得实数的最小值.m 【详解】对任意的、，且，，易知，1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-0m ≥则，所以，，即， 122121ln ln 22x x x x x x -<-()()1221ln 2ln 2x x x x +<+1212ln 2ln 2x x x x ++>令，则函数在上为减函数， ()ln 2x f x x+=()f x (),m +∞因为，由，可得，()2ln 1x f x x +'=-()0f x '<1x e >所以函数的单调递减区间为，()f x 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，，所以，，因此，实数的最小值为.()1,,m e ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭1m e ≥m 1e 故答案为：.1e16．球的内接正四面体中，、分别为、上的点，过作平面，使得O A BCD -P Q AC AD PQ αAB 、与平行，且、到的距离分别为2，3，则球被平面所截得的圆面的面积是CD αAB CD αO α______. 【答案】37π2【分析】先将正四面体放到一个正方体中，结合面面平行证明上下底面和平面平行，将距离都转α移到线段上，得正方体的棱长，再利用球心到截面的距离求截面圆的半径，最后计算面积即21O O 可.【详解】将正四面体放到一个正方体中，如图所示，球O 是正四面体的外接球，A BCD -A BCD -也是正方体的外接球.依题意，设平面交BC 于R ，α因为平面，平面与平面交于，平面，所以， //AB αABC αRP AB ⊂ABC //AB RP 又平面，平面与平面交于，平面，所以，//CD αACD αPQ PQ ⊂ACD //CD PQ如图，连接，与AB 交于上底面中心，易知，所以，11C D 2O 11//C D CD 11//C D PQ 平面，平面，故平面，又平面，，平面PQ ⊂α11C D ⊄α11//C D α//AB α112C D AB O = 11C D ⊂，平面，11AC BD AB ⊂11AC BD 故上底面平面，同理可证下底面也平行平面.11//AC BD αα连接上下底面中心，交平面于S ，因为AB 、CD 到的距离分别为2，3， 21O O αα则，则正方形棱长为，正方体的体对角线， 212,3O S SO ==21235O O =+=即球的直径为， 2R =R =球О被平面所截得的圆的半径为r ，α则截面圆圆心为S ，到球心的距离， 2251222d SO O O O S ==-=-=故 r ===故面积.2237πππ2S r ==⨯=故答案为：. 37π2六、解答题17．将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中，试问. (1)一共有多少种不同的放法？ (2)恰有1个空盒的放法有多少种？ 【答案】(1)3125 (2)1200【分析】（1）把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有种放法，余下的2,3,4,5号小球也各有5种放法，根据分步计数原理得到结果；（2）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，且小球数只能是1,1,1,2.先将5个球分为4组，从5个盒子中选出4个，然后进行全排列即可求解.【详解】（1）将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中， 每个球有5种放法，则5个球有种不同的放法；55555553125⨯⨯⨯⨯==（2）①将5个球分为4组，有种分组方法，25C 10=②恰有1个空盒，则有且仅有2个球进了同一个盒子，在5个盒子中任选4个，放入四组球，有种情况，则共计种不同的放法．4454C A 120=101201200⨯=18．在二项式中，有.()()150,0,0,0m nax bx a b m n +>>≠≠20m n +=(1)求二项式的展开式的常数项；()15m n ax bx +(2)若它的展开式中，常数项是其各项系数最大的项，求的取值范围. ab【答案】(1)5105615C T a b =(2) 51135a b ≤≤【分析】（1）求出通项，由以及，()1515115C m r nr rr r r T a b x -+-+=(15)0m r nr -+=20,0,0m n m n +=≠≠即可求出答案；（2）由只有常数项为最大项且，可得，解不等式即可. 0,0a b >>51054114151551056961515C C C C a b a b a b a b ⎧≥⎨≥⎩ ①②【详解】（1）设为常数项，()15151511515C ()()C m r nr r m r n r rr r r Tax bx a b x -+--+=⋅=则有，即，所以，常数项为第项，(15)0m r nr -+=(15)20m r mr --==5r 6且.5105615C T a b =（2）因为展开式中，常数项是其各项系数最大的项， 所以第6项是系数最大的项，所以有 51054114151551056961515C C C C a b a b a b a b ⎧≥⎨≥⎩ ①②由①得，所以，1514131211151413125432432b a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯⨯⨯115a b ≤由②得，所以，1514131211151413121110543265432a b ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯53a b ≥所以.51135a b ≤≤19．设数列满足，，且对任意，函数{}n a 12a =3516a a +=N n *∈满足.()()1212cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.122n n n a b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭{}n b n n S 【答案】(1)2n a n =(2)()2212134n n n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出，根据，即可推得，所以是等差数列.然后()f x 'π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭122n n n a a a ++=+{}n a 由已知求得，即可得出数列的通项公式； 2d ={}n a （2）由（1）可推得，根据分组求和，分别求出等差数列以及等比数列的前项和，即244n n b n =+n 可求得答案.【详解】（1）因为， 1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅所以，1212()sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅所以，12112π202n n n n n n n f a a a a a a a +++++⎛⎫'=-+-=-+ ⎪⎝=⎭所以，， 122n n n a a a ++=+所以是等差数列. {}n a 又，，12a =48a =所以，所以， 4136a a d -==2d =所以.1(1)2(1)22n a a n d n n =+-=+-=（2）因为， 21122224224nn n a n n b a n n ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 122224424444n n S n =++⨯++++ ()21114122444n n ⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪⎝⎭11144(1)421214n n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=⨯+⨯-()2212134n n n ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭20．如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC ABC A 1A AC △D 是的中点．AB（1）求证：平面； 1//BC 1A DC （2）求二面角的余弦值． 11A DC C --【答案】（1）证明见解析；（2）. 1113【解析】（1）首先证明，进一步得出结论.1//DE BC （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小，首先正确求出两个平面的法向量，进一步求出二面角．【详解】（1）如图，连接，交于点，连接，1AC 1AC E DE由于四边形是平行四边形，所以是的中点．11A ACC E 1AC因为是的中点，所以． D AB 1//DE BC 因为平面，平面， DE ⊂1A DC 1BC ⊄1A DC 所以平面．1//BC 1A DC （2）如图，取的中点，连接，，AC O 1AOBO根据和都是正三角形，得，．ABC A 1A AC △1A O AC ⊥BO AC ⊥又平面平面，平面平面，所以平面，于是11A ACC ⊥ABC 11A ACC ⋂ABC AC =1A O ⊥ABC ．1A O BO ⊥以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标O OB OC 1OAx y z 系．设，则，，，．2AC=(1A ()0,1,0C 1,02D ⎫-⎪⎪⎭(10,C 所以，，．3,02CD ⎫=-⎪⎪⎭11,2A D =-152DC ⎛= ⎝ 设平面的法向量为，则，即，令，则1A DC (),,m x y z = 100m CD m A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302102y y -=-=3x =，，所以．y 1z=()m = 设平面的法向量，则，即，令，则1DCC (),,n a b c = 100n CD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302502b b -=⎪+=⎪⎩3a=b =，，所以．1c =-()1n =-设二面角的大小为，由图易知为锐角， 11A DC C --θθ则，11cos 13m n m n θ⋅==⋅因此二面角的余弦值为． 11A DC C --1113【点睛】本题是综合性题目，属于课堂学习情境和探索创新情境，具体是数学推理学习情境和数学探究情境，本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力．解题关键 （1）证明线面平行的关键是找到线线平行，而线线平行常常借助三角形的中位线定理来证明．（2）利用向量法求二面角的大小，关键是建立合适的空间直角坐标系，然后正确求出两个平面的法向量．21．已知椭圆，上顶点和右顶点分别是，椭圆上有两个动点，且2222:1x y E a b +=()0a b >>,A B ,C D .如图所示，已知，且离心率//CD AB()0,2A e =(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形面积的最大值；并试探究直线与的斜率之积是否为定值若为定值，请ABCD AD BC ?求出该定值；否则，请说明理由. 【答案】(1) 221164x y +=(2)16；是定值， 14【分析】（1）由已知可求得，根据离心率得出，代入，即可求得的2b =c =222a b c =+2a 值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，根据，求得，利用弦长公CD12y x t =-+0∆>2t -<<，求得与间的距离为//CD AB ABCD d ，令，得到，结合三角函数的性(()22St =-t θ=4cos )8sin cos S θθθθ=+--质，求得时，四边形面积最大值为，进而证得为定值.2t =-ABCD 16AD BC k k【详解】（1）解：因为，可得，又因为又，()0,2A 2b=c e a ==c =又由，所以，所以，222a b c =+22344a a =+216a =所以椭圆的标准方程为. 221164x y +=（2）解：由（1）知，，所以，所以，4a =(4,0)B 12AB k =-设直线的方程为，设，，CD 12y x t =-+(2)t <()11,D x y 22(,)C x y 联立直线与椭圆的方程，整理得，CD 22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩222280x tx t -+-= 由，解得2244(28)0t t ∆=-->t -<<又由，所以，且，，2t <2t -<<122x x t +=21228x xt =-直线方程为，所以 AB 240x y +-=||AB =因为，直线的方程为， //CD ABCD 220x y t +-=所以直线与之间的距离为ABCD d所以四边形的面积，ABCD (()1222St ⎡=-⎣令，，则，t θ=ππ4θ<<4cos )8sin cos S θθθθ=+--令，则，πsin cos 4m θθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22442S m m ⎛=+=-⎝(0m <≤故当时，四边形面积最大值为，m 2t =-ABCD 16又因为，，122x x t +=21228x x t =-所以 2212211212*********11442222(2)222(4)4442AD BCt t x t x t x t t x t y y k kx x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+--++-+-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭====----，21214122844t x t x --==--故直线与的斜率之积是定值，且定值为． AD BC 14【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到k k 0(),F x y =关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；k ,x y 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.22．已知函数.()()1ln f x ax x x =--()a ∈R (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 3a =()y f x =()()1,1f (2)若函数有两个不同的零点，求的取值范围. ()()()122g x f x x ax =+-a 【答案】(1) 220x y --=(2) (2,)+∞【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义求得切线的斜率，即可写出3a =()163f x x x '=--直线的方程；（2）由已知可得.根据的取值范围，分类讨论得出的单调性，研()()211ln 2x g ax a x x =---a ()g x 究函数的极值与0的关系，即可得出答案.【详解】（1）当时，，所以，3a =2()33ln f x x x x =--()163f x x x'=--根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率，又，所()y f x =()()1,1f ()12k f '==(1)0f =以所求切线方程为，即． 2(1)y x =-220x y --=（2）由已知可得，定义域()()()22112ln 22g x f x x ax ax ax x x ax =+-=--+-()211ln 2ax a x x =---为，()0,∞+且. ()()()()()2111111ax a x ax x g x ax a x x x---+-'=---==当时，0a >由，得，所以在上单调递减； ()0g x '<(0,1)x ∈()g x ()0,1由，得，所以在上单调递增.()0g x '>(1,)x ∈+∞()g x ()1,+∞所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.()g x 1x =()1112a g =-+要使有两个不同的零点，则必有，即，所以.()g x ()10g <1102a -+<2a >因为，()()2221ln 22ln 20g a a =---=->根据零点存在定理可知，，使得，且在上没有零点. ()11,2x ∃∈()10g x =()g x [)2,+∞因为， ()()212ln 2g x a x x x x =-+-当时，有，所以.(0,1)x ∈()222110x x x -+=->221x x ->-又，所以，()2220x x x x -=-<2120x x -<-<所以， ()1ln 2g x a x x >-+-所以. 111122221e e ln e e 02a a a a g a ----⎛⎫⎛⎫-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞因为，所以有，0a >1020<e e 1a -<=根据零点存在定理可知，，使得，且在上没有零点. 122e ,1x -⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()20g x =()g x 120,e a -⎛⎤ ⎥⎝⎦综上所述，在区间以及内各有一个零点，在以及上没有零点，所()g x 12e ,1a -⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2120,e a -⎛⎤ ⎥⎝⎦[)2,+∞以有两个零点，故满足题意；()g x 2a >当时，，. 0a =()ln g x x x =-()111x g x x x-'=-=当时，，所以在上单调递减；01x <<()0g x '<()g x ()0,1当时，，所以在上单调递增.1x >()0g x '>()g x ()1,+∞所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，()g x 1x =()110g =>所以，此时无零点；()()11g x g ≥=()g x 当时，因为恒成立，1a =-()()210x g x x -'=-≤所以在区间内单调递减，()g x (0,)+∞所以至多有一个零点，不符合题意；()g x 当时，有， 10a -<<11a->因为当时，， ()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭ ()()101a a g x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭+-='<所以在区间内单调递减，在区间内单调递减； ()g x ()0,11,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，，所以在区间内单调递增. 11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以在处取得唯一极小值，， ()g x 1x =()11102g a =->所以在上无零点. ()g x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为在内单调递减，所以在上至多有一个零点. ()g x 1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()g x 1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以，至多有一个零点，不符合题意；()g x 当时，因为当时，， 1a <-()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭ ()0g x '<所以在区间内单调递减，在区间内单调递减； ()g x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()g x ()1,+∞当时，，所以在区间内单调递增. 1,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以在处取得唯一极小值，， ()g x 1x a =-()()111111ln 1ln 022g a a a a a a a ⎛⎫⎛-=+---=-+⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝>⎭所以在上无零点.()g x ()0,1又在区间内单调递减，所以在区间内至多有一个零点. ()g x ()1,+∞()g x ()1,+∞所以至多有一个零点，不符合题意．()g x 综上所述，的取值范围是． a (2,)+∞。
武汉理工大学高起本高等数学(下)阶段作业一标准答案
1-10英语写法The English language is a rich and diverse means of communication that has evolved over centuries. From the simple counting of one to ten, the English language offers a wide range of numerical expressions that convey meaning and nuance. Understanding the written form of these numbers is an essential building block for any student of the language.The number one is expressed as "one" in English. This simple monosyllabic word is derived from the Old English "an" and the Proto-Germanic "*ainaz," ultimately tracing back to the Proto-Indo-European root "*oinos." The word "one" conveys the concept of a single, individual unit, and is a fundamental building block of numerical systems.Moving to the number two, the English word is "two." This too is a monosyllabic word, derived from the Old English "twā" and the Proto-Germanic "*twai." The Proto-Indo-European root is "*dwo," reflecting the binary nature of this number. "Two" represents the idea of a pair, of duality, and is a crucial component of counting andquantifying.The number three is expressed as "three" in English. This word derives from the Old English "thrēo" and the Proto-Germanic "*þrīz," with the Proto-Indo-European root being "*tréyes." The word "three" conveys the concept of a triad, a trinity, or a set of three elements. It is a pivotal number in many cultural and religious traditions.The number four is written as "four" in English. This word originates from the Old English "fēower" and the Proto-Germanic "*fedwōr," with the Proto-Indo-European root being "*kwetwóres." The word "four" represents the idea of a quadrant, a set of four elements, and is a fundamental building block of many mathematical and spatial concepts.Moving to the number five, the English word is "five." This word derives from the Old English "fīf" and the Proto-Germanic "*fimf," with the Proto-Indo-European root being "*pénkwe." The word "five" conveys the concept of a quintuple, a set of five elements, and is a significant number in many cultural and numerical systems.The number six is expressed as "six" in English. This word originates from the Old English "siex" and the Proto-Germanic "*sehss," with the Proto-Indo-European root being "*swéḱs." The word "six" represents the idea of a hexad, a set of six elements, and is animportant number in various mathematical and geometric contexts.The number seven is written as "seven" in English. This word derives from the Old English "seofon" and the Proto-Germanic "*sebun," with the Proto-Indo-European root being "*septḿ." The word "seven" conveys the concept of a heptad, a set of seven elements, and is a significant number in numerous cultural, religious, and mythological traditions.The number eight is expressed as "eight" in English. This word originates from the Old English "eahta" and the Proto-Germanic "*ahtau," with the Proto-Indo-European root being "*oḱtṓ." The word "eight" represents the idea of an octad, a set of eight elements, and is an important number in various mathematical and scientific contexts.The number nine is written as "nine" in English. This word derives from the Old English "nīgan" and the Proto-Germanic "*newn," with the Proto-Indo-European root being "*newṃ." The word "nine" conveys the concept of a ennead, a set of nine elements, and is a significant number in numerous cultural and numerical systems.Finally, the number ten is expressed as "ten" in English. This word originates from the Old English "tēn" and the Proto-Germanic"*tehun," with the Proto-Indo-European root being "*déḱm̥." Theword "ten" represents the idea of a decad, a set of ten elements, and is a fundamental building block of the decimal numerical system that is widely used throughout the world.Understanding the written forms of these numbers from one to ten is crucial for any student of the English language. These basic numerical expressions not only serve as the foundation for counting and quantifying, but also hold deeper cultural and symbolic significance in various contexts. Mastering the written forms of these numbers is an essential step in developing proficiency in the English language.。
2023-2024学年湖北省武汉高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省武汉高二下学期期中数学模拟试题一、单选题1．若f ′(x 0)＝2-，则0lim x ∆→00()()f x f x x x-+∆∆等于（）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【正确答案】D【分析】利用导数的定义求解,【详解】解：因为f ′(x 0)＝2-，所以0lim x ∆→00()()f x f x x x-+∆∆Δ0limx →=-000()()()2f x x f x f x x+∆-'=-=∆，故选：D2．()412x -的展开式中二项式系数和为（）A ．24-B ．24C ．16-D ．16【正确答案】D【分析】由二项式系数的性质求解.【详解】()412x -的展开式中二项式系数和为01234444444C C C C C 216++++==.故选：D3．在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数321()4913f x x x x =++-的极值点，则5a =A ．4-B ．3-C ．3D ．4【正确答案】B 【详解】∵()3214913f x x x x =++-，∴由()2890f x x x =++='可知379a a ⋅=，378a a +=-∵等比数列中3527a a a =⋅且30a <∴53a =-，故选B.4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【正确答案】C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.5．已知随机变量X 的分布列如下表，若()1E X =，()212D X +=，则p =（）X0a2P12p -12pA ．13B ．14C ．15D ．16【正确答案】B【分析】根据期望和方差运算公式得到方程组，求出p 的值.【详解】由题意得，()1102122E X p a p ⎛⎫=⨯-+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，∴212ap +=，①由方差的性质知，()()214D X D X +=，又()212D X +=，∴()12D X =，∴()()()()22211101121222D X p a p ⎛⎫=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，即2210a a -+=，所以1a =．将1a =代入①式，得14p =．故选：B ．6．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln1.01，我们先求得ln y x =在1x =处的切线方程为1y x =-，再把 1.01x =代入切线方程，即得ln1.010.01≈，类比上述方式，则≈（）．A ．1.00025B ．1.00005C ．1.0025D ．10005【正确答案】A【分析】根据题意，设()x f x e =，求出切线，以直代曲计算即可.【详解】设()x f x e =，可得()e x f x '=，(0)1,(0)1f f '==，曲线e x y =在点(0,1)处的切线对应的函数为()1y g x x ==+，因为14000与0之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，14000111e1 1.00025400040004000f g ⎛⎫⎛⎫==≈=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种【正确答案】B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C C A 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种，故选：B.8．π和e 是数学上两个神奇的无理数．π产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行π的计算．而当涉及到增长时，e 就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e ．已知π3e a -=，ln(eπ2e)b =-，2π5π2c -=-，π2d =-，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．c b d a <<<B ．c d b a<<<C ．d c a b<<<D ．b c a d<<<【正确答案】A【分析】根据给定条件，构造函数11()e ,()ln 1,()ln 1,1x f x x g x x x h x x x x-=-=-+=+->，利用导数探讨单调性，赋值比较大小作答.【详解】依题意，π3(π2)1e e a ---==，ln(π2)1b =-+，12π2c =--，令函数1()e ,1x f x x x -=->，求导得1()e 10x f x -'=->，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0f x f >=，即1e x x ->，而π21->，因此π3e π2->-，即a d >；令函数()ln 1,1g x x x x =-+>，求导得1()10g x x'=-<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，则当1x >时，()(1)0g x g <=，即ln 1x x +<，因此2ln(e ln(π2e)π2)1π-=-+<-，即d b >；令函数1()ln 1,1h x x x x =+->，求导得22111()0x h x x x x-=-=>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0h x h >=，即11ln 1ln 12x x x x>-⇔+>-，因此2l 1n(12π5π2e ln(2e)π2)2ππ--=-+>-=--，即b c >，所以c b d a <<<.故选：A 二、多选题9．已知首项为1-的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且7889,S S S S ><，则（）A ．1187d <<B ．105S S >C ．()8min n S S =D ．150S >【正确答案】AC【分析】由8879980,0a S S a S S =-<=->得出d 的范围，判断A ；作差结合等差数列的性质判断B ；根据数列{}n a 的单调性，判断C ；由求和公式结合性质判断D.【详解】对于A ：因为7889,S S S S ><，所以8879980,0a S S a S S =-<=->，则89170180a d a d =-+<⎧⎨=-+>⎩，解得1187d <<，故A 正确；对于B ：105678910850S S a a a a a a -=++++=<，则105S S <，故B 错误；对于C ：因为0d >，所以数列{}n a 为递增数列，因为10a <，890,0,a a <>，即数列{}n a 的前8项为负数，从第9项开始，都为正数，则()8min n S S =，故C 正确；对于D ：()115158151502a a S a +==<，故D 错误；故选：AC10．若()102100121021,R x a a x a x a x x -=++++∈ ，则（）A ．2180a =B ．10012103a a a a +++= C ．100210132a a a -+++=D ．31012231012222a a a a ++++=- 【正确答案】ABD【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答案.【详解】由题意1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，所以8282310C (2)(1)180T x x =-=，所以2180a =，故A 正确．令=1x -，则1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，即为1021001210(21)||||||||x a a x a x a x +=++++ ，令1x =，得1001210||||||||3a a a a ++++= ，故B 正确；对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得012101a a a a ++++= ，令=1x -，得：10012103a a a a -+-+= ，两式相加再除以2可得100210132a a a ++++= ，故C 错误.对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，得01a =，令12x =，得310120231002222a a a a a +++++= ，故31012231012222a a a a ++++=- ，故D 正确，故选：ABD11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A ．()25P B =B ．()1511P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A 、2A 、3A 两两互斥【正确答案】BD【分析】A 选项，利用独立事件和互斥事件概率公式计算出()P B ；B 选项，根据条件概率计算公式计算出()1511P B A =；C 选项，根据()()()11B P P A B P A ≠⋅得到C 错误；D 选项，由互斥事件的概念进行判断.【详解】A 选项，()154151010122P A B +=⨯=+，()22441010155P A B =⨯=+，()33461010155P A B =⨯=+，故()()()()123546922555522P B P A B P A B P A B =++=++=，A 错误；B 选项，()151102P A ==，故()()()11155221112P A B P B A P A ===，B 正确；C 选项，因为()()119922244P A P B =⨯=⋅，故()()()11B P P A B P A ≠⋅，所以事件B 与事件1A 不相互独立，C 错误；D 选项，因为()()()1213230A A A A P P A P A === ，故1A 、2A 、3A 两两互斥，D 正确.故选：BD12．乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为()01p p ≤≤，实际比赛局数的期望值记为()f p ，则下列说法中正确的是（）A ．三局就结束比赛的概率为()331p p +-B ．()f p 的常数项为3C ．函数()f p 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．13328f ⎛⎫=⎪⎝⎭【正确答案】ABD【分析】设实际比赛局数为X ，先计算出X 可能取值的概率，即可判断A 选项；进而求出期望值()f p ，即可判断BCD 选项.【详解】设实际比赛局数为X ，则X 的可能取值为3,4,5，所以()()3331P X p p ==+-，()()()3131334C 1C 1P X p p p p ==-+-，()()22245C 1P X p p ==-，因此三局就结束比赛的概率为()331p p +-，则A 正确；故()()()()()332313122334314C 1C 15C 1f p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦432612333p p p p =-+++，由()03f =知常数项为3，故B 正确；由111133361232168428f ⎛⎫=⨯-⨯+⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确；由()()()322243663321441f p p p p p p p =-++=---'，01p ≤≤ ，所以22441(21)20p p p --=--<，∴令()0f p '>，则102p ≤<；令()0f p '<，则112p <≤，则函数()f p 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则C 不正确.故选：ABD.三、填空题13．5555除以8，所得余数为_______.【正确答案】7【分析】由55561=-，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.【详解】依题意，()()()()()()5512545555055154253541550555555555555561C 561C 561C 561C 561C 561=-=-+-+-++-+-因为56能被8整除，所以5555除以8，所得的余数为.187-+=故7.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为_________．【正确答案】3【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式及性质计算，再结合等比数列的前n 项和公式计算作答.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则19959()9182a a S a +===-，即有552b a ==-，11313713()13522a a S a +===-，即有774b a ==-，令等比数列{}n b 的公比为q ，则2752b q b ==，所以414242212(1)1113(1)11b q T q qq b q T qq---===+=---.故315．如图所示，有5种不同的颜色供选择，给图中5块区域A ，B ，C ，D ，E 染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，则共有______________种不同的染色方法．【正确答案】420【分析】根据分类分步计数原理，分用3，4，5种颜色染色的方法分步计算，再求和即可.【详解】选择3种颜色，则B ，D 同色，且C ，E 同色，共35A 60=种情况；选择4种颜色，则B ，D 同色，或C ，E 同色，共452A 240⨯=种情况；选择5种颜色，共55A 120=种情况；故共有60240120420++=种情况.故42016．已知函数()ln ,()ln(1)x f x a a g x a x ==-，其中0a >且1a ≠．若函数()()()h x f x g x =-为单调函数，则实数a 的取值范围为_______________．【正确答案】)ee ,1-⎡⎣【分析】若()h x 单调递增，则()0h x '≥，即()2110ln mma m x a≥=->，0m y ma =→，不满足；若()h x 单调递减，则()0h x '≤，进而可得()2max1ln mma a≤，对m y ma =求导分析单调性，求出最大值，即可得出答案.【详解】由题意()()ln ln 1x h x a a a x =--，()2ln 1x a h x a a x =--'.若函数()h x 单调递增，则()0h x '≥，所以2ln 1x a a a x ≥-，即()1211ln x x a a--≥，所以()()2min110ln mmam x a≥=->，又0m →时，0m y ma =→，不满足；若函数()h x 单调递减，则()0h x '≤，所以2ln 1x a a a x ≤-，即()1211ln x x a a--≤，所以()()2max110ln mmam x a≤=->，考查m y ma =，()10m x =->.当1a >时，m ma ∞→+，不满足()()2max110ln mma m x a≤=->；当1a <时，ln 0a <，令()1ln 0my m a a ='+=有1ln m a =-，当10,ln m a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时0'>y ，my ma =单调递增；当1,ln m a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时0'<y ，m y ma =单调递减.故()1ln max 1ln ma ma a a -=-，则1ln 211ln ln a a a a --≤，即1ln 1ln a a a -≤-，即1ln 1ln ln ln a a a -⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，则11ln ln ln ln a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11ln ln a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，即11ln e a -≥，解得e e a -≥.综上有)ee ,1a -⎡∈⎣.故)ee ,1-⎡⎣四、解答题17．某新闻部门共有A 、B 、C 、D 、E 、F 六人．(1)由于两会召开，部门准备在接下来的六天每天安排1人加班，每人只被安排1次，若A 不能安排在第一天，B 不能安排在最后一天，则不同的安排方法共有多少种？(2)该部门被评为优秀宣传组，六人合影留念，分前后两排每排3人对齐站立，要求后排的3个人每人都比自己前面的人身高要高，则不同的站法共有多少种？（六人身高均不相同）【正确答案】(1)504(2)90【分析】（1）按照A 安排在最后一天和不在最后一天进行分类，利用排列组合、计数原理求解；（2）将前后2人看成一组，可看成3个不同位置，分别取出2人排在3个位置，利用组合知识求解.【详解】（1）分两类完成，第一类A 安排在最后一天，则有55A 种.第二类，除,A B 外选一人安排在最后一天，再从除A 外剩余的4人选一人排在第一天，剩余的4人排在剩余的4个位置上，故有114444C C A ⋅⋅种.根据分类加法计数原理可得，不同的安排方法共有45511444A 4C C A 50⋅⋅+=种.（2）将前后2人看成一组，可看成3个不同位置，分别取出2人排在3个位置，两人顺序确定（高在后，矮在前），所以不同的站法共有222642C C C 90⋅⋅=种.18．在n⎫⎪⎭的展开式中，前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中的所有有理项．【正确答案】(1)6561256(2)4x ，358x ，21256x -【分析】（1）先根据展开式中，前三项系数成等差数列计算n ，再代入1x =可得展开式中所有项的系数之和.（2）因通项为1634181C 2kk k k T x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，故k 取0、4、8时为有理项.【详解】（1）由题意，通项为23411CC 2kkn kn kkk k nn T x--+⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题意121021112C C C 222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得8n =或1n =（舍去）令1x =，得86561256=，故展开式中所有项的系数之和为6561256（2）由（1）知，1634181C 2kk k k T x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当k 取0、4、8时为有理项，当0k =时，0044181C 2T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当4k =时，4458135C 28T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当8k =时，88229811C 2256T x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，故展开式中的所有有理项为4x ，358x 和21256x -.19．设函数()ln 1,()2,f x x g x ax a =+=+∈R ，记()()()F x f x g x =-．(1)求函数()F x 的单调区间；(2)若函数()ln 1f x x =+的图象恒在函数()2g x ax =+的图象的下方，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)当0a ≤时，则()F x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，则()F x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a +∞.(2)21(,)e+∞【分析】（1）求出()F x 的导数，讨论参数a 的范围，根据()F x '的符号，写出单调区间；（2）将函数图象的位置关系转化为函数的最值问题，根据（1）中的单调区间，求函数的最值即可.【详解】（1）()()()ln 1F x f x g x x ax =-=--，1()F x a x '=-，当0a ≤时，1()0F x a x '=->，则()F x 在(0,)+∞上为增函数；当0a >时，1()0F x a x '=-=，即1x a=，()0F x '>，则10x a <<；()0F x '<，则1x a >.则()F x 在1(0,a 上为增函数，1(,)a +∞上为减函数.综上所述，当0a ≤时，则()F x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，则()F x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a +∞.（2）函数()ln 1f x x =+的图象恒在()2g x ax =+的图象的下方，即()()()ln 10F x f x g x x ax =-=--<恒成立；由（1）知，当0a ≤时，则()F x 在(0,)+∞上为增函数，此时()F x 无最大值，并且(e)e 0F a =-≥，不合题意；当0a >时，()F x 在1(0,)a 上为增函数，1(,)a +∞上为减函数.所以max 1()()ln 20F x F a a ==--<，故21ea >；即实数a 的取值范围是21(,)e +∞关键点睛：解决问题（2）时，关键在于将不等式的恒成立问题，转化为最值问题，利用导数得出实数a 的取值范围.20．学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积2-分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢的概率为35，乙赢的概率为25，比赛共进行两轮，在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值．【正确答案】(1)109198(2)分布列见解析，均值为0【分析】（1）设1A =“抽到第一袋”，2A =“抽到第二袋”，B ＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；（2）（i ）X 的可能取值为－2，0，2，计算出相应概率，即得分布列；（ii ）Y 的可能取值为－4，－2，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值；【详解】（1）设1A =“抽到第一袋”，2A =“抽到第二袋”，B ＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”()()1212P A P A ==()1154129C C 205C 369P B A ===()11652211C C 6C 11P B A ==由全概率公式得()()()()()1122151610929211198P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=（2）设在一轮比赛中得分为X ，则X 的可能取值为－2，0，2，则()3262115525P X ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭()323213011555525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()32625525P X ==⨯=设在二轮比赛中得分为Y ，则Y 的可能取值为－4，－2，0，2，4，则()663642525625P Y =-=⨯=()613136156225252525625Y P =-=⨯+⨯=()661313662410252525252525625P Y ==⨯+⨯+⨯=()613136156252525252625Y P ==⨯+⨯=()663642525625P Y ==⨯=得分为Y 的分布列用表格表示为Y －4－2024P 3662515662524162515662536625()()()3615624115636420240625625625625625E Y =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=21．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n c 满足()111*1n n c n a n n ⎛⎫=--∈ ⎪+⎝⎭N ，若对任意*n ∈N ，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()120n c c c f x a +++≤-L 成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()2,N *n n a n =∈(2)91,80⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）由n S 与n a 的关系结合累乘法得出数列{}n a 的通项公式；（2）令n M 为数列{}n c 的前n 项和，由裂项相消法以及公式法得出1112n n M n =-+，由4n M M ≤以及()22f x a x a -=--的最大值得出实数a 的取值范围．【详解】（1）点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上，可得22n n S a =-.当1n =时，111122,2a S a a ==-=.当2n ≥时，112222n n n n n a S S a a --=-=--+，整理得12n n a a -=，即112123322112n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ------⋅⋅==⋅⋅⋅ ，2n n a =，对1n =也成立.即()2,N *n n a n =∈.（2）由11121n n c n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，可令n M 为数列{}n c 的前n 项和.可得1111111112422231n n M n n ⎛⎫⎛⎫=++⋯+--+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 111111*********n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=- ⎪++⎝⎭-.由12340,0,0,0c c c c =>>>，当5n ≥时，2(1)n n n >+，下面用数学归纳法证明：当5n =时，525(51)>+成立.①假设n k =时，2(1)k k k >+成立.那么1n k =+时，122(1)k k k +>+，2(1)(1)(2)(1)(22)0k k k k k k +-++=+->则()12(1)(1)1k k k +>+++，即1n k =+时也成立.②由①②可得，当5n ≥时，2(1)n n n >+，即有0n c <.可得4111151680n M M ≤=-=，又11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()22f x a x a -=--的最大值为1a --，对任意*n ∈N ，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，使得()120n c c c f x a +++≤-L 成立，则11180a --≥，解得9180a ≤-.即实数a 的取值范围是91,80⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.关键点睛：解决问题（2）时，关键是利用裂项相消求和法得出1112n n M n =-+，再结合不等式的能成立问题，得出实数a 的取值范围.22．已知函数()()()2212ln R f x x a x a x a =-++∈.(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 有极大值，试确定a 的取值范围；(3)若存在0x 使得()()222000033111ln 224245f x x a x a x a ⎛⎫+-≤-+++ ⎪⎝⎭成立，求a 的值.【正确答案】(1)50y +=(2)()()0,11,+∞ (3)15a =【分析】（1）利用导数的几何意义，求曲线的切线方程；（2）首先求函数的导数，()()()21x x a f x x--='，再讨论a ，判断函数的单调性，讨论函数的极值；（3）不等式转化为()()220042ln 25x a x a -+-≤，利用两点间的距离的几何意义，转化为点到直线的距离，求a 的值.【详解】（1）当2a =时，()264ln f x x x x =-+，依题意，()426f x x x=-+'，可得()12640f =-+='，又()15f =-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为50y +=.（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+()()()()212221x x a a f x x a x x--=-++='，①当1a =时，()0f x '≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，此时()f x 无极大值；②当1a >时，令()0f x ¢>，解得01x <<或x a >，令()0f x '<，解得1x a <<，所以()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减，此时()f x 在1x =处取得极大值，符合题意；③当01a <<时，令()0f x ¢>，解得0x a <<或1x >，令()0f x '<，解得1<<a x ，所以()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减，此时()f x 在x a =处取得极大值，符合题意；④当0a ≤时，令()0f x ¢>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，此时()f x 无极大值；综上，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞ .（3）()()222000033111ln 224245f x x a a x a ⎛⎫+-≤-+++ ⎪⎝⎭()()220042ln 2.5x a x a ⇔-+-≤22()(2ln 2)x a x a -+-可以看作是动点(),2ln P x x 与动点(),2Q a a 之间距离的平方，动点P 在函数2ln y x =的图象上，Q 在直线2y x =的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由2ln y x =得，22y x'==，解得1x =，所以曲线上点()1,0P 到直线2y x =的距离最小，最小距离d =则224()(2ln 2)5x a x a -+-≥，根据题意，要使()()220042ln 25x a x a -+-≤，则()()220042ln 25x a x a -+-=，此时Q 恰好为垂足，由()2112y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩,可得12,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以15a =.本题考查利用导数研究函数的性质的综合应用的问题，本题的关键是第三问，不等式变形转化为()()220042ln 25x a x a -+-≤，再转化为直线2y x =和函数2ln y x =的图象上点的距离问题.。
2023-2024学年湖北省鄂高二下册期中联考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省鄂高二下册期中联考数学模拟试题一、单选题1．已知函数()f x 可导，且满足0(3)(3)lim 2x f x f x∆→+∆-=∆，则函数()y f x =在3x =处的导数为（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【正确答案】A【分析】根据导数的定义，即可求出结果．【详解】0(3)(3)lim (3)2x f x f f x∆→+∆-'==∆，故选：A ．2．已知23A C n n n -=，则n =（）A ．6B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】根据排列组合公式得到()()!!!32!!3n n n n =-⨯-，解得答案.【详解】23A C n n n -=，即()()!!!32!!3n n n n =-⨯-，故23!6n -==，故8n =.故选：C3．下列导数运算正确的是（）A ．'ππsin cos33⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()331lo e=g log x x '⋅C ．()22e e xx'=D ．'【正确答案】B【分析】根据求导公式逐项求导验证即可【详解】因为'πsin 03⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以A 错,因为()33ln 111log log e ln 3ln 3x x x x''⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭,所以B 对,因为()22e 2e '=x x ,所以C 错,因为132212x x ''--⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭所以D 错.故选：B4．已知直线l 是曲线e x y =的切线，切点横坐标为1-，直线l 与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点，则OAB 面积为（）A ．12B ．1C ．2eD ．4e【正确答案】C【分析】由已知可得切点坐标，利用导函数求出切线l 的斜率，根据点斜式得到切线方程，进而得到A 、B 两点的坐标，即可求出OAB 的面积.【详解】解：当=1x -时，11e ey -==，而e x y '=，111e ex k y -=-==='，所以切线l ：()111e ey x -=+，即e 20x y -+=，当0y =时，2x =-，即()2,0A -；当0x =时，2e y =，即20,e B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12222e eOAB S =⨯⨯=V ，故选：C.5．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（）（单位：万元）参考数据：910111.02 1.1951.02 1.2191.02 1.243≈⋅≈⋅≈A ．2.438B ．19.9C ．22.3D ．24.3【正确答案】C【分析】复利计息问题，逐年分析寻找规律，根据等比数列的求和公式即可求解.【详解】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为()10210.02+万元，2024年存的2万元共存了9年，本息和为()9210.02+万元，2032年存的2万元共存了1年，本息和为()210.02+万元，所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为()()()()101091.02 1.021210.02210.02210.022 1.021⋅-++++++=⨯- ()2.04 1.219122.30.02⨯-≈≈万元，故选：C.6．学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案共有()A ．36种B ．78种C ．87种D ．90种【正确答案】B【分析】由题意得1名主唱只能从3人里面选13C ,然后根据多面手进行分类即可得到结果.【详解】根据题意有三种情况:(1)从只会弹吉他的4人选2人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人:121342C C C 36=种;(2)从只会弹吉他的4人选2人,只会唱歌的3人选1人,鼓手从多面手中选:2143C C 18=种;(3)从只会弹吉他的4人选1人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人,多面手作为吉他手:111342C C C 24=种;共有:36182478++=种.故选:B.7．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且(2)f x +为偶函数，4(0)e f =，则不等式()e x f x <的解集为（）A ．(),4-∞B ．()0,∞+C ．()2,+∞D ．()4,+∞【正确答案】D 【分析】令()()ex f x g x =，由()()f x f x '<，得到()g x 单调递减，再根据(2)f x +为偶函数，得到()f x 的图象关于2x =对称，进而得到4(0)()e 4f f ==，然后将不等式()e x f x <化为()1e xf x <求解.【详解】解：令()()e xf xg x =，因为()()f x f x '<，所以()()()0xf x f xg x e '-'=<，所以()g x 单调递减，因为(2)f x +为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，所以()f x 的图象关于2x =对称，则4(0)()e 4f f ==，所以4(4)(4)1e f g ==，又不等式()e x f x <可化为()1e xf x <，即()()4g x g <，所以>4x ，故选：D8．已知函数()1e xf x x kx k +=-+，有且只有一个负整数0x ，使()00f x ≤成立，则k 的取值范围是（）A ．21,3e 2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】A【分析】将问题转化1e x x kx k +≤-有且只有一个负整数解，构造函数()1ex g x x +=与()h x kx k =-，利用导数法求函数()g x 的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解.【详解】已知函数()1e xf x x kx k +=-+，则()10e x f x x kx k +≤⇔≤-有且只有一个负整数解.令()1ex g x x +=，则()()11ex g x x +=+'，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，所以()g x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞上递增，当=1x -时，()g x 取得最小值为()()11111e g -+-=-=-⨯.设()()1h x kx k k x =-=-，则()h x 恒过点()1,0在同一坐标系中分别作出()y g x =和()y h x =的图象，如图所示显然01x =-，依题意得()()11g h -≤-且()()22g h ->-即12k -≤-且23e k ->-，解得213e 2k <≤，所以实数k 的取值范围是21,3e 2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.关键点睛：将问题转化为1e x x kx k +≤-有且只有一个负整数解，构造函数()1e x g x x +=与()h x kx k =-，利用导数法求函数()g x 的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可.二、多选题9．在612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，下列说法正确的有（）A ．常数项为第三项B ．展开式的二项式系数和为729C ．展开式系数最大项为第三项D ．展开式中系数最大项的系数为240【正确答案】CD【分析】写出612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项，然后求出其常数项可判断A ，求出展开式的二项式系数和可判断B ，解出不等式组6156661766C 2C 2C 2C 2r r r rr r r r -+----⎧≥⎨≥⎩可判断CD.【详解】612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()66621661C 2C 2,0,1,2,3,4,5,6rrrr r rr T x x r x ---+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令620r -=得3r =，所以常数项为第四项，故A 错误；展开式的二项式系数和为6264=，故B 错误；由6156661766C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r -+----⎧≥⎨≥⎩可得4733r ≤≤，所以2r =，所以展开式系数最大项为第三项，展开式中系数最大项的系数为426C 2240=，故C 、D 正确；故选：CD.10．对于数列{}n a ，把它连续两项1n a +与n a 的差记为1n n n b a a +=-得到一个新数列{}n b ，称数列{}n b 为原数列{}n a 的一阶差数列.若1+=-n n n c b b ，则数列{}n c 是{}n a 的二阶差数列，以此类推，可得数列{}n a 的p 阶差数列.如果某数列的p 阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p 阶等差数列，如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列{}n a 满足12a =，且1(2)3n n S a n =+，则下列结论中正确的有（）A ．数列{}n a 为二阶等差数列B ．数列{}n S 为三阶等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1n n -D ．若数列{}n b 为k 阶等差数列，则{}n b 的前n 项和{}n T 为(1)+k 阶等差数列【正确答案】ABD【分析】根据前n 项和与通项之间的关系可得12n n n a a n++=，利用累积法可得()1n a n n =+.对于A 、B 、D ：根据题意分析运算即可；对于C ：利用裂项相消法运算即可.【详解】因为()123n n S a n =+，则()11133n n S a n ++=+，两式相减得：()()11113233n n n a a n a n ++=+-+，整理得12n n n a a n ++=，注意到120a =≠，则12n n a n a n++=，当2n ≥时，则()13211221143211221n n n n n a a a a n n a a n n a a a a n n ---+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=+-- ；显然当1n =，1212a ==⨯符合上式；故()1n a n n =+.对于A ：()()()112122n n n b a a n n n n n +=-=++-+=+，()()1212222n n n c b b n n +=-=++-+=为非零常数，故数列{}n a 为二阶等差数列，故A 正确；对于B ：对数列{}n S ，它的一阶差数列为{}1n a +为二阶等差数列，故{}n S 为三阶等差数列，故B 正确；对于C ：因为()111111n a n n n n ==-++，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111122311n nT n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=++，故C 错误；对于D ：对数列{}n T ，它的一阶差数列为{}1n b +，若{}1n b +为k 阶等差数列，故{}n T 为()1k +阶等差数列，故D 正确.故选：ABD.11．已知函数()332f x x px q =++，其中320p q +=且0pq ≠，则下列说法正确的有（）A ．()f x 的对称中心为()0,2qB ．()f x 恰有两个零点C ．若方程()f x k =有三个不等的实根，则04k q<<D ．若方程()f x k =的三个不等实根分别为123,,x x x ，则33313263x x x q k++=-+【正确答案】ABD【分析】根据题意得到()()4f x f x q +-=，可判定A 正确；求得()233f x x p =+'，得出函数的单调性，结合极值，可判定B 正确；转化为()y f x =和y k =的图象有三个交点，分0q >和0q <时，可判定C 错误；根据()()()()123f x k x x x x x x -=---，得到1230x x x ++=，进而可判定D 正确.【详解】对于A 中，由()332f x x px q =++，可得()()3332324f x f x x px q x px q q +-=++--+=，所以对称中心为()0,2q ，所以A 正确；对于B 中，因为0pq ≠且320p q +=，即320p q =-<，所以0p <，由()233f x x p =+'，令()0f x '=时，解得x =当(,x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；所以x x =为极大值点，且(22,22fq f q ==-，当0q >时0f=；当0q <时(0f =，两种情况下均只有两个零点，所以B 正确；对于C 中，要使得方程()f x k =有三个不等的实根，即()y f x =和y k =图象有三个交点，当0q >时，可得(4,0f q f ==，则满足04k q <<，当0q <时，可得(0,4f fq ==，则满足40q k <<，所以C 错误；对于D 中，由()f x k =的三个零点分别为123,,x x x ，可设()()()()123f x k x x x x x x -=---，即()()33212312233112332x px q k x x x x x x x x x x x x x x x ++-=-+++++-，可得1230x x x ++=因此333123123123333633(6)363x x x px px px q k p x x x q k q k ++=----+=-++-+=-+，所以D正确.故选：ABD方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由ln y x =在点(0,1)处的切线1y x =-写出不等式ln 1≤-x x ，进而用1n n+替换x 得到一系列不等式，叠加后有111ln(1)123n n +<++++ ．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（）A ．()12!en n n -<B ．111ln 23nn+++< C ．3422212111e n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．231121231en n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BC【分析】选项A ，可用特殊值法，令1n =，可知不等式不成立；选项B ，将ln 1x x ≤-中的x替换为1x -，用赋值法可得()1ln ln 1n n n-->，然后根据同向不等式相加可判断B 选项的正误；选项C ，将ln 1x x ≤-中的x 替换为21i n +，可得22ln 1i i n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，同样根据同向不等式相加与指对互化即可证明；选项D ，将ln 1x x ≤-中的x 替换为1n n -，可得11enn n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，然后再根据同向不等式相加可判断D 的正误，另外，也可用特殊值法即由231211232e⎛⎫⎛⎫+>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可说明选项D 的正误．【详解】令()1ln f x x x =--，则()111x f x x x-'=-=，当1x >时，()0f x ¢>，当01x <<时，()0f x '<，故()1ln f x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()1ln f x x x =--在1x =处取得极小值，也是最小值，min ()0f x =，故ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时等号成立，A 选项：1n =时不等式左右两端相等，故A 错误；B 选项：将ln 1x x ≤-中的x 替换为1x -，可得()ln 111,1x x x x -≤--=-<，当且仅当0x =时等号成立，令10x n =≠，可得11ln 1n n ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以()1ln ln 1n n n-->，故()111ln2ln1ln3ln2ln ln 123n n n-+-++-->+++ ，其中()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln ln1ln n n n n -+-++--=-= ，所以111ln 23n n>+++ ，B 正确；C 选项：将ln 1x x ≤-中的x 替换为21i n +，显然211in+≠，则22ln 1i i n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故()2222112ln 1ln 1ln 12n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2n ≥时，()211132224n n n n +=+≤，故3422212111e n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立；当1n =时，()1313444216e e =<=显然成立，故3422212111e ,C n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭正确；D 选项：将ln 1x x ≤-中的x 替换为1n n -，其中，*N n ∈且2n ≥，则11ln n n n-<-，则1ln 1n n n -<-，故11e nn n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，则23112231e n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又231211232e⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，D 错误.故选：BC ．三、填空题13．已知函数f （x ）=f′（2π）sinx+cosx ，则f （4π）=_______【正确答案】0【详解】试题分析：由原函数可得()cos sin cos sin 1222222f x f x x f f f ππππππ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∴=-∴=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'()sin cos sin cos 0444f x x x f πππ⎛⎫∴=-+∴=-+= ⎪⎝⎭函数求导数求值14．已知某等比数列首项为4，其前三项和为12，则该数列前四项的和为__________.【正确答案】16或-20【分析】根据等比数列通项公式表示出前三项和解出公比，将公比代入数列前四项的和计算即可.【详解】设等比数列公比为q ，14n n a q -=⋅，2231111213S a a q a q q q =++=⇒++=，化简可得()()120q q -+=，解得1q =或2q =-，当1q =时，4n a =，43412416S S a =+=+=，当2q =-时，()144232n n a a -=⨯-⇒=-，434123220S S a =+=-=-.故16或-2015．用0～9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有__________个．【正确答案】45【分析】将“长久数”的排列转化为将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解．【详解】设123,,a a a 对应个位到百位上的数字，则()*3N ,N 1,2i a a i ∈∈=且1239a a a ++=，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，如图，11111111100,这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为3a ，第二组数的和作为2a ，第三组数的和作为1a ，故共210C 45=种，故45．16．函数2()ln e 484xa f x a x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭的值域是实数集R ，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】(],4∞-【分析】由函数()f x 的值域是实数集R ，得真数()2e 484xa g x a x =⋅-+-能取遍()0,∞+内所有的数.分成0a ≤,0a >两种情况讨论()g x 的单调性及取值情况得出结果.【详解】函数()2ln e 484x a f x a x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭的值域是实数集R ，则()2e 484xa g x a x =⋅-+-能取遍()0,∞+内所有的数.()e 4x g x a =⋅'- ，当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减．当x →-∞时，()g x ∞→+；当x →+∞时，()g x →-∞．这表明，()g x 的值域为R ，当然可取遍()0,∞+的所有值．当0a >时，令()e 40xg x a '=⋅-=，则4lnx a=，由()0g x '>解得4lnx a >；由()0g x '<解得4ln x a <.所以()g x 在4,ln a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在4ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 的最小值为244ln 4ln 44ag a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以244ln 404a a --≤成立，令()244ln 44a h a a =--，()h a 在()0,∞+上单调递增且()40h =，故04a <≤.综上.4a ≤故答案为.(],4∞-四、解答题17．某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人.(1)若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？(2)郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师不能相邻，问共有多少种站法（列式并用数字作答）？【正确答案】(1)40(2)30240【分析】（1）该问不涉及排序问题，考虑用组合去处理，第一辆车选好后，剩下的归为第二辆车.（2）排序问题中，不相邻问题考虑用插空法.【详解】（1）八个人坐两台车，只需要考虑第一辆车坐的人，先选一位老师坐入第一辆车，共12C 种选法，再选三名学生坐入第一辆车，共36C 种选法，因此共有1326C C 40=种分配方式.（2）先让6名学生排队，共66A 种方法，然后两名老师插入7个空隙，共27A 种方法，因此共有6267A A 30240=种站法.18．已知函数()22e x af x -=的一个极值点是1-.(1)求函数()f x 的极值；(2)求函数()f x 在区间[2,4]-上的最值.【正确答案】(1)()f x 极小值为2e -，极大值为36e (2)()f x 最大值为2e ，最小值为2e-【分析】（1）根据()f x 有一个极值点求出a ，再利用导数确定单调区间，即可求出极值；（2）由（1）根据函数的单调性求出最值.【详解】（1）()()2222e e xxx x axx a f x ---'++== ，()f x 有一个极值点是()21.(1)2103a a -∴--+⋅-+=∴=，即()23e xx f x -=又()()()21323e e x x x x x x f x -+='--++=，x(),1-∞-1-()1,3-3()3,+∞()f x '-0+-()f x 单调递减()12ef -=-单调递增()363e f =单调递减∴当=1x -时，()f x 有极小值，极小值为()12e f -=-；当3x =时，()f x 有极大值，极大值为()363e f =；（2）由（1）知，()f x 在[]2,1--上递减，[]1,3-上递增，[]3,4上递减，又()()2346132e ,42e e e f f -=>=>-，()f x \在[]2,4-上的最大值为()22e f -=，()f x \在[]2,4-上的最小值为()12e f -=-.19．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足：()*21(N )nn n n b n a a +-=∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【正确答案】(1)21n a n =-(2)()()211624143nT n n =-+++【分析】（1）利用2n ≥时,n n a S 关系求通项公式，注意验证1n =情况，即可得通项公式；（2）应用分组、裂项相消法求2n T .【详解】（1）由2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-又1n =时111a S ==也满足该等式，故21n a n =-.（2）由()()2(1)1(1)11(1)212342123n n nn n n b a a n n n n +--⎛⎫==-=- ⎪-+-+⎝⎭，则211111111111111455943414377114143n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+-++-+-+-++- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ 1111114414343n n ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()111111644143624143n n n n ⎛⎫=-+⋅-=-+ ⎪++++⎝⎭.因此()()211624143n T n n =-+++.20．在探究()n a b +的展开式的二项式系数性质时.我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将()21nx x ++的展开式按x 的降幂排列，将各项系数列表如下（如图2）.上表图2中第n 行的第m 个数用1D m n -表示，即()21nx x ++“展开式中m x 的系数为2D n mn-.(1)类比二项式系数性质11C C C k k kn n n -+=+表示()1*1D 121,,N k n k n k n ++≤≤-∈（无需证明）；(2)类比二项式系数求和方法求出三项式()5232x x --展开式中x 的奇次项系数之和.【正确答案】(1)1111D D D D k k k k n n n n+-++=++(2)16-【分析】（1）二项式系数性质类比到三项式即可;（2）类比二项式系数求和方法，使用赋值法即可.【详解】（1）1111D D D D k k k k n n n n+-++=++（2）由题意，设()521090191032x x a x a x a x a --=++++ ，当1x =时0129100a a a a a =+++++ ①当=1x -时，50129102a a a a a =-++-+ ②①-②得：()13579232a a a a a ++++=-，1357916a a a a a ∴++++=-即()5232x x --展开式中x 的奇次项系数之和为16-.21．已知正项数列{}n a 满足11a =且()()()22*11110N n n n n a a a a n ++++-=∈.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在p 、q 使12n n pS qn +=-恒成立，若存在，求出p 、q 的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)1n a n=(2)存在，1,12p q ==-【分析】（1）由已知条件可得()()1110n n n n n n a a a a a a +++++-=，从而110+++-=n n n n a a a a ，即1111n na a +-=，然后利用等差数列的通项公式求解即可；（2）利用错位相减法求出n S ，根据题中条件得出,p q 满足的条件，求得答案.【详解】（1）()()22222211111110,0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++-=∴++-= ，()()()()()11111110,0n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++++++∴+++-=∴++-=，{}n a 为正项数列，110n n n n a a a a ++∴+-=，即1111n na a +-=，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，以1为公差的等差数列，()1111,n n n n a a n∴=+-=∴=.（2）22n nnn a =⋅ ，231222322n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ，()23121222122n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，2311212222nn n S n +∴-=⨯+⨯+++-⋅ ()1212212n n n +-=-⋅-11222n n n ++=--⋅，()1122n n S n +∴=-⋅+，()()1122221222n n n n np n p q pS q p qp n +⋅-++++∴==-+，又12n n pS qn +=-恒成立，2120p p q =⎧∴⎨+=⎩，解得：1,12p q ==-，∴存在1,12p q ==-满足条件.22．已知函数()212ln xf x x +=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若方程()f x k =的两个实根分别为12,x x （其中12x x <），求证.1212112x x x x +>>+【正确答案】(1)()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞(2)证明见解析【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负得到单调区间.（2）设()()()2,(01)g x f x f x x =--<<，证明()g x 在()0,1上递增，得到122x x +>，1x是函数()()212ln F x x x =-的零点，转化为2m n +<，令()()()2h x F x F x =--，(01)x <<，根据单调性得到证明.【详解】（1）()()2432212ln 4ln x x x x x f x x x '⋅-+-==，()0,x ∈+∞，当01x <<时，ln 0x <，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当1x >时，ln 0x >，()0f x '<，()f x 单调递减，故()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.（2）()f x 在()0,1上递增，()1,+∞上递减，()f x k =的两个零点，则1201x x <<<，下面先证明122x x +>：要证122x x +>，只需证212x x >-，21x >，121x ->，只需证()()212f x f x <-，即证()()112f x f x <-，设()()()2,(01)g x f x f x x =--<<，()()334ln 24ln (2)x x g x x x ---=+-'，当()0,1x ∈时，02x x <<-，4ln 0x ->，()()()3334ln 24ln 24ln (2)(2)(2)x x x x g x x x x '⎡⎤-----⎣⎦>+=---，()221(1)1x x x -=--<，()ln 20x x -<⎡⎤⎣⎦，故()0g x '>，即()g x 在()0,1上递增，()()10g x g <=，即()()2f x f x <-，故()()112f x f x <-成立，故122x x +>.下面证明12112x x +<：()2212ln 1112ln x f x k x xx +⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭，1x 是方程()()212ln F x x x k =-=的解，设()F x k =的解为m n ､，要证：12112x x +<，即证2m n +<.()()22212ln 4ln F x x x x x x x=--⋅=-'，()0,1x ∈时，()0F x '>，函数单调递增；()1,x ∈+∞时，()0F x '<，函数单调递减，故01m n <<<，则12n m <<-.要证2m n +<，即证()()2F n F m >-，即()()2F m F m >-，令()()()2(01)h x F x F x x =--<<，()()()4ln 42ln 2h x x x x x =----'，设()()()4ln 42ln 2k x x x x x =----()()24ln 44ln 244lnxk x x x x-'=--+-+=，01x <<，故21xx->，即()0k x '>，即()h x '单调递增，又()10h '=，()0h x '<，故()h x 单调递减，()10h =，()0h x >，即()()2F x F x >-，()()2F m F m >-，2m n +<成立，即12112x x +<成立，综上所述.1212112x x x x +>>+关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调性，利用导数证明极值偏移问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中对称构造()()()2g x f x f x =--，再根据单调性证明题目是解题的关键.。
湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题及答案
C
B
A
B
ACD
AB
ACD
BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 2 ln 2 4 m
15. [
1
, )
3e
5
2
14.
三
3
2
16. （2分）， （
2 3分）
四、解答题：共 70 分.
17.（10 分）
解：(1)f'(x) = 3x2 − 12x + a，
�� +1 2
) ．
2
1
(2)设�� = �
，设数列 �� 的前�项和为�� ，若 m 2 Tn 2m 1 对一切 �∈�∗ 恒
� +1 ��+1 +1
成立，求实数�的取值范围．
20. 随着我国经济迅速发展，工业用电量需求也随之增大. 某市规划在一工业园区内架设一条
1200 米的高压线. 已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高
A. 1
B. 2
A. 5 5
B. −5 5
C. 3
D. 4
2. 在等比数列{�� }中，�1 = 1，�5 = 5，则�2 �3 �4 的值为( )
C. ±5 5
D.
5
3. 如图，洛书(古称龟书)，是阴阳五行术数之源. 在古代传说中有神龟出于洛水，
其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居
∵ x = 1 是函数 f x 的一个极值点，
∴ f'(1) =− 9 + a = 0，
∴ a = 9，
····
2023-2024学年湖北省新高考高二下册4月期中联考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省新高考高二下册4月期中联考数学模拟试题一、单选题1．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a ，312a ，2a 成等差数列，则q =（）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．1或2-【正确答案】B【分析】根据条件，列出关于公比的方程，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q >，首项10a >，由12a ，312a ，2a 成等差数列，则3122a a a =+，则21112a q a a q =+，220q q --=，得1q =-（舍）或2q =.故选：B2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()()22ln 1f x xf x '=+-，则()2f =（）A ．1-B ．23-C ．4-D ．e【正确答案】C【分析】对函数()f x 求导，将2x =代入导数中可得(2)1f '=-，从而得到函数解析式，将2x =代入函数解析式可得答案.【详解】()2(2)ln(1)f x xf x '=+-，则1()2(2)1f x f x ''=+-，令2x =得(2)2(2)1f f ''=+，解得(2)1f '=-，则()2ln(1)f x x x =-+-，将2x =代入上式得(2)4f =-，故选：C 3．已知322()nx x +的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（）A ．60B ．80C ．100D ．120【正确答案】B【分析】根据各项系数和求出n ，再由二项展开式通项公式求解即可.【详解】当1x =时，3243n =，解得5n =，则322()n x x +的展开式第1r +项351532155152552C ()()C 2C 2r r r r r r r r r r r T x x x x x----+===，令1550r -=，解得3r =，所以335C 210880=⨯=，故选：B4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926π 3.1415927<<，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就，小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.要求两个1不相邻.那么小明可以设置的不同密码有（）A ．120个B ．240个C ．360个D ．720个【正确答案】B【分析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】利用插空法：共有4245A C 240⨯=种.故选：B5．定义域为R 的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()20f x f x '-<，且()01f =，则不等式()2xf x >e 的解集为（）A ．(),0∞-B ．()2,+∞C ．()0,∞+D ．(),2-∞【正确答案】A【分析】构造函数2()()e xf xg x =，利用导数研究函数的单调性，即可得到答案．【详解】构造函数2()()ex f x g x =，则函数的导数为22222()e 2()e ()2()()(e )e x x x x f x f x f x f x g x '-'-'==，()()20f x f x '-< ，()0g x ∴'<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f = ，0(0)(0)1e f g ∴==，则不等式()2xf x >e ，等价为2()1e ()xf xg x =>，即()(0)g x g >，则0x <，即不等式的解集为(,0)-∞，故选：A ．6．已知数列21443n n ⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*N n ∈，不等式2123n T a a <-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．4,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]4,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)4,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【正确答案】C【分析】利用裂项相消法求出n T ，对任意的*N n ∈，不等式2123n T a a <-恒成立，则()2max 123n T a a <-恒成立，求出n T 最大值即可得解.【详解】()()211111443232142123n n n n n n ⎛⎫==- ⎪+-+--+⎝⎭，则111111111111114537592123432123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为1102123n n +>++，所以111111111432123433n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+<+= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为对任意的*N n ∈，不等式2123n T a a <-恒成立，所以211233a a ⨯≤-，解得43a ≥或1a ≤-，所以实数a 的取值范围是(]4,13⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C.7．现有天平及重量为1，2，4，10的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的放法共有（）种.A ．105B ．72C ．60D ．48【正确答案】A【分析】由题意，按照从大到小的顺序，逐一分情况讨论，结合排列组合以及分类加法原理，可得答案.【详解】依题可知10只能在左边，按照从大到小的顺序，逐一分情况讨论，有以下4种情况：情况①：第一步先排10，10只能在左边，接下来重量为1,2,4的砝码顺序随意有33A 种，左右边随意，则32种，共有3332A 48=种；情况②：第一步先排4，4只能在左边，10可以在第2,3,4步中任选一步放，有13C 种，重量为1,2的砝码顺序随意左右边随意，共有12232C 2A 24=种；情况③：第一步先排2，2只能在左边，若第二步放10，则重量为去1,4的砝码顺序随意左右边随意，有2222A 中，若第二步放4，则10可以在第3,4步汇总任选一步放，砝码1左右边随意放，有122C 种，若第二步放1，有2种放法，接下第3步有2种情形：（a ）若第三步放10，那第四步放4可以在左右都行，有2种，（b ）若第三步放4，那4只能放左边，第四步放10只能放左边，有1种，共有()221222A C 222118+⨯++=种；情况④：第一步先排1，1只能在左边，接下来第二步：若第二步放10，则重量为2,4的砝码顺序随意左右边随意放，有2222A 种，若第二步放4，则10可以在第3,4步中任选一步放，砝码2左右边随意放，有122C 种，若第二步放2，2只能在左边，接下来第三步有2种情形：（i ）若第三步放10，那第四步放4可以在左右边都行，有2种，（ii ）若第三步放4，那4只能在左边，第四步放10只能放左边，有1种，共有221222A 2C 2115+++=种，综上有48241815105+++=种.故选：A.8．若存在[]00,1x ∈，使不等式()0220021ln e 2e ex ax a x +-≥+-成立，则a 的取值范围是（）A ．21,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．421,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,e ⎡⎤⎣⎦【正确答案】D【分析】()022002e 1ln e 2e x a x a x +-≥+-()0022e 1ln 2e e x x a a ⇔-≥-，令0e x a t =，构造函数()2()e 1ln 22f t t t =--+，从而问题转化为存在,e a t a ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得()0f t ≥成立的问题.【详解】()022002e 1ln e 2e x a x a x +-≥+-⇔()()222e 1ln e 12e x a a x ---≥-()002e 1ln22e e x x a a ⇔-≥⋅-，令0ex at =，即()2e 1ln 220t t --+≥，因为0[0,1]x ∈，所以,e a t a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()2()e 1ln 22f t t t =--+.则原问题等价于存在,e a t a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立.()22e 12e 1()2t f t t t---'=-=令()0f t '<，即()2e 120t --<，解得2e 12t ->，令()0f t '>，即()2e 120t -->，解得2e 102t -<<，所以()f t 在2e 10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2e 1,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭上单调递减.又因为()()2222(1)0,e e 1ln e 2e 2f f ==--+222e 22e 20=--+=.而22e 11e 2-<<，∴当21e t ≤≤时，()0f t ≥.若存在,e a t a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立.只需21e ea ≤≤或21e a ≤≤，所以31e a ≤≤.故a 的取值范围为31,e ⎡⎤⎣⎦.故选：D二、多选题9．已知()()()()()5260126122111x x a a x a x a x +-=+-+-++- ，则（）A ．03a =-B ．1256a =-C ．246124a a a ++=-D ．012632a a a a +++⋯+=-【正确答案】AD【分析】令1x t -=，则1x t =-，原等式可化为()()5260126321t t a a t a t a t ---=++++ ，结合二项展开式的性质逐项判断即可.【详解】令1x t -=，则1x t =-，原等式可化为()()5260126321t t a a t a t a t ---=++++ ，令0=t ，则03a =-，故A 项正确；()51t --的展开式的通项为()()515C 1,0,1,2,,5kkkk T t k -+=⋅--= ，则()()54011552C 13C 113a =-⨯⋅--⨯⋅-=-，故B 项错误；令1t =，则012632a a a a ++++=- ①，令1t =-，则01234560a a a a a a a -+-+-+=②，由①+②得()0246232a a a a +++=-，又03a =-，所以24613a a a ++=-，故C 项错误，D 项正确．故选：AD.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（）A ．若2n S n n =+，则{}n a 是等差数列B ．若{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，则2132S S S ⋅>C ．若{}n a 是等差数列，则11611S a =D ．若31nn S =-，则{}n a 是等比数列【正确答案】ACD【分析】对于AD ：由n S 与n a 的关系求通项公式即可；对于B ：作差比较大小即可；对于C ：根据等差数列性质计算即可.【详解】对于A ：当2n ≥时，2n S n n =+，()2111n S n n -=-+-，则12n n n a S S n -=-=，又12a =也适合，故2n a n =，所以()122n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列，故A 正确；对于B ：()()22132112312S S S a a a a a a ⋅-=++-+()()222211110a q q q a q ⎡⎤=++-+=-<⎣⎦，故2132S S S ⋅<，所以B 错误；对于C ：()1116116111121122a a a S a +⨯===，故C 正确；对于D ：当2n ≥时，31n n S =-，1131n n S --=-，则1123n n n n a S S --=-=⋅，又12a =也适合，故123n n a -=⋅，所以()132nn a n a -=≥，所以{}n a 是等比数列，故D 正确；故选：ACD11．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种【正确答案】AC【分析】对于A ，用捆绑法即可；对于B ，先用捆绑法再用插空法即可；对于C ，用插空法即可；对于D ，用插空法的同时注意分类即可.【详解】对于A ，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：55A 120=种，故A 对；对于B ，先排4个学生44A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有25A 种方法，所以一共有4245480A A =种，故B 错；对于C ，先排4个学生44A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入4个学生形成的5个空位中有45C 种，所以一共有4445A C 120=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有：4245A C 240=，空位只有两个相邻的有412454A C C 720=，所以一共有1202407201080++=种，故D 错；故选：AC.12．若ln1.01a =，1101b =，sin0.01c =，则（）A ．a b <B ．a b>C ．c a>D ．b c>【正确答案】BC【分析】通过证明ln(1),(0,1)1xx x x+>∈+确定ln1.01a =，1101b =的大小关系；通过证明sin ln(1)x x >+确定1101b =，sin0.01c =的大小关系；【详解】令()ln(1),(0,1)1xf x x x x=+-∈+，2211()01(1)(1)x f x x x x '=-=>+++，()f x ∴在(0,1)x ∈上单调递增，()(0)0f x f ∴>=，ln(1),(0,1)1xx x x∴+>∈+，0.011ln(10.01)10.01101∴+>=+，a b ∴>.令()sin ln(1),(0,1)g x x x x =-+∈，1()cos 1g x x x'=-+，令1()()cos ,(0,1)1h x g x x x x=-∈+'=，21()sin ,(1)h x x x '=-++显然()h x '在(0,1)x ∈为减函数，()()1π1010,1sin1sin 0464h h =>=-+<-+'<'，0(0,1),x ∴∃∈使()00h x '=，当()00,x x ∈时()0h x '>，当()0,1x x ∈时()0h x '<，当()00,x x ∈时()h x 为增函数，当()0,1x x ∈时()h x 为减函数，所以()h x 的最小值为(0),(1)h h 中一个，而1π1(0)cos 010,(1)cos1cos 0232h h =-==->-=，()0,h x ∴>即()0g x '>，()g x ∴在(0,1)x ∈上单调递增，()(0)0,sin ln(1).g x g x x ∴>=∴>+sin 0.01ln(10.01)ln(1.01)∴>+=，c a ∴>.故选：BC关键点点睛：本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x 就有了函数的形式，如在本题中ln1.01ln(10.01)a ==+，10.0110110.01b ==+，将0.01视为x ，将,a b 视为函数ln(1)y x =+与1x y x =+的函数值，从而只需比较ln(1)y x =+与1x y x=+这两个函数大小关系即可.三、填空题13．若直线2y x b =+与函数()e xf x x a =+-的图象相切，则a b +=__________.【正确答案】1【分析】利用导数的几何意义即可求得答案.【详解】由题意()e x f x x a =+-，可得()e 1xf x '=+，因为直线2y x b =+与函数()e xf x x a =+-的图象相切，故设切点为00(,)x y ，则0e 12x +=，故00x =，则()10f a b =-=，故1a b +=，故114．某校社团召开学生会议，要将11个学生代表名额，分配到高二年级的6个班级中，若高二（一）班至少3个名额，其余5个班每班至少1个名额，共有__________种不同分法.（用数字作答）【正确答案】56【分析】先分配给高二（一）班2个名额，剩余9个名额用隔板法分配.【详解】先给高二（一）班2个名额，还有9个名额分到6个班级去，每班至少1个名额，使用隔板法，有9个相同元素共8个空（不含两端），插入5个板，共有58C 56=种插法，两个板之间元素个数即为相应班级名额.故5615．对于数列{}n a ，定义11222-=+++ n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若6n T T ≤对任意的*N n ∈恒成立，则实数p 的取值范围为__________.【正确答案】7716,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】根据数列新定义可得2111212 (2)22n n n n n a a a a n --+-++++=⋅，从而2n ≥时，2121)22(12n n n a a a n --+++=⋅- ，相减求得22n a n =+，进而求得n T 的表达式，利用6n T T ≤对任意的*N n ∈恒成立，列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意可得2111212...222n n n n n a a a a n --+-++++=⋅，∴2n ≥时，2121)22(12n n n a a a n --+++=⋅- ，两式相减可得：1122(1)2n n n n a n n -+=⋅--⋅，化为22n a n =+，1n =时，2124a ==，满足上式，故22,Nn a n n *=+∈故12(12)n n T a a a p n =+++++++ ，(422)(1)(1)(3)222n n n n n n p n n p ++++=+⋅=++⋅∵6n T T ≤对任意的*N n ∈恒成立，∴5676T T T T ≤⎧⎨≤⎩，即4015542170285421p pp p +≤+⎧⎨+≤+⎩，解得71637p -≤≤-，即71637,p ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故7716,3⎡⎤--⎢⎣⎦16．设集合{}()1,2,3,,N,2P n n n =∈≥ ，选择P 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则当10n =时，不同的A 和B 共有__________种组合.（请用数字作答）【正确答案】4097【分析】利用列举的方法，结合集合的子集问题，利用等比数列求和，即可求出满足条件的组合数.【详解】由条件可知，{}1,2,3...10P =，若集合B 中的最小的数为2，则集合B 有82个，集合A 有121-个，若集合B 中的最小的数为3，则集合B 有72个，集合A 有221-个，若集合B 中的最小的数为4，则集合B 有62个，集合A 有321-个，…………….若集合B 中的最小的数为10，则集合B 有02个，集合A 有921-个，所以满足条件的不同集合,A B 的组数为：()()()()81726309221221221...221-+-+-++-()9876092222...2=⨯-++++9124608409712-=-=-.故4097四、解答题17．已知n⎫⎪⎭的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255.(1)求n 的值；(2)求展开式中系数最大的项.【正确答案】(1)8n =(2)731792x -【分析】（1）令x =1可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为2n ，由题意列方程求解.（2）展开式中的通项公式为83218(2)C r r r r r T x -+-=-，且r 为偶数，由1311r r r r T T T T +++-≥⎧⎨≥⎩求解r .【详解】（1）令x =1可得，展开式中各项系数之和为(1)n -，而展开式中的二项式系数之和为2n ，2(1)255,8,n n n ∴--=∴=（2）展开式中的通项公式为83218(2)C r r r r r Tx -+-=-（8,N r r ≤∈），设第1r +项最大，要使展开式中系数最大则r 必为偶数，则22882288(2)C (2)C (2)C (2)C r r r r r r r r ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩，即()()()()()()8!8!4!8!2!6!8!18!!8!42!10!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪-+-⎪⎨⎪≥⋅⎪---⎩，即()()()()()()()1248741091r r r r r r r r ⎧++≥--⎪⎨--≥-⎪⎩，即212122,r r ∞∞⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎛⎫⎪∈-⋃+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩且8,N r r ≤∈，解得：6r =，所以展开式中系数最大的项为.8667663238(2)C 1792x x ----=18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313log 1log n n b b +-=，且()1122n n n a a a n +-=+≥.339S b ==，414b a =.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】(1)21n a n =-，13n n b -=(2)()131n n T n =-+【分析】（1）首先判断数列{}n b 为等比数列，数列{}n a 是等差数列，再根据等差和等比数列的基本量求解；（2）由（1）可知，()1213n n c n -=-⋅，利用错位相减法求和.【详解】（1）313log 1log n n b b +-= ，()313log log 3n n b b +∴=，则13n nb b +=，所以{}n b 为等比数列，又39b =，得11b =，所以13n n b -=，由112n n n a a a +-=+，知数列{}n a 是等差数列，且41427b a ==，39S =,111327339a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，得1a 1,d 2==，21n a n ∴=-；（2）()1213n n c n -=-⋅ ，()0121133353...213n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++-⨯，()()12213133353...233213n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯两式相减可得：()()12121233...3213n n n T n --=++++--⨯，()2223n n =-+-⋅，()131n n T n ∴=-⋅+.19．某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为()10ln 123x x +-⎡⎤⎣⎦万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y 万元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)需新建多少个桥墩才能使y 最小？并求出其最小值.参考数据：ln 20.69≈，ln 3 1.10≈【正确答案】(1)()60000012000ln 1236500y x x=⋅++-(2)需新建19个桥墩才能使y 最小，最小值为24740万元.【分析】（1）利用题中的已知条件设出需要建设桥墩的个数，进而表示出工程的费用即可；（2）利用（1）的结果，再利用导数研究函数的单调性即可求出最值.【详解】（1）由已知两端的桥墩相距1200米，且相邻两桥墩相距x 米，故需要建桥墩12001x ⎛⎫- ⎪⎝⎭个，则()12001200150010ln 123y x x x x ⎛⎫=-⨯+⨯+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()60000050012000ln 1236000x x=-+⋅+-()60000012000ln 1236500x x=⋅++-所以y 关于x 的函数关系式为()60000012000ln 1236500y x x =⋅++-，()0,1200x ∈（2）由（1）知()60000012000ln 1236500y x x=⋅++-()()222501212000600000120001212x x y x x x x -+'=-=⨯++令0y '=，即()250120x x -+=，解得10x =-（舍）或60x =当060x <<时，0'<y ，函数单调递减；当601200x <<时，0'>y ，函数单调递增；所以当60x =时，y 有最小值，且()min 60000012000ln 60123650012000ln 722650060y =⋅++-=⨯-又()ln 72ln 89ln 8ln 93ln 22ln 330.692 1.1 4.27=⨯=+=+≈⨯+⨯=min 12000 4.272650024740y ∴=⨯-=（万元）所以需新建19个桥墩才能使y 最小，最小值为24740万元.20．已知函数()1e x f x x +=.(1)求()f x 的极值；(2)当0x >时，()ln 1f x x x a ≥+++恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()f x 有极小值()11f -=-，无极大值.(2)(],1a ∈-∞【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；（2）首先根据不等式构造函数()1e ln 1x g x x x x +=---，再根据函数()g x '构造函数()11e x h x x+=-，再利用函数的导数()h x '判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，判断()h x ，即()g x '的正负，判断函数的单调性，并求函数的最值，即可证明不等式.【详解】（1）求导得()()11e x f x x +=+'，所以当()0f x ¢>时，1x >-；当()0f x '<时，1x <-，所以()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，所以()f x 有极小值()11f -=-，无极大值.（2）由题知不等式1e ln 1x x x x a +≥+++在()0,x ∈+∞上恒成立，则原问题等价于不等式1e ln 1x x x x a +---≥在()0,x ∈+∞上恒成立，记()1e ln 1x g x x x x +=---，则()()()11111e 11e x x g x x x x x ++⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭记()11e x h x x +=-，则()121e 0x h x x +'=+>恒成立，所以()h x 在()0,x ∈+∞上单调递增，又2112e 21e e 0eh +⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()21e 10h =->，所以存在021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即当0x x <时，()0h x <，此时()0g x '<；当0x x >时，()0h x >，此时()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，由()01001e0x h x x +=-=，得0101x e x +=，即001e 1x x +=，00ln 1x x =--所以()()010*******1ln 1111x g x g x x e x x x x x x +≥=---=⋅++--=，(],1a ∴∈-∞.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若对任意正整数n ，1133n n n S a a ++=-++.(1)求证：{}2n n a 为等差数列(2)若()11n n n a S a -+>-恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用数列n a 与n S 的关系，变形得到()111222n n n n a a a a +--=-，根据数列{}12n n a a +-是等比数列，结合等差数列的定义，变形后即可证明；（2）首先根据（1）的结果求得12n nn a +=，再根据条件求得n n S a +，利用数列不等式恒成立，转化为最值问题，即可求解.【详解】（1）因为11133,1n n n S a a a ++=-++=，当1n =时，22133S a a =-++，解得234a =，当n ≥2时，()1332n n n S a a n -=-++≥，则()11113333n n n n n n n S S a a a a a +++--==-++--++，即()111222n n n n a a a a +--=-，又21122a a -=，所以{}12n n a a +-是首项为12，公比为12的等比数列，所以1122n n n a a +-=，则11221n n n n a a ++-=，又122a =，所以{}2n n a 为首项为2，公差为1的等差数列，（2）由（1）可知：21n n a n =+，则12n nn a +=，所以111211233222n n n n n n n S a ++++++=-⋅++=-又11111232S a -+==-，则()*113N 2n n n S a n -+=-∈，又()11n n n a S a -+>-恒成立，所以()111312n n a --->-，当n 为奇数时，1132n a -->恒成立，而11322n --≥，则a <2；当n 为偶数时，1132n a -->-，而115322n --≥即52a -<，则52a >-；综上所述，实数a 的取值范围为5,2.2⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数()2e sin x f x x x =-，[]0,πx ∈(1)求()f x 的最小值.(2)若关于x 的方程()21cos sin e 12x m x x x x x -=---，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个实数根，求m 的取值范围.【正确答案】(1)2(2)π22ππ1e 1,822m ⎡⎫∈-+++-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）函数的最值可利用单调性求解.（2）方程在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实根可转化为函数()()21e 1cos sin 2x h x x x m x x x =-----在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，注意到()00h =，可讨论分析m 什么范围时存在另外一个根.【详解】（1）（1）()()2e sin cos x f x x x x =+'-，[]0,πx ∈令()()2e sin cos x g x x x x =-+()2e 2cos sin x g x x x x =+'-，[]0,πx ∈e 1cos x x ≥≥ ，sin 0x x ≥()0g x '∴>在[]0,πx ∈上恒成立.∴()f x '在[]0π,上单调递增()()020f x f ∴'≥=>'∴()f x 在[]0π,上单调递增()()min 0 2.f x f ∴==（2）令()()21e 1cos sin 2x h x x x m x x x =-----，π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦此时()00h =，()e 1sin x h x x mx x '=--+.令()=e 1x u x x --，则()=e 1x u x '-，当0x <时，()0u x '<，函数()u x 在区间(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0u x '>，函数()u x 在区间()0,∞+上单调递增，所以函数()u x 在0x =时取最小值，所以()()00u x u ≥=，即e 10x x --≥.若0m ≥，e 10x x --≥ ，sin 0mx x ≥()0h x '∴≥在π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立.∴()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，仅有0x =一个零点，不符合题意.令()sin v x x x =-，π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()cos 10v x x '=-≤所以函数()v x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()00v x v ≤=即sin x x ≤.若m <0，则2sin mx x mx ≥令()21e 12x t x x x =---，π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()e 10x t x x '=--≥∴()t x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.()(0)0t x t ∴≥=即21e 12x x x --≥()21e 1sin 2x h x x mx x m x ⎛⎫'∴=--+≥+ ⎪⎝⎭此时，若102m -≤<，则()0h x '≥成立，不满足题意.故12m <-.此时记()0h x '=的另外一个零点为0x ，则()h x 在[]00,x 上单调递减，在0π,2x ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增要使()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上由两个零点，只需π22ππe 10282h m π⎛⎫=---+≥ ⎪⎝⎭又12m <-π22ππ1e 1,822m ⎡⎫∴∈-+++-⎪⎢⎣⎭思路点睛：（1）函数的最值可以利用函数的单调性去判断，本题中因导函数本身正负难以判断，所以考虑先分析导函数的单调性，进而判断导函数在区间的符号，再确定原函数的单调性（2）本题中函数本身比较复杂，导函数的判断也比较困难，可结合导数中常见不等式结论e 1x x ≥+，在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上sin x x >去判断.。
湖北重点高二下学期期中联考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知曲线，那么曲线在点处的切线斜率为（ ）3:()2C f x x x =-+(1,2)P A ．B ．C ．2D ．2或14-1414-【答案】C【分析】求出曲线的导数，代入切点坐标即可求出对应切线斜率. C 【详解】，，2()31x f x '=-(1)312f =-='根据导数几何含义可知曲线在点处的切线斜率为2. (1,2)P 故选：C.2．已知，则x 的值是（ ）6231212C C x x --=A ．3 B ．6 C ．9 D ．3或9【答案】A【分析】根据组合数的性质求解即可.【详解】由，6231212C C x x --=得或， 623x x -=-62312x x -+-=解得或，3x =9x =当时，，不符合组合数的定义，所以舍去. 9x =63x -=-故选：A.3．函数的单调递增区间是（ ） ()2ln f x x x =-A ． B ． C ． D ．(,2)-∞(2,2)-(0,2)(2,)+∞【答案】D【分析】直接求导，令，解出即可.()0f x '>【详解】由已知， 22()1x f x x x'-=-=定义域为，由得． (0,)+∞()0f x '>2x >∴的增区间为． ()f x (2,)+∞故选：D ．4．在的展开式中，含项的系数是（ ） ()()()()34561111x x x x +++++++3x A ． B ．C ．D ．15213556【答案】C【分析】当且时，求出的展开式中含的系数，即可求得3n ≥n *∈N ()1nx +3x 的展开式中含项的系数.()()()()34561111x x x x +++++++3x 【详解】当且时，的展开式通项为，3n ≥n *∈N ()1nx +()1C 0,k k k n T x k n k *+=⋅≤≤∈N 展开式中含项的系数是，3x 3C n 所以，在的展开式中，()()()()34561111x x x x +++++++含项的系数.3x 33333456C C C C 14102035+++=+++=故选：C.5．已知函数为的导函数，则的大致图象是（ ） ()()21cos ,4f x x x f x =+'()f x ()f x 'A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出，判断奇偶性，并结合特殊值验证，即可判断出答案. ()1sin 2f x x x '=-【详解】由可知， ()21cos 4f x x x =+()1R,sin 2x f x x x ∈∴=-'则，即为奇函数，故A ，D 错误；()()1sin 2f x x x f x -=-+-'='()f x '又，故C 错误，B 正确， ππ1π6()0612212f -'=-=<故选：B6．某高校有名志愿者参加月日社区志愿工作，每人参加一次值班，若该天分早、中、晚三651班，每班至少安排人，最多安排人，则当天不同的排班种类为（ ） 13A ． B ．C ．D ．75450540900【答案】B【分析】先将名志愿者分为组，确定每组的人数，然后将这三组志愿者分配到早、中、晚三63班，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】将名志愿者分为组，每组的人数可以是：①、、；②、、, 63222123再将这三组志愿者分配到早、中、晚三班，所以，当天不同的排班种类为. ()2221233642653333C C C C C C A 15606450A ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭故选：B.7．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，α，当比较小的时候，取广义二项2(1)(1)(1)(1)11!2!!k k x x x x k ααααααα---++=+⋅+⋅++⋅+ ||x 式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数(1)1x x αα+≈+⋅||x1121 2.2524⎛⎫===≈⨯+⨯=⎪⎝⎭（ ） A ．2.056 B ．2.083 C ．2.125 D ．2.203【答案】B【分析】，然后根据题中的方法计算即可.131218⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦1311122121 2.083838⎡⎤⎡⎤====⨯+≈⨯+⨯≈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故选：B8．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点()f x '()y f x =()f x ''()f x '()0f x ''=0x 为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是()()0,x f x ()y f x =对称中心．设，数列的通项公式为，则32()657f x x x x =-++{}n a 25n a n =-（ ）()()()126f a f a f a ++= A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】C【分析】根据题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即可得，然(2,1)()(4)2f x f x +-=后利用此结论可求得答案.【详解】由，得 ，32()657f x x x x =-++()()23125,612f x x x f x x '''=-+=-由 可得：， ()0f x ''=2x =因为(2)1f =所以的图象关于点对称， ()f x (2,1)所以， ()(4)2f x f x +-=因为，25n a n =-所以，1234563,1,1,3,5,7a a a a a a =-=-====所以，，， 16()()2f a f a +=25()()2f a f a +=34()()2f a f a +=所以， ()()()126326f a f a f a ++=⨯= 故选：C二、多选题9．下列函数求导运算正确的是（ ）A ．B ．2331x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2ln 2ln x x x x '=C ．D ． e e x x'⎛= ⎝21(tan )cos x x'=【答案】CD【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】对于A ，，故选项A 错误；23331x x x x x ''⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'对于B ，，故选项B 错误； ()()()222ln ln ln 2ln x x x x x x x x x '''=+=+对于C ，C 正确； ()e e e ''⎛'=-=+ ⎝x x x对于D ，，故选项D 正确； 2222sin cos sin 1(tan )cos cos cos x x x x x x x '+⎛⎫'=== ⎪⎝⎭故选：CD.10．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ） A ．若女生必须站在一起，那么一共有种排法 5335A AB ．若女生互不相邻，那么一共有种排法 3434A A C ．若甲不站最中间，那么一共有种排法1666C A D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法 7676A 2A -【答案】AC【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共A 33A 有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确； 55A 5335A A A 选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空B 44A 中，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；35A 4345A A B 选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方C 式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故16C 66A 1666C A 正确；C 选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有D 77A 66A 66A 种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有55A 种排法，故不正确；765765A 2A A -+D 故选：AC.11．函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是（ ） 32()31f x ax x x =++-A ． B ．C ．D ．(,3)a ∈-∞(0,3)a ∈(,0)(0,3)a ∈-∞ (,0)a ∈-∞【答案】BD【分析】根据函数恰有3个单调区间，可得导函数有两个32()31f x ax x x =++-2()361f x ax x '=++不同的零点，从而可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.0Δ0a ≠⎧⎨>⎩a 【详解】，2()361f x ax x '=++因为函数恰有3个单调区间，32()31f x ax x x =++-所以函数有两个不同的零点，2()361f x ax x '=++所以，解得且，0Δ36120a a ≠⎧⎨=->⎩3a <0a ≠所以，()(),00,3a ∈-∞⋃则函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是BD 两个选项. 32()31f x ax x x =++-故选：BD.12．已知函数，，则（ ） ()()1ln x f x m x x =->()()e 0xg x m x x =->A ．若函数有两个不同的零点，则 ()f x e m >B ．若函数恒成立，则()0g x ≥e m ≤C ．若函数和共有两个不同的零点，则()f x ()g x 1m =D ．若函数和共有三个不同的零点，记为、、，且，则()f x ()g x 1x 2x 3x 123x x x <<2132x x x ⋅=【答案】ABD【分析】对于A ，利用参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点，数y m =()()1ln xh x x x=>形结合可判断A 选项；对于B ，由参变量分离法可得，利用导数求出函数()e 0x m x x ≤>()e xp x x=的最小值，可判断B 选项；对于C ，由参变量分离法可知，直线与函数、y m =()()1ln xh x x x=>的图象共有两个交点，数形结合可判断C 选项；对于D ，先利用同构法得到()()e 0xp x x x=>，再利用的单调性结合图像得到，，进而证得，可判()()e x p x h =()h x 12x e x =23ln x x =2132x x x ⋅=断D 选项.【详解】对于A 选项，由，可得， ()0f x =()1ln xm x x=>令，则直线与函数的图象有两个交点， ()()1ln x h x x x =>y m =()()1ln xh x x x=>，由可得，由可得，()()2ln 1ln x h x x -'=()0h x '<1e x <<()0h x '>e x >所以，函数的减区间为，增区间为，函数的极小值为，如图所示： ()h x ()1,e ()e,+∞()h x ()e e h =由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， e m >y m =()()1ln xh x x x=>即函数有两个不同的零点，A 对；()f x对于B 选项，由可得，令，其中，()0g x ≥()e 0x m x x ≤>()e xp x x=0x >，由可得，由可得， ()()2e 1x x p x x -'=()0p x '<01x <<()0p x '>1x >所以，函数的减区间为，增区间为， ()p x ()0,1()1,+∞故，所以，，B 对； ()()min 1e p x p ==()min e m p x ≤=对于C 选项，令，可得， ()0g x =()m p x =因为函数、共有两个不同的零点，()f x ()g x 则直线与函数、的图象共有两个交点， y m =()()1ln x h x x x =>()()e0xp x x x=>由图可知，当时，直线与函数、的图象共有两个交e m =y m =()()1ln x h x x x =>()()e 0xp x x x=>点，因此，若函数和共有两个不同的零点，则，C 错； ()f x ()g x e m =对于D 选项，若函数和共有三个不同的零点， ()f x ()g x 则直线经过与的交点，如图所示，y m =()p x ()h x因为，所以， ()()e e e ln e x x xxp x h x ===()()()112e x h p x h x ==因为，所以，101x <<11x e e <<又，且在上单调递减，故，21e x <<()h x ()1,e 12e xx =同理：，即，23e xx =23ln x x =又由得，故，故D 正确. ()()13p x h x =1313e ln x x x x =121332ln x x x e x x ⋅==故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化x 归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数()0f x =()a g x =y a =的图象的交点问题.()y g x =三、填空题13．在的展开式中，含的项系数为_________． 4(12)(1)++x x 3x 【答案】16【分析】利用二项展开式的通项公式求解.【详解】由已知得，444(12)(1)(12)(1)x x x x x =+++++展开的通项为，则该项的项系数为，4(1)x +414C r rr T x -+=3x 14C 4=该项的项系数为，则中的项系数为，2x 24C 6=42(1)x x +3x 2612⨯=所以的展开式中，含的项系数为， 4(12)(1)++x x 3x 41216+=故答案为：.1614．已知函数满足，则_______． ()f x 2()(1)ln f x f x x x '=-(e)f '=【答案】2e 2-【分析】根据导数的运算法则求出，令求出，然后令求出即可． ()y f x '=1x =(1)f 'e x =(e)f '【详解】， ()2(1)1ln f x f x x ''=-- ，解得， (1)2(1)1ln1f f ''=--∴(1)1f '=，(e)2(1)e 1ln e 2e 2f f ∴''=--=-故答案为：．2e 2-15．为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如下图），现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有_________种．【答案】72【分析】按先后顺序分别涂区域③④①②⑤，确定每个区域的涂色方法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】先涂区域③，有种选择，接下来涂区域④，有种选择， 43接下来涂区域①②，涂区域①有种选择，涂区域②有种选择， 21最后涂区域⑤，有种选择，3由分步计数原理可知，不同的着色方法种数为种. 4321372⨯⨯⨯⨯=故答案为：.7216．已知函数的导函数为，对，都有，且，若()f x ()f x 'x ∀∈R ()()()2e xf x f x x a '=--()01f =在上有极值点，则实数的取值范围是_________． ()f x ()2,4a 【答案】()3,5【分析】由已知等式变形可得，可得出，根据()()2exf x f x x a '-=-()()2e xf x x ax c =-+()01f =可求得的值，然后求出方程的根，根据在上有极值点可得出关于实数的不c ()0f x '=()f x ()2,4a 等式，解出的取值范围，再结合极值点的定义验证即可.a 【详解】第，，可得，x ∀∈R ()()()2e xf x f x x a '=--()()2e xf x f x x a '-=-即，其中为常数，所以，，()()2e x f x x ax c '⎡⎤'=-+⎢⎣⎦c ()2e x f x x ax c =-+故，其中为常数， ()()2e xf x x ax c =-+c 因为，故，()01f c ==()()21e xf x x ax =-+所以， ()()()()()222e 1e 21e x x xf x x a x ax x a x a '⎡⎤=-+-+=----⎣⎦，()()11e x x x a =+--⎡⎤⎣⎦令可得或，()0f x '==1x -1x a =-因为函数在上有极值点，则，解得， ()f x ()2,4214a <-<35a <<此时，由可得，由可得或， ()0f x '<11x a -<<-()0f x ¢>1x <-1x a >-所以，函数在上单调递减，在上单调递增， ()f x ()2,1a -()1,4a -所以，函数在上有唯一的极小值点， ()f x ()2,4因此，实数的取值范围是. a ()3,5故答案为：.()3,5四、解答题17．设，求下列各式的值；7270127(12)x a a x a x a x +=++++L (1)；127a a a +++ (2)． ()()2202461357a a a a a a a a +++-+++【答案】(1) 731-(2) 73-【分析】（1）赋值法，分别令和解出和即可得出结果； 0x =1x =0a 7012a a a a ++++ （2）根据平方差公式将所求变形为，然后用赋值法分别令和()()0123456701234567a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++-+-+-+-1x =即可求得结果．=1x -【详解】（1）令得0x =01a =令，得1x =701273a a a a ++++=771270331a a a a ∴+++=-=- （2）令，得 =1x -701234567(1)1a a a a a a a a -+-+-+-=-=-()()2202461357a a a a a a a a ∴+++-+++()()0123456701234567a a a a a a a a a a a a a a a a =+++++++-+-+-+-773(1)3=⨯-=-18．已知函数在时有极大值2． 3211()33f x x ax bx =--+=1x -(1)求常数a ，b 的值；(2)求在区间上的最值． ()f x [2,5]-【答案】(1)， 1a =3b =(2)最小值为，最大值为2. 263-【分析】（1）求出导数，由已知可得和联立即可求解； ()10f '-=()12f -=（2）利用导数求出函数在的单调区间，即可求出函数的最值. [2,5]-【详解】（1）由，得， 3211()33f x x ax bx =--+2()2f x x ax b '=--∵在时有极小值2， ∴，∴，解得. ()f x =1x -()()1012f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩12011233a b a b +-=⎧⎪⎨--++=⎪⎩13a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）知，， 2()23(1)(3)f x x x x x ==+'---令，则或，()0f x '==1x -3x =在区间上，当变化时，,的变化情况如下表： [2,5]-x ()f x ()f x x2-(2,1)--1-(1,3)- 3(3,5) 5()f x '+0-0+()f x13-↑2↓263-↑ 2故的最小值为，最大值为2. ()f x 263-19．在二项式中，求：10x ⎛⎝(1)展开式中含项的二项式系数； 4x (2)展开式中系数最大的项． 【答案】(1) 210(2)75x【分析】运用二项式定理分别计算.【详解】（1）展开式的第项为 1r+31010211010C C 3rr r r r r r T xx ---+==令，得 ；的二项式系数为 ；31042r -=4r =4x ∴410C 210=（2）设展开式中第项系数为 最大，则1r +110C 3(010,)r rr a r r N -+=≤≤∈ ， 111010111010C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r ----+--⎧≥⎨≥⎩即 1110!10!33!(10)!(1)!(11)!10!10!33!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -----⎧≥⎪---⎪⎨⎪≥⎪-+-⎩11474r r ⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩又且010r ≤≤ N 2r r ∈∴=∴展开式中系数最大的项是 ； 221037310C 35T xx --==综上，的二项式系数为，展开式中系数最大的项是. 4x 410C 210=221037310C 35T xx --==20．在①；②的图象在点处的切线斜率为0；③的递减区间为(ln 3)2f '=()f x (0,(0))f ()f x (0,ln 2)，这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答． 已知． 21()e (2)e 22=-++xx f x a ax (1)若_________，求实数a 的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） (2)若，讨论函数的单调性． a ∈R ()f x 【答案】(1)条件选择见解析， 1a =(2)答案见解析【分析】（1）利用求导数的值，导数的几何意义，导数研究函数的单调性等知识求解参数a 的值；（2）根据含参函数单调性的讨论进行分类讨论.【详解】（1）()()2()e (2)e 2e 2e '=-++=--x x x xf x a a a 选条件①则 (ln 3)(32)(3)21f a a '=--=∴=选条件②则(0)(12)(1)01f a a '=--=∴=选条件③则依题意0和是的两个根ln 2()()()20x xf x e e a '=--=1a ∴=（2）()()2()e (2)e 2e 2e '=-++=-- x x x xf x a a a 则可以分以下几种情况讨论： ①当时，令即， 0a ≤()0f x '>ln 2x >令即；()0f x '<ln 2x <在上单调递减，在上单调递增；()f x ∴(,ln 2)-∞(ln 2,)+∞②当时，令即或， 02a <<()0f x '>ln 2x >ln x a <令即；()0f x '<ln ln 2a x <<在上单调递增，在上单调递减；()f x ∴(,ln ),(ln 2,)a -∞+∞(ln ,ln 2)a ③当时，，在R 上单调递增； 2a =()2()e 20'=-≥x f x ()f x ∴④当时，令即或， 2a >()0f x '>ln x a >ln 2x <令即()0f x '<ln 2ln x a <<在上单调递增，在上单调递减；()f x ∴(,ln 2),(ln ,)a -∞+∞(ln 2,ln )a 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； 0a ≤()f x (,ln 2)-∞(ln 2,)+∞②当时，在上单调递增，在上单调递减； 02a <<()f x (,ln ),(ln 2,)a -∞+∞(ln ,ln 2)a ③当时，在R 上单调递增；2a =()f x ④当时，在上单调递增，在上单调递减．2a >()f x (,ln 2),(ln ,)a -∞+∞(ln 2,ln )a 21．已知函数．()()()()e 211,xf x x a x a =---∈R (1)若，求函数在点处的切线方程； e a =()f x (1,(1))f (2)若函数有两个零点，求实数a 的取值范围． ()f x 【答案】(1)2e e y x =-(2)32(0,1)4e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；(1)f (1)f '（2）分离参数，构造函数求导，求出函数的单调区间，结合函数图象及零点个数求解a 的范围即可.【详解】（1）当时,，e a =()e (21)e(1)xf x x x =---，， ()e (21)2e e 2e e e x x x x f x x x ∴=-+-=+-'()12e f ∴'=又，即切点为，1(1)e (211)e(11)e f =⨯---=(1,e)切线方程为：，即；∴e 2e(1)y x -=-2e e y x =-（2） ，，由得，(1)e 0f =≠ 1x ∴≠()0f x =e (21)(1)1x x a x x -=≠-令，e (21)()(1)1x x g x x x -=≠-则， ()()2222e 23e (21)2e (1)e (21)e 23()(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x g x x x x ⎡⎤--+----⎣⎦=-'==--由得或，由得或， ()0g x '>32x >0x <()0g x '<01x <<312x <<即在区间上单调递增，在区间上单调递减.()g x 3(,0),,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭3(0,1),1,2⎛⎫⎪⎝⎭又趋向于负无穷大时，无限趋近于0，且，x ()g x ()32301,4e 2g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭图象如下图：()g x ∴由函数有两个零点得，函数与有两个交点， ()f x e (21)()(1)1x x g x x x -=≠-y a =由图可知，或，01a <<324e a >故a 的取值范围为.()320,14e ,∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭22．已知函数．2()ln ,()f x x x ax a =+-∈R (1)若对任意的，都有恒成立，求实数a 的取值范围； ,()0x ∈+∞2()f x x ≤(2)设存在两个极值点且．若，证明：． ()f x 12,x x 12x x <110x 2<<()()123ln 24f x f x ->-【答案】(1)1ea ≥(2)证明见解析【分析】（1）根据含参不等式，孤立参数，构造函数转化为函数最值问题，即可求得参数a 的取值范围；（2）根据函数的极值点确定的关系，从而可将双变量不等式转化为单变量不等式，构造函数12,x x求最值即可证得结论.【详解】（1）对任意的，都有即恒成立，,()0x ∈+∞2()f x x ≤ln x ax ≤对恒成立，即， ln xa x ∴≥(0,)∀∈+∞x maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭设，则，ln ()x g x x=21ln ()xg x x -'=令，则；令，则，()0g x '>0e x <<()0g x '<e x >在上单调递减，在上单调递增，()g x ∴(e,)+∞(0,e)，max 1()(e)eg x g ∴== 1ea ∴≥（2）证明：，，2()ln f x x x ax =+- 2121()2,(0)x ax f x x a x x x -+'∴=+-=>因为存在两个极值点，所以存在两个互异的正实数根，()f x 12,x x 2210x ax -+=12,x x 则，解得2Δ8002a a ⎧=->⎪⎨>⎪⎩a >由根与系数关系得，12121,22a x x x x +=⋅=则，所以，2112x x =211121212x xx x x ==所以()()2212111222ln ln f x f x x x ax x x ax -=+---+()()2211212122ln2x x x x x x x x ⎡⎤=+--+-⎣⎦， ()221122lnx x x x =+-+211211ln 22ln 4x x x =+-+令，则， 221()ln 22ln 4g x x x x =+-+()22332121()222x g x x x x x -'=--=-，，在上单调递减， 102x <<()0g x '∴<()g x ∴10,2⎛⎫⎪⎝⎭，而，即，1()2g x g ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭13ln 224g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()13ln 24g x >-．()()123ln 24f x f x ∴->-【点睛】思路点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
武汉理工大学 高数A下 2005级 A卷及答案 理工科
故
L
7 CB e4 8 OC 2
y ( ) 2 2(ln x C ) ----6 x
y du 1 dx u2 udu ln x C ，x ---------3 dx u x x 2 由 y(1) 2 得 C 2 ， y 2 2x 2 (ln x 2) --------7 u
L
五、 （本题 8 分）求微分方程
dy x y 满足条件 y(1) 2 的解。 dx y x
六、求解下列各题（每小题 8 分，共 16 分） 1．判断级数 (1)n
n 3
ln n 是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ n
2．先求幂级数
n 1
1 xn 的和函数，再求级数 n 1 的和。 n n n 1 3
1. lim 令x
1 3 1 得 ln 3 2 n1 n 3n
2 2 2
n3
n 1
1
n 1
3 ln
2
3 ------8 2
七 （1） L x y z ( x y z 2ax 2ay 2az 2a )
L L L 1 2 ( x a) ; 1 2 ( y a) ; 1 2 ( z a) ---------2 x y z 1 2 ( x a) 0 3a 3a 解方程组 1 2 ( y a ) 0 得： x y z 。代入（*）式得 x y z -------4 3 1 2 ( z a ) 0
5.微分方程 y 6 y 9 y (3x 1)e 3 x 具有形如（ A y x 2 (ax b)e 3 x B y (ax b)e3x
2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二(下)期中数学试卷(含解析) (1)
2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有( )A. C67B. A67C. 67D. 762.(1−x)2n(n∈N*,n≥4)的展开式中，第_____项的二项式系数与第8项的二项式系数相等.( )A. 第2n−7项B. 第2n−6项C. 第2n−5项D. 第2n−4项3.已知等差数列{a n}，则“k=9”是“a7+a11=2a k”成立的_____条件.( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.两个单位向量e1与e2满足e1⋅e2=32，则向量e1−与e2的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π65.在(33x−x)n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数和为( )A. 32B. −32C. 0D. 16.学校决定于3月14日∼3月21日举行为期8天的“数学节”活动，现安排A，B，C，D，E五位同学担任本次活动的志愿者.已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者，要求3月14日、3月15日做志愿者的同学每人安排一天，3月16日到3月21日做志愿者的同学每人安排两天，则不同的安排方法一共有( )A. 792种B. 1440种C. 1800种D. 10800种7.下列不等式中，所有正确的序号是( )①4tan14>1②tan(π−2)>sin2③10sin110>6πsinπ6④cos 45<45A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④8.已知函数f(x)及其导函数f′(x)定义域均为R，满足f(32+x)−f(32−x)=4x，且f(x+3)为奇函数，记g(x)=f′(x)，其导函数为g′(x)，则g(152)+g′(2025)=( )A. −2B. 2C. 1D. 0二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年湖北省武汉市学高二下册期中数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省武汉市学高二下册期中数学模拟试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若23141540a a a a +++=，则16S =（）A ．150B ．160C ．170D ．180【正确答案】B【分析】根据等差数列的性质计算出21531420a a a a +=+=，再利用求和公式变形得到答案.【详解】因为{}n a 为等差数列，所以215314a a a a +=+，因为23141540a a a a +++=，所以21531420a a a a +=+=，()()116162151681602a a S a a +==+=.故选：B 2．曲线2122y x =+在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（）A ．34πB ．4πC ．23πD ．3π【正确答案】A【分析】根据导数的几何意义得到点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.【详解】=y x '，所以在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为-1，倾斜角为34π.故选：A.3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x x f x =⋅'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A ．()f x 有三个极值点B ．()2f -为函数的极大值C ．()f x 有一个极大值D ．()1f -为()f x 的极小值【正确答案】C【分析】根据x 的正负以及()g x 的正负，判断()f x '的正负，得到()f x 单调性并可得到极值点.【详解】解：()()g x x f x '=⋅，并结合其图象，可得到如下情况，当<2x -时，()0,()0g x f x '><，()f x 在(,2)-∞-单调递减；当20x -<<时，()0,()0g x f x '<>，()f x 在(2,0)-单调递增；当01x <<时，()0,()0g x f x '>>，()f x 在(0,1)单调递增；当1x >时，()0,()0g x f x '<<，()f x 在()1,+∞单调递减；∴()f x 在2x =-取得极小值，在1x =处取得极大值，只有两个极值点，故A 、B 、D 错，C 正确；故选:C.4．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线()21:20=->C y px p 和()22:20C y px p =>构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线1C ，2C 的焦点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线1C 上，过点P 作x 轴的平行线交抛物线2C 于点Q ，若124==PF PQ ，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．6【正确答案】D【分析】根据抛物线的对称性求出P 点横坐标，再由抛物线定义求出p 即可.【详解】因为24PQ =，即2PQ =，由抛物线的对称性知1p x =-，由抛物线定义可知，1||2P p PF x =-，即4(1)2p=--，解得6p =，故选：D5．已知函数()()()2e 1xf x x a x =-+-，若对任意两个不等的实数12,x x ，都有()()12121f x f x x x ->-，则a 的最大值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】B【分析】根据函数的单调性的定义及函数单调性与导数正负的关系，将所求问题转化为恒成立，再将恒成立问题转化为求函数的最值，利用导数法求函数的最值即可.【详解】不妨设12x x >，因为()()12121f x f x x x ->-，所以()()1122f x x f x x ->-．构造函数()()()2e xg x f x x x ax =-=--，所以()()12g x g x >，所以()g x 在R 单调递增，故()()1e 0x g x x a '=--≥在R 恒成立，即()1e xa x ≤-在R 恒成立．令()()1e xh x x =-，则()e xh x x '=．令()0h x '=，则e 0x x =，解得0x =，当0x >时，()0h x '>，当0x <时，()0h x '<，所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在[)0,∞+上单调递增．()()01h x h ≥=-，即1a ≤-．所以a 的最大值为1-.故选：B..二、多选题6．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，有()()20xf x f x '+>恒成立，则（）A ．()()142f f >B ．()()142f f ->-C ．()()4293f f >D ．()()4293f f ->-【正确答案】BD【分析】令()()2g x x f x =，求导，根据()()20xf x f x '+>，得到()()2g x x f x =在()0,∞+上递增，再根据()f x 是定义在R 上的奇函数，得到()g x 在R 上的单调递增求解.【详解】解：令()()2g x x f x =，则()()()2g x x xf x f x ''=+⎡⎤⎣⎦，因为()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，则()()2g x x f x =在()0,∞+上递增，又2y x =是偶函数，且()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()2g x x f x =是定义在R 上的奇函数，则()g x 在R 上单调递增，所以()()21g g >，即()()421f f >，故A 错误；()()12g g ->-，即()()142f f ->-，故B 正确；()()32g g >，即()()9342f f >，故C 错误；()()23g g ->-，即()()4293f f ->-，故正确，故选：BD三、单选题7．已知函数2()cos f x x x =--，若67(e )p f -=，8(ln )7q f =，1(7r f =-，则,,p q r 大小关系为（）A ．r q p <<B ．<<p r qC ．q r p<<D ．r p q<<【正确答案】B【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再利用不等式e 1x x ≥+，ln 1≤-x x ，放缩不等式，利用单调性，即可比较大小.【详解】()f x 为偶函数，则6781e ,ln ,77p f q f r f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又当0x ≥时，()2sin f x x x '=-+，()2cos 0f x x ''=-+<，则()f x '在()0,∞+上单调递减，()()00f x f ''≤=，∴()f x 在()0,∞+上单调递减，设()e 1x g x x =--，()e 1xg x '=-，当(),0x ∈-∞，()0g x '<，()g x 单调递减，当()0,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当0x =时，()g x 取得最小值，()00g =，所以1x e x ≥+，0x =时，等号成立，所以6761e177->-+=，设()ln 1h x x x =-+，()111xh x x x-'=-=（0x >），当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当1x =时，()h x 取得最大值，()10h =，则ln 1≤-x x ，1x =时，等号成立，所以881ln 1777<-=，∴6718eln 077->>>，∴6718ln 77f e f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B8．已知函数()1e xx f x +=.若过点()1,P m -可以作曲线()y f x =三条切线，则m 的取值范围是（）A ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．80,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．18,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：()000001e e x x x x y x x +--=-，可得()0201e x x m +=，设()()21e xx g x +=，求()g x '，利用导数求()g x 的单调性和极值，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()1e x x f x +=可得()()2e e 1e ex x x x x xf x -⋅+-=='，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为()000e x x k f x -=='，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线为：()000001e e x x x x y x x +--=-，因为切线过点()1,P m -，所以()0000011e ex x x xm x +--=--，即()021ex x m +=，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，设()()21e xx g x +=，则()()()2222211e e xxx x x x g x +-++'-+==由()0g x '>可得11x -<<，由()0g x '<可得：1x <-或1x >，所以()()21exx g x +=在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增，当x 趋近于正无穷，()g x 趋近于0，当x 趋近于负无穷，()g x 趋近于正无穷，()g x 的图象如下图，且()41eg =，要使y m =与()()21e xx g x +=的图象有三个交点，则40em <<.则m 的取值范围是:40,e ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.四、多选题9．已知函数()2ln f x x x =，则（）A ．()0f x ≥恒成立B ．()f x 是12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的增函数C ．()f x 在12e x -=取得极小值12e-D ．()f x 只有一个零点【正确答案】BCD【分析】利用导数判断函数的单调性可知B 正确；利用导数求出函数的极小值可知C 正确；当01x <<时，()0f x <，可知A 错误；求出函数的零点，可知D 正确．【详解】因为()2ln f x x x =，该函数的定义域为()0,∞+，()()212ln 2ln 1f x x x x x x x'=+⋅=+，当120e x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当12e x ->时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，所以111221()e e ln e 2e f x f ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值，故B 正确，C 正确；当01x <<时，ln 0x <，此时()2ln 0f x x x =<，A 错误；由()2ln 0f x x x ==，可得ln 0x =，解得1x =，D 正确．故选：BCD10．已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左､右焦点分别为12F F ､，下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的离心率为2B ．双曲线C的渐近线方程为y =C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122PF PF 的最大值为18【正确答案】ACD【分析】根据双曲线的性质可判断A,B ，利用点到直线距离公式可判断C ，利用双曲线的定义以及基本不等式判断D.【详解】对A 和B，双曲线22:1,1,23y C x a b c -===，所以双曲线C 的离心率为e 2==ca，渐近线方程为y =，A 选项正确，B 选项错误；对C ，设点P 的坐标为()00,x y ，则22013y x -=，双曲线C0y -=0y +=，则点P220033,44x y -==C 选项正确；对D ，当动点P 在双曲线C 的左支上时，12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ====+++++，当且仅当12=PF 时，等号成立，所以，122PF PF 的最大值为18，D 选项正确.故选:ACD.11．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足11a >，20221a >，20231a <，则（）A ．2022202410a a ⋅-<B ．202220231S S +<C ．2022T 是数列{}n T 中的最大项D ．40451T >【正确答案】AC【分析】根据等比数列的通项公式和所给的条件得出01q <<，再根据等比中项即可判断选项A ，B ；再根据数列的单调性判断选项C ；根据等比数列下标和性质判断D .【详解】数列{}n a 的公比为q ．对于A ，∵11a >，20231a <，∴202301a <<，又20221a >，∴01q <<．∵22022202420231a a a ⋅=<，∴2022202410a a ⋅-<，故A 正确；对于B ，∵20231a <，∴2023202320221a S S =-<，即202220231S S +>，故B 错误；对于C ，∵01q <<，11a >，∴数列{}n a 是递减数列，∵20221a >，20231a <，∴2022T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确；对于D ，()()()24044404512340451111T a a a a a a q a q a q =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅()()404540454045123404440452022404520221112023a q a q a q a +++⋅⋅⋅+⨯====，∵202301a <<，∴()404520231a <，即40451T <．故D 错误．故选AC ．12．已知0a ≠，0b ≠且1b >-，()()e 1ln 1aab b =-+，则下列说法中正确的是（）A ．a b<B ．若方程1bm a+=有且仅有一个解，则e m =C ．若关于b 的方程1bm a +=有两个解1b ，2b ，则122e 2b b +>-D ．当0a >时，11222a b b <++【正确答案】ACD【分析】首先对()()e 1ln 1aab b =-+作出解释，推出a 与b 的关系，根据推出的关系对每一项所提出的问题解释其几何意义，构造函数，根据函数的单调性求解.【详解】由题意，()()()ln 1e 1ln 1,e 1a a b aab b b+=-+∴=-，令()()()ln 1,e 1x x xf xg x x+==-，()0x ≠，则()()e 1ln 1aab b =-+等价于当()()f x g x n ==时对应的x 的值，令()()()()ln 1,e 1,,ln 1e 1tt tx t x g x t x +==-∴==+-，考察函数()f x ，()()()'21e 1e 1x xx fx --=-，令()()()'1e 1,e x xh x x h x x =--=-，当x ＞0时，()()'0,h x h x ＜单调递减，当0x ＜时，()()'0,h x h x ＞单调递增，()()()max 00,0h x h h x ∴==∴≤，()'0f x ∴＜，()f x 是单调递减的；当x ＞0时，()e 10,0xf x -∴＞＞，当0x ＜时，e 10x -＜，()0f x ∴＞，函数图象如下图：()ln 1a b ∴=+，()ln 1a b b b -=+-，构造函数：()()ln 1p x x x =+-，则()'1x p x x =-+，当x ＞0时，()'0p x ＜，()p x 单调递减，当0x ＜时，()()'0,p x p x ＞单调递增，()()()max 00,0p x p p x ==∴≤，当0x =时等号成立，由于0,0a b ≠≠，a b ∴＜，A 正确；对于B ，1b m a+=有并且只有一个解，由A 知：()11ln 1b b a b ++=+，考察函数()()0,1ln xp x x x x=≠＞，()()'2ln 1ln x p x x -=，当e x ＞时，()()'0,p x p x ＞单调递增，当e x ＜并且1x ≠时，()()'0,p x p x ＜单调递减，当1x ＞时，()0p x ＞，当01x ＜＜时，()0p x ＜，在e x =处，取得极小值()e e p =，当x 从小于1的方向趋近于1时，()p x 趋向于-∞，当x 从大于1的方向趋向于1时，()p x 趋向于+∞，当x 趋向于0时，()p x 趋向于0，函数图象大致如下：所以当0m ＜时，方程1bm a+=也是一个解，B 错误；对于C ，方程1b m a+=有2个解12,b b ，由B 知：e m ＞，122e 2b b +-＞即()()12112e b b +++＞，由A 知：()ln 1a b =+，12121e ,1eaa b b ∴+=+=，原方程为e am a =有2个解12,a a ，即12e e 2e a a +＞，由基本不等式知：()1212e e a a a a +≠ ＞，由B 知：0b ＞，()ln 10a b ∴=+＞，只需证明122eea a +＞即可，即122a a +＞，设()e xk x x=，()0x ＞，则()'1e xx k x x-=，当01x ＜＜时，()()'0,k x k x ＜单调递减，当1x ＞时，()()'0,k x k x ＞单调递增，()1e k =，函数图象大致如下：()k x m =对应的2个解为1122,x a x a ==，显然1201,1x x ＜＜＞，要证12122a a x x +=+＞，只需证明212x x -＞，1121,21,1x x x ∴- ＜＞＞，当1x ＞时，()k x 是增函数，所以即证()()212k x k x -＞，由()()12k x k x m ==得，()()112k x k x -＞，1(01)x ＜＜，即证()()1120k x k x --＞，即证()()()2e e 20,012x xk x k x x x x---=--＞＜＜，即()()22e e 02x x x x x x ----＞，即()22e e 0x xx x ---＞，构造函数()()()()()()2'22e e ,01,1e e x x x xn x x x x n x x --=--=--＜＜，()()2'01,e e ,0,x x x n x n x -∴ ＜＜＜＜是减函数，又()()10,0n n x =∴＞，()()1120k x k x --＞，命题得证；C 正确；对于D ，110,222a a b b ++＞＜，()ln 1,0a b b =+∴ ＞，原不等式化简为()()12ln 111b b b ++-+＜，令1,1t b t =+＞，则有12ln t t t -＜，构造函数()()()()22'2221121212ln ,1,10t t t w t t t t w t t t t t t--+=-+=--=-=-＞＜，()w t 是减函数，()()10,0w w t =∴＜，即()()12ln 111b b b ++-+＜，D 正确；故选：ACD.五、填空题13．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，若12a =，23a =，122n n n a a S +=+，则10S 的值为______.【正确答案】65【分析】运用1n n n a S S -=-（2n ≥且N n *∈）可得{}n a 的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，进而求得{}n a 的通项公式，代入122n n n a a S +=+可得{}n S 通项公式，赋值可得结果.【详解】∵12a =，23a =，122n n n a a S +=+，①当2n ≥时，1122n n n a a S --=+，②①-②得：112n n n n n a a a a a +--=（2n ≥且N n *∈），又∵0n a >，∴112n n a a +--=（2n ≥且N n *∈），∴{}n a 的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差都为2，∴2122(1)2k a k k -=+-=（N k *∈），232(1)21k a k k =+-=+（N k *∈），∴1n a n =+，∴1(1)(2)n n a a n n +=++，又∵122n n n a a S +=+，∴(1)(2)12n n n S ++=-，∴10(101)(102)1652S +⨯+=-=.故65.14．函数()33f x x x =-在区间(2,)a -上有最大值，则a 的取值范围是________．【正确答案】12]-（，【分析】求函数3()3f x x x =-导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间(2,)a -上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间(2,)a -内，由此可以得到参数a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围【详解】 3()3f x x x =-，2()33f x x '∴=-，令()0f x '<解得11x -<<；令()0f x '>，解得1x >或1x <-，由此可得()f x 在(,1)-∞-上是增函数，在(1,1)-上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，故函数在=1x -处有极大值，在1x =处有极小值，1()(1)a f a f >-⎧∴⎨≤-⎩即3132a a a >-⎧⎨-≤⎩，解得12a -<≤，故(]1,2-15．已知m 为常数，函数()2ln 2f x x x mx =-有两个极值点，则m 的取值范围是______.【正确答案】104m <<【分析】由题意可知，()f x '有两个变号零点，转化为1ln 4xm x+=，然后在同一坐标系下研究4y m =，1ln xy x+=的交点个数问题.【详解】由题意，()f x 有两个极值点等价于()f x '有两个变号零点，也等价于()0f x '=有两个变号实根，由()1ln 40f x x mx '=+-=可得，1ln 4xm x +=，问题转化成考虑4y m =，1ln x y x+=在同一坐标系下图像有两个交点的问题.设1ln ()xg x x +=，2ln ()x g x x'=-，故(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；故(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递减.故()g x 在1x =处取到极大值，也是最大值(1)1g =.由()0g x =解得1ex =为唯一零点，故可作出()g x 大致图像如下：如图所示，当041m <<，即104m <<时，4y m =，1ln x y x+=两图像在同一坐标系下有两个交点，记为1122(,),(,)A x y B x y .根据图像可知10x x <<时，1ln 41ln 40xm x mx x+>⇔+-<，即()0f x '<；12x x x <<时，1ln 41ln 40xmx mx x+⇔+-，即()0f x '>，说明1x 是()f x '的变号零点.同理可说明2x 也是变号零点，故104m <<符合题意.故104m <<16．函数()()22e ,022,0x ax x f x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩，且0a ≠，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为______.【正确答案】2e 0,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】当x ＞0时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当0x ≤时根据二次不等式的解法讨论a 的范围进而即得.【详解】由题意知，当(),2x ∞∈--时，()0f x <；当[]2,0x ∈-时，()0f x ≥；当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥．当x ＞0时，()2e 0xf x ax =-≥，即2e x a x ≤，构造函数()()'23e 2,e xx x g x g x x x-==，当＞2x 时，()()'0,g x g x ＞单调递增，当02x ＜＜时，()()'0,g x g x ＜单调递减，()()2mine 24g x g ==，2e 4a ∴≤；当0x ≤时，()()()2f x x x a =-+-，当(),2a ∈-∞-时，由()0f x ≥，得[],2x a ∈-，不合题意；当2a =-时，由()0f x ≥，得2x =-，不合题意；当()2,0a ∈-时，由()0f x ≥，得[]2,x a ∈-，0x ≤，所以[]2,x a ∈-，此时[]()[)2,0,2,a -+∞≠-+∞ ，不合题意；当()0,a ∈+∞时，由()0f x ≥，得[]2,x a ∈-，又0x ≤，所以[]2,0x ∈-，此时[]()[)2,00,2,-+∞=-+∞ 适合题意；综上，关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[)2,-+∞，则2e 04a <≤.故答案为.2e 0,4⎛⎤⎥⎝⎦六、解答题17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*231n n S a n N =-∈．()1求{}n a 的通项公式；()2若()()1311nn n n b a a +=++，求{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)13n n a -=．(2)311 2231n n T ⎛⎫=- +⎝⎭．【分析】()1利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．()2利用()1的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】() 1等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*231.n n S a n N =-∈①当1n =时，解得11a =．当2n ≥时11231n n S a --=-②-①②得1323n n n a a a --=，所以13(nn a a -=常数)，故11133n n n a --=⋅=．()2由于13n n a -=，所以()()1133111123131n n n n n n b a a -+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以011311113112313131312231n n n n T -⎛⎫⎛⎫=-+⋯+-=- ⎪ ⎪+-+++⎝⎭⎝⎭．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18．某家具制造公司欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知AB AD ⊥，ABDC ，且22AD DC AB ===米，曲线段BC 是以点B 为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在AD 、DC 上，且一个顶点P 落在曲线段BC 上.(1)建立适当的坐标系，设P 点的横坐标为x ，求矩形桌面板的面积关于x 的函数；(2)求矩形桌面板的最大面积.【正确答案】(1)坐标系见解析，()()()2211S x x x =+-，[)0,1x ∈(2)6427平方米【分析】（1）以B 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，计算出曲线段BC 的方程，设()()2,201P x x x ≤<是曲线段BC 上的任意一点，计算出PM 、PN ，即可表示出矩形桌面板的面积关于x 的函数()S x .（2）对()S x 求导，利用导数求出矩形桌面板的面积的最大值及其对应的x 值，即可得出结论.【详解】（1）以B 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，依题意可设抛物线方程为()220x py p =>，且()1,2C ，所以41p =，即14p =，故点P 所在曲线段BC 的方程为()2201y x x =≤<，设()()2,201P x x x ≤<是曲线段BC 上的任意一点，则在矩形PMDN 中，222PM x =-，1PN x =+，桌面板的面积为()()()()()22221211S x PM PN x x x x =⋅=-+=+-，[)0,1x ∈（2）()()()()()()2411212113S x x x x x x '=+--+=+-，当103x ≤<时，()0S x '>，此时函数()S x 单调递增，当113x <<时，()0S x '<，此时函数()S x 单调递减，所以当13x =时，()S x 有最大值，164327S ⎛⎫= ⎪⎝⎭.矩形桌面板的最大面积为6427平方米.19．已知函数()()22e 2xa f x x x ax =--+，R a ∈.(1)当0a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；(2)讨论函数()f x 的单调性.【正确答案】(1)20x y ++=(2)答案见解析【分析】（1）由导数的几何意义得出切线的斜率，进而写出切线方程；（2）讨论0a ≤，0e a <<，e a =，e a >，结合导数得出函数()f x 的单调性.【详解】（1）当0a =时，()()2e x f x x =-，()()1e x f x x '=-，()()0001e 1f '=-=-，()02f =-，∴切线方程为：()()()210y x --=--，即20x y ++=.（2）因为()()22e 2xa f x x x ax =--+，R a ∈.所以()()()()1e 1e x xf x x ax a x a '=--+=--.①当0a ≤时，令()0f x '<，得1x <，∴()f x 在(),1-∞上单调递减；令()0f x ¢>，得1x >，∴()f x 在()1,+∞上单调递增.②当0e a <<时，令()0f x '<，得ln 1a x <<.∴()f x 在()ln ,1a 上单调递减；令()0f x ¢>，得ln x a <或1x >.∴()f x 在(),ln a -∞和()1,+∞上单调递增.③当e a =时，()0f x '≥在x ∈R 时恒成立，∴()f x 在R 单调递增.④当e a >时，令()0f x '<，得1ln x a <<.∴()f x 在()1,ln a 上单调递减；令()0f x ¢>，得ln x a >或1x <.∴()f x 在(),1-∞和()ln ,a +∞上单调递增.综上所述：当0a ≤时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；当0e a <<时，()f x 在()ln ,1a 上单调递减，在(),ln a -∞和()1,+∞上单调递增；当e a =时，()f x 在R 上单调递减；当e a >时，()f x 在()1,ln a 上单调递减，在(),1-∞和()ln ,a +∞上单调递增.关键点睛：解决问题（2）时，关键在于讨论根的大小，从而得出函数()f x 的单调性.20．函数()e cos xf x x =，[)0,x ∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第()*N n n ∈个极大值点.(1)求数列{}n x 的通项公式，并证明数列(){}n f x 是等比数列；(2)若对一切*n ∈N 不等式()n n f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围.【正确答案】(1)7π2π4n x n =-，证明见解析；(2)π4(,]π-∞.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再求出区间[0,)+∞上的极值点n x ，并求出()n f x 结合等比数列定义判断作答.（2）利用（1）的结论结合已知分离参数，构造函数，再求出函数的最小值作答.【详解】（1）函数()e cos xf x x =，[)0,x ∈+∞，求导得π()e cos e sin cos()4x x x f x x x x '=-=+，若πππ2π2π242k x k -<+<+，即3ππ2π2π44k x k -<<+，N k ∈，则πcos 04x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()0f x ¢>，若ππ3π2π2π242k x k +<+<+，即π5π2π2π44k x k +<<+，N k ∈，则πcos 04x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，()0f x '<，于是当7π2π4x m =-，*N m ∈时，()f x 取得极大值，所以7π2π4n x n =-，*n ∈N ，此时()7π7π2π2π447πecos 2π42n n n f x n --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，显然()0n f x ≠，而()()()7π21π412πe 2e n n n f x f x +-+=是常数，所以数列(){}n f x 是首项为()π41e 2f x =，公比为2πe 的等比数列.（2）对一切*n ∈N 不等式()n n f x ax ≥恒成立，即7π2π47π2π24n a n -⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，7π2π4e7π2π4n n -≤-enx n x ≤恒成立，设()()e 0tg t t t =>，则()()2e 1t t g t t='-，当01t <<时，()0g t '<，当1t >时，()0g t '>，于是()g t 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，因为()11π40,x =∈，且当2n ≥时，()1,n x ∈+∞，1n n x x +<，1()()n n g x g x +<，π9ππππ2π64444412π4944e 4e 4()(),()()ee e e 4π49π9π9πg x g g x g ππ=====⋅>⋅>，因此π4min14[()]()e πn g x g x ==，π44e π≤，解得π4e πa ≤，所以实数a的取值范围是π4(,]π-∞.21．已知椭圆E ：()222210,0x y a b a b +=>>的离心率为2，其左、右焦点分别为1F ，2F ，T为椭圆E 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()2,0P 的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过点B ，C 分别作直线l ：x t =的垂线（点B ，C 在直线l 的两侧）.垂足分别为M ，N ，记BMP ，MNP △，CNP 的面积分别为1S ，2S ，3S ，试问：是否存在常数t ，使得1S ，212S ，3S 总成等比数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)2212x y +=(2)存在，1t =【分析】（1）椭圆a ，b ，c 得关系以及条件列方程求解即可；（2）依题意作图，设l 的方程并与椭圆方程联立，求出123,,S S S 得解析式，再根据等比数列的定义求解.【详解】（1）因为椭圆E的离心率为2，所以2c a =，又当T 位于上顶点或者下顶点时，12TF F △面积最大，即1bc =，又222a b c =+，即22221c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1b c ==，a =所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=；（2）由已知得，BC 的斜率存在，且B ，C 在x 轴的同侧，设直线BC 的方程为()2y k x =-，()11,B x y ，()22,C x y ，不妨设12x x <，则120y y >，12x t x <<，由()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222128820k x k x k +-+-=，所以()28120k∆=->，2122812k x x k +=+，21228212k x x k -⋅=+，因为()11112S t x y =-，()221122S t y y =--，()32212S x t y =-，所以()()()()13211221121144S S x t t x y y x t t x y y ⋅=--=--()()()()221121224k x t t x x x =----()()22121212121244k t x x x x t x x x x ⎡⎤=+-⋅-⋅⋅-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦2222222222188282164412121212k k k k k t k k k k ⎛⎫⎛⎫--=--⋅-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()22222212222412k k t t k ⎡⎤=---+⎣⎦+，()()()()222222221211112241616S t y y k t x x =--=--()()222211212416k t x x x x ⎡⎤=-+-⎣⎦()2222222183282161212k k k t k k ⎡⎤⎛⎫-=-⎢-⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()22222212222412k k t t k ⎡⎤=⋅--+-⎣⎦+，要使1S ，212S ，3S 总成等比数列，则应有()2222t t -+=-解得1t =，所以存在1t =，使得1S ，212S ，3S 总成等比数列.本题的难点在于计算很繁琐，需要用12,,,x x k t 表达123,,S S S ，难度并不大，计算过程需要仔细，每计算一步都要核对是否正确.22．已知()21ln 2f x x x ax =-有两个极值点1x ，2x 且12x x >.(1)若()f x 的极大值大于2e 2，求a 的范围；(2)若122x x >，证明.123ln 2x x a +>【正确答案】(1)20e 2a <<(2)证明见解析【分析】（1）求导()ln 1f x x ax '=-+，由1x ，2x 是ln 1x ax =-的两根，得到12121ln 1ln x x a x x ++==，设()1ln x h x x+=，利用导数法求得01a <<，2101x x <<<，再由()()()ln 1x f x x a x h x a x +⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，得到1x 为()f x 的极大值点求解；，（2）易得11ln 10x ax -+=22ln 10x ax -+=，设122x t x =>，则有()2ln 1t x a t =-，()1ln 1t t x a t =-，将问题转化为证()3ln 21ln 01t t t ⋅-->+即可.【详解】（1）解：()ln 1f x x ax '=-+，∴1x ，2x 是ln 1x ax =-的两根，即12121ln 1ln x x a x x ++==，设()1ln x h x x +=，∴()2ln x h x x -'=，∴()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，又()1e 0h -=，()11h =，0x +→时，()h x ∞→-；x →+∞时，()0h x →，∴01a <<，2101x x <<<，∵()()()ln 1x f x x a x h x a x +⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，∴()21,x x x ∈时()0f x ¢>，()f x 单调递增，()1,x x ∈+∞时()0f x '<，()f x 单调递减，∴1x 为()f x 的极大值点，∴()()()21111111111ln ln ln 122f x f x x x ax x x x x ==-=-+极大值，()211111111e ln ln 12222x x x x x =-=->，∴()211ln 1e x x ->，令()()ln 1g x x x =-()ln 11ln g x x x '=-+=，∴()g x 在()1,+∞上单调递增，∴()()221e e g x g >=，∴21e x >，又()h x 在()1,+∞单调递减，∴()()2123e e a h x h =<=，∴20e 2a <<；（2）11ln 10x ax -+=22ln 10x ax -+=，设122x t x =>，则有()2ln 1t x a t =-，()1ln 1t t x a t =-，要证123ln 2x x a+>，∵0a >，即要证()1ln 3ln 21t tt +>-，2t >，即要证()3ln 21ln 01t t t ⋅-->+，构造()()3ln 21ln 01t t t t ϕ⋅-=->+()()()2226ln 21t t t t t ϕ--+'=+，设()()226ln 21t t t θ=+-+∴()t θ在()2,+∞单调递增，∴()()20t θθ>>∴()0t ϕ'>∴()t ϕ'单调递增，∴()()20t ϕϕ>=得证.关键点点睛：本题第一问关键是由1x ，2x 是ln 1x ax =-的两根，得到12121ln 1ln x x a x x ++==，通过()1ln x h x x+=的单调性，得到01a <<，2101x x <<<，进而由()()()ln 1x f x x a x h x a x +⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，得到1x 为()f x 的极大值点而得解.。
湖北经济学院大一公共课专业高等数学A下期终试卷及答案
湖北经济学院2021―2021学年第二学期 XX 级本科?高等数学(下)?期终试卷(A )答案一．单项选择题〔每题2分，共10分〕1．非零向量,a b 的夹角正弦sin(,)=a b ( D )。
A.||||⋅a b a b B. ||||||⋅a b a b C. ||||⨯a b a b D. ||||||⨯a b a b2．函数),(y x f 在点),(00y x 处可偏导是),(y x f 在点),(00y x 处连续的( D )。
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3．函数22),(y x y x f -=在其定义域上( D )。
A. 有极大值无极小值B. 无极大值有极小值C. 有极大值有极小值D. 无极大值无极小值 4．设级数∑∞=1n nu的局部和数列为{}n s ，则∑∞=1n nu收敛的充分必要条件为( B )。
A.lim 0n n s →∞= B.lim n n s s →∞= C.lim 0n n u →∞= D.lim n n u u →∞=5．设0≤≤n n v u ，如果级数∑∞=1n nu收敛，则级数∑∞=1n nv的敛散性为( A )。
A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 未必收敛D. 发散二．填空题〔每题3分，共15分〕1．设向量,a b 满足⋅0a b =，则a 与b 的关系为⊥a b 。
1．过点(1,1,1)垂直于平面230x y z ++=的直线点向式方程为111123x y z ---==2．交换积分次序：=⎰⎰dy y x f dx x x),(1dx y x f dy yy⎰⎰2),(14．设}2{22x y x D ≤+=，则极坐标⎰⎰=Ddxdy y x f ),(rdr θr θr f θd θππ⎰⎰-cos 2022)sin ,cos (5．-p 级数∑∞=11n pn 收敛的充分必要条件是1p >三．计算题〔每题5分，共50分〕1．设yx z 1=，求偏导数x z ∂∂，y z ∂∂。
2022-2023学年湖北省武汉市高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
一、单选题1．5tan 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．33B ．3C ．3-D ．33-【答案】A【分析】利用诱导公式化简可得结果.【详解】53tan tan tan 6663ππππ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.2．若虚数z 使得z 2+z 是实数，则z 满足（）A ．实部是12-B ．实部是12C ．虚部是0D ．虚部是12【答案】A【分析】设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），计算2z z +，由其为实数求得a 后可得．【详解】设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），222222(i)(i)2i i (2)i z z a b a b a ab b a b a a b ab b +=+++=+-++=+-++，2z z+是实数，因此20ab b +=，0b =（舍去），或12a =-．故选：A ．3．古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus ，约前417-前369）通过如图来构造无理数2,3,5,...，记BAC α∠=，DAC β∠=，则cos()αβ+=（）A ．6232-B ．3636-C ．3633+D ．6232+【答案】B【分析】根据题意，利用直角三角形中的边角关系，两角和余弦公式，求得cos()αβ+的值，即可求解.【详解】由题意知1212cos ,sin 2222αα====，2613cos ,sin 3333βα====，所以()262336cos cos cos sin sin 232336αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.故选：B.4．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.5．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，2AE ED =，若λμ=+ EB AB AC ，则λμ+=（）A ．12B ．1C ．0D ．13【答案】D【分析】根据题意画出三角形，结合向量加减法运算法则进行计算即可.【详解】因为()11212212AD AB BD AB BC AB C AB AC A AB =+=+++=-=,所以()()1112132233EB ED DB AB AC AB AC AB AC +=+=⨯+-=-，即2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以132133λμ+=-=.故选：D6．在ABC 中，角,,A B C 对边为,,a b c ，且22cos 2Ac b c ⋅=+，则ABC 的形状为（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】先根据二倍角公式化简2cos 2A，根据余弦定理化简得到222c a b =+即可得到答案.【详解】因为22cos 2Ac b c ⋅=+，所以1cos 22Ac b c +⋅=+，即cos c c A b c +=+，所以cos c A b =，在ABC 中，由余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=，代入得，2222c b b c a bc+-⋅=，即22222b c a b +-=，所以222c a b =+.所以ABC 直角三角形.故选：B7．若函数()3cos sin 0y x x ωωω=->在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（）A ．17,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．17,36⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．17,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】利用辅助角公式化简得到π2cos 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求出ππππ,6366x ωω⎛⎫ ⎪⎝+∈-⎭+，结合对称轴条数得到不等式，求出答案.【详解】π3cos sin 2cos 6y x x x ωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，因为π,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ω>，所以ππππ,6366x ωω⎛⎫ ⎪⎝+∈-⎭+，因为π2cos 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有唯一对称轴，故[)πππ,036ω-+∈-，解得17,22ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：D8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为22，点P 是正八边形ABCDEFGH 边上的一点，则AP AB ⋅的最大值是（）A ．42B ．842-C ．842+D ．422+【答案】C【分析】过点C 作直线AB 的垂线CM ，垂足为点M ，计算出AM，分析可知当点P 在线段CD 上时，AP 在AB方向上的射影取最大值，结合平面向量数量积的几何意义可求得结果.【详解】过点C 作直线AB 的垂线CM ，垂足为点M ，观察图形可知，当点P 在线段CD 上时，AP 在AB方向上的射影取最大值，且684CBM πππ∠=-=，则22cos 24BM π== ，所以，222AM =+ ，故AP AB ⋅的最大值为()22222842AM AB ⋅=+⨯=+ .故选：C.二、多选题9．若复数2022i i z =+（i 为虚数单位），则下列结论正确的是（）A ．1z =B ．z 的虚部为－1C ．2z 为纯虚数D ．1iz =--【答案】CD【分析】根据复数运算法则化简复数后，对各个选项进行运算和判断即可得到答案.【详解】因为202245052=⨯ ，所以20222i i i i 1i z ++=-==+.对于A ，112z =+=，故A 错误；对于B ，z 的虚部为1，故B 错误；对于C ，()221i 2i z =-+=-为纯虚数，故C 正确；对于D ，1i z =--，故D 正确.故选：CD10．已知向量()1,1a m =+-，()1,2b m =- ，则下列说法正确的是（）A ．若//a b，则3m =-B ．5a b +=C ．存在m ∈R ，使得a b⊥D ．当1m =时，a 在b上的投影向量的坐标为()0,1-【答案】ABD【分析】对于A ，通过向量平行的坐标计算公式计算即可；对于B ，先得到()2,1a b +=，再计算向量的模即可；对于C ，通过向量垂直的坐标计算公式计算得到21m =-从而判断；对于D ，通过投影向量相关知识直接计算即可.【详解】对于A ，若//a b，则()()211m m +=--，得3m =-，故A 正确；对于B ，()()()1,11,22,1a m m b +-+-==+ ，所以22215a b +=+= ，故B 正确；对于C ，若a b ⊥，则()()1120m m +--=，21m =-，在m ∈R 时无解，故C 错误；对于D ，当1m =时，()2,1a =- ，()0,2b =，a 在b上的投影向量的坐标为()()220,204,1a b b b⋅-⨯-⋅==，故D 正确.故选：ABD11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A ．若sin sin AB <，则A B<B ．若ABC 是锐角三角形，sin cos A B <恒成立C ．若10a =，9b =，60B =︒，则符合条件的ABC 只有一个D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=【答案】AD【分析】由正弦定理可以判断A ；借助诱导公式及正弦函数的单调性可以判断B ；作出示意图判断C ；根据两角和的正切公式可以判断D.【详解】对A ，由正弦定理可知a b A B <⇒<，故选项A 正确；对B ，因为三角形为锐角三角形，所以π02πππ00222π2A B B A A B ⎧<<⎪⎪⎪<<⇒<-<<⎨⎪⎪+>⎪⎩，则πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故选项B 错误；对C ，如示意图，点A 在射线BA '上，CA BA ''⊥，易得53CA '=，则53910<<，即符合条件的三角形有2个，故选项C 错误；对D ，因为ABC 为非直角三角形，所以tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C+=-+=--，整理可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故选项D 正确.故选：AD.12．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ-为角θ的正矢，记作versin θ，定义1sin θ-为角θ的余矢，记作covers θ，则（）A ．函数()versin covers f x x x =-在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．若covers 12versin 1x x -=-，则2versin 2covers 215x x --=C ．若()versin covers g x x x =⋅，则()g x 的最小值为0D ．若()2h x versin x coversx =-，则()h x 的最小值为98-【答案】BCD【分析】直接利用定义性函数和三角函数关系式的变换逐项判断．【详解】因为()versin covers sin cos 2sin 4πf x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 错误；因为covers 1sin tan 2versin 1cos x xx x x--===--，所以2versin2covers211cos 2sin 22cos 2sin cos x x x x x x x --=--+=-+22222cos 2sin cos 22tan 2sin cos tan 15x x x x x x x -+-+===++，故B 正确；()()()()versin covers 1cos 1sin 1sin cos sin cos g x x x x x x x x x =⋅=--=-++，令sin cos 2,2x x t ⎡⎤+=∈-⎣⎦，则21sin cos 2t x x -=，所以()()22111222t m t t t =-+=-，所以()()min 10g x m ==，故C 正确；因为()2219versin 2covers cos 2sin 2sin sin 12sin 48h x x x x x x x x ⎛⎫=-=-+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()min 98h x =-，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．若1i 1i =++a b ，其中a 、b 都是实数，i 是虚数单位，则a b=．【答案】2-【分析】根据复数的除法以及复数相等可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出ab的值.【详解】因为()()()1i 1i i 1i 1i 1i 22a a a a b -+===-++-，则122a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，因此，2ab=-.故答案为：2-.14．已知34AB BC =-，若记AC BA λ= ，则λ=．【答案】13【分析】由向量的线性运算，求解λ的值.【详解】()3344AB BC BA AC =-=-+，∴4433BA AC AB BA +=-=，则有4133AC BA BA BA =-= ，∴13λ=.故答案为：1315．锐角α满足π1sin 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2=α.【答案】429【分析】利用二倍角公式和诱导公式实现角之间的转化，代入数值即可求得结果.【详解】由题意可知，ππππcos 2sin 2sin22sin cos 2444ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又π1sin 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且α为锐角，所以π22cos 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ππ12242cos 22sin cos 244339ααα⎛⎫⎛⎫=--=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：42916．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当0=t 时，盛水筒M 位于点0(3,33)P -，经过t 秒后运动到点(,)P x y ，点P 的纵坐标满足()sin()0,0,||2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为．【答案】33-【分析】根据筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，可求出ω，由0=t 时，0(3,33)P -求出R 和ϕ，从而可求出()f t 的关系式，进而可求出点P 的纵坐标【详解】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以2π120T ω==，得π60ω=，所以π()sin 60y f t R t ϕ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，因为当0=t 时，盛水筒M 位于点0(3,33)P -，所以223(33)6R =+-=，所以π()6sin 60f t t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为(0)33f =-，所以6sin 33ϕ=-，得3sin 2ϕ=-，因为||2ϕπ<，所以π3ϕ=-，所以ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以ππ4ππ3(100)6sin 1006sin 6sin 633603332f ⎛⎫=⨯-==-=-⨯=- ⎪⎝⎭，所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为33-，故答案为：33-四、解答题17．已知1a = ，2b = ，且()()2436a b a b +⋅-=-．(1)求a b ⋅ 和3a b - 的值；(2)求b与3a b - 的夹角的余弦值．【答案】(1)1a b ⋅=，37a b -= (2)714-【分析】（1）根据向量数量积的运算法则直接计算得到a b ⋅，运用转化法求得3a b - 的值；（2）通过向量夹角的公式直接计算即可.【详解】（1）因为()()2436a b a b +⋅-=-，所以228236a a b b -⋅-=- ，即228236a a b b -⋅-=- ，因为1a =，2b = ，所以82346a b -⋅-⨯=-，化简得，1a b ⋅=；()22233969467a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-=.（2）记b与3a b - 的夹角为θ，()243334cos 371273a b b a b b a b b a b b θ-⋅⋅--====-⨯-- .所以b 与3a b - 的夹角的余弦值为714-.18．已知函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像，如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域．【答案】(1)()π3sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据图像求出πT =，得到2π2Tω==，进而由图像得到函数解析式；（2）先根据图像变化求出()g x 解析式，再用代入法求值域即可.【详解】（1）根据函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像，得52632T πππ=-=，πT =，所以2π2T ω==．根据图像可得，()π2π+πZ 3k k ϕ⋅+=∈，所以()ππZ 3k k ϕ=+∈，又因为π2ϕ<，所以π0,3k ϕ==，所以()π3sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图像向右平移π3个单位后，可得πππ3sin 23sin 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()π3sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像．由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ4,π33x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()πππ3sin 3sin 43sin 332x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝≤⎝⎭，所以()3π3sin 4323x g x ⎛⎫-=≤-≤ ⎪⎝⎭.所以函数()g x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.19．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观测人员分别在A ，B 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒．（注：点A ，B ，C ，D 在同一平面内）(1)求ABD △的面积；(2)求点C D ，之间的距离．【答案】(1)()236123km +;(2)215km ．【分析】（1）由正弦定理求得AD 的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；（2）求出AC 和CAD ∠，由余弦定理即可求得答案.【详解】（1）在ABD △中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，所以60ADB ∠=︒．由正弦定理：sin sin AD AB ABD ADB=∠∠，得sin 45sin 60AD AB =︒︒，所以()2sin 4521246km sin 6032AD AB ︒=⋅=⨯=︒,()23162sin sin 75sin 45302224BAD ⎛⎫+∠=︒=︒+︒=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以ABD △的面积为()21162sin 124636123km 224ABD S AB AD BAD ∆+=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=+．（2）由30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，得45CAD ∠=︒，且90ACB ∠=︒,12cos3063AC ∴== ．在ACD 中由余弦定理，得22222cos 36316626346602CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠=⨯+⨯-⨯⨯⨯=,所以()215km CD =．即点C ，D 之间的距离为215km ．20．△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2)333+.【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为333+.试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A=.故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得33b c +=.故ABC 的周长为333+.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.21．如图，在ABC 中，已知2AB = ，62AC = ，45BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P .(1)求AM ；(2)求MPN ∠的余弦值.【答案】(1)=5AM (2)MPN ∠的余弦值为131050【分析】(1)由条件可得()12AM AB AC =+uuur uuu r uuu r ，两边平方结合数量积的性质可求AM ，(2)MPN ∠与,AM BN 的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小.【详解】（1）又已知M 为BC 的中点，所以()()111222AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，所以()2221+24AM AB AC AB AC =+⋅ ，所以()2221+2cos ,4AM AB AC AB AC AB AC =+⋅ ，又2AB = ，62AC = ，45BAC ∠=︒，所以212472+2262=2542AM ⎛⎫=+⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，所以=5AM ，（2）因为N 为AC 的中点，所以12BN AN AB AC AB =-=- ，又()12AM AB AC =+uuur uuu r uuu r ，所以()221111122222AM BN AB AC AC AB AC AC AB AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22111111=72124=13222222AM BN AC AC AB AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，21=18124102BN AC AB ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭，所以131310cos ===50510AM BN AM BN AM BN ⋅⨯⋅ ，，又MPN ∠与,AM BN 的夹角相等，所以1310cos =50MPN ∠，所以MPN ∠的余弦值为131050.22．对于函数()sin cos h x a x b x =+，称向量(),OM a b = 为函数()h x 的相伴特征向量，同时称函数()h x 为向量OM 的相伴函数．记向量()1,3ON = 的相伴函数为()f x ．(1)当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求sin x 的值；(2)当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()π02f x kf x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)43310-(2)()3,1--【分析】（1）先通过已知条件求得π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求得π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，通过配角的方法并结合正弦差角公式求得sin x 的值；（2）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负，通过参变分离转化为最值问题进而求得答案.【详解】（1）由题意得，向量()1,3ON = 的相伴函数为()sin 3cos f x x x =+，所以()13πsin 3cos 2sin cos 2sin 223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()85f x =，∴π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∵ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴23cos 1s πin 335πx x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）向量()1,3ON = 的相伴函数为()πsin 3cos 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()π2sin 2cos 03π2π3f x kf x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos sin π3π3k x x ⎛⎫⎛⎫+>-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．所以①当π06x ≤<，即πππ332x ≤+<时，πcos 03x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πsin π3tan π3cos 3x k x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭>-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，即max πtan 3k x ⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于πππ332x ≤+<，所以πtan 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为πtan 33=，所以max πtan 33k x ⎡⎤⎛⎫>-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；②当π6x =，ππ32x +=，不等式ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为10>成立．③当π11π612x <≤，ππ5π234x <+≤时，πcos 03x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πsin π3tan π3cos 3x k x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭<-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，即min πtan 3k x ⎡⎤⎛⎫<-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于ππ5π234x <+≤，所以πtan 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为5πtan 14=，所以min tan 13πk x ⎡⎤⎛⎫<-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．综上所述，k 的取值范围是()3,1--【点睛】恒成立问题多参变分离后转化为最值问题，通过分类讨论等方法快速求出参数范围.。
2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期期中月考数学试题1(含答案)
2023-2024学年湖北省武汉市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．若角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，则与2023 角终边相同的最小正角为（）A ．23°B ．137°C ．223°D ．337°【正确答案】C【分析】运用终边相同的角的定义求解即可.【详解】因为20233605223︒︒︒=⨯+，所以与2023︒角终边相同的最小正角为223︒.故选：C.2．已知向量()1,1a = ，()8,6b =- ，则2a b -的值为（）A ．12B ．10C ．8D ．6【正确答案】B【分析】现根据平面向量坐标的线性运算求得2a b -，进而根据向量的模长公式求解即可.【详解】由()1,1a =，()8,6b =- ，可得()()()22,28,66,8a b -=--=-，所以210a b -=.故选：B.3．已知4sin 5α=，则7cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．45D ．－45【正确答案】C【分析】运用诱导公式化简即可.【详解】7π7ππ4cos()cos(4π)cos()sin 2225αααα+=+-=-==.故选：C.4．已知G 是△ABC 的重心，若(),R AG xAB y AC x y =+∈）则2x y -=（）A ．－1B ．1C ．13D ．－13【正确答案】D【分析】根据三角形重心的定义和向量的线性运算进行解决.【详解】由题意，画图如下：由重心的定义，可知：()2211133233AG AD AB AC AB AC =++=⋅= ，则11122333x y -=-⨯=-.故选：D.5．函数3πcos tan 02y x x x ⎛=⋅≤< ⎝且π2x ⎫≠⎪⎭的图象是下列图象中的（）A．B．C ．D．【正确答案】C【分析】根据函数的自变量，将函数变形为π3πsin ,0,22πsin ,.2x x x y x x ππ⎧≤<≤<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或结合正弦函数的性质与图象，根据选项即可求解.【详解】依题意，π3πsin ,0,22cos tan πsin ,.2x x x y x x x x ππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或由此判断出正确的选项为C.故选：C.6．已知平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ==⋅= ，点P 在线段CD 上（不包含端点），则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[)1,8-B ．()0,8C ．[)1,10D ．()0,10【正确答案】A【分析】根据平面向量的数量积的定义，由4AB AD ⋅= 可得π3A =，再以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立坐标系，设(()15P x x <<，进而根据向量坐标的线性运算即数量积的坐标表示可得()221PA PB x ⋅=-- ，结合二次函数的性质即可求解.【详解】∵4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=，∴cos 4AB AD A ⨯⨯=，即1cos 2A =，即π3A =，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，∴()0,0A ，()4,0B ，(D ，(C ，设(()15P x x <<，∴((,,4,PA x PB x =-=--，∴()()22434321PA PB x x x x x ⋅=-+=-+=-- ，设()()221f x x =--，∴()f x 在()1,2上单调递减，在[)2,5上单调递增，∴()()min 21f x f ==-，()()58f x f <=，则PA PB ⋅的取值范围是[)1,8-.故选：A.7．已知函数()()tan (0,0)f x x ωϕωϕπ=-><<与x 轴交于A ，B 两点，且线段AB 长度的最小值为π3，若将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后恰好为奇函数，则ϕ的值为（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π4或3π4【正确答案】D【分析】根据题意求得()f x 的最小正周期为π3T =，得到3ω=，结合三角函数的图象变换，得到()tan(3π4)g x x ϕ=-+，由()g x 为奇函数，求得ππ,Z 42k k ϕ=-∈，进而求得ϕ的值.【详解】因为函数()()tan f x x ωϕ=-与x 轴交于A ，B 两点，且线段AB 长度的最小值为π3，可得函数()f x 的最小正周期为π3T =，所以2π3Tω==，所以()()tan 3f x x ϕ=-，将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到()tan(3π4)g x x ϕ=-+，又因为()g x 为奇函数，可得ππ,Z 42k k ϕ-=∈，即ππ,Z 42k k ϕ=-∈，因为0ϕπ<<，当0k =时，可得π4ϕ=；当1k =-时，可得43πϕ=，所以ϕ的值为π4或3π4.故选：D.8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边ABC ，若2,sin 14EF ACF =∠=，则AC ＝（）A ．8B ．7C ．6D ．5【正确答案】B【分析】在ACF △中，设AF CE t ==，根据题意利用正弦定理可得73AC t =，然后利用余弦定理即可求解.【详解】在ACF △中，18060120AFC ∠=-= ，设AF CE t ==，则2CF t =+，由正弦定理可知，sin sin AF ACACF AFC=∠∠=，则73AC t =，在ACF △中，222||||2cos AC AF CF AF CF AFC =+-∠，()()22249122292t t t t t ⎛⎫=++-+⨯- ⎪⎝⎭，又0t >，则3t =，故773AC t ==，故选：B.二、多选题9．已知函数()f x 的图象可由函数()1πsin 224g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度得到，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 在π[0,4上单调递增D ．当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为1[0,]2【正确答案】ABD【分析】运用图象平移变换求得()f x 的解析式，运用公式2π||T ω=可判断A 项，运用偶函数的定义可判断B 项，求()f x 的单调递减区间，判断π[0,]4是否包含于()f x 的单调递减区间即可判断C 项，运用()f x 在π[0,]4上单调递减求()f x 的值域即可判断D 项.【详解】由题意知，1ππ1π1()sin(2()sin(2cos 2284222f x x x x =++=+=，对于A 项，2ππ2T ==，故A 项正确；对于B 项，()f x 的定义域为R ，11()cos(2)cos 2()22f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，故B 项正确；对于C 项，因为2π2π2πk x k ≤≤+，Z k ∈，解得：πππ2k x k ≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π[π,π]2k k +，Z k ∈，又因为ππ[0,][π,π]42k k ⊆+，Z k ∈，所以()f x 在π[0,4上单调递减，故C 项错误；对于D 项，由C 项知，()f x 在π[0,4上单调递减，1(0)2f =，π1π()cos 0422f ==，所以()f x 的值域为1[0,]2，故D 项正确.故选：ABD.10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂密，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF ，则下列说法正确的是（）A ．FB FD AE-= B ．2AD AF AF⋅= C ．AD 在AB 上的投影向量为ABD ．32AC AE AD+= 【正确答案】BCD【分析】可得DB与AE为相反向量可判断A ；利用数量积公式计算可判断B ；由投影向量的定义可判断C ；由图得直线AD 平分EAC ∠，且与EC 的交点H 为EC 中点，利用,EDH AEH 均为含π6的直角三角形，可判断D.【详解】对于A ，FB FD DB -= ，显然由图可得DB与AE 为相反向量，故A 错误；对于B ，π3DAF ∠=，AD AF =2 ，所以2πcos 3AD AF AD AF AF ⋅== ，故B 正确；对于C ，因为π2ABD ∠=，则AD 在AB 上的投影向量为AB，故C 正确；对于D ，由图易得AE AC =，直线AD 平分EAC ∠，且与EC 的交点H 为EC中点，且ACE △为正三角形，根据平行四边形法则有2AC AE AH += 与AD共线且同方向，ππ,26DHE DHC HED HCD ∠==∠=∠=，故3,33EH AH DH === ，则4AD DH = ，而26AH DH = ，故232AH AD= ，故32AC AE AD += ，故D 正确.故选：BCD.11．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列四个命题中正确的命题是（）A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形B ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形C ．若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形D ．若tan tan tan 0A B C ++＜，则ABC 一定是钝角三角形【正确答案】AD【分析】利用正弦定理以及正切函数的单调性可判断A 选项；利用正弦定理结合二倍角公式可得出A 、B 的关系，可判断B 选项；利用余弦定理可判断C 选项；分析可知tan A 、tan B 、tan C 中一定有一个小于0成立，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为cos cos cos a b c A B C==，由正弦定理可得sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==，则tan tan tan A B C ==，因为ABC 至少有两个锐角，从而可得tan tan tan 0A B C ==>，故ABC 为锐角三角形，因为正切函数tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，故A B C ==，所以，ABC 为等边三角形，A 对；对于B 选项，因为cos cos a A b B =，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，因为A 、()0,πB ∈，所以，sin 0A >，sin 0B >,又因为A 、B 中至少有一个为锐角，则sin cos sin cos 0A A B B =>，则A 、B 均为锐角，所以，2A 、()20,π∈B ，所以，22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，B 错；对于C 选项，2220a b c +->时，由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=>，即C 为锐角，但A 、B 是否都是锐角，不能保证，因此ABC 不一定是锐角三角形，C 错；对于D 选项，因为A 、B 、()0,πC ∈，由tan tan tan 0A B C ++<，因为A 、B 、C 至少有两个锐角，则tan A 、tan B 、tan C 中至少有两个正数，可得tan A 、tan B 、tan C 中一定有一个小于0成立，不妨设tan 0C <，可得π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ABC 为钝角三角形，所以D 正确．故选：AD ．12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，O 为ABC 的外心，4,5b c ==，ABC的面积S 满足()22b c a +-=．若AO AB AC λμ=+，则下列结论正确的是（）A ．π3A =B ．S =C ．92AO BC ⋅=-D ．1320λμ+=【正确答案】ACD【分析】结合题意和余弦定理得出π3A =，判断选项A ；利用三角形面积公式判断选项B ；利用平面向量的数量积运算判断选项C ；利用平面向量的基本定理即可求解D【详解】由()22b c a +-=，得2222sin b c a bc A+-+=2cos 2sin bc A bc A +=，即cos 1A A+得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πA <<，故ππ5π666A -<-<，∴ππ66A -=，即π3A =所以A正确；1sin 2S bc A ==，所以B 错误；()22119||||222AO BC AO AC AB AC AB ⋅=⋅-=-=- ，所以C 正确；由AO AB AC λμ=+ ，可知22AO AB AB AC ABAO AC AB AC AC λμλμ⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩得252510281016λμλμ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩解得：12,45μλ==，故1320λμ+=，所以D 正确．故选：ACD.三、填空题13．已知向量,a b 满足1,2,22a b a b ==-= ，则a 与b 的夹角为___．【正确答案】3π/13π【分析】根据平面向量数量积的性质求解即可.【详解】设a 与b的夹角为θ，由22a b -= ，可得224a b -= ，即22444a a b b -⋅+= ，即2244cos 4a a b b θ-⋅⋅+=，即48cos 44θ-+=，即1cos 2θ=，又[]0,πθ∈，所以π3θ=故答案为.π314．已知定义在R 上的函数()f x 不是常数函数，且同时具有下列两个性质：①()()=f x f x -；②()π4f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．请你写出符合上述条件的一个函数()f x ＝___．【正确答案】cos8x （答案不唯一）【分析】根据偶函数和周期性直接写出一个符合题意的函数即可.【详解】由题意可知，()f x 为偶函数，且周期为π4，所以可以取()cos8f x x =.故cos8x （答案不唯一）15．已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，π3ABC ∠=，ABC ∠的角平分线交AC于点D ，且BD ，则a c +的最小值为___．【正确答案】4【分析】利用等面积法可得出ABC ABD BCD S S S =+△△△，化简可得111a c+=，将代数式a c +与11a c +相乘，展开后利用基本不等式可求得a c +的最小值.【详解】因为π3ABC ∠=，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且BD =因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即1π1π1πsin sin sin 232626ac c BD a BD =⋅+⋅，即)44ac c a =+，即ac a c =+，所以，111c a ac a c +=+=，所以，()11224c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2a c ==时，等号成立，故a c +的最小值为4.故答案为.416．已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭），若方程()2[]1f x =在()0,3π上恰有5个实数解，则实数ω的取值范围为___．【正确答案】1316,99⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由2[()]1f x =可得()1f x =±，运用换元法令πππ3π666x t t ωω⎛⎫+=<<+ ⎪⎝⎭，将问题转化为sin y t =在ππ,366ωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上恰有5条对称轴，画sin y t =图象运用数形结合列式即可求得结果.【详解】当03πx <<时，πππ3π666x ωω<+<+，因为函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,3π)上恰好有5个x ，使得()1f x =±，故()f x 在(0,3π)上恰有5条对称轴．令πππ3π666x t t ωω⎛⎫+=<<+ ⎪⎝⎭，则sin y t =在ππ,366ωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上恰有5条对称轴，如图：所以9ππ11π3π262ω<+≤，解得1316,99ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故答案为.1316,99⎛⎤ ⎥⎝⎦四、解答题17．已知平面向量()()1,2,3,2a b ==-- ．(1)若()2c a b ⊥+ ，且5c = c 的坐标；(2)若a 与a b λ+ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．【正确答案】(1)()2,1--或()2,1(2)()5,00,7⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及垂直求解即可；（2）由题意可得()0a a b λ⋅+> 且a 与a b λ+ 不共线，进而根据平面向量数量积和共线的坐标表示求解即可.【详解】（1）由()()1,2,3,2a b ==-- ，所以()()()22,43,21,2a b +=+--=- ，设(),c x y = ，因为()2c a b ⊥+ ，所以()220c a b x y ⋅+=-+= ，因为5c = 225x y +=解得21x y =-⎧⎨=-⎩，或21x y =⎧⎨=⎩，所以c的坐标为()2,1--或()2,1.（2）由()()1,2,3,2a b ==-- ，所以()()()1,23,213,22a b λλλλλ+=+--=-- ，因为a 与a b λ+ 的夹角为锐角，所以()0a a b λ⋅+> 且a 与a b λ+ 不共线，()()132********λλλλ⎧-+->⎪⎨-≠-⎪⎩，解得57λ<且0λ≠，即实数λ的取值范围为()5,00,7⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.18．函数()()πsin (0,0)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)求()f x 在[]π,0-上的单调递减区间及对称轴．【正确答案】(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)单调减区间为5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；对称轴方程为5π6x =-和π3x =-【分析】（1）由函数图像得2A =，计算得周期πT =，从而得2ω=，再代入最大值计算可得ϕ值，从而可得函数解析式；（2）由整体法计算函数()f x 的单调递减区间和对称轴方程，然后结合[]π,0-的范围，可得答案.【详解】（1）由图可得2A =，周期为2ππ2π2π36T ω⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以2ω=，因为0ω>，所以2ω=；根据图像可得ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π2πππ,63k x k k +≤≤+∈Z ，令ππ2π,62x k k +=+∈Z ，解得对称轴方程为：ππ,26k x k =+∈Z ；所以()f x 单调递减区间为()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；对称轴方程为：ππ,26k x k =+∈Z 所以()f x 在[]π,0-上的单调减区间为5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；()f x 在[]π,0-上的对称轴方程为5π6x =-和π3x =-19．已知π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且函数()sin tan f ααα=(1)化简()f α；(2)若函数()()2π222g x f x f x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，试求其最大值．【正确答案】(1)cos α-(2)338【分析】（1）由π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可得sin 0,cos 0αα<>，结合同角三角函数关系化简即可；（2）根据题意可得()g x 的定义域为π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得()21332sin 48g x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，进而求解.【详解】（1）π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin 0,cos 0αα∴<>()sin tan f ααα∴=-sin sin cos ααα=1cos sin cos sin sin cos sin ααααααα+=⋅-⋅--cos α=-.（2）π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππ,022x ⎛⎫∴--∈- ⎪⎝⎭，()g x ∴的定义域为π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，由()222π1332cos cos 22sin sin 42sin 248g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴当sin 14x =-时，()g x 取最大值338.20．如图，在菱形ABCD 中，4,60AB BAD ∠== ，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且AE EB = ，3BF FC = ，连接ED 、AF ，交点为G ．(1)设AG t AF = ，求t 的值；(2)求EGF ∠的余弦值．【正确答案】(1)411t =(2)【分析】（1）324t AG t AF t AE AD ==+ ，由,,D G E 三点共线得DG DE λ= ，(1)AG AE AD λλ=+- ，结合平面向量基本定理可求得t ；（2）取,AB AD 作为平面的一组基底，用基底表示出向量,DE AF uuu r uu u r ，求出DE AF ⋅ ，DE ，AF ，由向量夹角公式即可求得答案.【详解】（1）()33244t t AG t AF t AB BF t AB AD t AE AD ==+=+=+ ，又D ，G ，E 三点共线，则DG DE λ= ，则()()1AG AD DG AD DE AD AE AD AE AD λλλλ=+=+=+-=+- ，因为AD ，AE 不共线，由平面向量基本定理，得2t λ=且314t λ=-，解得411t =.（2）取AB ，AD 作为平面的一组基底，则,1324DE AE AD AB AD AB B A A AF F B D =-=-=+=+ ，则44cos608AB AD ⋅=⨯⨯= ，221315324284DE AF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221534849284=⨯-⨯-⨯=-.DE ====，AF ====cos cos ,74DE AF EGF DE AF DE AF ⋅∠===- ．21．已知函数()21cos cos 2f x x x x =-+．(1)若123f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且π02,α⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，求sin α的值；(2)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若122C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求a b 的取值范围．【正确答案】(2)12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）化简()f x 解析式，由123f α⎛⎫= ⎪⎝⎭得到π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而求得πcos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求得sin α.（2）由122C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得C ，利用正弦定理化简a b ，通过tan B 的取值范围，求得a b 的取值范围.【详解】（1）因为()2cos211πs 1cos co in 2226s 2f x x x x x x x +⎛⎫=-+==-+ ⎝-⎪⎭，所以π1sin 263f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又π02,α⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，则ππ,663πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 63α⎛⎫-== ⎪⎝⎭，又ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故11sin 332α=⨯=（2）由π1sin 262C f C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又ππππ0,,2663C C ⎛⎫∈-<-< ⎪⎝⎭，所以ππ66C -=，即π3C =．由正弦定理sin sin a b A B =，可得2πsin sin 13sin sin 2B a A b B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，因为ABC 是锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<．所以3tan 0,32tan 2B B ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，所以11,222a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．即a b 的取值范围为12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．某公园有一块矩形空地ABCD ，其中AB BC ⊥，AB =2BC =百米．为迎接“五一”观光游，欲从边界AD 上的中点P 处开始修建观赏小径PM ，PN ，MN ，其中M ，N 分别在边界AB ，CD 上，小径PM 与PN 相互垂直，区域PMA 和区域PND 内种植绣球花，区域PMN 内种植玫瑰花，区域BMNC 内种植杜鹃花．设APM α∠=．(1)设种植绣球花的区域的面积为S ，试将S 表示为关于α的函数，并求其取值范围；(2)为了节省建造成本，公园负责人要求观赏小径的长度之和（即PMN 的周长l ）最小．试分析当α为何值时，PMN 的周长l 最小，并求出其最小值，【正确答案】(1)11tan 2tan S αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；⎡⎢⎣⎦(2)当π4α=时，PMN 的周长l 取得最小值，最小值为2百米【分析】（1）结合题意可得ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而可得11tan 2tan PAM PDN S S S αα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ，再结合对勾函数的性质即可求解；（2）在直角PAM △中，1cos PM α=，在直角PND △中，1sin PN α=，由勾股定理得，1cos sin MN αα=，可得()1sin cos sin cos f ααααα++=，令sin cos t αα=+，进而求解即可.【详解】（1）由题意，当点M 位于点B 时，角α取最大值，此时tan α=因为π02α<<，所以π3α=，当点N 位于点C 时，由对称性知DPN ∠取最大值π3，角α取最小值πππ236-=，所以角α的取值范围是ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在直角PAM △中，tan AM α=；在直角PND △中，1tan DN α=，所以种植绣球花的区域的面积1111tan 222tan PAM PDN S S S PA AM PD DN αα⎛⎫=+=⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭，令tan x α=，则由ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知，3x ∈⎣，所以112S x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对勾函数的性质知，函数在,13⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，在(上单调递增，12,3x x ⎡+∈⎢⎣⎦，所以S的取值范围为⎡⎢⎣⎦.（2）在直角PAM △中，1cos PM α=，在直角PND △中，πcos cos sin 2PD DPN PN ∠αα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭且1PD =，所以1sin PN α=，在直角PMN 中，由勾股定理得，2222222111cos sin cos sin MN PM PN αααα=+=+=，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0,cos 0a α>>，所以1cos sin MN αα=，所以()1111sin cos sin cos sin cos sin cos f ααααααααα++=++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin cos t αα=+，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π4t α⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭⎣，又由21sin cos 2t αα-=，可得()212112t g t t t +==--，且()g t在⎣上单调递减，当t =时，() min 2g t ==，此时π4t α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭π4α=，综上，当π4α=时，PMN 的周长l取得最小值，最小值为2百米。
湖北省2018_2019学年高二数学下学期期中联考试题文(含解析)
2018—2019学年下学期高二期中考试文数试题一、单选题(本大题共12小题．每小题中只有一项符合题目要求)1.设命题：，，则命题的否定为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题：，的否定为，,故选A.2.设存在导函数，且满足，则曲线上点处的切线斜率为( )A. 2B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义得到结果即可.【详解】根据题意得到：，因为：进而得到故答案为：D.【点睛】本题考查了极限的定义的应用以及切线的斜率的几何意义.3.下列命题中的说法正确的是（）A. 若向量，则存在唯一的实数使得；B. 命题“若，则”的否命题为“若，则”；C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”；D. 命题“在中，是的充要条件”的逆否命题为真命题.【答案】D【解析】【分析】对于A由特例可知不正确；对于B，由否命题的写法可知，不正确；对于C，按照特称命题的写法可知选项不正确；对于D，将逆否命题转化为原命题的真假性的判断.【详解】对于A.若向量，则其中一个向量可以是零向量，另外一个是非零向量，此时不存在实数；对于B，“若，则”的否命题为“若，则”，故选项不正确；对于C，命题“，使得”的否定是：均有对于D，原命题和逆否命题真假性相同，在中，，根据大角对大边得到,再由正弦定理得到反之，当，由正弦定理可得到，故选项正确. 故答案为：D.【点睛】这个题考查了命题真假的判断，涉及特称命题的否定的写法，以及原命题和逆否命题同真同假的应用.4.设定点，动圆过点且与直线相切.则动圆圆心的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆的定义知圆心到直线的距离等于圆心到点F的距离，进而得到轨迹是抛物线. 【详解】动圆过点且与直线相切，根据圆的定义可得到圆心到直线的距离等于圆心到点F的距离，根据抛物线的定义可得到圆心的轨迹是焦点为的抛物线，即故答案为：C.【点睛】这个题目考查了圆的定义，以及抛物线的定义，注意在应用抛物线的定义为：动点到定点的距离，等于动点到定直线的距离，且动点不在定直线上，此时动点轨迹是抛物线.5.若双曲线的焦点到渐近线的距离是4，则的值是（）A. 2B.C. 1D. 4【答案】D【解析】【分析】求得双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离计算可得所求值．【详解】双曲线（m＞0）的焦点设为（c，0），当双曲线方程为：时，渐近线方程设为bx﹣ay＝0，可得：d b，故，由题意可得b＝m＝4．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．6.已知直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出切点，对函数求导，得到，代入直线方程得到结果.【详解】设切点为，根据题意对函数求导得到代入直线方程得到故答案为：B.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.7.已知函数(，且），若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数表达式对函数求导，代入数值1，得到结果.【详解】函数,,即故答案为：A.【点睛】这个题目考查了基本初等函数的求导公式的应用，属于基础题.8.已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可设椭圆上任意一点为，根据点到直线的距离公式得到距离的表达式，进而得到最值.【详解】设椭圆上的点为：，根据点到直线的距离公式得到 .当三角函数值为1时，取得最大值，得到故答案为：C.【点睛】这个题目考查了椭圆参数方程的应用，参数方程的引入，能够使得二元问题转化为一元问题，参数方程主要用于求最值和范围问题.9.函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，，如果函数在区间上的图像如图所示，且，那么（ ）A.是的极大值点 B.是的极小值点 C. 不是极值点 D.是极值点【答案】B 【解析】，由图像可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，故先减后增，在处取得极小值。
武汉理工大学大一(下)高数期末试题
武汉理工大学高等数学（下）考试试题一、填空题(每题4分,共16分)1.(4分) 级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件是 .2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)ydy f x y dx ⎰⎰= .3. (4分) 微分方程2442xy y y x e '''-+=的一个特解形式可以设为 .4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= . 二、 选择题(每题4分,共16分)1. (4分) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ).A. (1,-1,2);B. (-1,1,2);C. (1,1,2);D. (-1,-1,2).2. (4分) 级数13121(1)n n n ∞-=-∑为（ ）. A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定.3. (4分) 若∑是锥面222x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分22()x y dS ∑+=⎰⎰( ).A. 1200d r rdr πθ⋅⎰⎰; B. 21200d r rdr πθ⋅⎰⎰;C.1200d r rdr πθ⋅⎰;D.21200d r rdr πθ⋅⎰.4. (4分)幂级数11(1)n nn n ∞-=-∑( ).A. 2;R =B.1;2R = C.3;R = D.1.3R =三、 解答题(每题7分,共63分)1．(7分) 设sin(),xy z x y e =++求dz .2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω=⎰⎰⎰其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域.3． (7分) 求(1)I y z dS ∑=++⎰⎰,其中∑是平面5y z +=被圆柱面2225x y +=截出的有限部分.4． (7分) 求幂级数1(1)(1)nnn x n ∞=--∑的收敛域.5． (7分) 将21()2f x x x=--展开为麦克劳林级数.6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)xxL I e y y dx e y dy =-+-⎰,其中L 为22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周.7． (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解. 8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=+++++⎰⎰ ,其中∑为曲面2224x y z ++=的内侧.9．(7分) 计算曲线积分()LI x y ds =+⎰,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1)A B 为顶点的三角形折线.四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分222222()()ttCx x y x x y I dx dy yy++=-⎰与路径无关，其中C 是该区域上一条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.评 分 标 准一、 1.lim 0;n n u →∞= 2.110(,);x dx f x y d y ⎰⎰3.*222()x y x Ax Bx C e =++;4..d rdrd σ=θ 二、 1. C; 2. A; 3.D. 4.D.三、 1.解 c o s ()xy x z x y ye =++ 3 分 c o s ()xyy z x y xe =++ 3 分[c o s ()][c o s ()x yx yd z x y y ed x x y xe d y=+++++ 7分 2.解 11122000xx y I dx dy xdz ---=⎰⎰⎰3 分11200(12)xxdx x y dy -=--⎰⎰ 5分12301(2)4x x x dx =-+⎰ 6分148=7分3.解 :5z y ∑=- 1分22:25D x y +≤ 2分(15DI y y =++-⎰⎰ 4分Ddxdy = 6分= 7分4. 解 1R = 2分当2x =时收敛 4分 当0x =时发散 6分 收敛域为(0,2]. 7分5.解 21111231212x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+---⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2分 ()11316(1)2x x =+-+ 3分0011(1)362nn n n n x x ∞∞==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑ 5分 10111(1)32nn n n x ∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑ 6分 1x < 7分6.解sin x P e y y =-, cos 1xQ e y =- 1分1Q P x y∂∂-=∂∂ 3分由格林公式得DI dxdy =⎰⎰ 6分221228a a π⎛⎫==π ⎪⎝⎭ 7分 7.解()224xdxxy e C xe dx ⎰-=+⎰ 3分222[2()]xxe C e d x -=+⎰ 4分22xCe-=+ 5分将03x y ==代入上式得 1C = 6分 所求特解为22xy e -=+ 7分8.解 利用高斯公式得6I dv Ω=⎰⎰⎰ 4分4643=⋅π⋅ 6分32=π 7分9.解 ()()()O AO BB AI x y d s x y d s x y d s=+++++⎰⎰⎰ 101()2OAx y ds xdx +==⎰⎰ 2分101()2OBx y ds ydy +==⎰⎰ 4分10()(1BAx y ds x x +=+-=⎰⎰6分1I ∴=+7分四、 解2212222()(2)t P x x y ty x y y y-∂+=⋅--∂ 1分22122222()()t Q x x yx y tx xy-∂-+=⋅++∂ 2分令P Q yx∂∂=∂∂可得22(21)()0t x y ++=因为0,y ≠所以12t =-3分因曲线积分与路径无关,故取从点(1,1)A 经点(0,1)D 到点(0,2)B 的折线积分10I =+⎰ 4分1=- 5分。
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4、设 ，其中 是圆域 位于第 象限的部分，则有（C）
(A) (B) (C) (D)
5、设 ，且 ，则级数 ()
(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性根据所给条件不能确定
得分
二、填空题（本题共5小题，每小题3分）
1、微分方程 满足条件 的特解为.
2、曲面 上与平面 平行的切平面方程为.
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
姓名
学号
专业班级
学院
武汉理工大学考试试卷（A卷）
2014~2015学年2学期高等数学A（下）课程任课教师
80学时，5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%，2015年07月7日
题号
一
二
三
四
五
六
合计
满分
15
3、若函数 由方程 确定，则 .
4、设有球面 ，则 .
5、已知级数 ， 则 .
得分
三、计算题（本题共6小题，每小题8分）
1、求通过直线 的两个相互垂直的平面 和 ，使其中一个平面
通过点 .
2、设函数 ，其中 有二阶连续偏导数，求 .
3、计算二重积分 ，其中 为 ， .
4、计算曲线积分： ，其中 为椭圆 上从点 到点 的弧段.
5、计算曲面积分 ，其中 为 平面上的曲线 绕 轴旋转一周而成，其上法向量与 轴的夹角为锐角。
6、求幂级数 的收敛区间及其和函数 .
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
15
48
16
6
100
得分
得分
一、选择题（本题共5小题，每小题3分）
1、设 在点 处的偏导数存在，且 ， ，则下面结论正确的是（）
（A） 存在（B） 在 处连续
（C） （D） 与 都存在且相等
2、直线 与平面 的关系为()
(A) 在 上(B) 平行于平面 但不在平面 上
(C) (D) 与 斜交
3、曲线 ， ， 在点 处的法平面方程为()
得分
四、应用题（本题共2小题，每小题8分）
1.求旋转椭球面 上距离平面 的最远的点和最近的点，并求出最远距离和最近距离.
2.求由曲面 及平面 所围成的质量分布均匀的物体的质心坐标。
得分
五、证明题（本题满分6分）
ห้องสมุดไป่ตู้设 是在 内的可微函数，且 其中 ，任取实数 ，定义
证明：级数 绝对收敛.